Đề thi thử tốt nghiệp lần 1 môn Toán 12 - Năm học 2020-2021

Nội dung text: Đề thi thử tốt nghiệp lần 1 môn Toán 12 - Năm học 2020-2021

1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI ĐỀ THI THỬ TN MÔN TOÁN – LẦN 1 TỔ: TOÁN - TIN NĂM HỌC 2020 – 2021 LỚP: 12 Thời gian: 90 phút Mã đề 104 MỤC TIÊU - Đề thi gồm 19 câu hỏi NB, 11 câu hỏi TH, 15 câu hỏi VD và 5 câu hỏi VDC, học sinh có thể đạt 9+ nếu học tốt đối với đề thi này. - Độ phủ câu hỏi ở các chương bám sát đề chính thức, giúp học sinh ôn tập đúng trọng tâm. - Để xử lý tốt đề thi này, học sinh cần học tốt phần phương trình mũ và logarit, đây là phần tập trung các câu hỏi VDC. - Đề thi tạo cho học sinh cảm giác phòng thi, tự tin khi bước vào kì thi chính thức và là tài liệu bổ ích phục vụ cho giai đoạn ôn thi. Câu 1: Cho a,b,c 0;a 1,b 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. log b c log b B. log b.log c log c. ac a a b a 1 C. loga bc loga b loga c D. loga b logb a Câu 2: Cho hàm số y x4 2x2 3. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số chỉ có đúng hai điểm cực trị. B. Hàm số không có cực trị. C. Hàm số có ba điểm cực trịD. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị. 1 1 1 Câu 3: Cho f x dx 2 và g x dx 5. Khi đó f x 2g x dx bằng 0 0 0 A. 12 B. 3 C. 1 D. 8 Câu 4: Tập hợp T gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập con có 3 phần tử của tập hợp T là 7! A. B. A3 C. 21 D. C3 3! 7 7 Câu 5: Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 3;u2 12. Công bội của cấp số nhân đó là 1 A. 9 B. 4 C. 36 D. 4 1
2. Câu 6: Hàm số y f x liên tục trên 2;9. F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên 2;9 và F 2 5, F 9 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? 9 9 9 9 A. f x dx 1 B. f x dx 20 C. f x dx 9 D. f x dx 1 2 2 2 2 Câu 7: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức: A. z 1 2i B. z 2 i C. z 1 2i D. z 2 i x 1 Câu 8: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y có phương trình là 2x 4 1 1 A. y B. x 1 C. y D. x 2 4 2 Câu 9: Cho khối nón có đường cao h và bán kính đáy r. Thể tích của khối nón. 1 A. 2 r h2 r 2 B. r 2h C. r 2h D. r h2 r 2 3 x 1 Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : y 2 3t ; t ¡ . Vectơ nào sau đây là z 5 t một vectơ chỉ phương của d ?     A. u1 0;3; 1 B. u4 1;2;5 C. u2 1;3; 1 D. u3 1; 3; 1 Câu 11: Trong một hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng : 2x y 3z 1 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . A. n 2;1;3 B. n 2; 1;3 C. n 2;1; 3 D. n 2;1;3 Câu 12: Số phức liên hợp của số phức z 3 4i là A. z 7 4i B. z 3 4i C. z 3 4i D. z 3 4i Câu 13: Cho số phức z 2 i. Tính z . A. z 5 B. z 3 C. z 2 D. z 5 Câu 14: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: x A. Đồ thị hàm số y a và đồ thị hàm số y loga x đối xứng nhau qua đường thẳng y x. 2
3. B. Hàm số y a x với 0 a 1 đồng biến trên khoảng ; . C. Đồ thị hàm số y a x với a 0;a 1 luôn đi qua điểm M a;1 . D. Hàm số y a x với a 1 nghịch biến trên khoảng ; . Câu 15: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm của phương trình f x 3 0 là: A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Câu 16: Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng l và bán kính đáy bằng R có diện tích xung quanh Sxq cho bởi công thức 4 A. S 2 R2 B. S 2 Rl C. S Rl D. S R3 xq xq xq xq 3 2x 3 Câu 17: Giá trị lớn nhất của hàm số y trên đoạn  1;1 bằng: x 2 5 1 A. B. 1 C. D. 1 3 3 2x 1 Câu 18: Cho hàm số y . Khẳng định nào dưới đây đúng? x 2 A. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 2; . B. Hàm số nghịch biến trên ¡ C. Hàm số đồng biến trên ¡ D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 2; Câu 19: Tập giá trị của hàm số y a x a 0;a 1 là: A. 0; B. ¡ \ 0 C. ¡ D. 0; 3
