Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Bài 2: Cực trị của hàm số

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Bài 2: Cực trị của hàm số

1. BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 38
2. 5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 5.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y ax3 bx2 cx d. 5.1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Bài toán tổng quát: Cho hàm số y f x;m ax3 bx2 cx d. Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp: • Bước 1: Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y 3ax2 2bx c Ax2 Bx C • Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu) y 0 có hai nghiệm phân biệt và y đổi dấu qua 2 nghiệm đó phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt A 3a 0 a 0 m D . 2 2 2 1 y B 4AC 4b 12ac 0 b 3ac 0 • Bước 3: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y 0. B 2b x x 1 2 A 3a Khi đó: . C c x .x 1 2 A 3a • Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm được m D2. • Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m D1  D2. * Chú ý: Hàm số bậc ba: y ax 3 bx 2 cx d a 0 . Ta có: y ' 3ax 2 2bx c. Điều kiện Kết luận b2 3ac 0 Hàm số không có cực trị. b2 3ac 0 Hàm số có hai điểm cực trị. 5.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương y ax 4 bx 2 c, a 0 5.2.1. Một số kết quả cần nhớ • Hàm số có một cực trị ab 0. • Hàm số có ba cực trị ab 0. a 0 • Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu . b 0 a 0 • Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại . b 0 39
3. a 0 • Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại . b 0 a 0 • Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại . b 0 5.2.2. Một số công thức tính nhanh b b Giả sử hàm số y ax 4 bx 2 c có 3 cực trị: A(0;c),B ; ,C ; 2a 4a 2a 4a tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện: ab 0 Đặt: B·AC = a y b3 cot 2 Tổng quát: 2 8a A O x B C Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab 0;c 0 Tam giác ABC vuông cân tại A b3 8a Tam giác ABC đều b3 24a Tam giác ABC có diện tích S S 3 2 5 ABC 0 32a (S0) b 0 Tam giác ABC có diện tích max(S ) 5 0 b S 0 32a3 Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp b2 r r r ABC 0 b3 4 a 1 1 8a Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp b3 8a R R R ABC 8 a b Tam giác ABC có độ dài cạnhBC m 2 0 am0 2b 0 Tam giác ABC có độ dài AB AC n 2 2 4 0 16a n0 b 8ab 0 Tam giác ABC có cực trị B,C Ox b2 4ac Tam giác ABC có 3 góc nhọn b(8a b3) 0 Tam giác ABC có trọng tâm O b2 6ac Tam giác ABC có trực tâm O b3 8a 4ac 0 Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi b2 2ac 40
4. Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b3 8a 4abc 0 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp b3 8a 8abc 0 Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC b3.k 2 8a(k 2 4) 0 Trục hoành chia tam giác ABC thành b2 4 2 ac hai phần có diện tích bằng nhau Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục 2 hoành b 8ac Đồ thị hàm số C : y ax 4 bx 2 c cắt trục Ox 100 b2 ac tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 9 Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 4 2 36 C : y ax bx c và trục hoành có diện tích b2 ac 5 phần trên và phần dưới bằng nhau. Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: 2 2 2 2 x y c y c 0 b 4a b 4a Vấn đề 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: • Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f x . • Bước 2: Tìm các điểm xi i 1;2; mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. • Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f x . Nếu f x đổi dấu khi đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi . Định lí 3: Giả sử y f x có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x0 h;x0 h với h 0. Khi đó: • Nếu f x0 0, f x0 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0. • Nếu f x0 0, f x0 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0. Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số Quy tắc 2: • Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f x . • Bước 2: Tìm các nghiệm xi i 1;2; của phương trình f x 0. • Bước 3: Tính f x và tính f xi . 41
