Đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông Quốc gia năm 2022 môn Toán 12 - Mã đề thi 104 (Có lời giải)

Nội dung text: Đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông Quốc gia năm 2022 môn Toán 12 - Mã đề thi 104 (Có lời giải)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2022 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Mã đề thi 104 Câu 1. Số phức nào dưới đây có phần ảo bằng phần ảo của số phức w 1 4i ? A. z1 5 4i B. z4 1 4i C. z3 1 5i D. z2 3 4i Hướng dẫn: Số phức w 1 4i có phần ảo bằng 4. Trong các số phức đã cho, số phức z1 5 4i cũng có phần ảo bằng 4. Câu 2. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là A. 1;3 B. 3;1 C. 1; 1 D. 1; 1 Hướng dẫn: Từ đồ thị hàm số bậc ba y f x , ta có điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là 1; 1 Câu 3. Phần ảo của số phức z 2 i 1 i bằng A. 3 B. 1 C. 3 D. 1 Hướng dẫn: Ta có: z 2 i 1 i 3 i . Vậy phần ảo của số phức z bằng 1. 2 5 5 Câu 4. Nếu f x dx 2 và f x dx 5 thì f x dx bằng 1 2 1 A. 7 B. 3 C. 7 D. 4 5 2 5 Hướng dẫn: Ta có: f x dx f x dx f x dx 2 5 3 . 1 1 2 Câu 5. Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 5, đáy ABC có diện tích bằng 6.Thể tích khối chóp S.ABC bằng A. 30 B. 10 C. 15 D. 11 1 Hướng dẫn: Thể tích khối chóp S.ABC là V .5.6 10. S.ABC 3 Câu 6. Cho khối chóp và khối lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng bằng nhau và có thể tích V1 lần lượt là V1,V2 . Tỉ số bằng V2 1
2. 2 3 1 A. B. C. 3 D. 3 2 3 1 B.h 1 V1 3 1 Hướng dẫn: Gọi đường cao, diện tích đáy lần lượt là h,B V1 B.h và V2 B.h 3 V2 B.h 3 Câu 7. Với a là số thực dương tuỳ ý, log 100a bằng A. 2 loga B. 2 loga C. 1 loga D. 1 loga Hướng dẫn: Với a 0, ta có: log 100a log100 loga log102 loga 2 loga . Câu 8. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau? A. y x3 3x B. y x2 2x C. y x3 3x D. y x2 2x Hướng dẫn: Dựa vào bảng biến thiên trên, ta nhận thấy đây là hàm số bậc ba có dạng y ax3 bx2 cx d với a 0 . Mà lim ax3 bx2 cx d a 0 . Do đó có duy nhất hàm số y x3 3x thoả mãn. x 2 Câu 9. Số nghiệm thực của phương trình 2x 1 4 là A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 2 Hướng dẫn: Ta có 2x 1 4 x2 1 2 x2 1 x 1. Câu 10. Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng Oxy là A. y 0 B. x 0 C. x y 0 D. z 0 Hướng dẫn: Phương trình của mặt phẳng Oxy là z 0. Câu 11. Hàm số F x cot x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng 0; ? 2 1 1 1 1 A. f2 x B. f1 x C. f3 x D. f4 x sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x 1 Hướng dẫn: Ta có: dx cot x C . sin2 x Câu 12. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 2
3. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 B. 0;3 C. 0; D. 1;0 Hướng dẫn: Ta có đồ thị tăng trên khoảng 1;0 , nên đó là đáp án đúng. x 2 y 1 z 1 Câu 13. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : . Điểm nào dưới đây thuộc d ? 1 2 3 A. P 2;1; 1 B. M 1;2;3 C. Q 2;1;1 D. N 1; 2;3 Hướng dẫn: Thay tọa độ điểm P 2;1; 1 vào phương trình đường thẳng d ta có : 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 (thỏa mãn). 1 2 3 1 2 3 Thay tọa độ điểm M 1;2;3 vào phương trình đường thẳng d ta có : 1 2 2 1 3 1 1 1 4 (vô lí). 1 2 3 1 2 3 Thay tọa độ điểm Q 2;1;1 vào phương trình đường thẳng d ta có : 2 2 1 1 1 1 0 0 2 (vô lí). 1 2 3 1 2 3 Thay tọa độ điểm N 1; 2;3 vào phương trình đường thẳng d ta có : 1 2 2 1 3 1 1 3 4 (vô lí). 1 2 3 1 2 3 Vậy điểm P 2;1; 1 thuộc đường thẳng d . Câu 14. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z 2 7i có tọa độ là A. 2; 7 B. 2; 7 C. 7;2 D. 2;7 Hướng dẫn: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z 2 7i có tọa độ là 2;7 . Câu 15: Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu S O;R . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. OM R B. OM R C. OM R D. OM R Hướng dẫn: M nằm ngoài mặt cầu S O;R OM R . Câu 16: Khẳng định nào sau đây đúng? x x x x x x 1 x x 1 A. e dx e C B. e dx xe C C. e dx e C D. e dx e C x x Hướng dẫn: e dx e C. Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u 1; 4;0 và v 1; 2;1 . Vectơ u 3v có tọa độ là A. 2; 10;3 B. 2; 6;3 C. 4; 8;4 D. 2; 10; 3 Hướng dẫn: Ta có 3v 3; 6;3 . Do đó u 3v 2; 10;3 Dùng CASIO: w5131=z4=0=CT123z1=z2=1=CT3+3OT4=RR Câu 18. Cho cấp số nhân un u1 3 và công bội q 2 . Số hạng tổng quát un n 2 bằng A. 3.2n B. 3.2n 2 C. 3.2n 1 D. 3.2n 1 n 1 n 1 Hướng dẫn: Ta có un u1.q 3.2 Câu 19. Cho a 3 5 , b 32 và c 3 6 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3
4. A. a b c B. a c b C. c a b D. b a c Hướng dẫn: Ta có 2 5 6 mà cơ số 3 1 nên 32 3 5 3 6 hay b a c . Câu 20. Cho khối nón có diện tích đáy 3a2 và chiều cao 2a . Thể tích của khối nón đã cho là 2 A. 3a3 B. 6a3 C. 2a3 D. a3 3 1 1 Hướng dẫn: Thể tích của khối nón đã cho là V .B.h .3a2.2a 2a3. 3 3 3 3 1 Câu 21. Nếu f x dx 6 thì f x 2 dx bằng 3 0 0 A. 6 B. 5 C. 9 D. 8 3 3 3 1 1 Hướng dẫn: Ta có f x 2 dx f x dx 2dx 2 6 8 . 3 3 0 0 0 Câu 22. Tập xác định của hàm số y log2 x 1 là A. 2; B. ; C. ;1 D. 1; Hướng dẫn: Điều kiện: x 1 0 x 1. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D 1; . Câu 23. Cho hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng y 4 3 1O 1 x A. 3 B. 4 C. 1 D. 1 Hướng dẫn: Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta dễ dàng thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 3. Câu 24. Nghiệm của phương trình log1 2x 1 0 là 2 3 2 1 A. x 1 B. x C. x D. x 4 3 2 x 1 2x 1 1 Hướng dẫn: Có log1 2x 1 0 1 x 1 2x 1 0 x 2 2 Câu 25. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x - ∞ - 2 + ∞ f '(x) - - - 1 + ∞ f(x) - ∞ - 1 4
