Lý thuyết, bài tập về con lắc lò xo

Nội dung text: Lý thuyết, bài tập về con lắc lò xo

1. LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ CON LẮC LÒ XO I: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ CON LẮC LÒ XO 2 m T 2 k  k * Tần số góc, chu kỳ dao động, tần số dao động:  = m  1 k f 2 2 m 2 N  t * Trong khoảng thời gian ∆t vật thực hiện được N dao động thì t = N.T T = N f t * Khi tăng khối lượng vật nặng n lần thì chu kỳ tăng n lần, tần số giảm n . m1 * Khi mắc vật có khối lượng m1 vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kỳ T 2 1 k m2 * Khi mắc vật có khối lượng m2 vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kỳ T 2 2 k 2 2 * Khi mắc vật có khối lượng m = (m1 + m2) vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kỳ T = T1 T2 2 2 * Khi mắc vật có khối lượng m = (m1 – m2) vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kỳ T = T1 T2 Ví dụ 1. Một CLLX có m = 200 g; k = 50 N/m. a) Tìm ω; T; f của con lắc. b) Treo thêm một gia trọng Δm thì chu kỳ con lắc là T’ = 1,2T. Tính khối lượng gia trọng. Ví dụ 2: Một vật khối lượng m = 250 (g) mắc vào một lò có độ cứng k = 100 (N/m) thì hệ dao động điều hòa. a) Tính chu kỳ và tần số dao động của con lắc lò xo. b) Để chu kỳ dao động của vật tăng lên 20% thì ta phải thay vật có khối lượng m bằng vật có khối lượng m có giá trị bằng bao nhiêu? c) Để tần số dao động của vật giảm đi 30% thì phải mắc thêm một gia trọng ∆m có trị số bao nhiêu? II: CON LẮC LÒ XO CHUYỂN ĐỘNG THEO PHƯƠNG NGANG Tại VTCB lò xo không bị biến dạng ( ℓ0 = 0). Do tại VTCB lò xo không biến dạng, nên chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động lmax l0 A lần lượt là , trong đó ℓ0 là chiều dài tự nhiên của lò xo. lmin l0 A Lực đàn hồi tác dụng vào lò xo chính là lực hồi phục, có độ lớn Fhp = k.|x| Từ đó, lực hồi phục cực đại là Fhp.max = kA. Ví dụ 3. Một CLLX dao động điều hòa theo phương ngang có phương trình x = 2cos(2πt +π/6) cm. Biết k = 40 N/m. a) Tìm khối lượng m của vật nặng con lắc? b) Tính Fhp max; Fđh max. c) Tính Fhp tại các thời điểm t = s; t = (s). III. CON LẮC LÒ XO DAO ĐỘNG THEO PHƯƠNG THẲNG ĐỨNG
2. mg g g * Tại VTCB lò xo bị biến dạng (dãn hoặc nén) một đoạn ℓ0 = = 2 2  m  l0 2 l T 2 0  g Từ đó, chu kỳ và tần số dao động của con lắc được cho bởi  1 1 g f 2 T 2 l0 Do tại VTCB lò xo bị biến dạng, nên chiều dài của lò xo tại VTCB được tính bởi ℓcb = ℓ0+ ℓ0 lmax lmin A lmax lcb A l0 l0 A 2 Từ đó, chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo là l l A l l A l l min cb 0 0 l max min cb 2 * Lực đàn hồi tác dụng vào lò xo được tính bằng công thức F = k. ℓ, với ℓ là độ biến dạng tại vị trí đang xét. Để tìm được ℓ ta so sánh vị trí cần tính với vị trí mà lo xo không biến dạng. Trong trường hợp tổng quát ta được công thức tính ℓ = |ℓ0 x| với x là tọa độ của vật tại thời điểm tính. Việc lấy dấu cộng (+) hay dấu trừ (–) còn phụ thuộc vào chiều dương, và tọa độ của vật tương ứng. Từ đó ta được công thức tính lực đàn hồi tại vị trí bất kỳ là F = k. ℓ = k.