Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023 (Có đáp án) - Mã đề 101

Nội dung text: Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023 (Có đáp án) - Mã đề 101

1. Giải đề thi TNTHPT năm 2023. Mã đề 101 Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình 22x 8 là 3 3 3 A. ; .B. ; .C. ( ;2) .D. 0; . 2 2 2 3 Hướng dẫn : Ta có 22x 8 22x 23 2x 3 x . 2 Câu 2. Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 4 1 4 1 2 1 2 3 3 A. x 3dx x 3 C . B. x 3 dx x 3 C C. x 3 dx x 3 C . D. x 3dx x 3 C . 4 2 1 1 4 1 1 3 Hướng dẫn: Ta có x 3 dx x 3 C x 3 C với C ¡ . 1 1 4 3 Câu 3. Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều? A. 729 B. 20 C. 120 D. 216 . Hướng dẫn : Số tam giác là số cách chọn 3 đỉnh của tam giác. Số tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy 3 từ các đỉnh của một lục giác đều là C6 20 tam giác. Câu 4. Cho hàm số f (x) cos x x . Khẳng định nào dưới đây đúng? x2 A. f (x)dx sin x x2 C . B. f (x)dx sin x C . 2 x2 C. f (x)dx sin x x2 C . D. f (x)dx sin x C . 2 1 Hướng dẫn : Ta có f (x)dx cos x x dx sin x x2 C với C ¡ . 2 Câu 5. Đạo hàm của hàm số y log2(x 1) là x 1 1 1 1 A. y B. y C. y D. y ln 2 ln 2 (x 1)ln 2 x 1 u ' x 1 1 Hướng dẫn : log u ' nên y log (x 1) y . a u ln a 2 x 1 ln 2 x 1 ln 2 Câu 6. Với b,c là hai số thực dương tùy ý thỏa mãn log5 b log5 c , khẳng định nào dưới đây là đúng? A. b c B. b c C. b c D. b c Hướng dẫn: Ta có: log5 b log5 c b c . Câu 7. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x 2 là A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Hướng dẫn: Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị. Do số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 2 là 3 nên số nghiệm thực của phương trình f x 2 là 3. 1
2. 3x 1 Câu 8. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y có phương trình là x 2 1 A. x 2 B. x 2 C. x 3 D. x 2 3x 1 3x 1 Hướng dẫn: Ta có lim và lim nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x 2 x 2 x 2 x 2 3x 1 y có phương trình là x 2. x 2 Câu 9. Nếu khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích V thì khối chóp A .ABC có thể tích bằng V 2V A. B. V C. D. 3V 3 3 Hướng dẫn: Gọi h là chiều cao của khối lăng trụ ABC.A'B'C' . Khi đó V h.SABC. 1 1 Ta có V h.S V A '.ABC 3 ABC 3 Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ . Biết hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên ¡ 4 và F 2 6,F 4 12. Tích phân f x dx bằng 2 A. 2 B. 6 C. 18 D. 6 4 Hướng dẫn: f x dx F 4 F 2 12 6 6 . 2 Câu 11. Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây? A. 2 i B. 1 2i C. 1 2i D. 2 i Hướng dẫn : Điểm M 2;1 biểu diễn số 2 i . Câu 12. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x 1 0 2 f ' x 0 ― P ― 0 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ;0 B. 2; C. 0; D. 1;2 Hướng dẫn : Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2; . Câu 13. Cho hình trụ có chiều cao h 3 và bán kính đáy r 4. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 48 B. 16 C. 24 D. 56 Hướng dẫn : Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng S 2 hr 2. .3.4 24 . Câu 14. Cho khối nón có thể tích bằng 12 và diện tích đáy bằng 9. Chiều cao của khối nón đã cho bằng: 4 4 A. B. C. 4 D. 4 3 3 2
