›
›
›

Đề ôn thi môn Toán học 12 - Chủ đề 1: Sự tương giao giữa các đường trong bài toán tìm tọa độ điểm

doc 27 trang hatrang 30/08/2022 5080
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề ôn thi môn Toán học 12 - Chủ đề 1: Sự tương giao giữa các đường trong bài toán tìm tọa độ điểm", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docde_on_thi_mon_toan_hoc_12_chu_de_1_su_tuong_giao_giua_cac_du.doc

Nội dung text: Đề ôn thi môn Toán học 12 - Chủ đề 1: Sự tương giao giữa các đường trong bài toán tìm tọa độ điểm

  1. Chủ đề 1. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐƯỜNG TRONG BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM.  Phương trình đường thẳng.   • Véctơ n  0 được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng nếu giá của véctơ n vuông góc với .   • Véctơ u  0 được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của véctơ u song song hoặc trùng với .  • Đường thẳng đi qua M x0 ; y0 nhận véctơ n A; B làm véctơ pháp tuyến có phương trình : Ax By Ax0 By0 gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng .  • Đường thẳng đi qua M x0 ; y0 nhận véctơ u a;b làm véctơ x x0 at chỉ phương có phương trình t R gọi là phương y y0 bt trình tham số của đường thẳng . • Cho hai đường thẳng 1 : a1 x b1 y c1 0 và 2 : a2 b2 y c2 0 . Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 1 a1 x b1 y c1 0 và 2 là nghiệm của hệ phương trình 1 a2 x b2 y c2 0. ▪ Nếu hệ (1) có nghiệm duy nhất x0 ; y0 thì hai đường thẳng cắt nhau tại A x0 ; y0 . ▪ Nếu hệ (1) vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau. ▪ Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song với nhau.  Phương trình đường tròn. • Đường tròn C tâm I a;b bán kính R 0 có phương trình 2 2 x a y b R2. • Cho đường thẳng : Ax By C 0 và đường tròn 2 2 C : x a y b R2. Tọa độ giao điểm của và C 2 2 x a y b R2 là nghiệm của hệ phương trình 2 Ax By C 0 ▪ Nếu hệ (2) có hai nghiệm phân biệt thì cắt (C) tại hai điểm khác nhau. ▪ Nếu hệ (2) có nghiệm kép thì tiếp xúc với (C). ▪ Nếu hệ (2) vô nghiệm thì không cắt C .
  2. 1. Sự tương giao của hai đường thẳng trong bài toán tìm tọa độ điểm. 3  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M ;0 là trung điểm đoạn 2 AC . Phương trình các đường cao AH, BK lần lượt là 2x y 2 0 và 3x 4y 13 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . Định hướng: Viết được phương trình đường thẳng AC đi qua M và vuông góc với BK. Suy ra A AC  AH C . Viết phương trình đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH B BC  BK . Lời giải. Đường thẳng AC đi qua M và vuông góc với BK nên có phương trình 4x 3y 6 . 4x 3y 6 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình A 0;2 2x y 2 3 Từ M ;0 là trung điểm AC suy ra C 3; 2 . 2 Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH nên có phương trình x 2y 1 0 . x 2y 1 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 3;1 3x 4y 13 Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là A 0;2 , B -3;1 , C 3;-2  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 4; 1 phương trình đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt là 2x 3y 12 0 và 2x 3y 0 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC. Định hướng: - Tọa độ điểm B BH  BM
  3. - Viết phương trình đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BH . Suy ra tọa độ M AC  BM C Lời giải. Gọi BH, BM lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ B. 2x 3y 12 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 3;2 2x 3y 0 Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BH nên có phương trình 3x 2y 10 0. 2x 3y 0 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình M 6; 4 3x 2y 10 0 Do M là trung điểm AC suy ra tọa độ điểm C 8; 7 Vậy B -3;2 , C 8;-7  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Điểm M 2;0 là trung điểm của AB. Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là 7x 2y 3 0 và 6x y 4 0 . Viết phương trình đường thẳng AC. Định hướng: -Tìm tọa độ điểm A AH  AM B . -Viết phương trình đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH . -Tìm tọa độ N BC  AN C . -Viết được phương trình đường thẳng AC đi qua A,C. Lời giải. Gọi AN, AH lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ A. 7x 2y 3 0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trìn A 1;2 6x y 4 0 Từ M là trung điểm AB B 3; 2 Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH nên có phương trình x 6y 9 0
  4. 7x 2y 3 0 3 Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình N 0; x 6y 9 0 2 Từ N là trung điểm BC suy ra tọa độ điểm C 3; 1 Khi đó phương trình ta có phương trình đường thẳng AC : 3x 4y 5 0.  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, đường thẳng BC có phương trình x y 4 0 , điểm M 1; 1 là trung điểm của đoạn AD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng AB đi qua điểm E 1;1 . Định hướng: - Viết phương trình AB đi qua E và vuông góc với BC . - Suy ra B AB  BC . - Viết phương trình AD đi qua M và vuông góc với AB . - Suy ra A AB  AD D C . Lời giải. Đường thẳng AB đi qua E và vuông góc với BC nên có phương trình x y 2 0 x y 2 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 1;3 x y 4 Đường thẳng AD đi qua M và song song với BC nên có phương trình x y 2 0 x y 2 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình A 2;0 x y 2 Do M là trung điểm của AD nên tọa độ điểm D là Đường thẳng DC đi qua D và vuông góc với BC nên có phương trình x y 2 0 x y 4 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình C 3;1 x y 2 Vậy A 0;2 , B 1;3 , C 3;1 ,D 0;-2
  5.  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A 1;2 và tâm 1 I ;0 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng BC đi qua 2 điểm M 4; 3 . Định hướng: -Tìm tọa độ điểm C đối xứng với A qua I . -Viết phương trình BC đi qua C,M . -Viết phương trình AB đi qua A và vuông góc BC . -Suy ra B AB  BC D . Lời giải. Từ I là trung điểm AC tọa độ điểm C 2; 2 Phương trình đường thẳng BC : x 2y 2 0 Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với BC nên AB : 2x y 4 0. x 2y 2 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 2;0 2x y 4 0 Từ I là trung điểm BD Tọa độ điểm D 3;0 Vậy B -2; 0 , C 2;-2 , D 3; 0 .  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD có Bµ Cµ 900. Phương trình các đường thẳng AC và DC lần lượt là x 2y 0 và x y 3 0 . Xác định tọa độ các đỉnh 3 3 của hình thang ABCD, biết trung điểm cạnh AD là M ; . 2 2 Định hướng: -Tìm tọa độ điểm C AC  CD . -Gọi N là trung điểm của CD , viết phương trình đường thẳng MN . -Tìm tọa độ điểm N CD  MN D A -Viết phương trình đường thẳng AB, BC.
  6. -Suy ra tọa độ điểm B . Lời giải. x y 3 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình C 2; 1 x 2y 0 Gọi N là trung điểm của DC, đường thẳng MN qua M song song với AC nên MN : 2x 4y 9 0 Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình x y 3 1 5 N ; 2x 4y 9 2 2 Do N là trung điểm DC, suy ra D 1; 4 M là trung điểm AD, suy ra A 2;1 Đường thẳng AB qua A song song với DC nên có phương trình x y 3 Đường thẳng BC qua C vuông góc với DC nên có phương trình x y 1 x y 3 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 1;2 x y 1 Vậy A -2;1 , B -1;2 , C 2;-1 ,D -1;-4  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Biết phương trình đường thẳng AB : x y 5 0 và trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng x 3y 6 0 , xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Định hướng: -Viết phương trình đường thẳng MO . -Tìm tọa độ M OM  BC . -Viết phương trình BC B BC  AB . -Từ M là trung điểm BC tọa độ điểm C ,từ O là trung điểm AC A Lời giải. Đường thẳng MO đi qua O và song song với AB nên có phương trình x y 0.