4. 2x 3 Câu 20: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ x 1 có hệ số góc bằng bao nhiêu? 2 x 7 1 A. 1 B. 7 C. D. 9 9 Câu 21: Cho hình trụ bán kính đáy bằng a . Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Tính thể tích khối trụ đã cho. A. 16 a3 B. 18 a3 C. 8 a3 D. 4 a3 Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2; 1;3 . Mặt phẳng P đi qua điểm A và song song với mặt phẳng Q : x 2y 3z 2 0 có phương trình là A. x 2y 3z 9 0 B. x 2y 3z 9 0 C. x 2y 3z 7 0 D. x 2y 3z 7 0 Câu 23: Diện tích phần hình gạch chéo tronng hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 2 2 A. 2x 2 dx B. 2x 2 dx C. 2x2 2x 4 dx D. 2x2 2x 4 dx 1 1 1 1 Câu 24: Hàm số y x2 x 1 ex có đạo hàm là A. y ' x2 1 ex B. y ' 2x 1 ex C. y ' x2 x ex D. y ' x2 x ex x3 Câu 25: Nếu f x dx ex C thì f x bằng 3 x4 x2 A. f x 3x2 ex B. f x ex C. f x x2 ex D. f x ex 12 3 2 Câu 26: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x2 1 x 3 x 2 ,x ¡ . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 Câu 27: Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại C, AB vuông góc với mặt phẳng BCD ; AB 5a; BC 3a;CD 4a. Tính bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện ABCD . 4
5. 5a 2 5a 2 5a 3 5a 3 A. R B. R C. R D. R 3 2 2 3 2x2 3x m Câu 28: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y không có x m tiệm cận đứng. Số phần tử của S là: A. vô số B. 1 C. 2 D. 0 Câu 29: Cho hình hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có AB a 3 và AD a. Góc giữa hai đường thẳng B ' D ' và AC bằng A. 450 B. 600 C. 300 D. 900 Câu 30: Cho số phức z thỏa mãn z 2z 6 2i. Điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là: A. 2;2 B. 2; 2 C. 2; 2 D. 2;2 Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;2;1 , B 2; 1;3 . Tìm điểm M trên mặt phẳng Oxy sao cho MA2 2MB2 lớn nhất. 1 3 3 1 A. M ; ;0 B. M 3; 4;0 C. M 0;0;5 D. M ; ;0 2 2 2 2 1 2 Câu 32: Cho f x liên tục trên ¡ và f 2 1, f 2x dx 2. Tích phân xf ' x dx bằng 0 0 A. 2 B. 28 C. 6 D. 2 Câu 33: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB 6, AC 7, AD 4. Gọi M , N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC,CD, BD . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP. 7 28 A. V B. V 7 C. V D. V 14 2 3 e 2x m Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y đồng biến trên khoảng ln 2; . me 2x 1 m 1 A. B. m 1 C. 4 m 1 D. 4 m 1 4 m 1 Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c với 1 2 3 a,b,c 0. Biết mặt phẳng ABC đi qua M ; ; và tiếp xúc với mặt cầu 7 7 7 2 2 2 72 1 1 1 S : x 1 y 2 z 3 . Tính 7 a2 b2 c2 1 7 A. 14 B. 7 C. D. 7 2 5