3. 3V 3.12 Hướng dẫn : Chiều cao của khối nón đã cho bằng: h 4 . S 9 Câu 15. Cho hai số phức z1 2 i và z2 1 3i. Phần thực của số phức z1 z2 bằng A. 3 B. 4 C. 1 D. 1 Hướng dẫn : z1 z2 2 i 1 3i 1 4i . Phần thực của số phức z1 z2 bằng 1. Câu 16. Cho khối chóp S.ABCD có chiều cao bằng 4 và đáy ABCD có diện tích bằng 3. Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 7 B. 5 C. 4 D. 12 1 1 Hướng dẫn: V Bh .3.4 4 3 3 1 Câu 17. Cho hàm số y 2x 2 1 2 . Giá trị của hàm số đã cho tại điểm x 2 bằng A. 3 B. 7 C. 3 D. 7 1 1 Hướng dẫn: f 2 2.22 1 2 7 2 7 . 1 * Câu 18. Cho dãy số u với u , n ¥ . Giá trị của u bằng n n n 1 3 1 1 1 A. 4 B. C. D. 4 3 2 1 1 Hướng dẫn: Ta có u . 3 3 1 4 Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1;2; 1 và bán kính R 2 . Phương trình của S là A. x 1 2 y 2 2 z 1 2 4 B. x 1 2 y 2 2 z 1 2 2 C. x 1 2 y 2 2 z 1 2 2 D. x 1 2 y 2 2 z 1 2 4 Hướng dẫn: Phương trình mặt cầu S có tâm I 1;2; 1 và bán kính R 2 là x 1 2 y 2 2 z 1 2 22 x 1 2 y 2 2 z 1 2 4 . Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho hai vecto u 1;2; 2 và v 2; 2;3 . Tọa độ của vecto u v là A. 1;4; 5 B. 1; 4;5 C. 3;0;1 D. 3;0; 1 Hướng dẫn: Ta có u v 1 2; 2 2 ; 2 3 3;0;1 . Câu 21. Cho số phức z 1 2i . Phần ảo của số phức z bằng A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 Hướng dẫn : Ta có z 1 2i nên phần ảo của số phức z là 2. 1 3 3 Câu 22. Nếu f x dx 2 và f x dx 5 thì f x dx bằng 0 1 0 A. 10 B. 3 C. 7 D. 3 3 1 3 Hướng dẫn : Ta có: f x dx f x dx f x dx 2 5 7 . 0 0 1 Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình log3 2x log3 2 là A. 0; B. 1; C. 1; D. 0;1 3
4. Hướng dẫn : Điều kiện : x 0. Ta có: log 2x log 2 2x 2 x 1. 3 3 Câu 24. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau? x 2 A. y x B. y x3 3x 1 C. y x4 3x2 2 D. y 2x 1 3 2 Hướng dẫn : Ta có : y x 3x 1 có y 3x 3 0 x 1. Vậy x 1 là các điểm cực trị của hàm số. Câu 25. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng Oxz có phương trình là. A. x 0 B. z 0 C. x y z 0 D. y 0 Hướng dẫn: Mặt phẳng Oxz có phương trình là: y 0. Câu 26. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d a,b,c,d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá ¡ trị cực đại của hàm số đã cho bằng: A. 0 B. 1 C. 3 D. 1 Hướng dẫn: Giá trị cực đại của hàm số là 3. Câu 27. Trong không gia Oxyz phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 2;1; 1 và có một véc tơ chỉ phương u 1; 2;3 là x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 1 A. B. 2 1 1 1 2 3 x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 1 C. D. 2 1 1 1 2 3 Hướng dẫn: Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 2;1; 1 và có một véc tơ chỉ phương x 2 y 1 z 1 u 1; 2;3 là . 1 2 3 Câu 28. Cho hàm số bậc bốn y f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 1 B. 3. C. 0 D. 2 Hướng dẫn: Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là 2. Câu 29. Với a , b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn a 1 và log b 2 , giá trị của log ab2 a a2 bằng 3 1 5 A. 2 B. C. D. 2 2 2 4