5. Tiệm cận đứng của đồ thị đã cho là đường thẳng có phương trình: A. y 1 B. y 2 C. x 2 D. x 1 Hướng dẫn: Từ bảng biến thiên ta có lim f x và lim f x , suy ra đồ thị hàm số x 2 x 2 đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x 2 . 2 2 2 Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 1 z 3 4. Tâm của S có tọa độ là A. 2;1; 3 B. 4;2; 6 C. 4; 2;6 D. 2; 1;3 2 2 2 Hướng dẫn: Mặt cầu S : x 2 y 1 z 3 4 có tâm I 2; 1;3 . Câu 27. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau? A. 3125 B. 1 C. 120 D. 5 Hướng dẫn: Số các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là hoán vị của 5 phẩn tử nên có 5! 120 (số). Câu 28. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng y 1 là A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 Hướng dẫn: Ta vẽ đường thẳng y 1 Đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số tại 3 giao điểm. Câu 29. Cho hình lập phương ABCD.A B C D ( tham khảo hình vẽ bên dưới). Giá trị sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (ABCD) bằng 3 2 3 6 A. B. C. D. 3 2 2 3 Hướng dẫn: Hình chiếu của đường thẳng AC' lên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC suy ra góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (ABCD) , suy ra ·CA , ACBCD · CA,CA C· AC . Gọi cạnh hình lập phương bằng 1, suy ra AC 2 . Xét tam giác vuông CAC vuông tại C ta có: 5
6. 2 AC CC 2 AC 2 2 1 3 . CC 3 Suy ra: sin ·CA ,(ABCD) sin C· AC . AC 3 Câu 30. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn 30;50 . Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng 11 13 10 8 A. B. C. D. 21 21 21 21 Hướng dẫn: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn 30;50 , nên ta có số phần tử của không gian mẫu: n  50 30 1 21. Gọi A “Biến cố để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục”. + Gọi số cần chọn là x ab (a b) + a được chọn từ tập A 3;4;5và b được chọn từ tập B 4;5;6;7;8;9 có 6 số + Với a = 3 thì b B có 6 cách chọn + Với a = 4 thì b B \ 4 có 5 cách chọn + Với a = 5 không có cách chọn Suy ra n A 6 5 11. 11 Xác suất của biến cố A : P A . 21 1 Câu 31. Với a,b là các số thực dương tùy ý và a 1, log bằng 1 3 a b 1 A. log b B. 3log b C. log b D. 3log b a a 3 a a 1 Hướng dẫn: Ta có: log log b 3 3log b 1 3 a 1 a a b Câu 32. Cho hàm số f x 1 e2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 A. f x dx x ex C B. f x dx x 2e2x C 2 1 C. f x dx x e2x C D. f x dx x e2x C 2 1 Hướng dẫn: Ta có: f x dx 1 e2x dx x e2x C . 2 2 2 2 Câu 33. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 5 0. Khi đó z1 z2 bằng A. 6 B. 8i C. 8i D. 6 b z1 z2 2 2 a Hướng dẫn: Vì z ,z là hai nghiệm của phương trình z 2z 5 0 nên ta có: . 1 2 c z .z 5 1 2 a 2 2 2 2 Ta có: z1 z2 z1 z2 2.z1.z2 2 2.5 6. 6
7. Câu 34. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 với mọi x ¡ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 B. ;1 C. 1; D. 1; Hướng dẫn: Ta có : f x 0 x 1 0 x 1 y f x nghịch biến trên khoảng ; 1 Câu 35. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2;3 . Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng x 2y 2z 3 0 là A. x 1 2 y 2 2 z 3 2 2 B. x 1 2 y 2 2 z 3 2 2 C. x 1 2 y 2 2 z 3 2 4 D. x 1 2 y 2 2 z 3 2 4 1 2.2 2.3 3 Hướng dẫn: Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng đã cho có bán kính R 2 1 4 4 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x 1 2 y 2 2 z 3 2 4 . Câu 36. Cho hàm số f (x) ax4 bx2 c có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn  2;5 của tham số m để phương trình f (x) m có đúng 2 nghiệm thực phân biệt? A. 7. B. 6. C. 5. D. 1. m 2 Hướng dẫn: Ta có yêu cầu bài toán tương đương với . m 1 Do m  2;5 và m nguyên nên có 7 giá trị m cần tìm là 2,0,1,2,3,4,5. Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2; 2;1 và mặt phẳng P : 2x 3y z 1 0 . Đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng P có phương trình là x 2 2t x 2 2t x 2 2t x 2 2t A. y 2 3t B. y 2 3t C. y 2 3t D. y 3 2t z 1 t z 1 t z 1 t z 1 t  Hướng dẫn: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P có véc tơ chỉ phương là u n(P) 2; 3; 1 . x 2 2t Đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng P có phương trình là y 2 3t . z 1 t Câu 38. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 3 (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ACC A bằng A A. 3 B D 7 C A' B' D' C'
8. B. 3 2 3 2 C. 2 3 D. 2 Hướng dẫn: Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Do ABCD là hình vuông nên BD  AC tại O . Do ABCD.A B C D là hình lập phương nên AA  ABCD AA  BD . 1 3 2 BO  ACC A tại O d B; ACC A BO BD 2 2 Câu 39. Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho với mỗi a có đúng hai số nguyên b thỏa mãn 3b 3 a.2b 16 0 A. 34 B. 32 C. 31 D. 33 b b b b 16 Hướng dẫn: 3 3 a.2 16 0 3 3 2 0(vì a>0) a + Đặt f b 3b 3ta có f b 0 b 1 16 16 g b 2b g b 0 b log a 2 a Cả hai hàm f(b) và g(b) đều đồng biến theo b do b>2 + Để f b .g b 0 và thỏa mãn YCBT ta có hai trường hợp xảy ra thể hiện trong hai bảng xét dấu sau: * Trường hợp 1 (Bảng 1): + Do mỗi a tồn tại 2 số nguyên b dương nên: a Z a Z a Z a Z a 1. Vậy trường hợp này có 1 số a= 1 16 10 3 10 10 log 3 log log 2 8 a 2 a 2 a 2 a 8 8
9. 16 *Trường hợp 2 (bảng 2): Theo YCBT trong khoảng log2 ;0 tồn tại 2 số nguyên b a a Z a Z a Z a Z a Z 1 16 16 16 1 16 1 a Z a 64 2 log 1 log 2 2 log log 2 1 4 a 2 2 2 2 a 32 a a 4 a 2 16 1 a 2 a 33;34; ;64 tồn tại 32 số a Kết luận: có 1+ 32 = 33 số a thỏa mãn YCBT Câu 40. Cho hàm số f x a 3 x4 2ax2 1 với a là tham số thực. Nếu max f x f 2 thì 0; 3 min f x bằng 0; 3 A. 9 B. 4 C. 1 D. 8 Hướng dẫn: Xét hàm f x a 3 x4 2ax2 1 f x 4 a 3 x3 4ax . Hàm số đạt GTLN tại x 2 và liên tục trên đoạn 0;3 f 2 0 32 a 3 8a 0 a 4. Với a 4 ta có f x x4 8x2 1 với x 0;3. x 0 TM 3 f x 4x 16x . Cho f x 0 x 2 TM . x 2 L Khi đó f 0 1, f 2 17 , f 3 8. Suy ra max f x f 2 17 (thỏa mãn giả thiết). 0;3 Vậy min f x f 3 8 . 0;3 Câu 41. Biết F x và G x là hai nguyên hàm của hàm số f x trên ¡ và 2 f x dx F 2 G 0 a a 0 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y F x , 0 y G x , x 0 và x 2 , Khi S 6 thì a bằng A. 4 . B. 6 . C. 3. D. 8. Hướng dẫn: F x và G x là hai nguyên hàm của hàm số f x trên ¡ nên ta có x ¡ : F x G x C (với C là hằng số). Do đó F 0 G 0 C (1). 2 Lại có f x dx F 2 F 0 0 F 2 G 0 a F 2 F 0 F 0 G 0 a (2). Từ (1) và (2) suy ra C a . Khi đó F x G x a , x ¡ F x G x a , x ¡ . 9