6. Câu 36: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác vuông ABC vuông tại A, AC a,ACB 600. Đường thẳng BC ' tạo với mặt phẳng ACC ' góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. a3 3 a3 3 A. B. a3 6 C. 2 3a3 D. 2 3 2 Câu 37: Cho phương trình log3 x 4log3 x m 3 0. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn x2 81x1 0. A. 4B. 5 C. 6D. 3 Câu 38: Cho khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. Gọi E là trọng tâm tam giác A' B 'C ' và F là trung điểm BC. Gọi V1 V1 là thể tích khối chóp B '.EAF và V2 là thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. Khi đó có giá trị bằng V2 1 1 1 1 A. B. C. D. 5 4 6 8 3 x2 x 1 a b 2 Câu 39: Biết rằng dx với a,b là các số nguyên dương. Tính T a b. 2 x x 1 6 A. 33. B. 27. C. 31. D. 29. Câu 40: Trường trung học phổ thông A có 23 lớp, trong đó khối 10 có 8 lớp, khối 11 có 8 lớp và khối 12 có 7 lớp, mỗi lớp có một chi đoàn, mỗi chi đoàn có một em làm bí thư. Các em bí thư đều giỏi và rất năng động nên Ban chấp hành Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 9 em bí thư đi thi cán bộ đoàn giỏi cấp tỉnh. Tính xác suất để 9 em được chọn có đủ 3 khối. 7234 7012 7123 7345 A. B. C. D. 7429 7429 7429 7429 x 1 t x 2t ' Câu 41: Trong không gian Ozyz, cho hai đường thẳng d : y 2 t , d ': y 1 t ' . Đường thẳng cắt d,d ' z t z 2 t ' lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng là x y 3 z 1 x 1 y 2 z x 4 y z 2 x 2 y 1 z 1 A. B. C. D. 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 z 2 i Câu 42: Trong tập hợp các số phức z thỏa mãn 2. Tìm mô-đun lớn nhất của số phức z i. z 1 i A. 2 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 3 2 Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 450. Gọi M là trung điểm SD, hãy tính theo a khoảng cách d từ M đến mặt phẳng SAC . 6
7. a 1513 a 1315 2a 1513 2a 1315 A. d B. d C. d D. d 89 89 89 89 Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 5 15 5 5 15 4 3 A. V B. V C. V D. V 18 3 54 27 Câu 45: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 16 2 4 2 x 4 4 x 2 12 x m 0 có nghiệm thuộc 1;2? x x x A. 25 B. 26 C. 28 D. 24 Câu 46: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ , hàm số y f ' x liên tục trên ¡ , hàm số y f ' x 2021 cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ a,b,c là các số nguyên và có đồ thị như hình vẽ. 2 Gọi m1 là số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y g x f x 2x m nghịch biến trên khoảng 2 1;2 ; m2 là số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y h x f x 4x m đồng biến trên khoảng 1;2 . Khi đó m1 m2 bằng: A. 2b 2a 1 B. 2b 2a 2 C. 2b 2a 2 D. 2b 2a 3 3 2x y 7 x Câu 47: Cho các số dương x, y thỏa mãn 2x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . 2x3 4x 4 y 7 33 35 8 12 A. B. C. D. 7 14 7 7 Câu 48: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a 2 2 b 2 2 c 2 2 8 và 2a 7b 14 c. Tổng 2a b c bằng: 1 1 A. 4 B. C. D. 8 8 2 Câu 49: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị của hàm số f ' x như hình vẽ và f b 1. Số giá trị nguyên của m  5;5 để hàm số g x f 2 x 4 f x m có đúng 5 điểm cực trị là: 7
8. A. 10 B. 9 C. 7 D. 8 x Câu 50: Cho phương trình 11 m log11 x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 205;205 để phương trình đã cho có nghiệm? A. 205 B. 204 C. 203 D. 406 HẾT 8
9. BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7.D 8.C 9.B 10.A 11.B 12.C 13.D 14.A 15.A 16.B 17.C 18.A 19.C 20.D 21.A 22.D 23.D 24.C 25.C 26.C 27.B 28.C 29.B 30.C 31.B 32.A 33.B 34.A 35.D 36.B 37.D 38.C 39.B 40.A 41.D 42.A 43.A 44.C 45.C 46.D 47.D 48.A 49.A 50.B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (NB) Phương pháp: Sử dụng các công thức logarit. Cách giải: 1 Ta có log b log b nên đáp án A sai. ac c a Chọn A. Câu 2 (NB) Phương pháp: - Tìm đạo hàm của hàm số. - Tìm nghiệm phương trình y ' 0. Cách giải: x 0 4 2 3 Ta có y x 2x 3 y ' 4x 4x 0 x 1 . x 1 Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. Chọn C. Câu 3 (NB) Phương pháp: 9
