Ôn thi đại học: Hệ phương trình đại số

Nội dung text: Ôn thi đại học: Hệ phương trình đại số

1. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I. HPT GỒM MỘT PT BẬC NHẤT VÀ MỘT PT BẬC HAI PP: s/d pp thế: từ pt bậc nhất rút ra x theo y (hoặc y theo x) rồi thay vào pt còn lại để giải Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: x 3y 6 x y 2 2x 2y 1 0 1. 2. 2 2 2 2 2x 3xy y 18 0 3x 32y 5 0 2x2 x y 1 0 x 2y 1 x 2y 2 0 3. 4. 2 2 x 12x 2y 10 0 xy y 3y 1 0 II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I: 1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2: b S x1 x2 2 a Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì: c P x .x 1 2 a x1 x2 S 2 Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có thì x1, x2 là nghiệm của phương trình X SX + P = 0. x1.x2 P f (x, y) 0 f (x, y) f (y, x) 2. Định nghĩa: , trong đó g(x, y) 0 g(x, y) g(y, x) 3.Cách giải: Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). biến đổi các vế của các pt xuất hiện x + y và xy. Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P là S 2 4P . Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y. Chú ý: + Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP, x2y + xy2 = xy(x + y) = SP + Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và sau đó đặt S = u + v, P = uv. + Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ. 4. Ví dụ: Loại 1: Giải hệ phương trình 2 2 x y x y 4 Ví duï 1: Giaûi heä phöông trình I (A1 – 2005) x x y 1 y y 1 2 2 2 x y x y 4 (I) 2 2 x y x y xy 2 xy 2 Ta coù S x y;P xy S2 x2 y2 2xy x2 y2 S2 2P 2 S 2P S 4 P 2 Vaäy I 2 S P S 2 S 0 hay S 1 S x y 0 2 TH1 : vaäy x, y laø nghieäm cuûa phöông trình X 0X 2 0 P xy 2 x 2 x 2 Vaäy heä coù 2 nghieäm hay x 2 y 2 S x y 1 2 TH2 : vaäy x,y laø nghieäm cuûa phöông trình X X 2 0 P xy 2 Vũ Quang Hưng – 0988877383. 1
2. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. x 1 x 2 X 1hay X 2 . Vaäy heä coù 2 nghieäm V y 2 y 1 x 2 x 2 x 1 x 2 Toùm laïi heä Pt (I) coù 4 nghieäm V V V y 2 y 2 y 2 y 1 xy(x y) 2 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình . ĐS (1, - 1) x3 y3 2 1 1 x y 4 x y Ví dụ 3. Giải hệ phương trình . ĐS: (1,1) 1 1 x2 y2 4 x2 y2 x2 y xy2 30 Ví dụ 4. Giải hệ phương trình . ĐS: (3,2) x3 y3 35 Loại 2: T×m ®iều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm Phương pháp giải chung: + Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). + Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S 2 4P (*). + Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hpt. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m. Chú ý: - Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v( ) khi đó ở bước 3 phải kết hợp 2 đk (*) và ( ) để tìm m. - Nếu bài toán tìm đk tham số để hệ có nghiệm duy nhất : vì đây là hệ đối xứng nên nếu (xo, y0) là nghiệm thì (y0, x0) cũng là nghiệm do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0, từ đó ta có PP : S/D điều kiện cần và đủ. Bước 1 : ĐK cần : giả sử (x o, y0) là nghiệm thì (y0, x0) cũng là nghiệm do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0 thay x0 = y0 vào hệ ta tìm được m. Bước 2 : ĐK đủ : thay m tìm được ở Bước 1 vào hệ ta kiểm tra lại từ đó ta có ĐS. x y 1 Ví dụ 1 (D – 2004). Tìm điều kiện m để hpt sau có nghiệm thực: . x x y y 1 3m HD : Điều kiện x, y 0 , đặt S x y 0, P xy 0, ĐK S2 4P. ĐS : 1/4 m 0 x y xy m Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực. x2 y xy2 3m 9 2 S P m HD : Đặt S = x + y, P = xy, ĐK S 4P Hệ phương trình trở thành: . SP 3m 9 S 3 S m 3 Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t 2 - mt + 3m - 9 = 0  P m 3 P 3 21 ĐS: m  m 3 2 3 . 