| ℓ0 x| Fmin k( l0 A) khi l0 A Lực đàn hồi cực đại Fmax = k. ℓmax = k( ℓ0+A); lực đàn hồi cực tiểu Fmin 0 khi l0 A Ví dụ 4. Một CLLX dao động điều hòa theo phương thẳng đứng có ℓ0 = 80 cm; m = 500 g; k = 50 N/m. a) Tính độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng, lấy g = 10 m/s2. b) Tính T; f; ω của vật. c) Tính chiều dài lò xo tại vị trí cân bằng? d) Kéo vật nặng xuống dưới để lò xo dãn 3 cm và thả nhẹ. Tìm chiều dài max, min của lò xo. Ví dụ 5. Một CLLX dao động điều hòa theo phương thẳng đứng có ℓ0= 32 cm; m = 250 g; k = 100 N/m. 2 a) Tính Δℓ0; F; f. Lấy g = π = 10. b) Trong quá trình dao động lò xo có chiều dài cực đại là 37 cm. Tính độ lớn vận tốc và gia tốc? Ví dụ 6. Một CLLX dao động điều hòa theo phương thẳng đứng có ℓ0 = 32 cm. Trong quá trình dao động chiều dài lò xo biến thiên từ 32 cm đến 38 cm. a) Tính Δℓ0 và biên độ A. b) Lấy g = π2 = 10. Tính T; f. c) Tính độ lớn của tốc độ, gia tốc của vật trong quá trình chuyển động Ví dụ 7. Một CLLX dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương trình x = 4cos(4πt + π/3) cm. Chiều dài tự nhiên của lò xo là 40 cm. Lấy g = π2 = 10 m/s2 a) Tính Δℓ0; ℓcb; ℓmax; ℓmin biết khối lượng vật nặng là 250 g. b) Tính Fmax; Fmin. c) Tính độ lớn lực đàn hồi khi lò xo dài 48 cm. d) Tính độ lớn lực đàn hồi khi vật cách vị trí cân bằng 1 cm. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO Các bước lập phương trình dao động của CLLX: k v a + Tìm tần số góc ω: ω = = = 2πf = max = max m A vmax 2 v v + Tìm biên độ: A = x 2 = = max   x 0 Acos + Tìm pha ban đầu: dựa vào t = 0 ta có v0 Asin
3. Chú ý: Với bài toán con lắc lò xo dao động thẳng đứng (mà thương gặp là treo vật nặng vào lò xo), khi kéo vật nặng xuống dưới làm lò xo dãn một đoạn Δℓ rồi thả nhẹ thì khi đó A = Δℓ - Δℓ 0; nếu kéo xuống rồi truyền cho vật một tốc độ v thì khi đó |x| = Δℓ - Δℓ0 và biên độ được tính bởi 2 2 2 v 2 v A = x =   0   Ví dụ 1. Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với chu kì T = 2 (s). Vật qua VTCB với vận tốc v0 = 31,4 cm/s. Biết vật nặng của con lắc có khối lượng m = 1 kg. a) Viết phương trình dao động của con lắc, chọn t = 0 lúc vật qua VTCB theo chiều dương. Ta có: T = 2 (s) ω = 2π/T = 2π/2 = π (rad/s). Khi vật qua VTCB thì tốc độ của vật đạt cực đại, khi đó v max = ωA 10π (cm/s) A = v max/ω = 10π/π = 10 (cm). x0 0 Acos 0 cos 0 Tại t = 0, vật qua VTCB theo chiều dương = - v0 0 A sin 0 sin 0 2 Vậy phương trình dao động của vật là x = 10cos(πt – π/2) cm. b) Tính cơ năng toàn phần và động năng của vật khi vật ở li độ x = –8 (cm). c) Tìm vị trí của vật mà tại đó động năng lớn gấp 3 lần thế năng. Ví dụ 2. Một vật có khối lượng m = 400 (g) được treo vào lò xo có hệ số đàn hồi k = 100 N/m, hệ dao động điều hòa. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 2 cm rồi truyền cho nó vận tốc ban đầu vo = 15 5 π cm/s theo phương thẳng đứng. Lấy π2 = 10. a) Tính chu kỳ, biên độ dao động và vận tốc cực đại của vật. k 100 Ta có: ω = = =5π T = = 0,4 s m 0,4 v 2 (15 5 )2 Áp dụng hệ thức liên hệ ta được A2 x 2 22 = 49 cm A = 7 cm  2 (5 )2 Tốc độ cực đại của vật là v max = ωA = 7.5π = 35π (cm/s). b) Viết phương trình dao động, chọn gốc thời gian là lúc vật ở vị trí thấp nhất và chiều dương hướng lên. c) Biết chiều dài tự nhiên của lò xo là ℓ 0 = 40 cm, tính chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động điều hòa. d) Tính độ lớn lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của vật trong quá