5. 1 5 Hướng dẫn : Ta có log ab2 log a log b2 log a log b 2 . a2 a2 a2 a2 a 2 2 Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(5;2;1) và B(1;0;1) . Phương trình của mặt cầu đường kính AB là A. x 3 2 y 1 2 z 1 2 5 B. x 3 2 y 1 2 z 1 2 20 C. x 3 2 y 1 2 z 1 2 5 D. x 3 2 y 1 2 z 1 2 20 Hướng dẫn : Do AB là đường kính của mặt cầu nên trung điểm I 3;1;1 của AB là tâm mặt cầu, bán 2 2 2 AB 5 1 2 0 1 1 kính của mặt cầu là: R 5 . 2 2 Ta có phương trình mặt cầu: C : x 3 2 y 1 2 z 1 2 5. Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;2; 1) và mặt phẳng (P) : x 2y z 0. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình là x 1 t x 1 t x 1 t x 1 t A. y 2 2t B. y 2 2t C. y 2 2t D. y 2 2t z 1 t z 1 t z 1 t z 1 t Hướng dẫn : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) : x 2y z 0 nên nhận vector pháp tuyến n 1;2;1 của P là vector chỉ phương. x 1 t Mặt khác đường thẳng đi qua A 1;2; 1 nên ta có phương trình y 2 2t t ¡ . z 1 t x 5 Câu 32. Biết đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 2 là x1,x2 . Giá trị x1 x2 bằng A. 1 B. 3 C. 2 D. 1 Hướng dẫn : Phương trình hoành độ giao điểm là: x 5 x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 5 0 2 2 x 3x 2 x 5 0 x 2x 3 0 x 3 . Suy ra x1 x2 1 3 2 . x 1 Câu 33. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x x 4 ,x ¡ . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f 4 f 0 B. f 0 f 2 C. f 5 f 6 D. f 4 f 2 x 0 Hướng dẫn : f ' x x x 4 nên f ' x 0 x 4 Khi đó lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên ta được f 0 f 2 . Câu 34. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB 1, BC 2 , AA' 2 (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và DC' bằng A. 2 6 B. 2 2 5 C. 5 5
6. 6 D. . 3 Hướng dẫn : Dễ thấy đường thẳng AD’ //(C’BD) mà (C’BD) có chứa C’D nên khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và DC' bằng khoảng cách từ AD’ đến mp (C’BD) * Ta có d AD',C'D =d AD', C'DB d A, C'DB )xem phần nhắc lại lý thuyết) * Mặt khác đoạn thẳng AC cắt cắt mp (C’BD) tại O mà OA = OC nên d A, C'DB d C, C'DB h * Xét tứ diện C.BC'D có các cạnh CD,CB,CC' đôi một vuông góc nên ta có 1 1 1 1 1 1 1 3 h2 CB2 CD2 CC'2 22 12 22 2 6 h . 3 b B M Nhắc lại lý thuyết về khoảng cách: b / / với  a thì a d a,b d a, d B, AB b' A M' (Hình a) Câu 35. Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng 72 15 128 71 A. B. C. D. 143 143 143 143 Hướng dẫn : 4 Số cách để chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ 5 8 13 học sinh là C13 . 4 Khi đó n  C13 . Gọi A là biến cố để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ. Khi nó n A C1C3 C2C2 C3C1 640 5 8 5 8 5 8 n A C1C3 C2C2 C3C1 128 Nên P A 5 8 5 8 5 8 . 