10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y F x , y G x , x 0 và x 2 là 2 2 S F x G x .dx a.dx 2a 6 a 3. 0 0 Câu 42. Cho các số phức z1,z2,z3 thỏa mãn 2 z1 2 z2 z3 2 và z1 z2 z3 2z1z2 . Gọi A,B,C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1,z2,z3 trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng 3 3 3 3 3 3 A. B. C. D. 4 8 8 4 Cách 1: 1 1 2 z2 z1 2z3 thayso + Từ z1 z2 z3 2z1z2 z1z3 z2z3 2z1z2  z2 z1 z3 z2 z2 z1z1 z3z3 z z z z z 2z 1 2 1 3 2 1 3 z z z (1) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 z2 z1 z3 1 1 2 + Gọi A ,B ,C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1,z2,z3 suy ra A ,B ,C lần lượt đối xứng với A,B,C qua trục Ox S ABC S A B C   1   + Ta có 1 OA OB OC OD O, D, C’ thẳng hàng 2 Tứ giác OA DB là hình thoi có OA OB 1, OD 1 2 2 2 2 1 +Tính A’B’: Ta có: A'B' 2A'I 2 OA' OI 2 1 3 2 1 3 1 1 3 3 3 + Tính C’I: Ta có: C'I OC' OI 2 S S A'B'.C'I . 3. 2 2 ABC A 'B'C' 2 2 2 4 Cách 2. - Từ giả thiết ta được z1 z2 1 và z3 2 . - Theo giả thiết z1 z2 z3 2z1z2 z1 z2 z3 2 z1 z2 z1 z2 1. 2 2 2 2 - Từ đẳng thức z1 z2 z1 z2 2 z1 z2 z1 z2 3 AB 3. - Theo giả thiết z1 z2 z3 2z1z2 z1 z2 z3 2 z1 z3 z2 z1 z2 z3 2 z1 z3 z2 z1 z3 3 AC 3. - Theo giả thiết z1 z2 z3 2z1z2 z3 z2 z1 z1 z3 z2 z3 z2 z1 z1 z3 z2 z3 z2 3 BC 3. 3 3 Suy ra tam giác ABC đều cạnh 3 . Suy ra S ABC 4 Câu 43. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh bên AA 2a , góc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng 60 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 10
11. 8 8 A. a3 B. 8a3 C. a3 D. 24a3 9 3 Hướng dẫn: A' C' Gọi I là trung điểm của BC . Ta có: + ABC là tam giác vuông cân tại A nên AI  BC + ABC.A B C là khối lăng trụ đứng nên AA  BC B' suy ra BC  AA I BC  A I . Do đó, góc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng góc giữa A C · A I và AI , mà tam giác AA I vuông tại A nên ta có AIA là góc nhọn. I Suy ra góc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng A· IA 60. B AA 2a Trong tam giác vuông AA I , ta có AI . tan 60 3 4a BC 2a 6 ABC là tam giác vuông cân tại A nên BC 2AI , AB AC . 3 2 3 2 1 1 2a 6 8a3 Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là V AA .S ABC AA . AB.AC .2a. . 2 2 3 3 Câu 44. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 120 và chiều cao bằng 2 . Gọi S là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của S bằng 16 64 A. B. C. 64 D. 48 3 3 Hướng dẫn: Gọi hình nón đỉnh A , đường kính đáy hình nón là BC . A Gọi I là tâm mặt cầu S . · Ta có ABC cân tại A có BAC 120 và AI  BC tại O nên B C B· AI 60 suy ra IAB đều. O Tam giác IAB đều và OB  IA tại O suy ra OB I là đường trung tuyến của IAB. Mà OA 2 suy ra AI 2OA 4 . Vậy diện tích mặt cầu S là: S 4 AI2 64 . 2 3 Câu 45: Xét tất cả các số thực x , y sao cho 89 y a6x log2 a với mọi số thực dương a . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 y2 6x 8y bằng A. 21 B. 6 C. 25 D. 39 2 3 Hướng dẫn: Ta có: 89 y a6x log2 a , a 0 2 3 9 y 6x 3log2 a log2 a , a 0 2 2 log2 a 2x log2 a 9 y 0 , a 0 x2 y2 9 0 . Gọi M x;y thuộc hình tròn C tâm O , bán kính R 3. 11