5. f Nếu f xi 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi . Nếu f x 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm i xi . B. TOÁN MẪU VD1. Hàm số y x4 2x2 1 có bao nhiêu điểm cực trị? Lời giải Cách 1: 3 2 x 0 y 4x 4x 4x x 1 y 0 x 1 Bảng biến thiên: x 1 0 1 + y' 0 + 0 0 + y Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. Cách 2: Hàm số y x4 2x2 1 là hàm trùng phương có a.b 0 nên có 3 điểm cực trị. 3 VD2. Tìm điểm cực đại x0 của hàm số y = x - 3x + 1. A. x0 = 2. B. x0 = 1. C. x0 = - 1. D. x0 = 3. 1 2x VD3. Hàm số y có bao nhiêu cực trị? x 2 1 VD4. Gọi x và x là hai điểm cực trị của hàm số f x x3 3x2 2x . Giá trị của x 2 x 2 bằng ? 1 2 3 1 2 VD5. Hàm số y 2x3 x2 5 có điểm cực đại là 42
6. 1 A. x . B. x 5 . C. x 3 . D. x 0 . 3 VD6. Tìm các điểm cực trị của hàm số: 2 a) y x4 x3 5. b) y x4 32x . c) y x2 x . 4 d) y 2 x 2 3. e) y 3x4 4x3 30x2 36x 1 f) y x4 6x2 8x 1. VD7. Tìm các các điểm cực trị của hàm số: x2 2x 2 x2 1 a) y . b) y . x 1 x 1
7. VD8. Tìm các điểm cực trị của hàm số: a) y x 2 4x . b) y 6 x x2 . C) y 2x x2 x . VD9. Tìm các các điểm cực trị của hàm số: 2 2 2 a) f ' x x x 2 . b) f ' x x x 1 x 2 . 2 3 c) f ' x x2 x 1 . d) f ' x x2 x 1 x 2 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Kiểu 1. Tính trực tiếp Câu 1. Tìm giá trị cực đại của hàm số y x3 3x2 9x 1 . A. 6 . B. 3 . C. . 26 D. . 20 Câu 2. Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = - x3 + 3x + 4 . A. (- 1; 2) . B. x = - 1 . C. x = 1 . D. (1;6) . 3 2 Câu 3. Điểm cực tiểu xCT của hàm số y x 4x 3x 7 là 1
8. 1 1 A. .x B. . x C. 1. D. . x 3 x CT 3 CT CT CT 3 Câu 4. Số điểm cực trị của hàm số y x3 3x2 4x 5 là A. .1 B. . 2 C. . 3 D. . 0 Câu 5. Cho hàm số y f (x) x3 3x 2 . Các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số là A. .y CĐ 0; yCT 4 B. . yCĐ 4; yCT 4 C. .y CĐ 0; yCT 4 D. . yCĐ 0; yCT 6 Câu 6. Cho hàm số y x3 3x2 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và cực tiểu tại x 2 . B. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 và cực đại tại x 0 . C. Hàm số đạt cực đại tại x 2 và cực tiểu tại x 0 . D. Hàm số đạt cực đại tại x 2 và cực tiểu tại x 0 . Câu 7. Hàm số y 2x3 3x2 4 đạt cực tiểu tại điểm nào ? A. .x 3 B. . x 0 C. và x .0 x D.1 . x 1 Câu 8. Cho hàm số y x3 3x 2 . Giá trị cực đại của hàm số là A. . 1 B. . 4 C. . 1 D. . 0 3 2 Câu 9. Cho hàm số y x x x 3 . Điểm M 1;2 là A. Điểm cực đại của hàm số.B. Điểm cực tiểu của hàm số. C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số.D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số Câu 10. Cho hàm số y x3 3x2 2, hãy chọn khng định đúng: A. Hàm số có đúng ba điểm cực trị. B. Hàm số có đúng hai điểm cực trị. C. Hàm số chỉ có một điểm cực trị. D. Hàm số không có điểm cực trị Câu 11. Điểm cực tiểu của hàm số y x3 3x2 9x 2 tương ứng là: A. .x 1 B. . x 3 C. . D.yC .T 7 yCT 25 3 2 Câu 12. Giá trị cực đại yCD của hàm số y x 6x 9x 2 bằng A. .2 B. . 1 C. . 4 D. . 6 3 2 Câu 13. Hàm số y x 3x 2 có giá trị cực tiểu yCT là A. .y CT 2 B. . yCT C. 4 . D. . yCT 4 yCT 2 Câu 14. Giá trị cực tiểu của hàm số y x3 3x2 9x 2 là A. .7 B. . 25 C. . 20 D. . 3 Câu 15. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x2 . A. .2 2 B. . 1 C. . 3 D. . 