Đề cương ôn thi môn Toán 12 - Chủ đề 3: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán 12 - Chủ đề 3: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

1. CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT 1. Định nghĩa Cho hàm số xác định trên D ▪ Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y f (x) trên D nếu f (x) M ;x D , ta kí hiệu M max f (x) x D xo D : f (xo ) M Chú ý: Nếu f (x) M ;x D thì ta chưa thể suy ra M max f (x) x D ▪ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y f (x) trên D nếu f (x) M ;x D , ta kí hiệu M min f (x) x D xo D : f (xo ) M Chú ý: Nếu f (x) M ;x D thì ta chưa thể suy ra M min f (x) x D 2. Các phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f (x) trên D, ta tính y’, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ta GTLN, GTNN của hàm số. ❖ Chú ý: ▪ Nếu hàm số y f (x) luôn tăng hoặc giảm trên [a;b]. Thì ta có max f (x) f (a); f (b) và min f (x) f (a); f (b) [a;b] [a;b] ▪ Nếu hàm số y f (x) liên tục trên [a;b] thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau: - Tính y’ và tìm các điểm x1, x2 , , xn mà tại đó y’ triệt tiêu hoặc không tồn tại. - Tính các giá trị f (x1), f (x2 ), f (x3 ), , f (xn ). Khi đó +) max f (x) f (x1); f (x2 ); f (xn ); f (a); f (b) [a;b] +) min f (x) f (x1); f (x2 ); f (xn ); f (a); f (b) [a;b] ▪ Nếu hàm số y f (x) tuần hoàn trên chu kỳ T để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn thuộc D có độ dài bằng T. ▪ Cho hàm số y f (x) xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ t u(x), ta tìm được t E với x D , ta có y g(t) thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàm g trên E. ▪ Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số. ▪ Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta có thể dùng phương pháp miền giá trị hoặc bất đẳng thức để tìm Max, Min
2. ❖ Ta cần phân biệt hai khái niệm cơ bản - Giá trị lớn nhất của hàm số y f (x) trên D với cực đại của hàm số. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (x) trên D với cực tiểu của hàm số. 3. Tìm tập giá trị của hàm số Phương pháp chung: Việc tìm tập giá trị của hàm số chính là việc đi tìm giá trị nhỏ nhất, kí hiệu là m và giá trị lớn nhất, kí hiệu là M. Khi đó, tập giá trị của hàm số là T [m;M ]. 4. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số hai biến (bài toán cực trị) Các bài toán hai biến (yêu cầu: tìm GTLN, GTNN hoặc tìm tập giá trị). ▪ Sử dụng phương pháp thế y h(x) từ giả thiết vào biểu thức P cần tìm cực trị, khi đó P f (x) với x [a;b] đưa về tìm GTLN, GTNN của bài toán một biến. ▪ Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản (có thể dùng để giải quyết các bài toán một biến) ▪ Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm a b 2 ab 4ab (a b)2 (a b)2 0 ▪ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các số thực a, b, c, d 2 a b ax by a2 b2 x2 y2 . Dấu “=” xảy ra khi x y Một số bổ đề cơ bản dùng trong các bài toán hai biến 2 2 2 x y x y 3 ▪ xy và x2 xy y2 (x y)2 4 2 4 2 2 x y x y (x y)3 ▪ x3 y3 xy(x y) 2 4 1 1 4 ▪ Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân số x y x y DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x 5 trên đoạn [0;2] là A. 0.B. 3.C. 5.D. 7. Lời giải Đáp án: Chọn B Xét hàm số f (x) x3 3x 5 trên [0;2], có f '(x) 3x2 3 0 x 2 Phương trình f '(x) 0 x 1 2 3x 3 0 Tính f (0) 5; f (1) 3; f (2) 7. Vậy min f (x) f (1) 3. [0;2] Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) x4 2x2 1 trên đoạn [0;2] là