12. Gọi A 3;4 , ta có: OA 5 R . Do đó A nằm ngoài hình tròn C . Khi đó: P x 3 2 y 4 2 25 MA2 25 OA R 2 25 21. Vậy min P 21 khi O,M,A theo thứ tự thẳng hàng. Câu 46. Cho hàm số bậc bốn y f x . Biết rằng hàm số g x ln f x có bảng biến thiên như sau Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x và y g x thuộc khoảng nào dưới đây? A. 7;8 . B. 6;7 . C. 8;9 . D. 10;11 . Hướng dẫn: Từ BBT của g x ta có ln f x ln 4 f x 4;x R . f x Ta có g x . f x f x 0 (*) Xét phương trình f x g x f x 1 ( ) Do f x 4;x R suy ra phương trình ( ) vô nghiệm. x x1 Từ đó suy ra f x 0 g x 0 x x2 . x x3 1 1 Mặt khác f x g x f x . 1 .Do f x 4;x R 1 0 mặt khác f x f x f x g x .f (x) do đó dấu của f x g x cùng dấu với g x Từ bảng biến thiên đã cho, ta có bảng xét dấu x3 x2 x3 Vậy S f x g x dx f x g x dx f x g x dx x1 x1 x2 x2 x3 f x g x f x g x x1 x2 2f x2 f x1 f x3 2ln f x2 ln f x1 ln f x3 199 199 2 12 4 2ln ln12 ln 4 7,704 7;8 16 16 12
13. x x x 3 2 1 3 1 Cách 2: S f x g x dx f x . 1 dx f x . 1 dx f x f x x1 x1 x2 x x t t 2 1 3 1 2 1 3 1 1 d f x 1 d f x 1 dt 1 dt với t f x f x f x t t x1 x2 t1 t2 g x ln12 199 Với t f x e 1 e 12; t ; t 4 1 1 2 16 3 199 4 16 1 1 Vậy S 1 dt 1 dt 7,704 t t 12 199 16 Dùng máy tính CASIO 580VNX y(1pa1R[$)R12Ea199R16$$py(1pa1R[$)Ra199R16EE4$= Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;1;1 . Gọi P là mặt phẳng chứa trục Oy sao cho khoảng cách từ A đến P lớn nhất. Phương trình của P là A. x z 0 B. x z 0 C. 2x z 0 D. 2x z 0 Hướng dẫn: Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên P và trục Oy . Ta có d A, P AH AK . Do đó khoảng cách từ A đến P lớn nhất khi H  K 0;1;0 . Khi đó P đi qua K 0;1;0 và có một vectơ pháp tuyến là  AK 2;0; 1 2;0;1 nên có phương trình là 2x z 0. Câu 48. Có bao nhiêu số phức z thỏa z2 2 z z và z 4 z 4i z 4i 2 . A. 4 B. 2 C.1 D.3 Hướng dẫn: Gọi z a bi , a,b ¡ . Ta có : z2 2 z z a2 b2 4 b (1). z 4 z 4i z 4i 2 z 4 . z 4i z 4i 2 a 4 2 b2 . a2 b 4 2 a2 b 4 2 2 2 2 2 2 2 a b 4 . a 4 b a b 4 0 . 2 2 a 0 + TH-1: a b 4 0 thỏa (1) . b 4 Vậy z 4i . + TH-2: a 4 2 b2 a2 b 4 2 0 a b . Thay vào ta được (1) : 2b2 4 b 0 b 0  b 2 . 13