2 5 Câu 16: Điểm cực đại của hàm số y x3 3x2 2019 là A. .y 2019 B. . C.M . (0;2019) D. . x 0 x 2 Câu 17. Hàm số y = x4 - 3x2 + 1 có A. một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.B. một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại. C. một điểm cực đại duy nhất.D. một điểm cực tiểu duy nhất. Câu 20. Chọn khẳng định đúng về hàm số y = x4 - 3x3 + 2 A. Hàm số không có cực trị.B. Số điểm cực trị của hàm số là 2. C. Số cực trị của hàm số là 1.D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng . - 27 Câu 21. Hàm số nào sau đây có đúng một điểm cực trị? A. .y = x3 -B.x .2 - 2 C. . D.y =. x4 - 2x2 - 2 y = x4 + 4x2 + 1 y = x- 1 48
9. Câu 22: Hàm số dạng y = ax4 + bx2 + c(a ¹ 0) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Câu 23: Hàm số y x4 2x2 3 có bao nhiêu điểm cực trị? A. .0 B. 3. C. . 1 D. . 2 Câu 24: Hãy xác định tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y 2x4 4x2 1. A. . 1; 1 B. . 1;1 C. . D. 1; . 1 0;1 Câu 25. Giá trị cực tiểu của hàm số y = x4 - 2x2 - 3 bằng A. - 4 . B. .- 3 C. . - 6 D. . 0 Câu 26. Trong các hàm số sau, hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu? A. y x4 x2 3 . B. y x4 x2 3 . C. y x4 x2 3 . D. y x4 x2 3 . Câu 27. Hàm số nào trong các hàm số sau có 3 điểm cực trị ? A. .yB. .2x4 4x2 1 y x4 x2 1 C. .yD . .x4 x2 1 y x4 x2 1 Câu 28. Hàm số y x4 2x2 3 đạt cực tiểu tại x bằng A. . 1 B. . 2 C. . 0 D. . 3 2x 5 Câu 29. Hàm số y có bao nhiêu điểm cực trị? x 1 A. .0 B. . 2 C. . 3 D. . 1 2x- 2 Câu 30. Hàm số y = có bao nhiêu điểm cực trị ? x + 2018 A. .3 B. . 1 C. . 0 D. . 2 x 2 Câu 31. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 1 A. 4 . B. 1 . C. 0 . D. 3 . Câu 32. Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị 1 A. y x4 2x2 1 B. y x3 3x2 7x 2 3 C. y x4 2x2 D. y x4 2x2 Câu 33. Hàm số nào sau đây không có cực trị? A. .y x3 1 B. . C. . y x3 D.3x 2. 1 y x3 x y x4 3x2 2 Câu 38. Trong các hàm số sau, hàm số nào có 3 điểm cực trị? A. .y 2B.x 4. 3xC.2 .2 D. . y x2 3x 2 y 2x4 3x2 2 y x3 3x2 2 Câu 39. Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị? 2x 3 A. . y B. . y C.x .4 D. . y x3 x y x 2 x 2 Câu 40. Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và có đạo hàm f '(x) x(x 1)2 (x 2)3 . Số điểm cực trị của hàm số y f (x) là: A. .1 B. . 2 C. . 0 D. . 3 Câu 41. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f '(x) x2 (x 1)2 (2x 1) . Khi đó số điểm cực trị của hàm số đã cho là bao nhiêu? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. 49
10. Câu 42. Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và có đạo hàm f '(x) x(x 1)2 (x 2)3 . Số điểm cực trị của hàm số y f (x) là: A. .1 B. 2. C. . 0 D. . 3 2 Câu 43. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và f ' x x 1 x 2 x 3 . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. .3 B. . 1 C. . 0 D. . 2 2 Câu 44. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên ¡ là f ¢(x)= (x- 1) (x- 3) . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số không có cực trị. B. Hàm số có một điểm cực đại. C. Hàm số có đúng một điểm cực trị. D. Hàm số có hai điểm cực trị. 3 4 Câu 45. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ biết f x x2 x 1 x2 x 2 x 5 . Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là A. .4 B. . 3 C. . 2 D. . 1 2 4 Câu 46. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 x 2 ,x R . Tìm số điểm cực tiểu của hàm số y f x . A. .2 B. . 3 C. . 0 D. . 1 2 3 4 Câu 47. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 x 2 x 3 . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. .2 B. . 1 C. . 0 D. . 3 Câu 53. Cho hàm số y x2 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x 0 . B. Hàm số không có cực trị. C. Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . D. Hàm số có hai điểm cực trị. Câu 60. Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x 2 . Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A , B là A. .x y 1 B.0 . C. 4. x y D.0 . 2x y 2 0 x y 2 0 Câu 63. Đồ thị hàm số y x3 3x2 9x 5 có hai điểm cực trị là A , B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ? A. .E 2; 14 B. . C.F . 2;14 D. . N 2;0 M 0; 2 Câu 66. Cho hàm số y x3 3x2 2 , có đồ thị C . Gọi A,B là các điểm cực trị của C . Tính độ dài đoạn thẳng AB . A. 4. B. .2 5 C. 5. D. 5 2 1 Câu 79. Gọi M, N là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x4 8x2 3 . Độ dài đoạn thẳng MN là 4 A. 10. B. 6. C. 8. D. 4. Câu 83. Cho hàm số y x4 2x2 4. Gọi A,B,C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính diện tích S của tam giác ABC A. 4. B. 2. C. . 10 D. 1. Vấn đề 2. XÁC ĐỊNH CỰC TRỊ THÔNG QUA BBT, ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 50
11. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. .x = 3 B. . x = 0 C. . xD.= .- 1 x = - 2 Câu 2. Cho hàm số f x xác định trên ¡ và có bảng xét dấu f x như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 . B. Hàm số đạt cực đại tại x 3 . C. x 1 là điểm cực trị của hàm số. D. Hàm số có hai điểm cực trị. Câu 3. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đạt cực đại tại điểm A. .x 0 B. . 0; 3 C. . y 3D. . x 3 Câu 4. Cho hàm số y ax4 bx2 c a,b,c ¡ , đồ thị như hình vẽ: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: A. 2 . B. .1C. . D. . 0 3 Câu 5. Hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng? 51
12. A. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 . B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 1 . C. Hàm số có đúng hai cực trị. D. Hàm số đạt cực đại tại x 0 , x 1 và đạt cực tiểu tại x 2 . Câu 6. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0. C. Hàm số có 2 điểm cực tiểu. D. Hàm số có ba điểm cực trị. Câu 7. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. .4 B. . 5 C. . 2 D. . 3 Câu 8. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị? A 0 B. . 3 C. . 1 D. . 2 Câu 9. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau 52
13. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. B. Hàm số đã cho không có cực trị. C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. D. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại. Câu 10. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Giá trị cực đại của hàm số đã cho là A. .y 1 B. . x 0 C. . y D.0 . x 1 Câu 11. Cho hàm số y f x có đồ thị Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x 1 .B. . x 2 C. . x 1 D. . x 2 Câu 12. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau? Hàm số đạt cực đại tại điểm x0 bằng A. .0 B. . 4 C. . 1 D. . 3 Câu 13. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên đoạn  2;2 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f x đạt cực đại tại điểm nào dưới đây ? 53
14. A. .x 1 B. . x 2 C. . x 1D. . x 2 Câu 14. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận đúng? A. Hàm số f x có điểm cực tiểu là x 2 .B. Hàm số f có x giá trị cực đại là . 1 C. Hàm số f x có điểm cực đại là x 4 . D. Hàm số f x có giá trị cực tiểu là 0 . Câu 15. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số không có cực trị. B. Hàm số đạt cực đại tại x 0 . C. Hàm số đạt cực đại tại x 5 . D. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 . Câu 16. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số bằng A. . 1 B. . 2 C. . 1 D. . 0 Câu 17. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 54