3. A. 64.B. 1.C. 0.D. 9. Lời giải Đáp án: Chọn D Xét hàm số f (x) x4 2x2 1 trên [0;2], có f '(x) 4x3 4x 0 x 2 x 0 Phương trình f '(x) 0 3 4x 4x 0 x 1 Tính f (0) 1; f (1) 0; f (2) 9. Vậy max f (x) f (2) 9. [0;2] x2 3 Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên đoạn [2;4] là x 1 19 13 A. 7.B. 6.C. D. . 3 3 Lời giải Đáp án: Chọn B Cần nhớ công thức đạo hàm: ' u u 'v uv ' 2 v v x2 3 x2 2x 3 Cách 1: Xét hàm số f (x) trên [2;4], có f '(x) x 1 (x 1)2 2 x 4 Phương trình f '(x) 0 x 3 2 x 2x 3 0 19 Tính f (2) 7; f (3) 6; f (4) . Vậy min f (x) f (3) 6 . 3 [2;4] Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7) Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7 X 2 3 Bước 2: Nhập f (X ) X 1 Star 2 Sau đó ấn phím = (nếu có g(X ) thì ấn tiếp phím =) sau đó nhập End 4 Step 0.2 End Start (Chú ý: Thường ta chọn Step ) 10 Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTNN:
4. Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy min f (x) f (3) 6. [2;4] 3x 1 Ví dụ 4: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên đoạn [0;2]. x 3 Giá trị của 3M + m bằng A. 0.B. – 4.C. – 2. D. 1. Lời giải Đáp án: Chọn C 3x 1 8 Xét hàm số f (x) trên [0;2] có f '(x) 0 x 3 (x 3)2 min f (x) f (2) 5 [0;2] Suy ra f (x) là hàm số nghịch biến trên (0;2) 1 max f (x) f (0) [0;2] 3 1 Vậy M 3M 3;m 5 3M m 2 3 Ví dụ 5: Giá trị lớn nhất của hàm số y 3x 2x x2 là A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. Lời giải Đáp án: Chọn B Cần nhớ công thức đạo hàm: ' u ' u 2 u Điều kiện xác định: 3 2x x2 0 3 x 1 2 2x x 1 Xét hàm số f (x) 3 2x x2 trên [-3;1], có f '(x) ; 2 3 2x x2 3 2x x2 3 x 1 Phương trình f '(x) 0 x 1 x 1 0 Tính f ( 3) 0; f ( 1) 2; f (1) 0. Vậy max f (x) f ( 1) 2. [ 3;1] Ví dụ 6: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 1 x2 . Giá trị của M – 2m bằng
5. 1 3 A. 0.B. . C. 1.D. . 2 2 Lời giải Đáp án: Chọn D Điều kiện xác định: 1 x2 0 1 x 1 x2 1 2x2 Xét hàm số f (x) x 1 x2 trên [-1;1], có f '(x) 1 x2 1 x2 1 x2 1 x 1 2 2  Phương trình f '(x) 0 x ; 2  1 2x 0 2 2  2 1 2 1 Tính f ( 1) f (1) 0; f ; f 2 2 2 2 1 m min f (x) [ 1;1] 2 1 1 3 Vậy M 2m 2. 1 2 2 2 M max f (x) [ 1;1] 2 Ví dụ 7: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 x 1 x . Giá trị của M 2m2 bằng A. – 2.B. 2.C. 0.D. – 1. Lời giải Đáp án: Chọn A 1 x 0 Điều kiện xác định: 1 x 1 x 1 0 1 1 Xét hàm số f (x) 1 x 1 x trên [-1;1], có f '(x) ; 2 1 x 2 1 x 1 x 1 Phương trình f '(x) 0 x 0 . Tính f ( 1) f (1) 2; f (0) 2 1 x 1 x m min f (x) 2 [ 1;1] 2 Vậy M 2m 2 2.2 2 M max f (x) 2 [ 1;1] Ví dụ 8: Giá trị lớn nhất của hàm số y x 1 3 x 2 x2 4x 3 là 9 A. 0.B. 2. C. 2. D. . 4 Lời giải Đáp án: Chọn C x 1 0 Điều kiện xác định: 1 x 3 3 x 0
6. 1 1 Đặt t x 1 3 x, ta có t ' ;t ' 0 x 2 2 x 1 3 x Tính t(1) t(3) 2;t(2) 2  2 t 2 Khi đó t 2 2 2 (x 1)(3 x) 2 2 x2 4x 3 2 x2 4x 3 t 2 2 Do đó y f (t) t (t 2 2) t 2 t 2 Xét f (t) t 2 t 2 trên 2;2  max f (t) 2. Vậy max y 2 [ 2;2] [1;3] 9 1 Ví dụ 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2cos3 x cos2 x 3cos x là 2 2 3 1 A. – 9.B. 1.C. . D. . 2 2 Lời giải Đáp án: Chọn B 9 1 Đặt t cos x [ 1;1], khi đó y f (t) 2t3 t 2 3t 2 2 9 1 Xét hàm số f (t) 2t3 t 2 3t trên [-1;1], có f '(t) 8t 2 9t 3 0,t 2 2 Suy ra f (t) là hàm số đồng biến trên ( 1;1) min f (t) f ( 1) 1. [ 1;1] Ví dụ 10: Giá trị lớn nhất của hàm số y sin3 x cos 2x sin x 3 là 112 A. 0.B. 5.C. 4.D. . 27 Lời giải Đáp án: Chọn D Cần nhớ công thức lượng giác: cos 2x 1 2sin2 x Ta có y sin3 x 1 2sin2 x sin x 3 sin3 x 2sin2 x sin x 4 Đặt t sin x [ 1;1], khi đó y f (t) t3 2t 2 t 4 Xét hàm số f (t) t3 2t 2 t 4 trên [-1;1], có f '(t) 3t 2 4t 1; t 1 1 t 1 Phương trình f '(t) 0 2 1 3t 4t 1 0 t 3 1 112 112 Tính f ( 1) 0; f ; f (1) 4. Vậy ymax . 3 27 27 Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f (x) x2 4x 5 trên đoạn [-6;6] A. 110.B. 9.C. 55.D. 7.