4 n  C13 143 Cách 2: 4 * Số phân tử của không gian mẫu n  C13 715 * Gọi A là biến cố để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.  4 4 Số cách chọn 4 người chỉ toàn nam hoặc toàn nữ: n A C5 C8 75 n A 640 128 n A 715 75 640 P A n  715 143 Câu 36. Gọi z ,z là hai nghiệm phức của phương trình z2 6z 14 0 và M, N lần lượt là điểm 1 2 biểu diễn của z1,z2 trên mặt phẳng toạ độ. Trung điểm của đoạn MN có toạ độ là A. 3;7 B. 3;0 C. 3;0 D. 3;7 2 2 Hướng dẫn: Phương trình z 6z 14 0 . Có ' 9 14 5 5i 2 Suy ra ' 5i i 3 Phương trình có 2 nghiệm là z 3 i 3;z 3 i 3 1 2 6
7. Tọa độ M 3; 3 ;N 3; 3 Trung điểm của đoạn thẳng MN có tọa độ là 3;0 . Câu 37. Đường gấp khúc ABC trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f x trên đoạn 2;3   3 .Tích phân f x dx bằng 2 A. 4 9 B. 2 7 C. 2 D. 3 3 1 1 Hướng dẫn: Ta có f x dx S S S =3.1 .1.1 .1.1 3. ABGH BGD CDE 2 2 2 3a Câu 38. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy bằng a chiều cao bằng .Góc giữa mặt phẳng SCD 6 và mặt phẳng đáy bằng A. 45 B. 90 C. 60 D. 30 Hướng dẫn: S Gọi O là tâm mặt đáy, H là trung điểm cạnh CD Ta có: SCD  ABCD CD HS  SCD ,HS  CD · Dễ thấy: SCD , ABCD S·HO HO  ABCD ,HO  CD A a D 3a H 3a a · SO 6 3 · O SO ;OH tan SHO Suy ra SHO 30 B 6 2 OH a 3 C 2 Vậy góc giữa mặt phẳng SCD và ABCD là 30. Câu 39. Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn điều kiện 7x 49 log2 x 7log x 6 0 ? 3 3 A. 728 B. 726 C. 725 D. 729 Hướng dẫn: x 7 49 0 2 x 2 log3 x 7log3 x 6 0 Điều kiện: x > 0, ta có: 7 49 log3 x 7log3 x 6 0 x 7 49 0 2 log3 x 7log3 x 6 0 7x 49 x 2 6 1 log3 x 6 3 x 3 0 x 2 x x 2 7 49 6 3 x 3 log x 1 0 x 3 3 6 log3 x 6 x 3 7
8. Mà x ¢ x 1;4;5; ;728 Vậy có 726 số thỏa mãn. Câu 40. Cho hàm số bậc hai y f x có đồ thị P và đường thẳng d cắt P tại hai điểm như trong 125 hình vẽ bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi P và d có diện tích S . Tích phân 9 6 2x 5 f x dx bằng 1 830 A. 9 178 B. 9 340 C. 9 925 D. 18 Hướng dẫn: 6 6 3 8 125 245 Cách 1. Theo hình vẽ ta có: S S f (x)dx f (x)dx S S .5 hinh thang hinh thang 2 9 18 1 1 6 245 Vậy f (x)dx 18 1 6 6 6 6 * Ta có: 2x 5 f x dx 2x 5 d f x 2x 5 f x f (x)d 2x 5 1 1 1 1 6 6 245 245 340 2x 5 f x 2 f (x)dx 2.6 5 f 6 2.1 5 f 1 2. 7.8 3.3 1 18 9 9 1 b b b (đã áp dụng TP từng phần: udv uv a vdu ) a a Cách 2: Gọi f x ax2 bx c và g x dx e . Do (P) cắt (d) tại hai điểm có hoành độ x = 1 và x = 6 nên f x g x a x 1 x 6 6 6 125 125 125 * Theo đề bài ta có: S f (x) g(x)dx a (x 1)(x 6)dx a. a 9 6 6 1 1 125 125 2 Ta có: a a 9 6 3 * Do đồ thị của (P) : y ax2 bx c qua hai điểm 1;3 , 6;8 ta có HPT: 3 a b c 7.2 11 11 5 35a 5b 1 7a b b 1 7a 1 Vậy b 8 36a 6b c 3 3 3 2 11 4 11 Do đó: f x x2 x c f ' x x 3 3 3 3 8
