Ôn luyện Toán 10 (Kết nối tri thức ) - Chương IV, Bài 9: Tích của vectơ với một số - Huỳnh Văn Ánh

Nội dung text: Ôn luyện Toán 10 (Kết nối tri thức ) - Chương IV, Bài 9: Tích của vectơ với một số - Huỳnh Văn Ánh

1. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG G I VECTƠ CHƯƠN BÀI 3: TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ I LÝ THUYẾT. = 1. ĐỊNH NGHĨA: = Cho số k 0 và một vectơ a 0. Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu ka , cùng = hướng với a nếu k 0 , ngược hướng với a nếu k 0 và có độ dài bằng k a . I Quy ước: 0.a 0 . 2.TÍNH CHẤT: Với hai vectơ a, b bất kỳ, với mọi số thực h và k, ta có: 1) k a b ka kb ; 2) h k a ha ka ; 3) h ka hk a ; 4) 1a a , 1 a a . 3. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC:    a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có M A M B 2M I .     b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có M A M B M C 3M G . 4. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG: Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( b 0 ) cùng phương là có một số thực k để a kb . Nhận xét: Ba điểm phân biệt A , B , C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để   A B k A C . 5. PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho x ha kb . II VÍ DỤ MINH HỌA. = 1 Câu 1. Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM AB . Tìm k trong các = 5 đẳng thức sau: =I       a) AM k AB b) M A k M B c) M A k A B Lời giải A M B Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 131 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
2. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG    AM AM 1   1 a) AM k AB k  , mà AM cùng hướng A B k . AB AB 5 5    MA M A 1   1 b) M A k M B k  , mà M A ngược hướng MB k . MB M B 4 4    MA MA 1   1 c) M A k A B k  , mà M A ngược hướng A B k . AB AB 5 5    Câu 2. Cho a AB và điểm O . Xác định hai điểm M và N sao cho: O M 3a ; ON 4a . Lời giải Vẽ d đi qua O và song song với giá của a (nếu O thuộc giá của a thì d là giá của a).   Trên d lấy điểm M sao cho OM 3 a , OM và a cùng hướng. Khi đó O M 3a .   Trên d lấy điểm N sao cho ON 4 a , O N và a ngược hướng nên ON 4a . Câu 3. Cho ABC có trọng tâm G . Cho các điểm D , E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC ,   CA , AB và I là giao điểm của AD và EF . Đặt u AE , v AF . Hãy phân tích các vectơ     AI , A G , DE, DC theo hai vectơ u, v. Lời giải Dễ thấy tứ giác AEDF là hình bình hành dẫn đến Ilà trung điểm của AD .  1  1   1 1 Do đó AI AD AE AF u v . 2 2 2 2     2  2 2     AG AD u v ; DE FA AF 0.u 1 v ; DC FE AE AF u v . 3 3 3  Câu 4. Cho tam giác ABC . Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB 2MC . Hãy phân tích vectơ AM   theo hai vectơ u AB , v AC. Lời giải Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 132 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
3. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG  2  Từ giả thiết MB 2MC ta dễ dàng chứng minh được BM BC . 3     2     Do đó AM AB BM AB BC mà B C A C A B 3   2   1 2 AM AB AC AB u v . 3 3 3 Câu 5. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm AM và K là điểm thuộc AC sao 1 cho AK AC . Chứng minh ba điểm B , I, K thẳng hàng. 3 Lời giải    Ta có I là trung điểm của AM 2BI BA BM .  1  Mặt khác M là trung điểm của BC nên BM BC . 2   1     Do đó 2BI BA BC 4BI 2BA BC 1 . 2     1   1   2  1  BK BA AK BA AC BA BC BA BA BC . 3 3 3 3    3BK 2BA BC 2 .    4  Từ 1 và 2 3BK 4BI BK BI . 3 Suy ra 3 điểm B , I , K thẳng hàng.   Câu 6. Cho tam giác ABC . Hai điểm M , N được xác định bởi hệ thức: BC MA 0 và    AB NA 3AC 0 . Chứng minh MN // AC . Lời giải Ta có           BC MA AB NA 3AC 0 AC MN 3AC 0 MN 2AC 1 .     Mặt khác, BC MA 0 BC AM . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 133 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
4. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG Do ba điểm A , B , C không thẳng hàng nên bốn điểm A , B , C , M là bốn đỉnh của hình bình hành BCMA ba điểm A , M , C không thẳng hàng 2 . Từ 1 và 2 suy ra MN // AC . Câu 7. Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . Chứng minh rằng    AM BN CP 0 . Lời giải Ta có    1   1   1   AM BN CP AB AC BA BC CA CB 2 2 2 1   1   1   AB BA AC CA BC CB 0 . 2 2 2 Câu 8. Cho tứ giác ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Gọi G , G theo thứ tự là    trọng tâm của tam giác OAB và OCD . Chứng minh rằng AC BD 3GG . Lời giải Vì G là trọng tâm của tam giác OCD nên ta có:  1    GG GO GC GD 1 . 3 Vì G là trọng tâm của tam giác OAB nên ta có:       GO GA GB 0 GO GA GB 2 .  1     1   Từ 1 và 2 GG GC GA GD GB AC BD 3 3    AC BD 3GG Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 134 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
5. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG Câu 9. Cho tam giác ABC với H , O , G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của   tam giác. Chứng minh OH 3OG . Lời giải Gọi D là điểm đối xứng của A qua O , ta có BH // DC (cùng vuông góc với AC ) 1 . CH // BD (cùng vuông góc với AB ) 2 . Từ 1 và 2 suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành ba điểm H , M , D thẳng hàng.   AH 2OM .         Ta có OH OA AH OA 2OM OA OB OC .     Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên OA OB OC 3OG .   Suy ra OH 3OG . BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.  4.11. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Hãy biểu thị AM theo hai vectơ   AB và AD . 4.12. Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD . Chứng minh rằng      BC AD 2MN AC BD . 4.13. Cho hai điểm phân biệt A và B .   a) Hãy xác định điểm K sao cho KA 2KB 0 .  1  2  b) Chứng minh rằng với mọi điểm O , ta có OK OA OB . 3 3 4.14. Cho tam giác ABC .    a) Hãy xác định điểm M để MA MB 2MC 0 .     b) Chứng minh rằng với mọi điểm O , ta có OA OB 2OC 4OM .    4.15. Chất điểm A chịu tác động của ba lực F , F , F như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là    1 2  3   F1 F2 F3 0 ). Tính độ lớn của các lực F2 , F3 , biết F1 có độ lớn là 20 N. Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 135 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
6. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG Hình 4.30 III HỆ THỐNG BÀI TẬP. == DẠNG 1: XÁC ĐỊNH VECTƠ ka =I 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN. ==   Câu=I 1: Cho hai điểm phân biệt A, B . Xác định điểm M biết 2MA 3MB 0 Câu 2: Cho tam giác ABC .    a) Tìm điểm K sao cho KA 2KB CB    b) Tìm điểm M sao cho MA MB 2MC 0 Câu 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính      a) AB AC BC b) AB AC Câu 4: Cho ABC vuông tại B có µA 300 , AB a . Gọi I là trung điểm của AC . Hãy tính:     a) BA BC b) AB AC Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 136 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
7. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. == Câu 1: Khẳng định nào sai? =I A. 1.a a B. ka và a cùng hướng khi k 0 C. ka và a cùng hướng khi k 0 D. Hai vectơ a và b 0 cùng phương khi có một số k để a kb   Câu 2: Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN 3MP . Điểm P được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây: A. Hình 3 B. Hình 4 C. Hình 1 D. Hình 2   Câu 3: Cho ba điểm phân biệt A, B,C . Nếu AB 3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng?         A. BC 4AC B. BC 2AC C. BC 2AC D. BC 4AC Câu 4: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC .Khẳng định nào sau đây đúng uur uur uur uur uur uuur uuur uur A. BI = IC B. 3BI = 2IC C. BI = 2IC D. 2BI = IC Câu 5: Cho tam giác ABC . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?        1  A. AB 2AM B. AC 2CN C. BC 2NM D. CN AC 2   Câu 6: Cho a 0 và điểm O . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM 3a và ON 4a . Khi đó:     A. MN 7a B. MN 5a C. MN 7a D. MN 5a Câu 7: Tìm giá trị của m sao cho a mb , biết rằng a,b ngược hướng và a 5, b 15 1 1 A. m 3 B. m C. m D. m 3 3 3   Câu 8: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a . Độ dài của AB AC bằng: a 3 A. 2a B. a 3 C. 2a 3 D. 2 Câu 9: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của AB . Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức    MA MB 2MC 0 . A. M là trung điểm của BC B. M là trung điểm của IC C. M là trung điểm của IA D. M là điểm trên cạnh IC sao cho IM 2MC     Câu 10: Cho hình bình hành ABCD , điểm M thõa mãn 4AM AB AD AC . Khi đó điểm M là: A. Trung điểm của AC B. Điểm C C. Trung điểm của AB D. Trung điểm của AD Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 137 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
8. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG · 0   Câu 11: Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh 2a . Góc BAD 60 . Tính độ dài vectơ AB AD .     A. AB AD 2a 3 B. AB AD a 3     C. AB AD 3a D. AB AD 3a 3      Câu 12: Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn: OA OB 2OC OA OB . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều B. Tam giác ABC cân tại C C. Tam giác ABC vuông tại C D. Tam giác ABC cân tại B 21  5  Câu 13: Cho tam giác OAB vuông cân tạ O với OA OB a . Độ dài của véc tơ u OA OB là: 4 2 a 140 a 321 a 520 a 541 A. B. C. D. 4 4 4 4 Câu 14: Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,CD, DE . Gọi I và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP và NQ . Khẳng định nào sau đây đúng?  1   1   1   1  A. IJ AE B. IJ AE C. IJ AE D. IJ AE 2 3 4 5 1 Câu 15: Cho đoạn thẳng AB . Gọi M là một điểm trên AB sao cho AM AB . Khẳng định nào sau 4 đây sai?  1   1   3    A. MA MB . B. AM AB . C. BM BA . D. MB 3MA. 3 4 4 1 Câu 16: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm trên đoạn AB sao cho MA AB . Trong các khẳng 5 định sau, khẳng định nào sai ?  1   1     4  A. AM AB B. MA MB C. MB 4MA D. MB AB 5 4 5 Câu 17: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm AM . Đường thẳng   BN cắt AC tại P . Khi đó AC xCP thì giá trị của x là: 4 2 3 5 A. B. C. D. 3 3 2 3 DẠNG 2: HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN. == Câu 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao =I 1 AK AC . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. 3 Câu 2: Cho tam giác ABC . Hai điểm M , N được xác định bởi hệ thức:      BC MA 0 , AB NA 3AC 0 . Chứng minh MN / / AC . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 138 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
9. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. == Câu 1: Cho ba điểm A, B,C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là: =I         A. AB AC B. k 0 : AB k.AC C. AC AB BC D. MA MB 3MC, điểm M   Câu 2: Cho ABC . Đặt a BC,b AC . Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương? A. 2a b,a 2b B. a 2b,2a b C. 5a b, 10a 2b D. a b,a b Câu 3: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương? 1 1 A. 3a b và a 6b B. a b và 2a b 2 2 1 1 1 C. a b và a b D. a b và a 2b 2 2 2  Câu 4: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương? 1 3 3 A. u 2a 3b và v a 3b B. u a 3b và v 2a b 2 5 5 2 3 1 1 C. u a 3b và v 2a 9b D. u 2a b và v a b 3 2 3 4 Câu 5: Biết rằng hai vec tơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 3a 2b và (x 1)a 4b cùng phương. Khi đó giá trị của x là: A. 7 B. 7 C. 5 D. 6 Câu 6: Biết rằng hai vec tơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 2a 3b và a x 1 b cùng phương. Khi đó giá trị của x là: 1 3 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 2   Câu 7: Cho tam giác ABC . Hai điểm M , N được xác định bởi các hệ thức BC MA 0 ,    AB NA 3AC 0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. MN  AC B. MN / / AC C. M nằm trên đường thẳng AC D. Hai đường thẳng MN và AC trùng nhau DẠNG 3: BIỂU THỊ MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN. == Câu 1: Cho tam giác ABC . Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB 2MC . Chứng minh rằng: =I  1  2  AM AB AC . 3 3 Câu 2: Cho ABC có trọng tâm G . Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh   BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF . Đặt u AE,v AF . Hãy phân tích các vectơ     AI , AG , DE , DC theo hai vectơ u và v . Câu 3: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC , trọng tâm G . Hãy phân tích các vectơ      AB , BC , CA theo hai vectơ u AK , v BM Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 139 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
10. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. ==   Câu=I 1: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB 3MC . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?  1  3     A. AM AB AC B. AM 2AB AC 2 2     1   C. AM AB AC D. AM (AB AC) 2 Câu 2: Cho tam giác ABC biết AB 8, AC 9, BC 11. Gọi M là trung điểm BC và N là điểm trên đoạn AC sao cho AN x (0 x 9) . Hệ thức nào sau đây đúng?  1 x  1   x 1  1  A. MN AC AB B. MN CA BA 2 9 2 9 2 2  x 1  1   x 1  1  C. MN AC AB D. MN AC AB 9 2 2 9 2 2 Câu 3: Cho tam giác ABC . Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?  2  1   1  1  A. AH AC AB B. AH AC AB 3 3 3 3  2  1   2  1  C. AH AC AB D. AH AB AC 3 3 3 3 Câu 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA và AB . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?  