7. Lời giải Đáp án: Chọn C Xét hàm số g(x) x2 4x 5 liên tục trên đoạn [-6;6] Đạo hàm g '(x) 2x 4 g '(x) 0 x 2 [ 6;6] 2 x 1 [ 6;6] Lại có g(x) 0 x 4x 5 0 x 5 [ 6;6] g( 6) 7 g( 2) 9 Tính max f (x) max g( 6) ; g( 2) ; g(6) ; g(1) ; g( 5)  55. g(6) 55 [ 6;6] [ 6;6] g(1) g( 5) 0 Nhận xét: bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm. Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f (x) x2 3x 2 x trên đoạn [-4;4] A. 2.B. 17.C. 34.D. 68. Lời giải Đáp án: Chọn C Hàm số f (x) xác định và liên tục trên đoạn [-4;4] ▪ Nếu x [1;2] thì x2 3x 2 0 nên suy ra f (x) x2 2x 2 f (1) 1 Đạo hàm f '(x) 2x 2 f '(x) 0 x 1 [1;2]. Ta có f (2) 2 ▪ Nếu x [ 4;1][2;4] thì x2 3x 2 0 nên suy ra f (x) x2 4x 2 f ( 4) 34 f (1) 1 Đạo hàm f '(x) 2x 4 f '(x) 0 x 2 [ 4;1][2;4]. Ta có f (2) 2 f (4) 2 So sánh hai trường hợp, ta được max f (x) f ( 4) 34. [ 4;4] Ví dụ 13: Cho hàm số y f (x) có đồ thị trên đoạn [-2;4] như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y f (x) trên đoạn [-2;4]?
8. A. 2.B. 3.C. 1.D. f (0) . Lời giải Đáp án: Chọn B Từ đồ thị hàm số y f (x) trên đoạn [-2;4] Ta suy ra đồ thị hàm số f (x) trên [-2;4] như hình vẽ. Do đó max f (x) 3 tại x 1 [ 2;4] 2 1 Ví dụ 14: Cho (P) : y x và A 2; . Gọi M là điểm bất kì thuộc (P). Khoảng cách MA bé nhất là 2 5 2 3 2 5 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 2 Lời giải Đáp án: Chọn D  2 2 1 Vì M thuộc parabol (P) M (m;m ) AM m 2;m 2 2 2 2 2 1 4 17 Suy ra MA AM (m 2) m m 4m 2 4 17 Xét hàm số f (m) m4 4m , có f '(m) 4m3 4; f '(m) 0 m 1 4 17 5 5 5 Do đó min f (m) f ( 1) 1 4 MA . 4 4 min 4 2 Ví dụ 15: Cho hai hàm số y f (x), y g(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [-1;1] thỏa mãn f (x) 0, g(x) 0,x [ 1;1] và f '(x) g '(x) 0,x [ 1;1]. Gọi m là giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] của hàm số h(x) 2 f (x).g(x) g 2 (x). Mệnh đề nào dưới đây đúng? h( 1) h(1) A. m h( 1). B. m h(0). C. m . D. m h(1). 2 Lời giải Đáp án: Chọn A Ta có h'(x) 2. f '(x).g(x) f (x).g '(x) 2g '(x).g(x); x [ 1;1] Suy ra h(x) 2.g(x). f '(x) g '(x) 2 f (x).g '(x) 0 vì f '(x) g '(x) 0 Do đó h(x) là hàm số đồng biến trên [-1;1] min h(x) h( 1). [ 1;1]
9. DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ Ví dụ 1: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) x2 4x m có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;3] bằng 10. A. m 3. B. m 6. C. m 7. D. m 8. Lời giải Đáp án: Chọn B Xét hàm số f (x) x2 4x m trên [-1;3], có f '(x) 2x 4 1 x 3 Phương trình f '(x) 0 x 2 2x 4 0 Tính f ( 1) 5 m; f (2) 4 m; f (3) 3 m Suy ra max f (x) f (2) 4 m 10 m 6 [ 1;3] Ví dụ 2: Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f (x) x3 3x2 a có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] bằng 0. A. a 2. B. a 6. C. a 0. D. a 4. Lời giải Đáp án: Chọn D Xét hàm số f (x) x3 3x2 a trên [-1;1], có f '(x) 3x2 6x 1 x 1 Phương trình f '(x) 0 x 0 2 3x 6x 0 Tính f ( 1) 2 a; f (0) a; f (1) 4 a Suy ra min f (x) f (1) 4 a 0 a 4. [ 1;1] Ví dụ 3: Cho hàm số y x3 mx2 (m2 m 1)x . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;1] bằng – 6. Tính tổng các phần tử của S. A. 0.B. 4.C. – 4.D. 2 2. Lời giải Đáp án: Chọn A Ta có f '(x) 3x2 2mx m2 m 1;x ¡ . Mà ' 2m2 3m 3 0;m ¡ Suy ra y ' 0;x [ 1;1]. Do đó hàm số f (x) nghịch biến trên ( 1;1) min y y(1) 6 [ 1;1] 2 2 2 m 2 Lại có y(1) 2 m 2 m 6 m 4 . Vậy  m 0. m 2 Ví dụ 4: Biết hàm số y x m 3 x n 3 x3 với m, n là tham số đồng biến trên khoảng ( ; ) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4(m2 n2 ) m n bằng