15. Mệnh đề nào dưới đây là sai? A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0. B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. C. Hàm số có ba điểm cực trị. D. Hàm số có hai điểm cực tiểu. Câu 18. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2. B. Hàm số đạt cực đại tại x = 2. C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. Câu 19. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x . A. 1 B. .2 C. . 4 D. . 3 Câu 20. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số không có cực trị. B. Hàm số đạt cực đại tại x 0 . C. Hàm số đạt cực đại tại x 5 . D. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 . Câu 23. Cho hàm số y f (x) liên tục trên¡ và có bảng xét dấu f x như sau: 55
16. x -∞ 1 2 3 4 +∞ f '(x) 0 + + 0 + Kết luận nào sau đây đúng A. Hàm số có 4 điểm cực trị. B. Hàm số có 2 điểm cực đại. C. Hàm số có 2 điểm cực trị. D. Hàm số có 2 điểm cực tiểu. Câu 25. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ: Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Đồ thị hàm số y f x có hai điểm cực đại. B. Đồ thị hàm số y f x có ba điểm cực trị. C. Đồ thị hàm số y f x có hai điểm cực trị. D. Đồ thị hàm số y f x có một điểm cực trị. Câu 26. Hàm số y x4 2x2 3 có bao nhiêu điểm cực trị? A. .6 B. . 5 C. . 3 D. . 4 Câu 27. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ: Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. Có một điểm. B. Có ba điểm. C. Có hai điểm. D. Có bốn điểm. Câu 28. Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm y f x như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số y f x x2 x đạt cực đại tại x 0 . B. Hàm số y f x x2 x đạt cực tiểu tại x 0 . C. Hàm số y f x x2 x không đạt cực trị tại x 0 . 56
17. D. Hàm số y f x x2 x không có cực trị. Câu 29. Cho hàm số f (x) liên tục trên các khoảng ( ;1),(1; ) và có bảng biến thiên như hình dưới Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đạt cực tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 2 . B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. C. Hàm số đạt cực tại x 2 và đạt cực tiểu tại x 0 . D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 5. Vấn đề 3. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Phát biểu nào sau đây là sai? A. Hàm số f (x) đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của phương trình f (x) 0 . B. Nếu f (x0 ) 0 và f (x0 ) 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 . C. Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua điểm x0 và f (x) liên tục tại x0 thì hàm số y f (x) đạt cực trị tại x0 . D. Nếu f (x0 ) 0 và f (x0 ) 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 . f 1 0 Câu 2. Cho hàm số f x có . Kết luận nào sau đây đúng? f 1 0 A. x 1 là điểm cực đại của hàm số. B. Giá trị cực đại của hàm số là 1 . C. x 1 là điểm cực tiểu của hàm số. D. Giá trị cực tiểu của hàm số là 1 . Câu 3. Cho hàm số y ax4 bx2 c a 0 có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. .2B. .C. . 3 D. . 1 0 Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và x0 K .Mệnh đề nào sau đây đúng A. Nếu x0 là điểm cực đại của hàm số y f x thì f x0 0. B. Nếu f x0 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số y f x . C. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y f x thì f x0 0 . D. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y f x thì f x0 0. Câu 5. Cho hàm số y f x , chọn khẳng định đúng ? A. Nếu f x0 0 và f x0 0 thì x0 không phải là cực trị của hàm số. B. Hàm số y f x đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi f x0 0 . C. Nếu hàm số y f x có điểm cực đại và điểm cực tiểu thì giá trị cực đại lớn hơn giá trị cực tiểu. 57