10. b b b b b Sử dụng tính chất tích phân: f x g x dx f x dx g x dx, kf x dx k f x dx. a a a a a Cách giải: 1 1 1 Ta có T f x 2g x dx f x dx 2 g x dx 2 2.5 8. 0 0 0 Chọn D. Câu 4 (NB) Phương pháp: Áp dụng công thức tính tổ hợp. Cách giải: 3 Số tập con có 3 phần tử của tập hợp 7 phần tử là C7 . Chọn D. Câu 5 (NB) Phương pháp: n 1 Áp dụng công thức tính SHTQ của cấp số nhân: un u1.q với q là công bội. Cách giải: u1 3 u Ta có q 2 4. u2 u1.q 12 u1 Chọn B. Câu 6 (NB) Phương pháp: b Sử dụng công thức f x dx F b F a với F x là một nguyên hàm của hàm số f x . a Cách giải: 9 Vì F x là nguyên hàm của hàm số f x nên f x dx F 9 F 2 4 5 1. 2 Chọn A. Câu 7 (NB) Phương pháp: Điểm M a;b là điểm biểu diễn cho số phức z a bi. 10
11. Cách giải: Ta có M 2;1 là điểm biểu diễn số phức z 2 i. Chọn D. Câu 8 (NB) Phương pháp: ax b a Đồ thị hàm số y có TCN y . cx d c Cách giải: x 1 1 Đồ thị hàm số y có TCN y . 2x 4 2 Chọn C. Câu 9 (NB) Phương pháp: 1 Khối nón có đường cao h và bán kính r có thể tích V r 2h. 3 Cách giải: 1 Khối nón có đường cao h và bán kính r có thể tích V r 2h. 3 Chọn B. Câu 10 (NB) Phương pháp: x x0 at Đường thẳng d : y y0 bt t ¡ có 1 VTCP là u a;b;c . z z0 ct Cách giải: x 1 Đường thẳng d : y 2 3t có 1 VTCP là u 0;3; 1 . z 5 t Chọn A. Câu 11 (NB) Phương pháp: Mặt phẳng : Ax By Cz D 0 có 1 VTPT là n A; B;C 11
12. Cách giải: Mặt phẳng : 2x y 3z 1 0 có 1 VTPT là n 2; 1;3 . Chọn B. Câu 12 (NB) Phương pháp: Số phức liên hợp của z a bi là z a bi. Cách giải: Ta có z 3 4i z 3 4i. Chọn C. Câu 13 (NB) Phương pháp: Áp dụng công thức tính modun số phức: z a bi z a2 b2 . Cách giải: Ta có z 2 i z 22 1 5 . Chọn D. Câu 14 (NB) Phương pháp: Áp dụng các tính chất hàm số mũ và hàm logarit. Cách giải: Hàm số y a x đồng biến trên ¡ khi a 1 và nghịch biến trên ¡ khi 0 a 1 nên các đáp án B, D sai. Với a 0;a 1 thì đồ thị hàm số không luôn đi qua M a;1 nên đáp án C sai. Chọn A. Câu 15 (NB Phương pháp: Số nghiệm của phương trình f x m là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m. Cách giải: Số nghiệm của hàm số f x 3 0 f x 3 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 3. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt. 12
13. Chọn A. Câu 16 (NB) Phương pháp: Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng l và bán kính đáy bằng R có diện tích xung quanh Sxq cho bởi công thức Sxq 2 Rl. Cách giải: Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng l và bán kính đáy bằng R có diện tích xung quanh Sxq cho bởi công thức Sxq 2 Rl. Chọn B. Câu 17 (TH) Phương pháp: - Tính y '. Tìm các nghiệm xi  1;1 của phương trình y ' 0. - Tính y 1 ; y 1 ; y xi - KL: max max y 1 ; y 1 ; y xi   1;1 Cách giải: Hàm số xác định trên  1;1. 2x 3 7 Ta có y y ' 0x 2 nên hàm số là hàm nghịch biến trên  1;1. x 2 x 2 2 1 Ta có y 1 , y 1 5. 3 1 Vậy max y y 1 .  1;1 3 Chọn C. Câu 18 (NB) Phương pháp: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên các khoảng xác định của nó. Cách giải: 2x 1 3 TXĐ: D ¡ \ 2. Ta có y y ' 0x D . x 2 x 2 2 Vậy hàm số đồng biến trên ; 2 ; 2; . 13