10. 1 1 A. 4.B. . C. – 16.D. . 4 16 Lời giải Đáp án: Chọn D 2 2 2 2 2 2 Ta có y ' 3(x m) 3(x n) 3x 3 x 2(m n)x m n Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ y ' 0; x ¡ ' (m n)2 m2 n2 0 mn 0 2 2 Lại có P 4 m2 n2 m n 4 m n 8mn m n 4 m n m n 2 2 1 1 1 1 1 1 1 4(m n) 2.2(m n). 2(m n) Pmin 4 16 16 4 16 16 16 x m2 Ví dụ 5: Cho hàm số f (x) với m là tham số thực. Tìm giá trị lớn nhất của m để hàm số có giá trị x 8 nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng – 2. A. m 4. B. m 5. C. m 4. D. m 1. Lời giải Đáp án: Chọn C x m2 8 m2 Xét hàm số f (x) trên [0;3], có f '(x) 0;x [0;3] x 8 (x 8)2 m2 Suy ra f (x) là hàm số đồng biến trên (0;3) min f (x) f (0) [0;3] 8 2 m 2 Theo bài ta, ta có min f (x) 2 2 m 16 mmax 4 [0;3] 8 x m 16 Ví dụ 6: Cho hàm số y (với m là tham số thực) thỏa mãn min y max y . Mệnh đề nào dưới x 1 [1;2] [1;2] 3 đây là đúng? A. 0 m 2. B. 2 m 4. C. m 0. D. m 4. Lời giải Đáp án: Chọn D x m 1 m Xét hàm số y trên [1;2], có f '(x) ;x [1;2] x 1 (x 1)2 1 m 2 m 16 Do đó min y max y f (1) f (2) m 5 [1;2] [1;2] 2 3 3 x m Ví dụ 7: Cho hàm số f (x) (với m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc đoạn x 2 [-10;10] thỏa mãn max y 2min y ? [0;1] [0;1] A. 5.B. 11.C. 16.D. 6.
11. Lời giải Đáp án: Chọn B x m m 2 Xét hàm số f (x) trên [0;1]. Có f '(x) ;x [0;1] x 2 (x 2)2 ▪ TH1. Với m 2 suy ra f '(x) 0 f (x) là hàm số đồng biến trên (0;1) 1 m m Do đó max f (x) f (1) ;min f (x) f (0) [0;1] 3 [0;1] 2 1 m m 1 Theo bài ra, ta có 2 1 m 3m m 3 2 2 Kết hợp với m [ 10;10] và m ¢ có 11 giá trị nguyên m ▪ TH2. Với m 2 suy ra f '(x) 0 f (x) là hàm số nghịch biến trên (0;1) m 1 m Do đó max f (x) f (0) ;min f (x) f (1) [0;1] 2 [0;1] 3 m 1 m Theo bài ra, ta có 2. 3m 4 4m m 4 (vô lý) 2 3 Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu. x2 m2 2 Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y trên đoạn [0;4] x m bằng – 1. A. 3.B. 2.C. 1.D. 0. Lời giải Đáp án: Chọn C 1.( m) 1.( m2 2) m2 m 2 Ta có f '(x) 0;x m (x m)2 (x m)2 m 4 Với x m [0;4] , ta được f (x) là hàm số đồng biến trên (0;4) m 0 2 m2 2 m2 m 2 Suy ra max f (x) f (4) . Theo bài ra, ta có 1 [0;4] 4 m 4 m m 3 m 4 Kết hợp điều kiện: m 3 là giá trị cần tìm. m 0 Ví dụ 9: Cho hàm số y ax3 cx d,a 0 có min f (x) f ( 2) . Giá trị lớn nhất của hàm số y f (x) ( ;0) trên đoạn [1;3] bằng A. 8a d. B. d 16a. C. d 11a. D. 2a d. Lời giải Đáp án: Chọn B
12. Ta có min f (x) f ( 2)  lim f (x) a 0 ( ;0) x Lại có f '(x) 3ax2 c mà min f (x) f ( 2) f '( 2) 0 12a c 0 ( ;0) Do đó f (x) ax3 cx d ax3 12ax d Xét hàm số f (x) ax3 12ax d trên [1;3], có f '(x) 3ax2 12a; 1 x 3 1 x 3 Phương trình f '(x) 0 x 2 2 2 3ax 12a 0 x 4 0 Tính f (1) d 11a; f (2) d 16a; f (3) d 9a. Vậy max f (x) d 16a. [1;3] Ví dụ 10: Cho hàm số f (x) ax4 bx2 c,a 0 có min f (x) f ( 1) . Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ;0) 1 y f (x) trên ;2 bằng 2 7a a A. 8a c. B. c . C. c . D. c a. 16 16 Lời giải Đáp án: Chọn D Ta có min f (x) f ( 1)  lim f (x) a 0 ( ;0) x Lại có f '(x) 4ax3 2bx mà min f (x) f ( 1) f '( 1) 0 b 2a ( ;0) Do đó f (x) ax4 bx2 c ax4 2ax2 c 1 Xét hàm số f (x) ax4 2ax2 c trên ;2 có f '(x) 4ax3 4ax 2 1 1 x 2 x 2 Phương trình f '(x) 0 2 2 x 1 3 2 4ax 4ax 0 x(x 1) 0 1 7a Tính f c ; f (1) c a; f (2) 8a 2. Vậy min f (x) f (1) c a. 1 2 16 ;2 2 Ví dụ 11: Hỏi tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y x4 2x2 m trên đoạn [0;2] bằng 5? A. ( ; 5)  (0; ). B. ( 5; 2). C. ( 4; 1)  (5; ). D. ( 4; 3). Lời giải Đáp án: Chọn B 4 2 3 x 0 Xét hàm số f (x) x 2x m trên [0;2], có f '(x) 4x 4x; f '(x) 0 x 1 Tính f (0) m ; f (1) m 1 ; f (2) m 8 suy ra max y m 1 ; m 8 [1;2] 
13. m 1 5 ▪ TH1. Nếu max y m 1  m 4 [1;2] m 1 m 8 m 8 5 ▪ TH2. Nếu max y m 8  m 3 [1;2] m 8 m 1 Vậy có 2 giá trị m cần tìm và thuộc khoảng ( 5; 2). Ví dụ 12: Cho hàm số f (x) 2x3 3x2 m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để min f (x) 3 ? [-1;3] A. 4.B. 8.C. 13.D. 39. Lời giải Đáp án: Chọn C 3 2 2 x 0 Xét hàm số g(x) 2x 3x m trên [-1;3], có g '(x) 6x 6x; g '(x) 0 x 1 f ( 1) m 5 ; f (0) m Tính . Khi đó min f (x) m 5 ; m 27  f (1) m 1 ; f (3) m 27 [ 1;3] ▪ TH1. Nếu min f (x) m 5 m 5 3 3 m 5 3 2 m 8 [ 1;3] Kết hợp m ¢  m 2;3;4; ;8 . Thử lại có 6 giá trị nguyên âm m cần tìm. m 27 m 5 ; m ; m 1 ▪ TH2. Nếu min f (x) m 27 30 m 24 [ 1;3] m 27 3 Kết hợp m ¢ suy ra có 7 giá trị nguyên m cần tìm. Vậy có tất cả 13 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 13: Cho hàm số y x3 3x2 m (với m là tham số thực). Hỏi max y có giá trị nhỏ nhất là? [1;2] A. 2.B. 4.C. 1.D. 3. Lời giải Đáp án: Chọn A 3 2 2 x 0 Xét hàm số f (x) x 3x m trên [1;2], có f '(x) 3x 6x; f '(x) 0 x 2 Tính f (0) m ; f (1) m 2 ; f (2) m 4 suy ra max y m ; m 4 [1;2]  ▪ TH1. Nếu max y m  m m 4 m 2  m 2 [1;2] Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m 2 ▪ TH2. Nếu max y m 4  m 4 m m 2  m 4 2 m 4 2 [1;2]
14. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m 2 . Vậy max y có giá trị nhỏ nhất là 2. [1;2] Ví dụ 14: Có bao nhiêu số thực m để hàm số y 3x4 4x3 12x2 m có giá trị lớn nhất trên [-3;2] bằng 150? A. 2.B. 0.C. 6.D. 4. Lời giải Đáp án: Chọn A Xét hàm số g(x) 3x4 4x3 12x3 m trên [-3;2] có g '(x) 12x3 12x2 24x 3 x 2 x 1 Phương trình g '(x) 0 3 2 12x 12x 24x 0 x 0 f ( 1) m 5 ; f (0) m Tính . Khi đó max f (x) m 32 ; m 243 f ( 3) m 243 ; f (2) m 32 [ 3;2] m 32 m 243 ▪ TH1. Nếu max f (x) m 243 m 93 [ 3;2] m 243 150 m 32 m 243 ▪ TH2. Nếu max f (x) m 32 m 118 [ 3;2] m 32 150 Vậy có tất cả 2 giá trị m thỏa mãn bài toán. Ví dụ 15: Cho hàm số f (x) x4 4x3 4x2 a . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên a [ 3;3] sao cho M 2m A. 6.B. 5.C. 7.D. 3. Lời giải Đáp án: Chọn B Xét hàm số u(x) x4 4x3 4x2 trên [0;2], có u '(x) 4x3 12x2 8x Phương trình u '(x) 0 x 0;1;2. Khi đó u(0) u(2) a;u(1) a 1 Suy ra max f (x) a ; a 1 và min f (x) a ; a 1 [0;2]  [0;2]  min f (x) 0 [0;2] M 1 ▪ TH1. Với a 0 , ta thấy (không TMĐK) max f (x) 1 m 0 [0;2] min f (x) a [0;2] ▪ TH2. Với a 0, ta có mà M 2m a 1 2 a a 1 max f (x) a 1 [0;2] Kết hợp với điều kiện a [-3;3] và a ¢  1;2;3