  7. x y 0 3 3 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình M ; x 3y 6 0 2 2 Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AB nên có phương trình x y 3 0 . x y 5 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 1;4 x y 3 0 Từ M là trung điểm BC tọa độ điểm C 4; 1 Từ O là trung điểm BC tọa độ các điểm A 4;1 , D 1; 4 . Vậy A -4;1 ,B -1; 4 ,C 4;- 1 ,D 1;-4 .  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A và B). Gọi M 3;3 , N lần lượt là trung điểm của AD và AB. Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang vuông ABCD, biết phương trình các đường thẳng BD : 7x 3y 2 0,CN : x 3y 0 và đường thẳng AB đi qua điểm E 3;1 . Định hướng: -Viết phương trình đường thẳng MN . Suy ra N CN  MN . -Viết phương trình đường thẳng AB B BD  AB A -Viết phương trình đường thẳng BC . Suy ra tọa độ điểm C BC  CN . Lời giải. Đường thẳng MN đi qua M song song với BD nên MN : 7x 3y 12 0. x 3y 0 3 1 Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình N ; 7x 3y 12 0 2 2 Phương trình đường thẳng AB : x y 2 0 7x 3y 2 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ B 1; 3 x y 2 0 Từ N là trung AB A 4;2 . Phương trình đường thẳng BC : x y 4 0. x 3y 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình C 6;2 x y 4 0 Phương trình đường thẳng AD : x y 6 0 x y 6 0 Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình D 2;4 7x 3y 2 0 Vậy A -4;2 , B 1;-3 ,C 6;2 ,D -2; 4 .
  8. 4 1  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , có trọng tâm G ; . 3 3 Phương trình đường thẳng BC là x 2y 4 0, phương trình đường thẳng BG là 7x 4y 8 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Định hướng: -Tìm B BC  BG . -Viết phương trình AG , tìm M AG  BC . -Sử dụng tính chất trọng tâm suy ra A . Lời giải. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình x 2y 4 0 B 0; 2 7x 4y 8 0 Đường thẳng AG đi qua G và vuông góc với BC nên có phương trình 2x y 3 Tọa độ trung điểm M của BC là nghiệm của hệ 2x y 3 M 2; 1 x 2y 4 0 Từ đó suy ra tọa độ điểm C 4;0 3xG xA xB xC Từ A 0;3 3yG yA yB yC Vậy A 0;3 , B 0;-2 ,C 4; 0 .  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng BC và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình x y 1 0, x 2y 2 0; Điểm M 2;1 thuộc đường cao kẻ từ C. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Định hướng: -Tìm tọa độ điểm B . Nhận xét BM  BC . -Viết phương trình MN , tìm N BH  MN . -Suy ra C , viết phương trình BC . Tìm I -Viết phương trình AI , AC , suy ra A. Lời giải. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình x y 1 0 B 0; 1 x 2y 2 0
  9.  BM 2;2   Lúc đó  BM.uBC 0 BM  BC uBC 1; 1 Phương trình đường thẳng qua M và song song với BC có phương trình : x y 3 0. x y 3 0 8 1 Tọa độ giao điểm N BH  là nghiệm của hệ N ; x 2y 2 0 3 3 7 Đường thẳng đi qua N vuông góc với BC cắt BC tại C và có phương trình x y 3 7 x y 2 5 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 3 C ; 3 3 x y 1 0 1 4 5 Trung điểm của BC là I ; . Phương trình đường thẳng AI : x y 3 3 3 1 Đường thẳng AC đi qua C và vuông góc với BH nên AC : 2x y 3 5 x y 3 4 11 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình A ; 1 9 9 2x y 3 4 11 2 5 Vậy A ;- , B 0;-1 ,C ;- . 9 9 3 3  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A. Biết phương trình các đường thẳng AB,BC lần lượt là x 7y 14 0 và 2x y 2 0. Viết phương trình cạnh AC, biết đường thẳng AC đi qua M 4;0 . Định hướng: -Tìm B AB  BC . -Viết phương trình MN , AH . -Tìm N MN  AB I . -Viết phương trình AI , tìm H AI  BC C . -Viết được phương trình AC . Lời giải. x 7y 14 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 0;2 2x y 2 0 Gọi H là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M song song với BC cắt AB tại N và cắt AH tại I. Ta có: Phương trình đường thẳng : 2x y 8 x 7y 14 0 14 12 Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ N ; 2x y 8 0 5 5