9. 6 6 4 11 340 2x 5 f x dx 2x 5 x dx 3 3 9 1 1 6 6 4 11 Chú ý: Dùng máy tính CASIO để tính các tích phân (x 1)(x 6)dx và 2x 5 x dx 3 3 1 1 Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m , hàm số 5 y x3 3x2 3mx có đúng một cực trị thuộc khoảng 2;5 ? 3 A. 16 B. 6 C. 17 D. 7 5 Hướng dẫn: y 3x2 6x 3m .Hàm số y x3 3x2 3mx có đúng một cực trị thuộc khoảng 3 2;5 khi và chỉ khi y 0 có một nghiệm thuộc khoảng 2;5 x2 2x m 0 có một nghiệm thuộc khoảng 2;5 2 x 2x m g x x2 2x g x 2x 2 g x 0 2x 2 0 x 1 Để hàm số có 1 cực trị 8 m 15 15 m 8 m 14; 13; 12; 11; 10; 9; 8  Câu 42. Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên khoảng 0; , có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn f x ln f x x f x f x , x 0; . Biết f 1 f 3 , giá trị f 2 thuộc khoảng nào dưới đây? A. 12;14 B. 4;6 C. 1;3 D. 6;8 f x Hướng dẫn: f x ln f x x f x f x ln f x x 1 ln f x x 1 ln f x f x x2 ln f x x x ln f x ln f x x ln f x x x.ln f x ' x C x.ln f x 2 1 Vậy x ln f x x2 C (1) 2 1 Cho x 1 ta được ln f 1 C 2 9 Cho x 3 ta được 3ln f 3 C 2 3 1 3 Theo bài ra thì f 1 f 3 , từ đó suy ra C Thay vào (1) x ln f x x2 2 2 2 7 1 3 7 7 Cho x 2 ta được 2ln f 2 22 ln f 2 f 2 e4 5,75 chọn B 2 2 2 4 Câu 43. Gọi S là tập hợp các số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z z z z 6 và ab 0 . Xét z z z và z thuộc S sao cho 1 2 là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z 3i z bằng 1 2 1 i 1 2 A. 3 2 B. 3 C. 3 5 D. 3 3 2 Hướng dẫn: Từ z z z z 6 suy ra a b 3 a b 3 (do ab 0 ) 9
10. z z a b i a b i a1 a2 b1 b2 i 1 i * 1 2 1 1 2 2 1 i i 1 i 1 i 1 a a a a i b b i b b a a b b a a b b i 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 z z a1 a2 b1 b2 0 Do 1 2 là số thực dương nên Thêm điều kiện ta có hệ BPT 1 i a1 a2 b1 b2 0 a1 a2 b1 b2 0 a1 b1 a2 b2 0 a1 b1 3 b1 a1 3 a1 a2 b1 b2 0 a1 b1 a2 b2 0 a2 b2 3 b2 a2 3 a b a b a b a b ai bi 3 i 1;2 ai bi 3 i 1;2 1 1 2 2 1 1 2 2 Ta có: Z1 a1 b1i a1 a1 3 i Z1 3i a1 a1 6 i và Z2 a2 b2i a2 a2 3 i Ta phải biến đổi phần thức và phần ảo các số phức trên theo a1 a1 b1 a2 b2 a1 a1 3 a2 a2 3 2a1 3 2a2 3 a2 a1 3 thay vào Z2 ta có: Z2 a1 3 a1i 2 2 2 2 2 2 2 2 Từ z1 3i z2 a1 a1 6 a1 3 a1 a1 a1 6 a1 3 a1 2 2 2 2 a1 a1 3 a1 6 a1 3 6 3 5 Vậy Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1 3i z2 là 3 5 Dấu “=” xảy ra khi a1 2. Ghi chú: ở trên ta đã áp dụng bất đẳng thức sau: Với 4 số bất kỳ a, b, c, d ta có: a2 b2 c2 d2 a c 2 b d 2 (1) . Chứng minh: Do 2 vế đều dương, ta bình phương 2 vế của (1) a2 b2 c2 d2 a c 2 b d 2 a2 b2 c2 d2 2 a2 b2 c2 d2 a c 2 b d 2 a2 b2 c2 d2 ac bd + Trường hợp ac bd 0 thì BĐT đúng + Trường hợp ac bd 0 ta bình phương hai vế, ta có: (1) a2 b2 c2 d2 a2c2 b2d2 2abcd a2d2 b2c2 2abcd ad bc 2 0 là BĐT đúng a c * Dấu “=” xảy ra khi ad bc b d Cách 2: Dùng BĐT đối với véc tơ. Cho hai véc tơ u , v ta có: u v u v * Theo trên ta có: Z a a 3 i , Z a 3 a i và Z Z 3i a a 6 i  1 1 1  2 1 1 3 1 1 1 Ta đặt u OM a1;a1 6 , v OM a1 3; a1 , Từ BĐT u v u v ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 a1 6 a1 3 a1 a1 a1 3 a1 6 a1 3 6 5 3   a1 3 a1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi OM , ON cùng phương a1 2 a1 a1 6 Nhận xét: Nên làm theo cách 2 phổ biến hơn Cách 3. Giải bằng hình học * Từ z z z z 6 suy ra a b 3 a b 3 (do ab 0 ) 10