14. Chọn A. Câu 19 (NB) Phương pháp: Hàm số y a x 0 a 1 xác định với mọi x ¡ . Cách giải: Hàm số y a x 0 a 1 xác định với mọi x ¡ nên có tập giá trị là ¡ . Chọn C. Câu 20 (NB) Phương pháp: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M x0 ; y0 là k y ' x0 . Cách giải: TXĐ D ¡ \ 2 2x 3 2x 3 1 Ta có y y ' . 2 x x 2 2 x 2 1 Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 1 là k y ' 1 . 9 Chọn D. Câu 21 (TH) Phương pháp: - Mặt phẳng đi qua trục cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông h 2r. - Thể tích khối trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là V r 2h. Cách giải: Mặt phẳng đi qua trục của hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh nên h 2r 2.2a 4a. Khi đó thể tích khối trụ là V r 2h . 2a 2 .4a 16 a3. Chọn A. Câu 22 (TH) Phương pháp: - Mặt phẳng Q song song với P : ax by cz d 0 có dạng Q : ax by cx d ' 0 d ' d . - Thay tọa độ điểm A vào phương trình Q tìm hệ số d '. 14
15. Cách giải: Mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q : x 2y 3z 2 0 nên phương trình mặt phẳng P có dạng x 2y 3z a 0 a 2 . Vì A 2; 1;3 P 2 2. 1 3.3 a 0 a 9. Vậy phương trình mặt phẳng P cần tìm là: x 2y 3z 9 0. Chọn B. Câu 23 (TH) Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , y g x , đường thẳng x a, x b là b S f x g x dx. a Cách giải: 2 2 x 1 Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: x 2x 1 x 3 . x 2 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo là: 2 2 2 2 2 S x 3 x 2x 1 dx 2x 2x 4 dx 1 1 Chọn D. Câu 24 (TH) Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của hàm số và quy tắc tính đạo hàm của tích: uv ' u 'v uv '. Cách giải: y x2 x 1 ex y ' 2x 1 ex x2 x 1 ex x2 x ex Chọn C. Câu 25 (TH) Phương pháp: 15
16. Sử dụng: f x dx F x C f x F ' x . Cách giải: 3 3 x x x x 2 x f x dx e C f x e C ' x e . 3 3 Chọn C. Câu 26 (TH) Phương pháp: - Tìm nghiệm bội lẻ của phương trình f ' x 0. - Lập BXD f ' x . Cách giải: x 1 nghiem kep x 1 nghiem don 2 2 Ta có f ' x 0 x 1 x 3 x 2 0 x 3 nghiem boi hai x 2 nghiem don Bảng xét dấu f ' x : Dựa vào BXD f ' x ta thấy hàm số có 2 điểm cực tiểu x 2, x 1. Chọn C. Câu 27 (TH) Phương pháp: Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có cạnh bên vuông góc với đáy là h2 R R2 trong đó h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy 4 day day hình chóp. Cách giải: Tam giác BCD vuông tại C có BD BC 2 CD2 3a 2 4a 2 5a. 1 5a Vì BCD vuông tại C nên bán kính đường tròn ngoại tiếp BCD là R BD . day 2 2 16
17. 2 2 2 AB 2 5a 5a 5a 2 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là R Rday . 4 4 2 2 Chọn B Câu 28 (TH) Phương pháp: Hàm phân thức không có tiệm cận đứng khi mẫu vô nghiệm hoặc bị rút gọn hết mẫu. Cách giải: 2x2 3x m Đồ thị hàm số y không có tiệm cận đứng khi phương trình 2x2 3x m 0 có nghiệm là x m x m. 2 2 m 0 Khi đó 2m 3m m 0 2m 2m 0 . m 1 S 0;1. Vậy tập hợp S có 2 phần tử. Chọn C. Câu 29 (TH) Phương pháp: Sử dụng: a / /a '  a;b  a ';b' . Cách giải: Ta có B ' D '/ /BD nên  B ' D '; AC  BD; AC . Gọi O AC  BD. Ta có AC BD AB2 AD2 2a OA OB OC OD a. OA OD AD a OAD đều AOD 600. Vậy  B ' D '; AC  BD; AC 600 . Chọn B. Câu 30 (TH) 17
18. Phương pháp: - Đặt z a bi z a bi. Giải phương trình tìm a,b. - Điểm biểu diễn số phức z a bi là M a;b . Cách giải: Đặt z a bi z a bi Khi đó ta có: z 2z 6 2i a bi 2 a bi 6 2i 3a bi 6 2i 3a 6 a 2 b 2 b 2 z 2 2i Vậy điểm biểu diễn số phức z 2 2i là 2; 2 . Chọn C. Câu 31 (VD) Phương pháp: - Gọi M a;b;0 Oxy . 2 2 2 2 2 - Tính MA 2MB , sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng AB xB xA yB yA zB zA . - Đưa ra tổng các hằng đẳng thức và đánh giá. Cách giải: Gọi M a;b;0 Oxy . Khi đó ta có: MA2 2MB2 a 1 2 b 2 2 1 2 a 2 2 2 b 1 2 18 a2 6a b2 8b 22 a 3 2 b 4 2 3 3 2 2 a 3 0 a 3 Vậy MA 2MB 3 . max b 4 0 b 4 18