  10. 17 6 Do tam giác ABC cân tại A, suy ra I là trung điểm của MN, nên I ; 5 5 Đường thẳng AH đi qua I và vuông góc với BC nên có phương trình x 2y 1 0 x 2y 1 0 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình H 1;0 2x y 2 0 Từ đó suy ra tọa độ điểm C 2; 2 và phương trình đường thẳng AC : x - y - 4 = 0  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD AB / /CD . Biết tọa độ các điểm A 8;2 , B 4;6 , D 6; 8 . Xác định tọa độ đỉnh C. Định hướng: -Tìm tọa độ điểm E , viết phương trình EF . -Viết phương trình CD , suy ra F CD EF . -Suy ra C . Lời giải. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB,CD. Khi đó E 6;4 EF  AB và EF  CD Đường thẳng CD đi qua D và song song với AB nên có phương trình x y 2 0. Đường thẳng EF đi qua E và vuông góc với AB nên có phương trình x y 2 0. x y 2 0 Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ phương trình F 0; 2 x y 2 0 Từ F là trung điểm CD, suy ra tọa độ điểm C 6; 4  Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD. Điểm N 3;2 là trung điểm cạnh BC, các điểm M 2;2 và P 2; 1 lần lượt nằm trên cạnh AB và DC sao cho AM CP . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD Định hướng: -Chứng minh AMCP là hình bình hành nên I MP  AC là tâm của hình chữ nhật. -Tìm tọa độ I C . -Viết phương trình AB,BC,CD B,C . -Từ đó suy ra D . Lời giải.
  11. AM / /CP Ta có tứ giác AMCP là hình bình hành. Gọi AM CP 1 I MP  AC suy ra I là trung điểm của MP I 0; 2 Phương trình đường thẳng AB qua M và song song với NI nên có phương trình x 2y 6 Phương trình đường thẳng BC qua N và vuông góc với BC nên có phương trình 2x y 8 x 2y 6 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ B 2;4 2x y 8 Phương trình đường thẳng DC qua P và song song với AB nên có phương trình x 2y 4 x 2y 4 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ C 4;0 2x y 8 Từ I là giao điểm của hai đường chéo, suy ra A 4;1 , D 2; 3 Vậy A -4;1 , B 2; 4 ,C 4; 0 ,D -2;-3 . Bài 24. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0. Đường thẳng BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0. Trung điểm AC là M(1; 1). Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Định hướng: Biết đường cao BH và trung điểm M của AC ta viết ngay được đường thẳng AC. Xác định được tọa độ của A là giao của AC và d. Từ đó sử dụng tính chất trung điểm ta xác định được tọa độ của C. Vận dung quan hệ song song giữa d và BC ta viết được phương trình của BC. Từ đó xác định được tọa độ đỉnh B là giao của BH và BC. Tiếp theo ta dễ dàng viết được phương trình của AB đi qua hai điểm đã biết tọa độ. Lời giải.  + AC đi qua M và vuông góc với BH nên nhận vectơ chỉ phương uBH (1; 1) của BH làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 1(x 1) 1( y 1) 0 x y 0 . 2 x x y 0 3 2 2 A là giao của AC và d nên tọa độ của A là nghiệm của hệ A ; . x 4y 2 0 2 3 3 y 3 xC 2xM xA 8 8 M là trung điểm của AC nên C ; . yC 2yM yA 3 3 8 8 + BC đi qua C song song với d nên BC: 1 x 4 y 0 x 4y 8 0 . 3 3 x y 3 0 x 4 B là giao của BH và BC nên tọa độ của B là nghiệm của hệ B( 4;1) . x 4y 8 0 y 1