14. b 0 Với b 0 b 0 z 0. a 0 b 2 b 2 Với b 2 b 2  z 2 2i  z 2 2i . a 2 a 2 Kết luận: có 4 số phức z . Câu 49. Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số y x4 mx2 64x có đúng 3 điểm cực trị ? A. 23 B. 12 C. 24 D. 11 4 2 Hướng dẫn: y f x x mx 64x Cách 1. Xét hàm sốf x x4 mx2 64x x x3 mx 64 f ' x 4x3 2mx 64 ; có lim f x x - Để hàm số y f x có đúng 3 cực trị thì phải thỏa mãn 2 điều kiện: + Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt (*) + Hàm số phải có 1 cực trị ( ) x 0 * Điều kiện (*): Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt (*) f x 0 3 x mx 64 0 (1) f x 0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt PT x3 mx 64 0 có 1 nghiệm (dễ thấy x = 0 không phải x3 64 64 là nghiệm của (1)) x3 mx 64 0 m x2 g x x x 3 64 2 x 32 g' x 2x g' x 0 x 3 32 g 3 32 243 2 x2 x2 Bảng xét dấu: PT có 1 nghiệm khi m 243 2 (*) * Điều kiện ( ): Hàm số y f x có đúng 1 cực trị PT f ' x 4x3 2mx 64 0 (2) có 1 nghiệm đơn (x=0 không phải là nghiệm của (2)) 32 32 Nênf ' x 0 m 2x2 . Đặt h x 2x2 . x x 3 32 4 x 8 Có h x 4x ; h x 0 x 2 . x2 x2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra * m 24 ( ) Từ điều kiện (*) và ( ) m 24 14
15. Kết hợp với điều kiện m nguyên dương suy ra m 1;2;3; ;24 2 Cách 2: y x4 mx2 64x x4 mx2 64x 2 x4 mx2 64x 4x3 2mx 64 2x x3 mx 64 2x3 mx 32 + y' 2 x4 mx2 64x x4 mx2 64x + Hàm số y x4 mx2 64x có 3 cực trị khi PT y’ = 0 có 3 nghiệm đơn. x 0 3 + y' 0 x mx 64 0 (1) Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) và (2). 3 2x mx 32 0 (2) + PT đã có nghiêm x = 0 Tổng số nghiệm đơn của (1) và (2) phải là 2 * Xét (1): x3 mx 64 0 (1) x3 64 64 + x3 mx 64 0 m x2 g x x x 3 64 2 x 32 g' x 2x x2 x2 g' x 0 x 3 32 g 3 32 243 2 Bảng xét dấu: PT có (1) nghiệm khi m 243 2 (*) * Xét (2): 2x3 mx 32 0 (2) 32 2x3 mx 32 0 m 2x2 h x x 3 32 4 x 8 Có h x 4x ; h x 0 x 2 x2 x2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra PT (2) có 1 nghiệm khi m 24 ( ) Từ điều kiện (*) và ( ) m 24 Kết hợp với điều kiện m nguyên dương suy ra m 1;2;3; ;24 Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S tâm I 1;4;2 , bán kính bằng 2. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox,Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với S , đồng thời mặt cầu ngoại 7 tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng . Gọi A là tiếp điểm của MN và S , giá trị AM.AN bằng 2 A. 9 2 B. 14 C. 6 2 D. 8 15
16. Hướng dẫn: Gọi M a;0;0 Ox, N 0;b;0 Oy + Ta có d I; Oxy 2 R nên S tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại điểm A 1;4;0 và MN cũng đi qua A .   Lại có AM a 1; 4;0 , AN 1;b 4;0 và 3 điểm A,M, N thẳng hàng nên ta được: a 1 4 a 1 b 4 4 1 . 1 b 4 + Tứ diện OIMN có IA  OMN và OMN vuông tại O nên nếu gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN thì J IMN . Suy ra IM.IN.MN 7 Ta có S IMN (với R ' bán kính đường tròn ngoại tiếp IMN ) (áp dụng công thức 4R ' 2 abc S ) 4R 1 IM.IN.MN 1 IM.IN.MN IA.MN .2 MN IM.IN 14 7 7 2 4. 2 4. 2 2 2 2 2 2 IM a 1 4 2 a 1 20 Mà 2 2 2 2 IN 1 b 4 2 b 4 5 IM.IN 14 a 1 2 20 b 4 2 5 142 2 2 u a 1 Đặt , ta có HPT: 2 u b 4 2 2 uv 4 2 uv 4 u 8 a 1 8 16 2 2 v 2 2 u 20 v 5 14 u 20 5 14 b 4 2 u 16 (Giải bằng máy tính MA: ( + 20) + 5 = 142 = 8 표 = 8) 2   AM a 1 16 8 16 2 6 AM a 1; 4;0 , AN 1;b 4;0 AM.BN 6 2 2 BN 1 b 1 1 2 3 16