18. D. Nếu f x đổi dấu khi qua điểm x0 và f x liên tục tại x0 thì hàm số y f x đạt cực trị tại điểm x0 . Câu 6. Cho hàm số y f x . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số y f x đạt cực trị tại x0 thì f '' x0 0 hoặc f '' x0 0 . B. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại x0 hoặc f ' x0 0 . C. Hàm số y f x đạt cực trị tại x0 thì f ' x0 0 . D. Hàm số y f x đạt cực trị tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0 . Câu 7. Cho hàm số f x có đạo hàm trong khoảng K x0 h; x0 h , h 0 . Nếu f ' x0 0 và f " x0 0 thì x0 là A. Điểm cực tiểu của hàm số. B. Giá trị cực đại của hàm số. C. Điểm cực đại của hàm số.D. Giá trị cực tiểu của hàm số. Câu 8. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng K x0 h; x0 h ,h 0 . Nếu f x0 0 và f x0 0 thì x0 là: A. điểm cực tiểu của hàm số. B. giá trị cực đại của hàm số. C. điểm cực đại của hàm số. D. giá trị cực tiểu của hàm số. Câu 9. Cho hàm số y = f có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 h; x0 h) , với h > 0. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Nếu f '(x0 ) 0 và f "(x0 ) 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0. B. Nếu f '(x0 ) 0 và f "(x0 ) 0 thì hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0. C. Nếu f '(x0 ) 0 và f "(x0 ) 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0. D. Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 thì f '(x0 ) 0 . Câu 11. Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và x0 K . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu x0 là điểm cực đại của hàm số y f x thì f x0 0. B. Nếu f x0 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số y f x . C. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y f x thì f x0 0 . D. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y f x thì f x0 0. Câu 12. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0) có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu khi A. ,a . B.0 , . C. a, .> 0 b 0 b> 0 a< 0 b< 0 58
19. Vấn đề 4. TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM BẬC BA CÓ CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hàm số: y ax3 bx2 cx d có đạo hàm y' 3ax2 2bx c a 0 Để hàm số có cực đại, cực tiểu y' 0 có 2 nghiệm phân biệt 2 b 3ac 0 B. TOÁN MẪU 1 VD1. Tìm điều kiện cần và đủ của mđể hàm số y x3 mx 2 4x 5 có hai điểm cực trị. 3 1 2 y x3 mx 2 4x 5 y' x 2mx 4 3 Điều kiện cần và đủ của để hàm số có hai điểm cực trị là: ' 0 m2 4 0 m 2 m 2 Hay m 2  2; . VD2. Cho hàm số y x3 mx 2 m 2 6 x. Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có cực trị. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 3 2 Câu 1. Điều kiện cần và đủ của tham số m để hàm số y x x mx 5 có cực trị là: 1 1 1 1 A. .m B. . m C. . m D. . m 3 3 3 3 1 Câu 2. Cho hàm số y x 3 2mx 2 (4m 1)x 3. Mệnh đề nào sau đây sai? 3 1 A. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi m . B. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi m 1. 2 1 C. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi m . D. Với mọi m , hàm số luôn có cực trị. 2 3 2 Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 3x mx 1 có hai điểm cực trị. A. .m 3 B. . m 3 C. . D.m . 3 m 3 Vấn đề 5. TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM BẬC BA không CÓ CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hàm số: y ax3 bx2 cx d có đạo hàm y' 3ax2 2bx c Để hàm số không có cực đại, cực tiểu y' 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép b2 3ac 0 59