  12. x 4 y 1 + AB đi qua các điểm A và B x 2y 2 0 . 2 2 4 1 3 3 2. Sự tương giao của đường thẳng và đường tròn trong bài toán tìm tọa độ điểm.  Bài 2.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh A 3;2 và C 3;0 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD. Định hướng: -Tìm tọa độ trung điểm I của AC . 1 -Viết phương trình đường tròn tâm I , bán kính R AC . 2 -Viết phương trình đường thẳng BD . Suy ra tọa độ B,D là giao điểm của BD và đường tròn. Lời giải. Trung điểm I của đường chéo AC là I 0;1 . Đường thẳng  BD đi qua I và nhận véc-tơ AC 6; 2 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình 3x y 1 0. AC Phương trình đường tròn tâm I , bán kính R 10 là 2 2 x2 y 1 10. Tọa độ các điểm B, D là nghiệm của hệ phương trình 3x y 1 0 B 1; 2 , D 1;4 2 2 x y 1 10 B 1;4 , D 1; 2 Vậy B -1;-2 ,D 1; 4 hoặc B 1; 4 ,D -1;-2  Bài 2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 5;2 , chân đường cao 1 1 kẻ từ A là điểm H 2; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp I ; . Tìm tọa độ các đỉnh B và C. 3 3
  13. Định hướng: -Viết phương trình đường thẳng BC . -Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . -Suy ra tọa độ điểm B,C là giao của BC và đường tròn. Lời giải.  Đường thẳng BC đi qua H và nhận véc-tơ AH 3; 3 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x y 1 0. 221 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính R IA nên có phương trình 3 2 2 1 1 221 x y . 3 3 9 x y 1 0 2 2 B 4; 3 ,C 3;4 Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ 1 1 221 x y B 3;4 ,C 4;3 3 3 9 Vậy B -4;-3 ,C 3; 4 hoặc B 3; 4 ,C -4;-3  Bài 2.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh A 3;0 và B 1; 3 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD, biết đỉnh D có tung độ dương. Định hướng: -Viết phương trình đường thẳng AD . -Viết phương trình đường tròn tâm A ,bán kính R AB . -Tìm tọa độ điểm D là giao của AD và đường tròn. -Viết phương trình BC,CD . Suy ra C BC  CD . Lời giải.
  14.  Đường thẳng AD đi qua A và nhận véc-tơ AB 2; 3 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình 2x 3y 6 0 . 2 Đường tròn tâm A bán kính R AB 13 có phương trình x 3 y2 13 . 2x 3y 6 0 D 0;2 Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình , vì y 0 D 0;2 . 2 2 D x 3 y 13 D 6; 2 Lúc đó: Phương trình đường thẳng DC : 3x 2y 4 0 và phương trình đường thẳng BC : 2x 3y 7 0 3x 2y 4 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình C 2; 1 2x 3y 7 0 Vậy C 2;-1 ,D 0;2  Bài 2.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung điểm của đoạn BC là 3 M ; 2 , chân đường cao kẻ từ đỉnh C là H 2;1 ; phương trình đường cao 2 BK : 7x 6y 15 0. Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết B có tung độ âm. Định hướng: -Viết phương trình đường tròn tâm M , bán kính MH ngoại tiếp tứ giác BCKH . -Tìm tọa độ giao điểm BK và đường tròn. Suy ra C . -Viết phương trình AB, AC A Lời giải. 85 Đường tròn tâm M bán kính R MH ngoại tiếp tứ giác BCKH và có phương trình 2 2 3 2 85 x y 2 . 2 4 7x 6y 15 0 B 3; 1 2 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 3 2 85 x y 2 3 39 B ; , lo¹i 2 4 17 17 Do M là trung điểm BC , suy ra tọa độ điểm C 6; 3 .