15. min f (x) a 1 [0;2] ▪ TH3. Với a 0 , ta có mà M 2m a 2 a 1 a 2 max f (x) a [0;2] Kết hợp a [-3;3] và a ¢  3; 2 Vậy có 5 giá trị nguyên của a. Ví dụ 16*: Cho hàm số f (x) x3 ax2 bx c . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1;3]. Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị của biểu thức ab bc ca A. – 6.B. 0.C. – 12.D. – 18. Lời giải Đáp án: Chọn A x 1 Đặt t [ 1;1] t cos x x 2cos x 1 2 Khi đó f (x) (2cos x 1)3 a.(2cos x 1)2 b.(2cos x 1) c 8cos3 x (12 4a).cos2 x (6 4a 2b).cos x a b c 1 f (x) a b c 1 Suy ra 4cos3 x (6 2a).cos2 x (3 2a b).cos x 2 2 f (x) 4cos3 x 3cos x cos3x 1 2 6 2a 0 a 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 2a b 3 b 0 a b c 1 0 c 2 DẠNG 3: BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG MIN – MAX Ví dụ 1: Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cánh tay phải của một bệnh nhân. Sau thời gian là t giờ, nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó được xác định theo công thức 0,28t C(t) (0 t 24) . Hỏi sau bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó là t 2 4 cao nhất? A. 24 giờ.B. 4 giờ.C. 2 giờ.D. 1 giờ. Lời giải Đáp án: Chọn C 0,28t Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của t (0;24) để C(t) đạt giá trị lớn nhất t 2 4 0,28t 0,28(t 2 4) 0,28t.2t 0,28t 2 1,12 Xét hàm số C(t) trên (0;24) , có C '(t) t 2 4 (t 2 4)2 (t 2 4)2 0 t 24 Phương trình C '(t) 0 t 2. Tính C(2) 0,07 2 0,28t 1,12 0
16. Suy ra max C(t) C(2) 0,07. Vậy sau 2 giờ thì nồng độ hấp thu là cao nhất. (0;24) Ví dụ 2: Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau ít phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức N(t) 1000 30t 2 t3 (0 t 30) . Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất? A. 10 phút.B. 20 phút.C. 30 phút.D. 15 phút. Lời giải Đáp án: Chọn B Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của t [0;30] để N(t) 1000 30t 2 t3 đạt giá trị lớn nhất Xét hàm số N(t) 1000 30t 2 t3 trên [0;3], có N '(t) 60t 3t 2 0 t 30 N(0) N(30) 1000 Phương trình N '(t) 0 t 20. Tính 2 60t 3t 0 N(20) 5000 Suy ra max N(t) N(20) 5000. Vậy sau 20 phút thì số vi khuẩn là lớn nhất. [0;30] Ví dụ 3: Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng 100m 2 để làm khu vườn. Hỏi người đó phải mua mảnh đất có kích thước như thế nào để chi phí xây dựng bờ rào là ít tốn kém nhất? A. 10m x 10m.B. 4m x 25m.C. 5m x 20m.D. 25m x 8m. Lời giải Đáp án: Chọn A Yêu cầu bài toán: Cho diện tích và tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi hình chữ nhật Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật 100 Diện tích hình chữ nhật là S xy 100 y x 200 Chu vi hình chữ nhật (bờ rào mảnh đất) là C 2x 2y 2x x 200 200 Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có 2x 2 2. 40 C 40 x x min 200 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2x x2 100 x 10 y 10 x Ví dụ 4: Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8dm 3 và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là A. 2 3 2dm. B. 2dm. C. 4dm. D. 2 2dm. Lời giải Đáp án: Chọn B Gọi h, x lần lượt là chiều cao và độ dài cạnh đáy của hình hợp chữ nhật
17. 8 Thể tích khối hộp chữ nhật là V Bh x2h 8 h x2 32 Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là S S S 4hx 2x2 2x2 tp xq d x 32 16 16 16 16 Ta có 2x2 2x2 33 2x2. . 24 S 24 x x x x x min 16 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2x2 x3 8 x 2 x Ví dụ 5: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x 4. B. x 3. C. x 2. D. x 1. Lời giải Đáp án: Chọn C Khi cắt và gấp tấm nhôm, ta được hình hộp chữ nhật có chiều cao x; đáy là hình vuông cạnh 12 2x Thể tích khối hộp chữ nhật là V Bh x.(12 2x)(12 2x) Cách 1. Khảo sát hàm số f (x) x.(12 2x).