11. z z * Xét biểu thức: 1 2 k k R,k 0 (1) 1 i Gọi M biểu diễn số phức z1, N biểu diễn số phức z2 và I 1;1 từ (1)        OM ON kOI MN k.OI , MN cùng chiều với OI * Từ a b 3 , a 3, b 3, M, N lần lượt chạy trên các đoạn thẳng có phương trình x – y = -3 và x – y = 3 *Từ z1 3i z2 z1 0 3i z2 MA ON . Bài toán trở về việc tìm MA ON nhỏ nhất với A 0; 3 .   * Vì MN luôn luôn cùng phương OI nên OM = ON. Gọi F là điểm đối xứng của O qua CD thì F 3;3 ta có: OM = MF * Ta có MA ON MA MF và tổng này nhỏ nhất khi hai điểm F, M, A thẳng hàng và bằng FA 0 3 2 3 3 2 32 62 3 5 Câu 44. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA SB SC AC a, SB tạo với mặt phẳng SAC một góc 30. Thể tích khối chóp đã cho bằng a3 a3 3a3 3a3 A. B. C. D. 4 8 12 24 Hướng dẫn : Vẽ BH  SAC tại H suy ra S·B; SAC S·B;BH B· SH 30 Từ đó ta có VS.ABCD 2VS.ABC 2VB.SAC BH BH a Xét SHB vuông tại H ta có sin B· SH sin30 BH SB a 2 a2 3 SAC là tam giác đều cạnh a nên S SAC 4 1 1 a a2 3 a3 3 VB.SAC BH.S SAC . . 3 3 2 4 24 a3 3 a3 3 Vậy V 2V 2. . S.ABCD B.SAC 24 12 2 2 2 Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 1 4 và đường thẳng d đi qua điểm A 1;0; 2 , nhận u 1;a;1 a (với a ¡ ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng d cắt S tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của S tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi a2 thuộc khoảng nào dưới đây? 1 3 3 15 1 A. ; B. ;2 C. 7; D. 0; 2 2 2 2 4 Hướng dẫn : Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 1 , bán kính R 2 Gọi B,C là giao điểm giữa d và S , và K là hình chiếu vuông góc của I trên giao tuyến hai mặt tiếp diện. Theo đề d cắt S tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của S tại hai điểm đó vuông góc với nhau, nghĩa là tứ giác KBIC là hình vuông, từ đó suy ra BC IK 2 2 . Gọi H là giao điểm của 2 đường IK chéo của hình vuông thì IH 2 2 11
12. Từ đó ta có d I;d 2   Ta có AI 0; 2;1 , u 1;a;1 a suy ra AI;u a 2;1;2  AI;u 2 2 2 a 2 1 2 2 5 3 Từ đó d I;d 2 2 2 a ;2 . u 1 a2 1 a 2 3 2 Cách 2. Tính theo góc Ta tính được AI 22 12 5 AH 3 (định lý Pi ta go)  A 1;0; 2 , I 1; 2; 1 AI 0; 2,1 , u 1;a;1 a   AI,u 2a 1 a 3 3a 1 5 cos AI,u  3 a2 AI u 5 1 a2 1 a 2 5 2a2 2a 2 3 Câu 46. Trên tập số phức, xét phương trình z2 az b 0 a,b R . Có bao nhiêu cặp số a,b để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z ,z thỏa mãn z 2 2 và z 1 4i 4 ? 1 2 1 2 A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 Hướng dẫn : 2 Ta có a 4b Trường hợp 1. 0 z1,z2 ¡ . Xét điều kiện z1 2 2 z 4 z 2 2 z 2 2 1 1 1 z 2 2 1 z1 0 Vậy có 2 bộ nghiệm 4; 1 và z 1 4i 4 z 1 4i 4 2 2 2 z 1 z2 1 16 16 2 0; 1 z1 z2 a a 3 Với bộ z1 4,z2 1 có z1z2 b b 4 z1 z2 a a 1 Với z1 0,z2 1 có z1z2 b b 0 Vậy TH1 có 2 cặp số a;b thỏa mãn. z1 x yi Trường hợp 2. 