  15. Đường thẳng AB đi qua B,H nên có phương trình 2x y 5 0. Đường thẳng AC đi qua C vuông góc với BK nên có phương trình 6x 7y 15 0 2x y 5 0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ A 1;3 6x 7y 15 0 Vậy A -1;3 ,B -3;-1 ,C 6;-3  Bài 2.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 1;3 , trung điểm của 3 đoạn BC là M ; 2 , phương trình đường thẳng đi qua chân các đường cao kẻ từ đỉnh B,C là 2 22x 31y 75 0. Xác định tọa độ đỉnh C, biết B có hoành độ âm và BC 85 . Định hướng: 1 -Viết phương trình đường tròn tâm M , bán kính R BC . 2 -Tìm tọa độ điểm H là giao của HK và đường tròn. -Viết phương trình AB B là giao của AB và đường tròn. Suy ra C. Lời giải. BC 85 Đường tròn tâm M bán kính R ngoại tiếp tứ giác BCKH (Với K, H lần lượt là hình chiếu 2 2 2 3 2 85 của B trên AC và của C trên AB ) có phương trình x y 2 . 2 4 2 3 2 85 H 2;1 x y 2 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: 2 4 3 39 H ; 22x 31y 75 0 17 17 +) Với H 2;1 phương trình đường thẳng AB : 2x y 5 0 . 2 3 2 85 x y 2 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 2 4 B 3; 1 . Suy ra C 6; 3 2x y 5 0
  16. 3 39 +) Với H ; phương trình đường thẳng AB : 6x 7y 15 0 17 17 2 3 2 85 x y 2 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 2 4 B 6; 3 , loại. 6x 7y 15 0 Vậy C 6;-3  Bài 2.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn tâm I . Gọi H là hình chiếu của A trên BC , K là hình chiếu vuông góc của B trên AI . Giả sử A 2;5 , I 1;2 , điểm B có hoành độ âm và đường thẳng HK có phương trình x 2y 0 . Tìm toạ độ các điểm B,C . Định hướng: -Viết phương trình AI . -Tìm tọa độ điểm K là giao của AI và HK . -Viết phương trình BK , phương trình ngoại tiếp tam giác ABC . Suy ra B . -Viết phương trình đường tròn đường kính AB , suy ra H là giao của HK và đường tròn . -Viết phương trình BC . Suy ra tọa độ B,C là giao của BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Lời giải. x 2y 0 2 1 Phương trình đường thẳng AI : 3x y 1 0 . Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ K ; . 3x y 1 5 5 Phương trình đường thẳng BK : x 3y 1 2 2 Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : x 1 y 2 10. B 2;1 x 3y 1 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2 2 x 1 y 2 10 14 3 B ; lo¹i 5 5 2 Phương trình đường tròn đường kính AB : x2 y 3 8
  17. H 2;1 x 2y 0 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 1 x y 3 8 H ;  K lo¹i 5 5 Phương trình đường thẳng BC : y 1 0. y 1 0 C 4;1 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 2 2 x 1 y 2 10 C 2;1  B lo¹i Vậy B -2;1 ;C 4;1  Bài 2.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hàng ABCD . Phương trình đường tròn 2 2 5 1 5 đường kính AB là C : x x ; đường thẳng đi qua B vuông góc với AC có 2 2 2 phương trình x y 2 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD , biết điểm B có tung độ âm và đường thẳng CD đi qua điểm M 0; 4 . Định hướng: - Tìm tọa độ điểm B,H là giao của BH và đường tròn C . - Tâm I là trung điểm của AB A . -Viết phương trình AC,CD C .   -Từ AB DC D . Lời giải. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC. Tọa độ các điểm B, H là nghiệm của hệ phương trình 2 2 5 1 5 B 3; 1 x x 2 2 2 , do điểm B có H 1;1 x y 2 0 tung độ âm. 5 1 Tâm I ; là trung điểm của BC . Suy ra A 2;2 2 2 Đường thẳng AC đi qua H và vuông góc với BH nên có phương trình x y 0. Đường thẳng CD đi qua M và song song với AB nên có phương trình 3x y 4 0. x y 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ C 1; 1 . 3x y 4 0