4 x 4 y 1 4 Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm. x y 3m HD : Đặt u x 4 0,v y 1 0 Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 21 - 3m 13 t 2 - 4t + = 0 (*). Hệ có nghiệm khi (*) có 2 nghiệm không âm. ĐS : m 7 2 3 x2 y2 4x 4y 10 Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực. xy(x 4)(y 4) m Vũ Quang Hưng – 0988877383. 2
3. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. S 10 HD: Đặt u = x(x + 4), v = y(y + 4). Với u,v 4 . Ta có : khi đó u, v là nghiệm pt : P m X2 – 10X + m = 0. để hệ có nghiệm thì pt trên phải có nghiệm X 4 . ĐS : 56 m 25. 2 2 x y 2 1 a Ví dụ 5 : Tìm a để hệ sau có đúng 2 nghiệm : (I) 2 x y 4 S1 2 (*) S 2 4 P 1 a HD : đặt S = x + y. P = xy. Ta có . NX S 2 4P S 2 4P 4a 1 2 P 1 a S 2 2 ( ) P 1 a Nên : + a > 0 : mổi (*), ( ) có 2 cặp nghiệm (x, y) suy ra hệ (I) có 4 nghiệm (loại). + a = 0 : thay vào hệ đã cho có đúng 2 nghiệm ( thoã mãn). + a < 0 : cả (*), ( ) đều vô nghiệm. 2 2 Nhận xét : - ở đây ta nhận xét được : S1 4P S 2 4P 4a nên bài giải sẽ gọn. Nếu không nhận xét được hoặc hệ nào đó không có kết quả như NX đó thì ta phải chia ra các trường hợp như : TH1 : (*) có 2 nghiệm, ( ) vô nghiệm và ngược lại. TH2 : (*) có 2 nghiệm. ( ) có 1 nghiệm và trùng với 1 trong 2 nghiệm của (*), và ngược lại x xy y m 2 Ví dụ 6 : Cho hệ : 2 2 x y xy m 1 a. giải hệ khi m = - 3. m = 1. b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. HD : b. ĐK cần : x0 = y0 suy ra m = 1. m = - 3, m = - 3/4. ĐK đủ : m = 1, m = - 3/4. BÀI TẬP Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: 2 2 x y 4 x y 5 1) 2) x2 y2 x3 y3 280 4 2 2 4 x x y y 13 x y 7 x y y x 30 1 3) 4) y x x y x x y y 35 x xy y xy 78 Bài 2. Gải hệ phương trình có tham số: 1. Giải và biện luận: 1 x 2y 5 x y 4 x y m x 2y a) b) c) x2 y2 m2 x4 y4 m4 x 2y m x 2y 2. Tìm giá trị của m: 2 5 x y 4xy 4 x y 4 a) có nghiệm. c) có đúng hai nghiệm. x y xy 1 m 2 2 x y 2 m 1 x y xy m 2 b) có nghiệm duy nhất. x xy y m 2 2 d. có nghiệm. x y xy m 1 2 2 x y m x xy y 2m 1 4. 2 2 2 x y xy m m a . Chứng tỏ với mọi m hệ luôn có nghiệm. Vũ Quang Hưng – 0988877383. 3
4. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. x xy y m 1 5. 2 2 x y xy m a. Giải hệ phương trình khi m=2. b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0. III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II: 1. Định nghĩa: f (x, y) 0 1 f (y, x) 0 2 2. Cách giải: Lấy (1) (2) hoặc (2) (1) ta được: (x y)g(x,y)=0. Khi đó x y=0 hoặc g(x,y)=0. + Trường hợp 1: x y = 0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm. + Trường hợp 2: g(x,y) = 0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại I) và thông thường vô nghiệm. 