20. ì ï a = 0 Trường hợp a có tham số m thì xét thêm trường hợp í . ï b = 0 îï B. TOÁN MẪU VD1. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y mx3 2mx2 m 2 x 1 không có cực trị. Lời giải TH1: m 0 : Ta có y 2x 1 y 2 0,x ¡ Hàm số nghịch biến trên ¡ nên không có cực trị. Vậy m 0 thỏa mãn. TH2: m 0 : Ta có y 3mx2 4mx m 2 ; y 0 3mx2 4mx m 2 0 * . 3 2 Hàm số y mx 2mx m 2 x 1 không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y 0 vô 2 2 nghiệm hoặc có nghiệm kép * 2m 3m m 2 0 m 6m 0 6 m 0 . Vậy m  6;0 . Kết hợp 2 trường hợp ta có m  6;0 . VD2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x3 3x2 mx 1 không có cực trị. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Điều kiện cần và đủ của tham số m để hàm số y x3 x2 mx 5 không có điểm cực trị là: 1 1 1 1 A. .m B. . m C. . mD. . m 3 3 3 3 3 2 Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 3x mx 1 không có điểm cực trị. A. .m 3 B. . m 3 C. . D.m . 3 m 3 3 3 Câu 4. Biết rằng hàm số y x a x b x3 không có điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng ? A. .a b 0 B. . ab 0C. . aD.b . 0 ab 0 Vấn đề 6. TÌM HÀM SỐ BẬC BA THỎA GIẢ THIẾT CHO TRƯỚC A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Áp dụng các kiến thức đã học. B. TOÁN MẪU VD1. Biết đồ thị hàm số y ax3 bx2 1 a,b ¡ có một điểm cực trị là A 1; 2 , Tính giá trị của 3a 4b . 62
21. Lời giải TXĐ: D ¡ . y 3ax2 2bx . Do A 1; 2 là một điểm cực trị của hàm số nên ta có y 1 2 a b 1 2 a b 1 a 2 . y 1 0 3a 2b 0 3a 2b 0 b 3 Vậy 3a 4b 3.2 4. 3 6 VD2. Đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d có hai điểm cực trị là A(1; 7) , B(2; 8) . Tính y( 1) . C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Biết rằng đồ thị hàm số y x3 3x2 ax b có điểm cực tiểu là A 2; 2 . Tính tổng S a b A. .S 34 B. . S C.14 . D. S. 14 S 20 Câu 2. Cho biết hàm số y f x x3 ax2 bx c đạt cực trị tại điểm x 1 , f 3 29 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tính giá trị của hàm số tại x 2 . A. . f 2 2B.4 . C. f. 2 2D. . f 2 4 f 2 16 y f x a x3 bx2 cx d Câu 3. Cho hàm số với a 0 . Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A 1;1 B 1;3 f 4 . , . Tính A. . f 4 1B.7 . C. . f 4 D. 2 .4 f 4 53 f 4 17 x3 Câu 4. Hàm số y = + mx2 + (m2 - 4)x- 2018 đạt cực đại tại x = 1 khi m = . Tính 3 P = 2 + 2018 . A. .P = 2018 B. .C. P = .D.20 12 . P = 2017 P = 2020 Vấn đề 7. TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM y ax4 bx2 c CÓ 3 CỰC TRỊ (1 CỰC TRỊ) A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hàm số: y ax4 bx2 c có đạo hàm y' 4ax3 2bx 2x 2ax2 b • Hàm số có một cực trị ab 0 \ a b 0 • Hàm số có ba cực trị ab 0. B. TOÁN MẪU VD1. Tìm tham số m để các đồ thị của các hàm số sau có ba điểm cực trị. 63
22. a) y 2x4 8mx3 (8m 1)x2 2015. b) y mx4 (m2 9)x2 10. c) y (m 2)x4 2mx2 m 1. d) y x4 2(m 1)x2 1. e) y x4 (m2 4)x2 3. f) y x4 (m 1)x2 2. VD2. Cho hàm số y mx4 (m 1)x2 1 2m. Tìm m để đồ thị hàm số có đúng 1 cực trị C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x4 2 m2 m 6 x2 m 1 có 3 điểm cực trị. A. .6 B. . 5 C. . 4 D. . 3 Câu 2. Tìm các giá trị của m để hàm số y x4 2 m 1 x2 3 m có đúng một điểm cực trị. A. .m 1 B. . m 1 C. . m D.1 . m 1 Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx4 + (m- 1)x2 + 1- 2m chỉ có một cực trị. A. m ³ 1. B. Cm. £D0. . hoặc 0 £ m £ 1. m £ 0 m ³ 1. Câu 4. Tập hợp các số thực m thỏa mãn hàm số y mx4 x2 1 có đúng một điểm cực trị là A. . B . ;0 .C. .D . ;0 . 0; 0; Câu 5. Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x4 + 2(m2 - m- 6)x2 + m- 1 có ba điểm cực trị. A. .6 B. . 5 C. . 4 D. . 3 Vấn đề 8. TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM y ax4 bx2 c CÓ 2 ĐIỂM CỰC ĐẠI VÀ MỘT CỰC TIỂU HOẶC 2 CỰC TIỂU VÀ MỘT CỰC ĐẠI 64
23. A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hàm số: y ax4 bx2 c có đạo hàm y' 4ax3 2bx 2x 2ax2 b a 0 • Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu . b 0 a 0 • Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại . b 0 a 0 • Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại . b 0 a 0 • Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại . b 0 B. TOÁN MẪU VD1. Cho hàm số y mx4 (m 1)x2 1 2m. Tìm m để đồ thị hàm số có đúng 1 cực trị và là cực đại Lời giải VD2. Cho hàm số y (m 1)x4 3mx2 5. Tìm m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu VD3. Cho hàm số y (m 1)x4 3mx2 5. Tìm m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu VD4. Cho hàm số y (m 1)x4 2mx2 1. Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 65