1  1   1  1   3  3   2  2  A. AG AE AF B. AG AE AF C. AG AE AF D. AG AE AF 2 2 3 3 2 2 3 3  2  Câu 5: Cho tam giác ABC . Gọi D là điểm sao cho BD BC và I là trung điểm của cạnh AD , 3  2     M là điểm thỏa mãn AM AC. Vectơ BI được phân tích theo hai vectơ BA và BC . Hãy 5 chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?  1  1   1  1  A. BI BA BC . B. BI BA BC . 2 3 2 2  1  3   1  1  C. BI BA BC . D. BI BA BC . 2 4 4 6 Câu 6: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm thuộc AC sao cho   CN 2NA . K là trung điểm của MN . Mệnh đề nào sau đây là đúng?  1  1   1  1  A. AK AB AC. B. AK AB AC. 4 6 2 3  1  1   1  2  C. AK AB AC. D. AK AB AC. 4 3 2 3 Câu 7: Cho tứ giác ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Gọi G theo thứ tự là  trọng tâm của tam giác OAB và OCD . Khi đó GG bằng: 1   2     1   A. AC BD . B. AC BD . C. 3 AC BD . D. AC BD . 2 3 3 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 140 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
11. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG  Câu 8: Cho tam giác ABC với phân giác trong AD . Biết AB 5 , BC 6 , CA 7 . Khi đó AD bằng: 5  7  7  5  7  5  5  7  A. AB AC . B. AB AC . C. AB AC . D. AB AC . 12 12 12 12 12 12 12 12 Câu 9: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC 2NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó:  1  1   1  1  A. AK AB AC B. AK AB AC 6 4 4 6  1  1   1  1  C. AK AB AC D. AK AB AC 4 6 6 4  1  Câu 10: Cho tam giác ABC , N là điểm xác định bởi CN BC , G là trọng tâm tam giác ABC . Hệ 2    thức tính AC theo AG, AN là:  2  1   4  1  A. AC AG AN B. AC AG AN 3 2 3 2  3  1   3  1  C. AC AG AN D. AC AG AN 4 2 4 2 Câu 11: Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết AB 4 , BC 5 và CA 6 .  Khi đó DE bằng: 5  3  3  5  9  3  3  9  A. CA CB . B. CA CB . C. CA CB . D. CA CB . 9 5 5 9 5 5 5 5 DẠNG 4: ĐẲNG THỨC VECTƠ CHỨA TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN. == Câu 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BD . Chứng minh rằng: =I    AB CD 2IJ . Câu 2: Cho tứ giác ABCD . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD .      a) Chứng minh rằng: AC BD AD BC 2EF     b) Gọi G là trung điểm của EF . Chứng minh rằng GA GB GC GD 0     Câu 3: Cho hình bình hành ABCD . Chứng minh rằng: AB 2AC AD 3AC Câu 4: Chứng minh rằng nếu G và G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A B C thì     3GG AA BB CC . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 141 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
12. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. == Câu 1: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng: =I           A. 2MA MB 3MC AC 2BC B. 2MA MB 3MC 2AC BC           C. 2MA MB 3MC 2CA CB D. 2MA MB 3MC 2CB CA Câu 2: Cho tam giác ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm của tam giác. Hệ thức đúng là:  3     1    A. OH OG B. OH 3OG C. OG GH D. 2GO 3OH 2 2    Câu 3: Ba trung tuyến AM , BN, CP của tam giác ABC đồng quy tại G . Hỏi vectơ AM BN CP bằng vectơ nào? 3       1    A. GA GB CG B. 3 MG NG GP C. AB BC AC D. 0 2 2 Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD , I và K lần lượt là trung điểm của BC, CD . Hệ thức nào sau đây đúng?        A. AI AK 2 AC B. AI AK AB AD      3  C. AI AK IK D. AI AK AC 2 Câu 5: Cho tam giác đều ABC tâm O . Điểm M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M     xuống ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F . Hệ thức giữa các vectơ MD, ME, MF, MO là:    1     2  A. MD ME MF MO B. MD ME MF MO 2 3    3     3  C. MD ME MF MO D. MD ME MF MO 4 2 Câu 6: Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N là trung điểm AB và DC . Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc     các đường thẳng AD và BC sao cho PA 2PD , QB 2QC . Khẳng định nào sau đây đúng?  1      A. MN AD BC . B. MN MP MQ . 2  1    1     C. MN AD BC . D. MN MD MC NB NA . 2 4 Câu 7: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Với điểm M bất kỳ, ta luôn có:            1  A. MA MB MI B. MA MB 2MI C. MA MB 3MI D. MA MB MI 2 Câu 8: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Với mọi điểm M , ta luôn có:         A. MA MB MC MG B. MA MB MC 2MG         C. MA MB MC 3MG D. MA MB MC 4MG Câu 9: Cho ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC . Đẳng thức nào đúng?    1        A. GA 2GI B. IG IA C. GB GC 2GI D. GB GC GA 3 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 142 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
13. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG Câu 10: Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào đúng?             A. AC BD 2BC B. AC BC AB C. AC BD 2CD D. AC AD CD Câu 11: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?   2           A. AB AC AG B. BA BC 3BG C. CA CB CG D. AB AC BC 0 3 Câu 12: Cho hình vuông ABCD có tâm là O . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?      1    1     A. AB AD 2AO B. AD DO CA C. OA OB CB D. AC DB 4AB 2 2   Câu 13: Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó AC BD bằng:     A. MN B. 2MN C. 3MN D. 2MN Câu 14: Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?           A. MA MB MC MD MO B. MA MB MC MD 2MO           C. MA MB MC MD 3MO D. MA MB MC MD 4MO Câu 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi H là trực tâm của tam giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?         A. OH 4OG B. OH 3OG C. OH 2OG D. 3OH OG Câu 16: Cho tứ giác ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , I là điểm trên GC sao cho     IC 3IG . Với mọi điểm M ta luôn có MA MB MC MD bằng:     A. 2MI B. 3MI C. 4MI D. 5MI Câu 17: Cho tam giác đều ABC có tâm O . Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam giác ABC . Hạ    a  a ID, IE, IF tương ứng vuông góc với BC,CA, AB . Giả sử ID IE IF IO (với là phân b b số tối giản). Khi đó a b bằng: A. 5 B. 4 C. 6 D. 7    Câu 18: Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thoả mãn: MA MB MC 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số    Câu 19: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vectơ v MA MB 2MC .  Hãy xác định vị trí của điểm D sao cho CD v . A. D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD B. D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD C. D là trọng tâm của tam giác ABC D. D là trực tâm của tam giác ABC    Câu 20: Cho tam giác ABC và đường thẳng d . Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức OA OB 2OC 0.    Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ v MA MB 2MC có độ dài nhỏ nhất. A. Điểm M là hình chiếu vuông góc của O trên d B. Điểm M là hình chiếu vuông góc của A trên d C. Điểm M là hình chiếu vuông góc của B trên d D. Điểm M là giao điểm của AB và d Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 143 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12
14. CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 10 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG Câu 21: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N thuộc cạnh AC sao cho    NC 2NA . Hãy xác định điểm K thỏa mãn: 3AB 2AC 12AK 0 và điểm D thỏa mãn:    3AB 4AC 12KD 0 . A. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của BC B. K là trung điểm của BC và D là trung điểm của MN C. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AB D. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AC     Câu 22: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa 4AM AB AC AD . Khi đó điểm M là: A. trung điểm AC B. điểm C C. trung điểm AB D. trung điểm AD     Câu 23: Cho hình chữ nhật ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB MC MD là: A. Đường tròn đường kính AB . B. Đường tròn đường kính BC . C. Đường trung trực của cạnh AD . D. Đường trung trực của cạnh AB .     Câu 24: Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MC MB MD là: A. Một đường thẳng. B. Một đường tròn. C. Toàn bộ mặt phẳng ABCD . D. Tập rỗng.      Câu 25: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa 2 MA MB MC 3 MB MC . Tập hợp M là: A. Một đường tròn B. Một đường thẳng C. Một đoạn thẳng D. Nửa đường thẳng    Câu 26: Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu điểm M thỏa MA MB MC 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số      Câu 27: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa 3MA 2MB MC MB MA . Tập hợp M là: A. Một đoạn thẳng B. Một đường tròn C. Nửa đường tròn D. Một đường thẳng Câu 28: Cho năm điểm A, B,C, D, E . Khẳng định nào đúng?             A. AC CD EC 2 AE DB CB B. AC CD EC 3 AE DB CB       AE DB CB       C. AC CD EC D. AC CD EC AE DB CB 4 Câu 29: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho  1    BH HC . Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM x BC . Tìm x sao cho độ dài của 3   vectơ M A G C đạt giá trị nhỏ nhất. 4 5 6 5 A. . B. . C. . D. . 5 6 5 4     Câu 30: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ? a a 3 A. . B. . C. a. D. 2a. 2 2 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 144 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12