3. Các ví dụ: x3 3x 8y 1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (I) 3 y 3y 8x 2 HD: Lấy (1) (2) ta được: (x - y)(x2 + xy + y2 + 5) = 0 x = 0 x3 = 3x + 8y x3 - 11x = 0 Trường hợp 1: (I) x = ± 11 . x = y x = y x = y 2 2 x +xy+y +5=0 Trường hợp 2: (I) 3 3 (hệ này vô nghiệm) x +y =11 x+y Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm: (x, y)= (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11) x 2 2 3x 2 y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: (B – 2003) y 2 2 3y x 2 3xy 2 x 2 2 HD: ĐK: x, y 0 . hpt lấy (1) – (2) ta được: (x - y)(x + y + 3xy) = 0 2 2 3yx y 2 x y2 y m Ví dụ 3: Cho hệ phương trình (I) 2 y x x m a. Giải khi m = 0. b. Tìm m để hpt có nghiệm. c. Tìm m để hpt có nghiệm duy nhất. HD: x - y = y2 - y - x2 + x x = ± y 2 2 x = y - y + m x = y - y + m x = y x = y Giải (I) 2 2 x = y - y + m x - 2x + m = 0 x = - y x = - y 2 2 x = y - y + m y + m = 0 ' x 0 m 1 b) Hệ phương trình có nghiệm m 1 ' m 0 y 0 Vũ Quang Hưng – 0988877383. 4
5. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. ' Δx = 0 1 - m = 0 ' Δy 16. hpt : (I) hoặc (II). 3 2 2 3 2 2 x y 7x mx x y 7x mx y x y x (2) Giải (I) :  2 . x 0 x 8x m 0 với m > 16 thì (2) vô nghịêm nên (I) có nghiệm duy nhất (0, 0). Vậy để hệ đã cho có nghiệm duy nhất thì (II) có nghiệm duy nhất (0, 0) hoặc vô nghiệm. TH1 : (II) có nghiệm duy nhất (0, 0) thì m = 0 (loại). TH2 : (II) vô nghiệm. Xét pt x 2 y 2 xy 6 x y m 0 y 2 (x 6)y x 2 6x m 0 x 6 2 4 x 2 6x m x 2 2 4 m 12 0 (vì m > 16) nên hệ (II) vô nghiệm. ĐS : m > 16. BÀI TẬP 1.Giải các hệ phương trình sau: 1 3 3 2x 2x y 2 3 y x x x 1 2y a. b. c. 1 3 3 3 2y x y 1 2x 2y 2 x y y x2 (x y) 2m 2. Cho hệ phương trình . 2 y (x y) 2m a. Giải hệ với m = 0. b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. x 2 y 3 4y 2 ay 3. Tìm m để hệ: có nghiệm duy nhất. 2 3 2 y x 4x ax IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP: F x, y A n m 1. Dạng: , trong đó F kx, ky k F x, y ;G kx, ky k G x, y . G x, y B 2. Cách giải: Đặt y = tx (x ≠ 0) hoặc x = ty (y ≠ 0). 3. Ví dụ: x2 2xy 3y2 9 * Giả hệ phương trình: 2 2 x 4xy 5y 5 GIẢI Vũ Quang Hưng – 0988877383. 5
6. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. + Với x = 0: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 2 2 x 1 2t 3t 9 1 + Với x ≠ 0: Đặt y = tx. Hệ phương trình tương đương với . Lấy (1)(2) ta được: x2 1 4t 5t 2 5 2 2 1 15t2 13t+2=0 t ; t . 3 5 2 3 • Với t : ta có y x , thay vào (*) ta được nghiệm (3;2), ( 3;2). 3 2 1 1 5 2 2 5 2 2 • Với t : ta có y x , thay vào (*) ta được nghiệm ; , ; . 5 5 2 2 2 2 BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau: 3x2 2xy y2 11 6x2 xy 2y2 56 2x3 3x2 y 5 1) 2) 3) 2 2 2 2 3 2 x 2xy 5y 25 5x xy y 49 y 6xy 7 x y x 2 y 2 13 4) (B – 2006) 2 2 2 x y x y 25 V. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC: Một cách tổng quát ta tổng hợp các kiến thức, kết hợp với việc suy luận hợp lý để giải. Thông thường ta dùng pp biến đổi tương đương hoặc đặt ẩn phụ để đưa hpt đã cho về thành các hệ đơn giản mà ta đã biết cách giải. Ta có một số kinh nghiệm sau: a) Nếu dễ dàng biểu thị 1 ẩn theo các ẩn còn lại (có thể phải qua một số bước biến đổi) thì ta s/d pp thế. b) Nếu biến đổi 1 pt thành pt tích thì ta phân tích hệ đã cho thành các hệ đơn giản c) Nếu phát hiện trong hệ có những biểu thức đồng dạng (có thể phải qua một số bước biến đổi) thì ta dùng ẩn phụ Dựa vào những kinh nghiệm đó ta phân ra các dạng và phương pháp giải như sau: 1. Phương pháp biến đổi tương đương: Dạng 1: Phương pháp thế: Trong hpt có một pt bậc nhất với x hoặc với y (có thể phải qua một số bước biến đổi), khi đó ta tìm cách rút x theo y hoặc ngược lại: x 2 y 1 (x y 1) 3x 2 4x 1 (1) Ví dụ 1: Giải hpt: 2 xy x 1 x (2) x2 1 HD: Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : y 1 thay vào (1) ta được x 2 2 2 x 1 x 1 2 2 2 x x 3x 4x 1 x 1 2x 1 x 1 3x 1 x x x 1 3 2 3 2 x 1 2x 2x x 1 x 1 3x 1 x 1 2x 2x 4x 0 x 0 (loại) x 2 5 Từ đó , ta được các nghiệm của hệ là : (1;-1) , (-2; ) 2 2x y 1 x y 1 Ví dụ 2: Giải hpt: I (A2 – 2005) 3x 2y 4 Vũ Quang Hưng – 0988877383. 6
7. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. x 2 2x y 1 1 x y x 2 2 x y HD: Đặt ĐK rồi từ pt(1) ta có: 2 kết hợp với x 8x 4 4y pt(2) ta có hpt đơn giản. KQ: (2;-1) ( Cách 2: đặt ẩn phụ) LƯU Ý: có thể rút f(x) = g(x,y) (f(y) = g(x,y)) hoặc f(x,y) = g(x,y) 2 2 x y xy 1 4y Ví dụ 3: Giải hpt: 2 2 y x y 2x 7y 2 2 2 x 1 4y y xy HD: pt thay x2 1 4y y 2 xy vào pt(2) ta được các hpt đơn giản. 2 2 y x y 7y 2 x 1 x y x 2 y 2 13 Ví dụ 4: Giải hpt: (B – 2006) 2 2 2 x y x y 25 2 2 x y x y 13 13 HD: ta có x y (x = y = 0 không thoã mãn) thay vào pt(2) ta có: 6x2 – 2 2 2 x y x y 25 x y x 2 2 x x y 3 2 13xy + 6y = 0, xét y = 0 không thoã mãn, với y 0 ta có: 6 13 6 0 y y x 3 y 2 x y x y 8 Ví dụ 5: Giải hpt: y x y 2 HD: ĐK: x y + Xét y = 0: không thõa mãn pt(2). 2 2 2 + y 0 từ pt(2) ta có x y thay vào pt(1): x y 8 x y 8 2y thay vào pt(2) ta có: y y y 2y3 - 8y2 + 2y + 4 = 0 2x y m 0 Ví dụ 6: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất: (D2 - 2007) x xy 1 2x y m 0 2x y m 0 xy 0 HD: ĐK xy 0, x 1. Với điều kiện: ta có: x xy 1 xy 1 x x 1 y 2x m 2 y 2x m 2 1 x 2 (I) 2 1 x 2x m x 2 m x 1 0 ( ) xy 1 x y x 1 x x ( hiển nhiên x = 0 không là nghiệm của ( ) ) Đặt f (x) x2 2 m x 1, ycbt tìm m để phương trình ( ) có đúng 1 nghiệm thỏa x 1 KQ: m > 2 3 3 x 8x y 2y 1 Ví dụ 7: Giải hệ: (A – 2006) 2 2 2 x 3 3 y 1 2 2 2 x 0 koTM 2 x 3 x HD: Từ (2): (y + 2 ) = thay vào (1): x 8x y. 0 3x2 24 3 3 y (*) x Vũ Quang Hưng – 0988877383. 7
8. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. x2 9 4 2 Thay (*) vào (2): 26x – 426 x + 1728 = 0 96 x2 13 x4 x3 y x2 y2 1 (1) Ví dụ 8: Giải hệ: (A – 07) 3 2 2 x y x xy 1 (2) HD: Từ (2): xy(x2 +1) = 1 + x2 suy ra xy = 1 thay vào (1): x4 – x2 = 0 4 3 2 2 x 2x y x y 2x 9 (1) Ví dụ 9: Giải hệ: (B – 08) 2 x 2xy 6x 6 2 6x 6 x2 6x 6 x2 HD: Từ (2): xy (hoặc y ) thay vào (1). 2 2x xy x 1 7y (1) Ví dụ 10: Giải hệ: 2 2 2 (B – 09) x y xy 1 13y 2 xy x 1 7y (1) xy 1 7y x 2 2 HD: 2 2 2 2 2 suy ra 36y -15xy + x = 0 (3) x y xy 1 13y 2 xy 1 xy 13y * xét x = 0 không TM y 1 x 3 * xét x 0 : 3 y 1 x 12 x y m Ví dụ 11: Cho hệ pt: 2 x 1 y xy m y 2 a. Giải khi m = 4 b. Tìm m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm. HD: x y m x m y 2 3 2 để hệ có nhiều hơn hai nghiệm thì pt(*) phải có 3 x 1 y xy m y 2 y my 2m 0 * 3 2 nghịêm phân biệt. vì pt(*) ta không nhẩm được nghiệm nên đặt f(y) = y - my + 2m khi đó ta tìm m để 3 6 m 2 đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt hay fCĐ.fCT < 0 KQ: 3 6 m 2 BÀI TẬP x x x y y 8 y 2x 2 y 3xy 4x 2 9y 1. 5. 2 x y 5 7y 6 2x 9x 3 2 x xy 2000y 0 xy 2 3 y 2. 3 2 6. y yx 500x 0 2 2 xy xy y 5 2y 3 y y 3 y 2 x 3x 6y 0 3. 11x y y x 1 2 x xy 3 7. 2 2 7 y x 6y 26x 3 x 3xy y 11 4. 4 3 2 2 x x y 2x x y 2 y 2xy 5 8. x 1 y Vũ Quang Hưng – 0988877383. 8
9. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. HƯỚNG DẪN: 1. KQ: (9;4) 20 30 10 30 2 2 2 2 2. HD: thế x - y từ pt(1) vào pt(2) ta có x = 4y KQ: (0;0), ; 3 3 3 3 3 3 3. HD: thế x + y ở pt(2) vào pt(1) ta được pt đẳng cấp bậc hai. KQ: ; , ; 2 2 2 2 4. HD: Cách 1: từ pt(2) rút x theo y rồi thay vào pt(1) ta được pt đẳng cập bậc hai. Cách 2: đây là pt đẳng cấp bậc hai. KQ: (2;-1), (-2;1) 2x 2 9x 6 5. HD: Từ (2): y thay vào (1) ta có: 7 4x 2 24x 3 31x 2 99x 54 0 x 2 2x 1 4x 2 18x 54 0 6. HD: Từ (1) rút x theo y rồi thay vào (2).KQ: (0;3), (-2;1), (-4;-1) 1 7. HD: từ (1): 11x y 1 y x y x 6x 1y thay vào (2). 2 8. HD: bình phương hai vế của (2): y = x2 -2x +1 thế vào (1). KQ: (1;0) Dạng 2: Biến đổi một phương trình trong hệ thành phương trình tích từ đó ta có các hệ đơn giản hơn. 2 2 xy x y x 2y Ví dụ 1: Giải hệ: (D - 2008) x 2y y x 1 2x 2y 2 2 xy x y x 2y x y (x 2y 1) 0 HD: KQ: (5;2) x 2y y x 1 2x 2y x 2y y x 1 2x 2y x 2 y 2 2y 1 Ví dụ 2: Giải hệ: 2 2 x y xy 3 2 2 HD: Từ pt(1): x - (y-1) = 0 (x - y + 1)(x + y + 1) = 0 1 1 x y 1 Ví dụ 3: Giải hệ: x y (A - 2003) 3 2y x 1 HD: Từ pt(1): (x - y)(xy - 1) = 0 3 y x y x Ví dụ 4: Giải hệ: ( B - 2002) x y x y 2 2 3 x y HD: Từ (1): (x - y) = (x - y) 1 x y 0 5x2 y 4xy2 3y3 2(x y) 0 Ví dụ 5: Giải hệ: (x, y R) ( A - 2011) 2 2 2 xy(x y ) 2 (x y) HD: Từ (2): (xy – 1)(x2 + y2 – 2) = 0, kết hợp với (1) ta được hai hệ pt đơn giản hơn. 2 10 10 2 10 10 KQ: 1;1 , 1; 1 , ; , ; 5 5 5 5 2 2 2xy x y 1 Ví dụ 6: Giải hệ: x y 2 x y x y Vũ Quang Hưng – 0988877383. 9
10. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y HD: ĐK x + y > 0. (1) có dạng: x y 1 0 (x y 1)( 1) 0 x y x y x 2 y 2 x y 1 0(x y 0 1 0) . KQ: (1;0), (-2;3). x y BÀI TẬP 1 1 1 y 2 x x y 2 1. x y 6. x x y 2 2x xy 1 0 y 3x 1 1 3x 1 2 2 2 3 x xy 2 3x y x y 2xy 3y 4 x y 0 2. 7. 2 2 2 2 2 x y 2 xy x y 1 3xy x y x 2y xy 0 2x 2 y y 3 2x 4 x 6 3. 8. 2 x 1 2y 1 1 x 2 y 1 x 1 2 2 2 x y 2y 1 6x 3xy x y 1 4. 9. x 2 y 2 xy 3 2 3x y 3x y 2 4 2 2 2 x 2y x 2y xy x 2y 5. x y 10. y 1 3 x y x 3 x y 2 3 2x y 3 HƯỚNG DẪN: 1. KQ: (1;1), (-1;-1) 2. HD: pt(1) có nhân tử chung x - 1. KQ: (1;1),(1;-1) 1 5 3. HD: pt(1) có nhân tử chung x y . KQ: 2; , 10; 2 2 x 2 y 2 x y x y 1 4. HD: hpt: x y 1 x y 1 0 . 2 2 x y xy 3 5. HD: Giải PT(1). Thế vào PT(2). TH1: x = 2 v x = 1 13 . TH2: C/m PT vô nghiệm. 1 1 1 1 6. HD: Từ (1) biến đổi thành: y 2x y x 0 KQ: ;2 , ; 2 , 1;2 12 12 12 12 7. HD: nhóm (2) thành phương trình tích. y x 2 8. HD: Từ (2) ta có y 1, x 2 (1) y x 2 2x 2 y 2 yx 2 x 4 0 2 2 2 4 2x y yx x 0 * 2x2 y 2 yx2 x4 0 y 2 (2 y)x2 x4 0 x y 0 (y 1) không thoả mãn (2) * y = x2 thay vào (2). 1 9. HD: (1): (3x – 1)(2x + 1) = (3x – 1)y. KQ: 0;1 , ;0 3 10. HD: (1): (x – 2y)(x + y + 1) = 0. KQ: (23 4; 3 4) Vũ Quang Hưng – 0988877383. 10
11. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. Dạng 3: Một phương trình của hệ là phương trình bậc hai theo một ẩn, ẩn còn lại ta xem là tham số (chẳng hạn ẩn là x, tham số là y) khi đó ta giải pt bậc hai ẩn x theo tham số y, Do đó ta chuyển hệ đã cho thành các hệ đơn giản hơn. Lưu ý: - Với phương pháp này thông thường có dạng bình phương của một biểu thức. - Có thể xem phương trình bậc hai theo f(x,y) 2 y = 5x 4 4 x 1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2 2 y 5x 4xy 16x 8y 16 0 2 Giải . Biến đổi PT (2) về dạng y2 4x 8 y 5x2 16x 16 0 y 5x 4 3 Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có ' 9x2 từ đó ta được nghiệm y 4 x 4 4 2 x y 0 Thay (3) vào (1) ta được : 5x 4 5x 4 4 x 5 x 0 y 4 2 x 4 y 0 Thay (4) vào (1) ta được : 4 x 5x 4 4 x x 0 y 4 4 Vậy nghiệm của hệ là : (0;4) , (4;0) , ( ;0) 5 Cách 2. Lấy (1) trừ (2) ta được y2 – 4xy = 0. 