19. Vậy M 3; 4;0 . Chọn B. Câu 32 (VD) Phương pháp: Sử dụng tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số. Cách giải: 2 Ta có A xf ' x dx 0 x u dx du Đặt . dv f ' x dx v f x 2 2 2 Khi đó A x. f x f x dx 2 f 2 f x dx. 0 0 0 2 x 0 t 0 Xét B f 2x dx. Đặt t 2x dt 2dx. Đổi cận . 0 x 1 t 2 1 2 1 2 2 Khi đó ta có B f t dt f x dx 2 f x dx 4. 2 0 2 0 0 Vậy A 2.1 4 2. Chọn A. Câu 33 (VD) Phương pháp: - Hai khối chóp có cùng chiều cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích đáy. - Sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số diện tích đáy. Cách giải: 19
20. V S Hai khối chóp A.BCD và A.MNP có cùng chiều cao là khoảng cách từ A đến BCD nên AMNP MNP . VABCD S BCD 2 1 VAMNP S MNP 1 1 Dễ thấy tam giác MNP đồng dạng tam giác DBC theo tỉ số k nên . 2 VABCD S BCD 2 4 1 1 Mà V AB.AC.AD .6.7.4 28. ABCD 6 6 1 1 Vậy V V .28 7. AMNP 4 ABCD 4 Chọn B. Câu 34 (VD) Phương pháp: 2x 1 - Đặt t e t 0; , đưa hàm số về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất ẩn t. 4 y ' 0 y ' 0 ax b - Hàm số y đồng (nghịch) biến trên a;b khi d cx d a;b c Cách giải: 2x 1 Đặt t e . Với x ln 2; t 0; , đồng thời x,t trái nhau về tính đơn điệu. 4 e 2x m t m 1 Do đó để hàm số y 2x đồng biến trên ln 2; thì hàm số y nghịch biến trên 0; . me 1 mt 1 4 1 m2 1 Ta có y ' t . mt 1 2 m 20
21. 2 1 m 0 m 1 1 0 m 1 m 1 m . m 0 4 m 1 1 1 4 m 0 m 4 Chọn A. Câu 35 (VD) Phương pháp: - Viết phương trình mặt phẳng ABC dạng mặt chắn. - Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ABC . - Mặt phẳng P tiếp xúc với S I; R khi và chỉ khi d I; P R. - Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 là: Ax By Cz D d M ; P 0 0 0 . A2 B2 C 2 Cách giải: x y z Phương trình mặt phẳng ABC có dạng 1. a b c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Vì M ; ; ABC nên ta có 1 7. 7 7 7 7a 7b 7c a b c 2 2 2 72 72 Mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 có tâm I 1;2;3 , bán kính R . 7 7 Vì P tiếp xúc với mặt cầu S nên d I; ABC R. 1 2 3 1 a b c 72 6 72 1 1 1 7 . 1 1 1 7 1 1 1 7 a2 b2 c2 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Chọn D. Câu 36 (VD) Phương pháp: Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ. Cách giải: 21
22. 1 1 3a2 Xét tam giác vuông ABC ta có: AB AC.tan 600 a 3 S AB.AC .a 3.a . ABC 2 2 2 AB  AC Ta có: AB  ACC ' AC ' là hình chiếu vuông góc của BC ' lên ACC ' . AB  AA'  BC '; ACC '  BC '; AC ' AC ' B 300. Vì AB  ACC ' AB  AC ' ABC ' vuông tại A. AC ' AB.cot 300 a 3. 3 3a CC ' AC '2 AC 2 9a2 a2 2a 2 3a2 Vậy V CC '.S 2a 2. a3 6 . ABC.A'B'C ' ABC 2 Chọn B. Câu 37 (VD) Phương pháp: - Tìm điều kiện xác định của phương trình. - Đặt ẩn phụ log3 x t để phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn t. - Từ điều kiện x1 x2 thỏa mãn x2 81x1 0 suy ra điều kiện của t. - Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai. Cách giải: ĐKXĐ: x 0 2 Đặt log3 x t, phương trình đã cho trở thành: t 4t m 3 0 * Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 thì phương trình * có 2 nghiệm phân biệt t1 t2 . Suy ra ' 4 m 3 7 m 0 m 7 . 22