(12 2x) trên (0;6)  max f (x) (0;6) (4x 12 2x 12 2x)3 Cách 2. Ta có 4x(12 2x).(12 2x) 512 V 128 27 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4x 12 2x 6x 12 x 2. Ví dụ 6: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp là ít nhất (diện tích toàn phần của lon là nhỏ nhất). Bán kính đáy vỏ lon là bao nhiêu khi ta muốn có thể tích lon là 314 cm3 ? 314 628 314 A. R 3 . B. R 3 . C. R 942 3 2 . D. R 3 . 2 Lời giải Đáp án: Chọn D Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của lon sữa 314 Thể tích của lon sữa hình trụ là V R2h 314 h R2 628 Diện tích nguyên liệu làm vỏ hộp ( S hình trụ) là S 2 Rh 2 R2 2 R2 tp tp R
18. 628 314 314 314 314 Ta có 2 R2 2 R2 33 2 R2. . 33 2.(314)2 R R R R R 314 314 314 Dấu bằng xảy ra khi 2 R2 R3 R 3 R 2 2 Ví dụ 7: Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí A đến vị trí C một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đất liền là BC 1km , khoảng cách từ A đến B là 4 km. Người ta chọn một vị trí điểm S nằm giữa A và B để mắc đường dây điện đi từ A đến S, rồi từ S đến C như hình vẽ dưới đây. Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền là 3000 USD, mỗi km trên điện đặt ngầm dưới biển mất 5000 USD, Hỏi điểm S phải cách A bao nhiên km để chi phí mắc đường dây điện ít nhất? 5 13 7 A. km. B. 2 km.C. km. D. km 2 4 2 Lời giải Đáp án: Chọn C Đặt SA x (km; 0 x 4), ta có SA SB AB SB 4 x (km) Tam giác SBC vuông tại B, có SC SB2 BC 2 1 (4 x)2 x2 8x 17 Do đó, số tiền để mắc dây điện trên đất liền là T1 3000 x SA = 3000x 2 Số tiền để mắc dây điện ngầm dưới biển là T2 5000 x SC 5000 x 8x 17 2 Suy ra tổng số tiền mắc dây điện là T T1 T2 3000x 5000 x 8x 17 5x 20 Xét hàm số f (x) 3x 5 x2 8x 17 trên [0;4], có f '(x) 3 x2 8x 17 13 Phương trình f '(x) 0 3 x2 8x 17 20 5x x 4 13 Dựa vào bảng biến thiên, ta được min f (x) f 16 [0;4] 4 13 Vậy số tiền ít nhất là T 100.16 16000USD. Dấu bằng xảy ra khi x 4 Ví dụ 8: Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn a nhỏ nhất thì tỉ số bằng r
19. A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. Lời giải Đáp án: Chọn B Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn (0 x 60) Suy ra chiều dài đoạn còn lại là 60 x x x2 Chu vi đường tròn: 2 r x r  Diện tích hình tròn: S r 2 2 1 4 2 60 x Diện tích hình vuông: S2 4 2 x2 60 x (4 )x2 120 x 3600 Tổng diện tích hai hình: S 4 4 16 (4 ).x 60 60 4 Đạo hàm: S ' ;S ' 0 x ;S '' 0 8 4 8 60 Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại x 4 60 Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại x 4 60 30 240 a 240 Với x  r và a  2 4 (4 ) (4 ).4 r 120 Ví dụ 9: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là x3 2x (triệu đồng), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là 326y 27y2 (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày). A. 5.B. 6.C. 7.D. 4. Lời giải Đáp án: Chọn B 3 2 Tổng số tiền hai máy làm được là T TA TB x 27y 2x 326y Theo bài ra, ta có x y 10; y 6 nên y 10 x và 4 x 10 Suy ra T x3 27(10 x)2 2x 326(10 x) x3 27x2 216x 560 Xét hàm số f (x) x3 27x2 216x 560 trên [4;10], có f '(x) 3(x2 18x 72) Phương trình f '(x) 0 x 6  max f (x) f (6) 1100 [4;10]