0 các nghiệm là các số phức liên hợp. Xét điều kiện: z2 x yi 2 2 2 2 z1 2 2 x yi 2 2 x 2 y 4 x y 4x 0 1 z 1 4i 4 x yi 1 4i 4 2 2 2 2 2 x 1 y 4 16 x y 2x 8y 1 0 2 2 6x 1 2 6x 1 Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được: 6x 8y 1 0 y x 4x 0 8 8 61 4 231 416 24 231 x m y n 2 50 400 100x 244x 1 0 có 2 cặp nghiệm: 61 4 231 416 24 231 x m' y n '' 50 400 z1 m ni;z2 m ni và z1 m' n 'i;z2 m' n 'i với m’, n’ là những số đặt ở trên 2m a tm z1 z2 a + Ưng với bộ z m ni;z m ni thì 1 2 z z b 2 2 1 2 m n b tm 12
13. 2m' a tm z1 z2 a + Ưng với bộ z m' n 'i;z m' n 'i thì 1 2 z z b '2 2 1 2 m n ' b tm Thay m, n, m’, n’ vào ta được 2 cập a, b là những số thực Vậy TH2 có 2 cặp số a;b thỏa mãn. Vậy có 4 cặp số a;b thỏa mãn. Chú ý: Vì đề bài chỉ yêu cầu tìm số bộ a,b , không yêu cầu tính cụ thể a, b nên ta không cần tìm ra cụ thể các nghiệm mà chỉ cần tính số bộ nghiệm. Cách giải trên mục đích cho học sinh hiểu cụ thể. Với bài này ta làm như sau: 2 Ta có a 4b Trường hợp 1. 0 z1,z2 ¡ . Xét điều kiện z1 2 2 z 4 z 2 2 z 2 2 1 1 1 z 2 2 1 z1 0 Vậy có 2 bộ nghiệm 4; 1 và z 1 4i 4 z 1 4i 4 2 2 2 z 1 z2 1 16 16 2 0; 1 . Vì có 2 bộ nghiệm nên có 2 bộ số (a, b) z1 x yi Trường hợp 2. 0 các nghiệm là các số phức liên hợp. Xét điều kiện: z2 x yi 2 2 z1 2 2 x yi 2 2 x 2 y 4 Vì z 1 4i 4 x yi 1 4i 4 2 2 2 x 1 y 4 16 + Các số x, y là số nghiệm của HPT trên số giao điểm các hai đường tròn C1 : I1 2;0 ,R1 2và C2 : I2 1; 4 ,R1 4 2 2 + Ta có: I1I2 3 4 5 . Vậy R1 R2 I1I2 R1 R2 nên 2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm có 2 bộ nghiệm Có 2 bộ số (a, b) Vậy có tất cả 4 bộ số Chọn D Câu 47. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y , tồn tại duy nhất một giá trị 3 9 3 2 2 x ; thỏa mãn log3 x 6x 9x y log2 x 6x 5 . Số phần tử của S là 2 2 A. 7 B. 1 C. 8 D. 3 Hướng dẫn: Ta xem y là tham số Rút y ra để có dạng quen thuộc: tìm nghiệm của phương trình m = f(x) * Đặt y = m log x2 6x 5 3 2 2 3 2 2 Ta có: log3 x 6x 9x m log2 x 6x 5 x 6x 9x m 3 2 log2 x 6x 5 3 9 m 3 x3 6x2 9x với x ; 2 2 log x2 6x 5 2 3 2 * Gọi f (x) 3 x 6x 9x log x2 6x 5 2 2 2 f '(x) log2 x 6x 5 '3 ln3 3x 12x 9 13
14. 2 2 log2 x 6x 5 2x 6 log2 x 6x 5 2.3 .ln3 3 .ln3 3 x2 4x 3 x 3 3 x 1 2 2 x 6x 5 ln 2 x 6x 5 ln 2 2 log2 x 6x 5 2.3 x 3 .log 3 3 x 1 2 2 x 6x 5 3 9 Ta thấy với x ; thì biểu thức trong dấu ngoặc vuông dương do đó dấu của f ’(x) phụ thuộc vào 2 2 dấu của x 3 . Ta có bảng xét dấu * Từ bảng xét dấu ta thấy để ứng với mỗi y tồn tại duy nhất x tức là phương trình m = f(x) có nghiệm duy nhất khi m 9 m 9 7,7 m 0,95 7 m 1 m Z m Z có 8 giá trị y thỏa mãn YCBT chọn C Câu 48. Xét khối nón N có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2. Khi N có độ dài đường sinh bằng 2 3 , thể tích của nó bằng A. 2 3 B. 3 C. 6 3 D. Hướng dẫn: Gọi H là tâm đường tròn đáy của N , đỉnh S. Gọi S’ là điểm đối xứng của S qua I + Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ASS’(vuông tại A) 2 SA2 2 3 SA2 SH.SS' SH 3hay h 3 SS' 2.2 + Áp dụng định lý Pi ta go trong tam giác vuông SAH: 2 r2 AH2 SA2 AH2 2 3 32 3 1 2 1 V(N) r h 3.3 3 3 3 Câu 49. Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu S có tâm I 4;8;12 và bán kính R thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của S trong mặt phẳng Oyz mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ? A. 6 B. 2 C. 10 D. 5 Hướng dẫn: Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng Oyz thì H 0;8;12 + Hai tiếp tuyến với mặt cầu qua O là OA, OB, ta nhận thấy khi R thay đổi thì H và O cố định và OH 82 122 4 13 còn bán kính đường tròn giao tuyến thay đổi do đó góc A· OB thay đổi có 2 cách làm Cách 1. Thay đổi AH theo R để góc A· OB thay đổi. + Góc giữa 2 đường thẳng là góc nhọn, ta có 60 A· OB 120 (vì nếu A· OB 120 thì góc còn lại nhỏ hơn 60 ) 14
15. 1 3 30 A· OH 60 sin A· OH (*) 2 2 2 2 2 · AH R IH R 16 Mà sin AOH (vì IH xI 4 ) OH 4 13 4 13 1 R2 16 3 Thay vào (*) ta có: 2 13 R2 16 2 39 68 R2 172 2 4 13 2 8,25 R 13,11mà R Z nên R 9;10; ;13. Vậy có tất cả 5 giá trị của R . Cách 2. Khi R thay đổi thì bán kính đường tròn giao tuyến r thay đổi, trên đường thẳng HO có 2 vị trí mà góc tạo bởi 2 tiếp tuyến từ đó bằng 60 và bằng 120 tìm giới hạn của HO theo HM và HN tức theo R Ta có: HN HO HM ( ) 3 r 2 2 + A· NB 120 A· NH 60 sin A· NH HN r R2 16 (A và B không 2 HN 3 3 phải vị trí như hình vẽ) 1 r + A· MB 60 A· MH 30 sin A· MH HM 2r 2 R2 16 2 HM Thay vào ( ) ta có: 2 1 1 2 13 r r 4 13 2r r 2 13 r 1 1 3 2 13 r 2 39 3 3 3 r 2 13 1 1 2 (Ở trên đã sử dụng BĐT với a>0, b>0 nếu a ≤ b thì a b ). Thay r R 16 ta có: 2 13 R2 16 2 39 68 R2 172 8,25 R 13,11 mà R Z nên R 9;10; ;13. Vậy có tất cả 5 giá trị của R . Câu 50. Cho hàm số f x x4 32x2 4 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m , tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng 3;2 của phương trình 2 f x 2x 3 m bằng 4 ? A. 145 B. 142 C. 144 D. 143 Hướng dẫn: Đặt u x2 2x 3 . Ta có: f u f x2 2x 3 f ' u(x) u(x)'f ' u 2x 2 4u3 64u 8 x 1 u u2 16 8 x 1 u u 4 u 4 Vì u x2 2x 3 x 1 2 2 0,x R nên u, u +4 luôn luôn dương do đó dấu của f’(u) là dấu của tích x 1 u 4 x 1 x 1 0 x 1 f ' u f ' x2 2x 3 0 x 1 2 2 u 4 0 x 2x 3 4 0 x 1 2 Bảng xét dấu của f ' u là dấu của hàm số x 1 x2 2x 1 như sau: * Dựa vào bảng xét dấu ta thấy +Khi m > - 108 phương trình f u m có 2 nghiệm x1 3; 1 2 và x2 1 2;2 nên tổng 2 nghiệm không bằng – 4 15
16. + Khi m = - 108 phương trình có 3 nghiệm: x1 1, x1 3; 1 2 và x2 > 0 nên tổng 3 nghiệm khác – 4. + Chỉ còn lại trường hợp – 252 <m< -108 phương trình có 4 nghiệm. Ta chứng minh tổng 4 nghiệm này luôn luôn bằng – 4. * PT f u u4 32u2 4 m với 252 m 108có 4 phân biệt x1,x2,x3,x4 (theo bảng xét dấu) nên PT 4 2 u 32u 4 m có 2 nghiêm u1 0,u2 0 Các PT theo x là: 2 2 2 2 x 2x 3 u1 (1) , x 2x 3 u1 (2) , x 2x 3 u2 (3) x 2x 3 u2 (4) 2 2 Các PT (2) và (4) vô nghiệm vì x 2x 3 u1 (2) x 1 2 u1 0 PT (1) có 2 nghiệm x1 x2 2 , PT (3) có 2 nghiệm x3 x4 2 x1 x2 x3 x4 2 2 4 * Vậy 252 m 108 , m Z thỏa mãn YCBT có 143 số 16