23. t1 t2 4 Khi đó áp dụng Vi-et ta có t1.t2 m 3 t1 log3 x1 t1 x1 3 Vì . log x t t2 3 2 2 x2 3 Theo bài ra ta có: t2 t1 x2 81x1 0 3 81.3 0 t2 t1 4 3 3 t2 t1 4 t2 t1 4 2 t2 t1 16 (do t2 t1 0) 2 t2 t1 4t1t2 16 16 4 m 3 16 16 4m 12 0 m 3 3 m 7 Kết hợp điều kiện và điều kiện đề bài ta có m 4;5;6. m ¢ Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 38 (VD Phương pháp: - So sánh VB'.AEF ,VB'.AA'MF . - So sánh VB'.AA'MF ,VABF.A'B'M , từ đó so sánh VB'.AA'MF ,V. Cách giải: 23
24. 1 1 Gọi M là trung điểm của B 'C ' ta có: S S V V . AEF 2 AA'MF B'.AEF 2 B'.AA'MF 2 2 1 1 Mà V V . V V. B'.AA'MF 3 ABF.A'B'M 3 2 3 1 1 1 1 V V . V V. B'.AEF 2 B'.AA'MF 2 3 6 V 1 Vậy 1 . V 6 Chọn C. Câu 39 (VD) Phương pháp: - Nhân liên hợp. - Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản. Cách giải: Ta có 2 3 x2 x 1 3 x x 1 x x 1 dx dx 2 2 x x 1 2 x x 1 3 x2 2 3 x x 1 dx x 1 x 1 2 2 3 2 5 2 19 8 2 2 2 1 2 3 6 Nên a 19,b 8,c 6. Vậy T a b 19 8 27. Chọn B. Câu 40 (VD) Phương pháp: Sử dụng biến cố đối. Cách giải: Khối 10 có 8 em bí thư; khối 11 có 8 em bí thư; khối 12 có 7 em bí thư Cả trường có 23 em bí thư. 9 9 Số cách chọn 9 em bí thư trong cả trường là C23 n  C23. Gọi A là biến cố: “9 em bí thư được chọn có đủ 3 khối” A: “9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối”. 24
25. Vì mỗi khối có ít hơn 9 em bí thư, nên để 9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối thì 9 em bí thư được chọn từ 2 khối. 9 Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 11 là C16 cách. 9 Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 11 và 12 là C15 cách. 9 Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 12 là C15 cách. 9 9 9 n A C16 C15 C15. n A 9 9 9 C16 C15 C15 7234 Vậy xác suất cần tính là P A 1 1 9 . n  C23 7429 Chọn A. Câu 41 (VD) Phương pháp: - Tham số hóa tọa độ các điểm A, B. - AB ngắn nhất khi AB là đoạn vuông góc chung của d,d '.  AB.u 0  - Giải hệ   tìm tọa độ các điểm A, B, với u,u ' lần lượt là VTCP của d,d '. AB.u ' 0  x x y y z z - Phương trình đường thẳng đi qua A x ; y ; z nhận AB a;b;c là 1 VTCP: A A A . A A A a b c Cách giải: Gọi  d A t 1;2 t;t ;  d ' 2t ';1 t ';2 t ' . AB ngắn nhất khi AB là đoạn vuông góc chung của d,d '.  Gọi u 1; 1;1 và u ' 2;1;1 lần lượt là VTCP của d,d '.  AB.u 0 Vì AB là đoạn vuông góc chung của d,d ' nên   AB.u ' 0  Ta có AB 2t ' t 1;t ' t 1;t ' t 2 . 2t ' t 1 t ' t 1 t ' t 2 0 4t ' 2t 2 t ' t 1 t ' t 2 0 1 A 2;1;1 2t ' 3t 2 t ' 2 3 5 6t ' 2t 1 B 1; ; t 1 2 2 25
26.  1 3 AB 1; ; 2 2  x 2 y 1 z 1 Khi đó phương trình đường thẳng đi qua A 2;1;1 và có 1 VTCP u 2;1;3 là . 2 1 3 Chọn D. Câu 42 (VD) Phương pháp: Đặt dạng tổng quát của số phức z. Áp dụng công thức tính modun số phức. Cách giải: Đặt z a bi, theo bài ra ta có: z 2 i 2 x 2 y 1 i 2 x 1 y 1 i z 1 i x 2 2 y 1 2 2 x 1 2 2 y 1 2 x2 y 1 2 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 2. Gọi A 0; 1 là điểm biểu diễn số phức i, M a;b là điểm biểu diễn số phức z, khi đó ta có z i MA. Do đó z i MA IA R 2 2. max max Chọn A. Câu 43 (VD) 26
27. Phương pháp: - Đổi d M ; SAC sang d H; SAC - Trong ABCD kẻ HE  AC E AC , trong SHE kẻ HN  SE N SE , chứng minh HN  SAC - Xác định góc giữa SC và ABCD , từ đó tính SH. 1 1 - Sử dụng S HE.AC S , từ đó tính HE . HAC 2 2 ABC - Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính HN. Cách giải: Gọi H là trung điểm AB. Vì SAB cân tại S nên SH  AB SAB  ABCD AB Ta có: SH  ABCD . SH  ABCD , SH  AB DK DC Gọi K HD  AC. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: 2 DK 2HK. HK AH d M ; SAC SM 1 Ta có MD  SAC S d D; SAC SD 2 1 d M ; SAC d D; SAC . 2 d D; SAC DK Lại có DH  SAC K nên 2 d D; SAC 2d H; SAC . d H; SAC HK Do đó d M ; SAC d H; SAC . Trong ABCD kẻ HE  AC E AC , trong SHE kẻ HN  SE N SE ta có: 27