  18.   Từ đẳng thức CD AB D 2;2 Vậy A -2;2 ;B -3;-1 ;C 1;-1 ;D 2;2  Bài 2.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt là x 2y 13 0 và 13x 6y 9 0. Tìm tọa độ các đỉnh B,C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I 5;1 . Định hướng: -Tìm tọa độ điểm A là giao của AH , AM . -Gọi M là trung điểm của BC , viết phương trình IM , tìm tọa độ điểm M . -Viết phương trình BC , viết phương trình ngoại tiếp tam giác ABC . Suy ra tọa độ điểm B,C là giao của BC và đường tròn. Lời giải. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình x 2y 13 0 A 3; 8 13x 6y 9 0 Gọi M là trung điểm BC. Đường thẳng IM đi qua I và song song với AH nên có phương trình x 2y 7 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 13x 6y 9 0 M 3;5 x 2y 7 Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AH nên có phương trình 2x y 11 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính R IA 85 nên có phương trình 2 2 x 5 y 1 85. 2x y 11 B 2;7 ,C 4;3 Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ phương trình 2 2 x 5 y 1 85 B 4;3 ,C 2;7 Vậy B 2;7 ,C 4;3 hoặc B 4;3 ,C 2;7 .  Bài 2.9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm 9 3 I ; . Điểm M 3;0 là trung điểm của cạnh AD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. 2 2
  19. Định hướng : -Viết phương trình AD . -Từ diện tích hình chữ nhật suy ra độ dài AD . -Viết phương trình đường tròn đường kính AD . -Tìm tọa độ điểm A,D là giao của đường thẳng AD và đường tròn. Suy ra B,C . Lời giải.  3 3 Đường thẳng AD đi qua M, nhận véc tơ IM ; làm véc-tơ 2 2 pháp tuyến nên có phương trình x y 3 24 Lại có SABCD 4.SIAD 2.MI.AD AD 2 2 6. 2 AD Phương trình đường tròn tâm M, bán kính R 2 là 2 2 x 3 y2 2. Tọa độ các đỉnh A, D là nghiệm của hệ phương trình x y 3 x 2 x 4 và 2 2 x 3 y 2 y 1 y 1 Từ đó suy ra tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD là 2;1 , 5;4 , 7;2 , 4; 1 .  Bài 2.10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A 1;4 , phương trình đường thẳng BC : x y 4 0. Xác định tọa độ các đỉnh B,C biết tam giác ABC có diện tích bằng 18. Định hướng : - Viết phương trình AH . Suy ra H AH  BC . - Từ diện tích tam giác ABC BC . 1 - Viết phương trình đường tròn tâm H , bán kính R BC . 2 - Tìm tọa độ điểm B,C là giao của BC và đường tròn.
  20. Lời giải. Gọi H là trung điểm của BC. Đường thẳng AH đi qua A và vuông góc với BC nên có phương trình x y 3 x y 4 0 7 1 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình H ; x y 3 2 2 1 Lại có S AH.BC BC 4 2 ABC 2 2 2 BC 7 1 Đường tròn tâm H, bán kính R 2 2 có phương trình x y 8 2 2 2 x y 4 0 3 11 x x 2 2 2 2 Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ phương trình 7 1 và x y 8 5 3 2 2 y y 2 2 3 5 11 3  Vậy tọa độ các điểm B,C là ; , ;  2 2 2 2   Bài 2.11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là : 3x y 7 0 và điểm B 0; 3 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi, biết diện tích hình thoi bằng 20. Định hướng : -Nhận xét rằng B , suy ra AC  . -Viết phương trình BD , tìm I AC  BD .Suy ra D . -Từ diện tích hình thoi, suy ra độ dài AC . -Viết phương trình đường tròn tâm I , bán kính R IA . -Tìm tọa độ giao điểm A,C Lời giải. Dễ thấy B AC : 3x y 7 0. Gọi I AC  BD Đường thẳng BD đi qua B và vuông góc với AC nên có phương trình x 3y 9
  21. x 3y 9 Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình I 3; 2 3x y 7 0 Từ đó suy ra D 6; 1 Lại có SABCD AC.BD AC 2 10 2 2 Đường tròn tâm I bán kính R IA 10 có phương trình x 3 y 2 10. 3x y 7 0 A 4; 5 ,C 2;1 Tọa độ các điểm A,C là nghiệm của hệ phương trình 2 2 x 3 y 2 10 A 2;1 ,C 4; 5 Vậy A 4;-5 ,C 2;1 ,D 6;-1 hoặc A 2;1 ,C 4;-5 ,D 6;-1  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I 2;1 và AC 2BD. Xác định tọa độ đỉnh B, biết phương trình đường thẳng AB : 4x 3y 1 0 và điểm A có hoành độ âm. Định hướng: -Dựa vào tính chất tam giác vuông IAB và AC 2BD , tính IA,IB . -Viết phương trình đường tròn tâm I , đường kính AC . -Tìm tọa độ điểm A là giao của AB và đường tròn đường kính AC . -Viết phương trình BD , tìm B BD  AB . Lời giải. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB. Ta có: IH d I; AB 2 . Lại có 1 1 1 1 1 1 IB 5 2 2 2 2 2 IH IA IB 4 4IB IB IA 2 5 Đường tròn tâm I bán kính R IA 2 5 có phương trình 2 2 x 2 y 1 20 4x 3y 1 0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 2 2 A 2;3 , do A có hoành độ âm. x 2 y 1 20 Khi đó phương trình đường thẳng BD là 2x y 3 0