24. 4 2 Câu 1. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y m 1 x mx có đúng một điểm cực tiểu. A. . 0;1 B. . 0; C. . D.1 ;. 0;1  1; 4 2 2 Câu 2. Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y mx (m -1)x 1-2m có một cực tiểu và hai cực đại. A.m (1; ) . B.m ( ; 1) . C. m (0;1) . D.m ( ; 0)  (1; ) . 4 2 Câu 3. Cho hàm số y mx 2m 1 x 1 . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có một điểm cực đại. 1 1 1 1 A. . m B.0 . C.m . D. . m m 0 2 2 2 2 1 3 Câu 4. Tìm tham số m để hàm số y x 4 mx 2 có cực tiểu mà không có cực đại? 2 2 A. m 0 B. m 1 C. m 1 D. m 0 3 7 Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 4 2mx 2 có cực tiểu mà không có 2 3 cực đại. A. .m 0 B. . m 0 C. . m D.1 . m 1 Câu 6. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2018;2019 để hàm số y mx4 m 1 x2 1 có đúng một điểm cực đại? A. 0. B. 2018. C. 1. D. 2019. 66
25. Vấn đề 9. TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC ĐẠI (HOẶC CỰC TIỂU) TẠI x=x0 A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. • Bước 2. Tính đạo hàm y và y . • Bước 3. Dựa vào yêu cầu bài toán, ghi điều kiện và giải hệ tìm tham số. Cụ thể: y (xo ) 0 Hàm số đạt cực đại tại điểm x x  o y (xo ) 0 y (xo ) 0 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x x  o y (xo ) 0 y (xo ) 0 Hàm số đạt cực trị tại điểm x x  o y (xo ) 0 • Bước 4. Với m vừa tìm được, thế vào hàm số và thử lại (vẽ bảng biến thiên và nhận, loại). Chú ý: riêng với hàm số bậc ba thì không cần thử lại (không làm bước 4) B. TOÁN MẪU 1 VD1. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 mx 2 m 2 m 1 x đạt cực đại tại x 1 . 3 Lời giải Ta có y x2 2mx m2 m 1, y 2x 2m . 2 2 m 3m 0 y 1 0 1 2m m m 1 0 Hàm số đạt cực đại tại x 1 1 y 1 0 1 2m 0 m 2 m 0 m 3 m 3 . 1 m 2 1 VD2. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y x 3 mx 2 m 2 m 1 x 1 đạt cực đại tại x 1 ? 3 3 2 VD3. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3x mx đạt cực đại tại x 0. 67
26. x5 mx4 VD4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 2 đạt cực đại tại x = 0 5 4 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Hàm số y 2x3 4 2m x2 m 5 x 4 đạt cực đại tại x 0 thì giá trị của m là A. . 5 B. . 5 C. . 2 D. 13. 3 2 2 Câu 2. Hàm số : y x 2mx m x 2 đạt cực tiểu tại x 1 khi: A. m 3 . B. .m 1 C. . m 1D. . m 3 Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mx3 x2 m2 6 x 1 đạt cực tiểu tại x 1 . m 1 1 A. . B. . m 1C. . D. m. 4 m m 4 3 Câu 4. Hàm số y x3 2mx2 m2 x 2 đạt cực tiểu tại x 1 khi: A. m 3 . B. .m 1 C. . m 1D. . m 3 4 3 2 Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 4x mx 4x 3 đạt cực tiểu tại x 1 . A. m 2 . B. m 4 . C. m 6 . D. .m 1 Vấn đề 10. TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN MỘT TÍNH CHẤT NÀO ĐÓ A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Xem lại các tính chất và lý thuyết đã nêu ở phần tóm tắt đầu bài B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 3 2 Câu 1. Điều kiện của tham số m để hàm số y x 3x mx 1 đạt cực trị tại x1,x2 thỏa mãn 2 2 x1 x2 6 là A. .m 3 B. . m 1C. . mD. 1. m 3 1 Câu 2. Cho hàm số y mx 3 m 1 x 2 3 m 2 x 2018 với m là tham số. Tổng bình phương tất 3 cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 2x2 1 bằng A. . 4 0 B. . 2 2 C. . 25 D. . 8 9 9 4 3 3 x 2 2 Câu 3. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y 3x mx m 2 có hai cực trị nằm về hai 3 phía của trục tung. A. .m 3 B. . m 0 C. . m D.0 . m 3 68