20. Vậy x 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 10: Có hai cây cột dựng đứng trên mặt đất lần lượt là AB 1m, CD 4m và đỉnh của hai cột là hai điểm A và C cách nhau 5m. Người ta chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa B, D) để giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí như mô hình bên. Tính độ dài ngắn nhất của đoạn dây? A. 41. B. 37. C. 29. D. 3 5. Lời giải Đáp án: Chọn A ▪ Cách 1: Đặt BE x với x 0 . Ta có BD 52 (4 1)2 4 nên ED BD BE 4 x Lại có AE EC x2 1 (4 x)2 16 . Đặt f (x) x2 1 x2 8x 32, x 0 x x 4 Ta có f '(x) ;x 0 x2 1 x2 8x 32 4 Giải phương trình f '(x) 0, ta thu được x và tìm được min f (x) 41 5 ▪ Cách 2: Gọi H là điểm đối xứng với A qua B và K là điểm đối xứng với C qua D Và I là hình chiếu của A lên CD. Khi đó AHKC là hình thang cân và AG AC 2 GC 2 4 Ta thấy EC EK nên AE EC AE EK Để AE EC khi và chỉ khi AE EK và điều đó có nghĩa là A, E, K thẳng hàng. min min Vì thế AK KG2 AG2 42 52 41 . Hay độ dài ngắn nhất của đoạn dây chính bằng 41 Ví dụ 11: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 961 m 2, người ta muốn mở rộng thêm 4 phần đất sao cho tạo thành hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn. Biết tâm hình tròn trùng với tâm của hình chữ nhật (xem hình minh họa). Tính diện tích nhỏ nhất Smin của 4 phần đất được mở rộng A. Smin 961 961. B. Smin 1922 961. C. Smin 1892 946. D. Smin 480,5 961. Lời giải
21. Đáp án: Chọn D Gọi x (m), y (m) (x>0, y>0) lần lượt là hai kích thước mảnh vườn hình chữ nhật; x2 y2 R (m) là bán kính hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn  R2 OB2 4 2 2 Theo đề bài, ta có xy 961 m . Diện tích 4 phần đất mở rộng: S Stron SABCD R xy (x2 y2 ) Cosi 2xy . xy . xy 480,5 961 4 4 Ví dụ 12: Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12cm và chiều rộng 8cm. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm đáy dưới như hình vẽ. Để độ dài nếp gấp là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu? A. 6.B. 6 5. C. 6 2. D. 6 3. Lời giải Đáp án: Chọn D Đặt CN x(cm) và MC y (cm) Độ dài đường gấp khúc cần tìm chính là độ dài đoạn thẳng MN x2 y2 Dễ thấy MHNC là hình thoi nên MC MH y, NC NH x Gọi K là hình chiếu của M xuống BD MK 8 HK y2 64 Mà HD HN 2 ND2 x2 (8 x)2 16x 64 4 x 4 KD y HK HD y2 64 4 x 4 y y2 64 4 x 4 64 16 4 x 4 y y2 64 y y2 64 x 4 16 8 2(x 4) 2x Khi đó 2y 4 x 4 y x 4 x 4 x 4 4x2 4x2 Do đó MN 2 x2 y2 x2 . Đặt f (x) x2 với 8 x 4 x 4 x 4 64 Có f '(x) 2x 4 ; f '(x) 0 (x 2)(x 4)2 32 x 6 (x 4)2 2 Suy ra min f (x) f (6) 108 MNmin 108 MNmin 6 3 (4;8)
22. Ví dụ 13: Một cửa sổ có hình dạng như hình bên, bao gồm: một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm nằm trên cạnh của hình chữ nhật. Biết rằng tổng độ dài đường viền cho phép của cửa sổ là 4m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu? 4 8 4 8 A. S . B. S . C. S . D. S . 4 4 8 8 Lời giải Đáp án: Chọn B AD BC x Gọi Chcn CD 2BC 2(R x);Chcn R AI IB R 4 ( 2)R Suy ra R 2(R x) 4 x 2 R2 Và S AB.BC 2Rx;S hcn hcn 2 Tổng diện tích của cửa sổ là R2 4 ( 2)R R2 R2 S 2Rx 2R. R4 ( 2)R 2 2 2 2 2 2 8 8 8 4R 2 R R 2 2 4 4 2 4 8 Do đó diện tích lớn nhất của cửa sổ là S 4 Ví dụ 14: Cho hình vuông ABCD độ dài cạnh bằng 2m như hình vẽ. Lấy hai điểm P, Q (thay đổi) lần lượt nằm trên hai cạnh DC, CB sao cho PQ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB. Tìm giá trị nhỏ nhất độ dài đoạn thẳng PQ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) A. 1,08 m.B. 1,32 m.C. 1,66 m.D. 1,54 m. Lời giải