  22. 2x y 3 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B 1; 1 4x 3y 1 0 Vậy B 1;-1  Bài 2.12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M 1; 1 là trung điểm của cạnh BC. Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết trọng tâm tam giác ABC là 2 G ;0 3 Định hướng : -Từ tính chất trọng tâm tam giác , suy ra A . -Viết phương trình đường thẳng BC . -Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . -Tìm tọa độ điểm B,C là giao của BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Lời giải.   Từ tính chất G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra AG 2GM A 0;2  Đường thẳng BC đi qua M, nhận véc-tơ AM 1; 3 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x 3y 4 0. Do tam giác ABC vuông cân ở A, nên MB MC MA 10. 2 2 Đường tròn tâm M bán kính R MA 10 có phương trình x 1 y 1 10. x 3y 4 0 B 4;0 ,C 2; 2 Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ phương trình 2 2 x 1 y 1 10 B 2; 2 ,C 4;0 Vậy A 0;2 ,B 4; 0 ,C -2;-2 hoặc A 0;2 ,B -2;-2 ,C 4; 0  Bài 2.13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân ở A nội tiếp đường tròn C : x2 y2 2x 4y 1 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết điểm M 0;1 là trung điểm cạnh AB và A có hoành độ dương.
  23. Định hướng : -Viết phương trình AB. Tìm tọa độ A, B là giao của AB và đường tròn (C). -Viết phương trình BC. Tìm tọa độ điểm C là giao của BC và đường tròn (C). Lời giải. Đường tròn C có tâm I 1;2 bán kính R 2.  Đường thẳng AB đi qua M nhận véc-tơ MI làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x y 1 0. Tọa độ các điểm A,B là nghiệm của hệ phương trình x y 1 0 2 2 A 1;2 , B 1;0 , do A có hoành độ dương. x 1 y 2 4  Đường thẳng BC đi qua B và nhận véc-tơ IA làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x 1 0. x 1 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 2 2 C 1;4 x 1 y 2 4 Vậy A 1;2 ,B -1; 0 ,C -1; 4  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 5 5 , tâm 1 3 I 0; , trung điểm của đoạn AD là E 1; . Xác định toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật 2 2 ABCD, biết A có hoành độ âm. Định hướng : -Viết phương trình AD . -Từ chu vi hình chữ nhật tính AD,IA . -Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD . -Viết phương trình AD . Suy ra tọa độ A,D giao điểm của AD và đường tròn. -Suy ra B,C .
  24. Lời giải.  Đường thẳng AD đi qua E và nhận véc-tơ IE 1; 2 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x 2y 4 0. Ta lại có CVABCD 5 5 AB AD 5 5 2IE AD 5 5 AD 3 5 65 Lúc đó IA IE2 AE2 2 65 Phương trình đường tròn tâm I bán kính R IA có phương trình 2 2 2 1 65 x y 2 4 x 2y 4 0 A 4;0 Tọa độ các điểm A, D là nghiệm của hệ phương trình 2 (Do A có hoành độ 2 1 65 x y D 2; 3 2 4 âm). Từ I là tâm của hình chữ nhật suy ra các điểm B 2;4 ,C 4;1 Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A -4; 0 ,B -2; 4 ,C 4;1 ,D 2;-3  Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ C xuống AB là H 4;2 , trung điểm của BC là M 3;4 , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I 5;3 . Tìm tọa độ điểm A . Định hướng : -Viết phương trình BC . -Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC . -Tìm tọa độ B,C là giao điểm của BC và đường tròn. -Viết phương trình AB A . Lời giải.  Đường thẳng BC đi qua M và nhận véc-tơ MI làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình 2x y 2 0 2 2 Đường tròn tâm M bán kính R MH 5 ngoại tiếp tam giác BCH có phương trình x 3 y 4 5