trình dao động. e) Tại vị trí mà vật có động năng bằng 3 lần thế năng thì độ lớn của lực đàn hổi bằng bao nhiêu? Đáp số: F = 7,5 N và F = 1,5 N. BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG THỜI GIAN LÒ XO DÃN, NÉN A 3 2 l0 * Thời gian lò xo nén trong một chu kỳ là ℓ0 = A 2 3 A 2 * Thời gian lò xo nén trong một chu kỳ là ℓ0 = A 2 l 2 0 A * Thời gian lò xo nén trong một chu kỳ là ℓ0 = A 2 l 2 0 Ví dụ 1. CLLX dao động ngang với phương trình x = 4cos(5πt + π/3) cm; m = 200 g. a) Tính độ lớn lực hồi phục, lực đàn hồi tại t = 1/3 s. b) Tính khoảng thời gian ngắn nhất từ khi vật dao động đến khi Fđh = 1,5 N. F Ví dụ 2. CLLX dao động thẳng đứng với phương trình x = Acos(2πt + π/3)cm, biết đh max 3 ; g = π2 = 10. Gốc Fdh min tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng lên. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất từ khi vật dao động đến khi a) vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 2. b) vật qua vị trí thấp nhất lần 2. c) Vật qua vị trí cân bằng lần 3.
4. Ví dụ 3. Một con lắc lò xo ở phương thẳng đứng dao động điều hoà theo phương trình x = 6cos(ωt - 2π/3) cm . Gốc toạ độ là vị trí cân bằng của vật, trong quá trình dao động tỷ số giữa giá trị cực đại và cực tiểu của lực đàn hồi xuất hiện ở lò xo là 5/2. Lấy g = π2 = 10. Biết khối lượng của vật nặng là m = 280 g, tại thời điểm t = 0, lực đàn hồi của lò xo có giá trị nào bằng bao nhiêu? BÀI TOÁN VỀ LỰC TRONG DAO ĐỘNG CỦA CLLX Ví dụ 1: Cho con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với phương trình dao động là x = 2cos(10πt) cm . Biết vật nặng có khối lượng m = 100 g, lấy g = π 2 = 10 m/s2. Lực đẩy đàn hồi lớn nhất của lò xo bằng A. 2 N. B. 3 N. C. 0,5N. D. 1N. Ví dụ 2: Con lắc lò treo thẳng đứng, lò xo có khối lượng không đáng kể. Hòn bi đang ở vị trí cân bằng thì được kéo xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 2 cm rồi thả cho dao động. Hòn bi thực hiện 50 dao động mất 20 s. Lấy g = π2 =10 m/s2. Tỉ số độ lớn lực đàn hồi cực đại và lực đàn hồi cực tiểu của lò xo khi dao động là A. 7. B. 5. C. 4. D. 3. Ví dụ3: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, lò xo có khối lượng không đáng kể. Hòn bi đang ở vị trí cân bằng thì được kéo xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 3 cm rồi thả ra cho nó dao động. Hòn bi thực hiện 50 dao động mất 20 s. Cho g = π2 = 10 m/s2. Tỉ số độ lớn lực đàn hồi cực đại và lực đàn hồi cực tiểu của lò xo khi dao động là A. 5. B. 4. C. 7. D. 3. Ví dụ 4: Con lắc lò xo khối lượng m = 2 kg dao động điều hoà theo phương nằm ngang. Vận tốc của vật có độ lớn cực đại bằng 0,6 m/s. Chọn thời điểm t = 0 lúc vật qua vị trí x 0 = 3 2 cm theo chiều dương và tại đó thế năng bằng động năng. Tính chu kỳ dao động của con lắc và độ lớn của lực đàn hồi tại thời điểm t = s A. T = 0,314 s; F = 3 N. B. T = 0,628 s; F = 6 N. C. T = 0,628 s; F = 3 N. D. T = 0,314 s; F = 6 N. Ví dụ 5: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng tại một nơi có gia tốc rơi tự do g = π 2 = 10 m/s2, có độ cứng của lò xo k = 50 N/m. Khi vật dao động thì lực kéo cực đại và lực nén cực đại của lò xo lên giá treo lần lượt là 4 N và 2 N. Vận tốc cực đại của vật là A. 60 5 cm/s. B. 30 5 cm/s. C. 40 5 cm/s. D. 50 5 cm/s.