2 2x y 3 2x y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình (CĐ - 2010) 2 2 x 2xy y 2 HD: Xem pt(1) là pt bậc hai theo ẩn 2x y . KQ: (1;-1), (-3;7). (nếu s/d pt(2) thì không có dạng bình phương của một biểu thức) x 2 2x 2 y 3 0 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 2 3 x y 2x y 0 HD: Nếu y = 0 không thoả mãn. y 0 ta xem (2) là pt bậc hai ẩn x, pt này có nghiệm khi và chỉ khi ' 1 y 4 0 1 y 1. Tương tự ta xem pt(1) là py bậc hai ẩn x, pt này có nghiệm khi và chỉ khi ' 1 y 3 0 y 1. Suy ra y = -1. KQ: (1;-1) x 2 6y x 2y Ví dụ 4: Giải hệ phương trình y x x 2y x 3y 2 2 2 t 2y HD: đặt t x 2y 0 , biến đổi (1) thành t – yt - 6y = 0 t 3y BÀI TẬP 2 2 x 2y xy 0 y x 8 x 2 1. 4. 16x 8y 16 5x 2 4xy y 2 x 1 4y 1 2 2 6x 3xy x y 1 2 2x y 3 2x y 5. 2. 2 2 3 x y 1 x 6 1 y 4 x y 2 1 y 2 x 2x 1 2y 1 2 6. 2 3. x x y x y x 2y 3x 2y 4 y 3x 1 1 3x 1 Vũ Quang Hưng – 0988877383. 11
12. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. HƯỚNG DẪN: x 1. HD: pt(1) là ptb2 theo . KQ: (2;1) y 2. HD: Xem pt(1) là pt bậc hai theo ẩn 2x y . KQ: (2;-3) 1 1 1 1 3. HD: Xem pt(1) là pt bậc hai theo ẩn y. KQ: ;2 , ; 2 , 1;2 12 12 12 12 4. HD: Xem (2) là pt bậc 2 theo ẩn y ta có y = 4 – x và y = 5x + 4. 1 y 1 5. HD: xem pt(1) là pt bậc hai ẩn x ta có: x và x 3 2 6. HD: biến đổi (2) thành ptb2 ẩn x ta có x = 1 – y và x = -2y – 4(không thoả mãn). Thay x = 1 – y vào 1 3 3 1 (1). KQ: ; , ; 2 2 2 2 Dạng 4. Thay số: Từ một phương trình ta có a = f(x,y) rồi thay vào phương trình còn lại, với a là một số thực. x3 y3 1 Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 2 3 x y 2xy y 2 HD: Từ (1): 1 = x3 + y3 thay vào (2): x2y + 2xy2 + y3 = 2(x3 + y3) khi đó ta được phương trình đẳng cấp 1 1 1 2 bậc 3 đối với x và y. KQ: ; , ; 3 2 3 2 3 9 3 9 x5 y5 1 Ví dụ 2. Giải phương trình: 9 9 4 4 (SP Vinh 2001 - kD) x y x y HD: Từ (1): 1 = x5 + y5 thay vào (2): x9 + y9 = (x4 + y4)( x5 + y5) x 2 3xy 2y 2 3 Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 5xy 3y 2 x 2 3xy 2y 2 3 2(x 2 3xy 2y 2 ) 3(5xy 3y 2 ) 2x 2 9xy 5y 2 0 HD: 2 2 2 5xy 3y 2 5xy 3y 2 5xy 3y 2 (2x y)(x 5y) 0(1) 2 5xy 3y 2(2) Từ (1) có hai trường hợp: *)TH1: y = 2x thế vào (2) suy ra nghiệm (1;2) (-1;-2). *)TH2: x = -5y thế vào (2) cho nghiệm (51/14; 1/14 ) và (-51/14; 1/14 ) 12 1 x 2 y 3 x Ví dụ 4: Giải phương trình: 12 1 y 6 y 3 x HD: ĐK x > 0; y > 0; y + 3x 0 12 2 1 3 1 1 y 3x x x y 1 9 12 2 2 Hpt suy ra y 6xy 27x 0 12 6 1 3 12 x y y 3x 1 y 3x y x y y 3x 2 2 KQ: 1 3 ;3 1 3 Vũ Quang Hưng – 0988877383. 12
13. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. x 3 y 3 4x 2y Ví dụ 5: Giải phương trình: 2 2 x 1 3 1 y y 0 x 2 2 2 y 3 3y 2 x 2y 0 HD: (2): 4 = x + 3y thay và (1): 2 y 3xy 2 0 x 2 3y 2 4 Ta có hệ: x 2 6xy 5y 2 0 . 2 y 3xy 2 0 5 1 5 1 KQ: (2;0), (-2;0), (1;-1), (-1;1), ; , ; 7 7 7 7 BÀI TẬP x 3 2xy 2 12y 0 x 3 y 3 xy 2 1 1. 4. 2 2 4 4 8y x 12 4x y 4x y x 3 y 3 1 x y 1 2. 5. . 5 5 2 2 3 3 2 2 x y x y x y x y 2 2 2x 2 y 2 1 2y x 1 3. 6. 2 3 3 xy x 2 2x y 2y x HƯỚNG DẪN : 1.HD: Thế 12 = 8y2 + x2 vào (1) ta được pt đằng cấp bậc 3.KQ: (2;-1), (-2;1). 2. 3. HD: Thế 1 = 2x2 – y2 vào (2) ta được pt đẳng cấp. KQ: (-1;-1), (1;1) 3 3 2 3 3 4. HD: Thế 1 = x + y – xy vào (2) ta được pt đẳng cấp. KQ: (0;1), (1;0), (1;1), ; 3 25 3 25 5. HD: PT(2) x3 + y3 = 1(x2 + y2) x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2). 6. HD : Thay 1 = 2y2 – x2 vào (2) ta có 2x3 – y3 = (2y – x)(2y2 – x2) (y – x)(5y2 + 3xy + x2) = 0 Dạng 5. Các dạng khác: Sử dụng bình phương hai vế, Cộng hoặc trừ hai vế của hai phương trình, sử dụng lương liên hợp để được một phương trình đơn giản hoặc phương trình tích đơn giản hơn. Với dạng này thì phương trình thường có nhiều căn mà ta không đặt được ẩn phụ hoặc không thuộc bốn dạng trên x 5 y 2 7 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: (N«ng NghiÖp I 2000 - kA) y 5 x 2 7 x 2 HD: Điều kiện: . y 2 Bình phương 2 vế và trừ vế theo vế ta có: x 5 y 2 x 2 y 5 x y . Thay x = y vào 1 trong 2 phương trình, giải ra ta được x = y = 11. 2 2 2 2 (x xy y ) x y 185 Ví dụ 2: giải: 2 2 2 2 (x xy y ) x y 65 HD: Cộng từng vế của 2 phương trình ta được: 3 2 x 2 y 2 x 2 y 2 250 x 2 y 2 125 x 2 y 2 5 . x y x y 2, 1 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: y x y x 1,(2) Vũ Quang Hưng – 0988877383. 13
14. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. 1 2 x 2 2 y HD: ĐK: y x, x y . 1 x y 2 x . 2 2y 1 2 y x 2 4x y 4 4x 4y 1 x 2 1 y 17 5 từ đó ta có: 2 KQ: ; . 12 3 4x y 4 4x 4y 1 2x 3 4 y 4 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 2y 3 4 x 4 2x 2y x y HD: lấy (1) – (2): 2x 3 2y 3 4 y 4 x 0 0 2x 3 2y 3 4 y 4 x 2 1 11 11 x y ( ) 0. KQ: (3;3), ; 2x 3 2y 3 4 y 4 x 9 9 Cách 2: xem phương pháp đánh giá. x 3 y x Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: y 3 x y HD: + Điều kiện x 0 , y 0 + Trừ vế theo vế hai PT (1) và (2) , có : x y 2 y x x y x y 2 0 x y 0 ( do x y 2 0 ) x y x y + Thay y = x vào hệ PT , có hệ x 4 x x 0 (thỏa) x 4 x x( x 4) 0 x 4 x x 16 + Hệ PT đã cho có hai nghiệm là (0; 0) và (16; 16) 2 x y 1 Ví dụ 6: Giải hệ bất phương trình: 2 y x 1 HD: Điều kiện: x, y 0 . 2 2 cộng vế theo vế ta được: 2 x y x y 2 x 1 y 1 0 x y 1 4x 2 y 4 4xy 3 1 Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: 2 2 4x 2y 4xy 2 HD: lấy (1) – (2): (y2 – 1)(y2 – 4xy – 1) = 0 * y = 1: x = 1, x = 0 * y = -1: x = -1, x = 0 y 2 4xy 1 * 2 2 4x 2y 4xy 2 1 1 1 1 KQ: (0;1), (0;-1), 1;1 , 1; 1 , ; , ; 5 5 5 5 x y 3 x y 7 3 Ví dụ 8. 2 2 x xy 4 y xy 4 3 Vũ Quang Hưng – 0988877383. 14
15. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. u v 3 v 2 u x y, v 3 x y 7 x y 1 HD: đặt . (1) trở thành: 2 3 . KQ: (5;-4) u v 7 u 1 BÀI TẬP x 1 y 7 4 x 2 y 2 1. 10. y 1 x 7 4 y 2 x 2 2 x 4 y 1 x y 9 9 2. 11. 2 y 4 x 1 y x 9 9 2 2 x 91 y 2 y 1 9 3. x y 2 2 2 xy 2 y 91 x 2 x 12. 2 1 5 x y 1 1 4 x y 3 x y x y 2 xy 2 4. 3 2x y x 2 6y 6x 2 13. y 2 9 2xy x y x y 2 y 5. x x 8 y x y y x 5y 3 14. 2 2 x y 5 2y x y 3x 6. 3 3 2 2 2 x 1 y 3xy x x y 10y 15. 3 3 2 y 1 x 3x y 7 x 11 y 6 7. x 3 y 3 9 7 y 11 x 6 16. 2 2 x 2y x 4y 2x 2y xy 3 8. 1 xy xy x 3x 1 3y 1 4 17. 1 1 8 y y 3 y 2 3x x x x 3 y 9. 6 x 3 2 y HƯỚNG DẪN: 1. KQ: (8;8) x 2 4 y 2 1 2. HD: ĐK 0 x, y 2 ta có: x 2 y 2 2 2 y 4 x 1 3. HD: Lấy (1) – (2), nhân lượng liên hợp, rút nhân tử chung x – y. KQ: (3;3) 4. HD: Đặt t = x + y thay vào (1) ta có: 1 2t 1 t 1 1 4t 2 3t t 1 3t 1 4t 2 0 1 2t 1 2t 0 t . kết hợp với t 1 3t 2 2 1 (2). KQ: ; 3 6 2y x 4 5. HD: Bình phương hai lần (1): KQ: (1; ) y(5y 4x) 0 5 6. HD: lấy (1) chia vế theo vế cho (2) biến đổi ta được pt đẳng cấp bậc 4: 20y4 – 17x2y2 + 3x4 = 0 15 4 135 xét x = 0 có phải là nghiệm. Xét x 0: chia hai vế cho x4. KQ: (0;0). 2; 1 , ; 4 2 135 2 7. KQ: (2;2) Vũ Quang Hưng – 0988877383. 15
16. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. 8. HD: 2.(1) – 4.(2): 2 2 2 4x 4y 2 xy 4 3x 1 4 3y 1 10 x y 3x 1 2 3y 1 2 0 . KQ: (1;1) 2 x 4 2 9. HD: cộng 2 pt với nhau, biến đổi thành: (x )(x 2 2 3) 0 x y y y 2 y x 4 1 3 (vì x 2 2 3 (x ) 2 3 0 ) y y 2 y y 2 10. KQ: (0;0), (2;2) 11. 1 1 9 2x 2y y x 2 2 1 1 1 1 12. HD: 4x 7 . KQ: 2;1 , ;1 , 2; , ; 1 1 5 x 4 2 4 2 2x 2y y x 2 13. HD: (1) + (2): (x – y)2 – 6(x – y) + 9 = 0 x y 3 x 3 y thay vào (2). x 1 14. HD: (1): x x 1 y y 8 2 2 , kết hợp với (2). x x 1 y y 8 15. HD: cộng 2 pt với nhau biến đổi thành pt tích. 16. HD: 3.(2) – (1): (x – 1)3 = (y + 2)3 hay x = y + 3. KQ: (1;-2), (2;-1) 1 xy xy x 17. HD: hpt lấy (2) – (1): 1 xy xy x 3x xy xy 0 xy xy xy xy 3x xy 0 xy xy 1 3x 0 1 xy xy x 0 Ta có hệ: 2xy 4x 0. KQ: (1;0). Cách 2: đặt ẩn phụ. xy 3x 1 xy 0 2. Phương pháp đặt ẩn phụ: Điều quan trọng nhất trong phương pháp này là phát hiện ẩn phụ a f x, y ;b g x, y có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi. Ta thực hiện theo các bước sau: B1: Điều kiện (nếu có). B2: Biến đổi rồi lựa chọn ẩn phụ thích hợp, tìm đk cho ẩn phụ B3: Giải hệ nhận được, đối chiếu đk của ẩn phụ, từ đó suy ra nghiệm x, y. B4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm từ đó kết luận. Dựa vào cách biến đổi ta phân ra các dạng như sau: Dạng 1: Chia cho một biểu thức khác không và biến đổi để làm xuất hiện ẩn phụ: 2 x 1 y y x 4y 1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (A – 2006) 2 1 x 1 y x 2 y 2 x2 1 y x 4 y HD : Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên HPT x2 1 y x 2 1 y x2 1 a b 2 x2 1 y Đặt a ,b y x 2 giải hệ ta được a=b=1 từ đó ta có hệ y ab 1 x y 3 Vũ Quang Hưng – 0988877383. 16
17. ÔN THI ĐẠI HỌC: Hệ phương trình đại số. x x y 1 3 0 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 5 (D – 2009) x y 2 1 0 x 2 3 x y 1 0 x 1 3 HD: hpt Đặt a= x + y, b = . KQ: (1;1), 2; 2 5 x 2 x y 1 0 x 2 y xy 2 6x 2 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 x y 5x HD: * y = 0 không thoả mãn. 2 1 x x 6 2 y y 1 x 1 1 x * y 0: ta có đặt a x, b khi đó: x 2 x 2 a 2 2b 2 2 1 x y y y y y x 2 5 2 y y x 3 2 3y 1 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 3 x y 2 3 1 2 3y x 3 1 HD: Với x = 0 không thoả mãn nên: đặt a y, b ta có: 1 x y 3 2 x 2 3a b3 a b a 3 3a b3 3b 3 2 2 a 2 3b a b ab 3 0 a 2b 2 ab 3 0 (b3 2) 2 b3 2 * ta có: b 2 .b 3 0 (b3 2) 2 9b 2 6b 1 b 4 26 0 3 2 3a b 9 3 2 b3 2 3b 1 2 b 4 26 0 (ptvn) a b 1 1; 1 , ;2 * 3 . KQ: . Cách 2: Xem ở phương pháp hàm số 2 3a b 2 1 xy xy x Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: 1 1 y y 3 y x x x 1 x y 1 x y 1 HD: x = 0 không thoả mãn. đặt a 0, b y 0.KQ: (1;0) 1 1 x y y 3 y x x x BÀI TẬP 27x 3 y 3 125 9y 3 8x 3 y 3 27 18y 3 1. 3. 2 2 2 2 45x y 75x 6y 4x y 6x y 2 x 2xy x y 0 2 1 2. 2x x 2 4 2 2 2 y x 4x y 3x y 0 4. 2 2 y y x 2y 2 Vũ Quang Hưng – 0988877383. 17