28. AC  HE AC  SHE AC  HN AC  SH HN  SE HN  SAC d H; SAC HN HN  AC Vì SH  ABCD nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên ABCD .  SC; ABCD  SC; HC SCH 450 . 2 2 2 2 a a 17 SHC vuông tại H SH HC BC BH 2a 2 2 1 1 Ta có: S HE.AC S HAC 2 2 ABC 1 HE.AC .AB.BC 2 1 1 .AB.BC .a.2a a HE 2 2 AC a2 2a 2 5 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHE ta có: a 17 a . SH.HE 2 a 1513 Nên HN 5 . SH 2 HE 2 17a2 a2 89 4 5 a 1513 Vậy d M ; SAC . 89 Chọn A. Câu 44 (VD) Phương pháp: Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có mặt bên vuông góc với đáy gt 2 R R2 R2 với R , R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy và b d 4 b d bán kính mặt cầu ngoại tiếp đáy, gt là giao tuyến của mặt bên vuông góc đáy và mặt đáy. Cách giải: 3 3 Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh 1 nên R , đáy là tam giác đều cạnh 1 nên R . b 3 d 3 28
29. Ta có SAB  ABC AB và AB 1. gt 2 1 1 1 15 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là: R R2 R2 . b d 4 3 3 4 6 2 4 3 4 15 5 15 Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là V R . . 3 3 6 54 Chọn C. Câu 45 (VDC) Phương pháp: 2 - Đặt ẩn phụ x t, đưa phương trình về dạng m f t , với t a;b. x - Tìm đạo hàm và lập bảng biến thiên hàm số f t trên a;b và tìm các giá trị m thỏa mãn. Cách giải: 2 2 2 Đặt x t ta có: t ' x ' 1 2 0 Hàm số t x đồng biến trên 1;2. x x x Do đó x 1;2 t  1;1. 4 4 t 2 x2 4 x2 t 2 4 2 2 x x Ta có 2 4 16 2 4 2 2 x 4 x 2 8 t 4 8 x x Khi đó phương trình đã cho có dạng 2 t 2 4 8 4 t 2 4 12t m có nghiệm t  1;1 t 4 8t 2 16 8 4t 2 16 12t m có nghiệm t  1;1. t 4 12t 2 12t 24 m có nghiệm t  1;1 * . Xét f t t 4 12t 2 12t 24 f ' t 4t3 24t 12 0 t 0,48 Bảng biến thiên: 29
30. Từ bảng biến thiên ta suy ra * 21,06 m 49,m ¢ . Vậy có 28 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Câu 46 (VDC) Phương pháp: - Xác định khoảng của x ứng với f ' x 2021 0. - Hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 1;2 nên g ' x 0 x 1;2 . - Đưa về bài toán giải các bất phương trình nghiệm đúng. Từ đó tìm m1. - Tương tự với hàm số h x , tìm m2. Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ' x 2021 0 a x 2021 b a 2021 x b 2021 Xét hàm số y g x f x2 2x m có g ' x 2 x 1 . f ' x2 2x m Vì y g x nghịch biến trên khoảng 1;2 nên 2 x 1 . f ' x2 2x m 0 x 1;2 f ' x2 2x m 0 x 1;2 a 2021 x2 2x m b 2021 x 1;2 Xét a 2021 x2 2x m x 1;2 x2 2x 2021 a m min x2 2x 2021 a m 1;2 Hàm số y x2 2x 2021 đồng biến trên 1;2, do đó min x2 2x 2021 12 2.1 2021 2020 1;2 30
31. 2020 a m m a 2020 1 . Tương tự x2 2x m b 2021 x 1;2 ta có m b 2021 2 Từ 1 và 2 ta có a 2020 m b 2021 m1 b a. Chứng minh tương tự với hàm h x ta có m2 b a. Vậy m1 m2 2b 2a. Chọn D. Câu 47 (VDC) Phương pháp: - Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn x3 theo y. - Thế vào biểu thức P, sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức P. Cách giải: 3 2x y Ta có 2x y 1 2x3 4x 4 3 2x y 2x 2x 2 2x y 1 2x3 4x 4 3 2x 2x 2 2x y 22x y.2 2 x3 2x 2 3 2x 2x 2 x3 2x 2 22x y. 2x y * Xét f t 2t.t,t 0 ta có f ' t 2t t.2t.ln 2 0;t 0. Do đó hàm số f t đồng biến trên 0; Do đó * x3 2x 2 2x y x3 y 2. 7 x3 7 y 2 7 y 2 7 y 2 12 Khi đó P 2 . . y 7 y 7 y 7 7 y 7 7 7 7 y Dấu “=” xảy ra y 7 (do y 0) y 7 12 Vậy P x 3 5, y 7. min 7 Chọn D. Câu 48 (VDC) Phương pháp: 31