Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023 (Có đáp án) - Mã đề 102

Nội dung text: Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023 (Có đáp án) - Mã đề 102

1. Giải từ câu 31 -50. Mã đề 102 – Đề thi Toán của BGD năm 2023 Câu 31. Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng SB và CD bằng A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 Hướng dẫn: Dễ thấy SAB là tam giác đều mà CD//AB SB,CD (SB,AB) 600 Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 1;1) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 5 = 0. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình là x 2 t x 1 2t x 1 2t x 1 2t A. y 3 t B. y 1 3t A. y 1 3t A. y 1 3t z 1 t z 1 t z 1 t z 1 t Hướng dẫn: VTPT của (P) là n 2;3;1 Đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) có VTCP là x 1 2t u n 2;3;1 nên có phương trình: y 1 3t z 1 t Câu 33. Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m, phương trình 2 f (x) = m có 4 nghiệm thực phân biệt? A. 4. B. 16. C. 17. D. 8. m Hướng dẫn: 2f x m f x (1) 2 Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng m y 2 Từ đồ thị, PT có 4 nghiệm phân biệt khi đường thẳng cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt m 4 5 8 m 10 mà m Z Có 17 giá trị của m thoả bài toán. 2 Câu 34. Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(1;2;3) và B(-1;0;5) . Phương trình của mặt cầu đường kính AB là: A. x2 y 1 2 z 4 2 3 B. x2 y 1 2 z 4 2 12 C. x2 y 1 2 z 4 2 3 D. x2 y 1 2 z 4 2 12 Hướng dẫn: Mặt cầu có tâm I là trung điểm của AB I 0;1;4 và bán kính 1 1 2 2 R AB 2 2 2 2 22 3 PT mặt cầu là x2 y 1 z 4 3 2 2 Câu 35. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB =1, BC = 2, AA’ = 3 (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ bằng. 6 6 13 7 3 10 A. B. C. D. 7 13 6 10 Hướng dẫn : Hai đường thẳng AB’ và BC’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song nhau là AB"D' và C'BD 1
2. Dễ thấy đường thẳng AB’ //(C’BD) mà (C’BD) có chứa BC’ nên khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng khoảng cách từ AB’ đến mp (C’BD) * Ta có d AB',BC' =d AB', C'BD d A, C'BD )xem phần nhắc lại lý thuyết) * Mặt khác đoạn thẳng AC cắt cắt mp (C’BD) tại O mà OA = OC nên d A, C'DB d C, C'DB h * Xét tứ diện C.C'BD có các cạnh CD,CB,CC' đôi một vuông góc nên ta có 1 1 1 1 1 1 1 49 h2 CD2 CB2 CC'2 12 22 32 36 6 h . 7 Cách 2: Dùng phương pháp tọa độ. + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz gắn với 3 cạnh AB, AD, AA’, khi đó tọa độ các đỉnh làA 0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;2;0 ,C' 1;2;3     + mp C'BD có hai VTCP là BD 1;2;0 và BC' 0;2;3 VTPT n BD,BC' 6;3; 2 + mp C'BD qua B 1;0;0 có VTPT n 6;3; 2 nên có PT: 6(x 1) 3y 2z 0 6 6 6x 3y 2z 6 0 d AB',BC' =d A, C'BD 2 2 2 7 6 3 2 b B M Nhắc lại lý thuyết về khoảng cách: b / / với  a thì a d a,b d a, d B, AB b' 2 A M' Câu 36. Tập xác định của hàm số f x log2 30 x chứa bao nhiêu số nguyên? A. 11 B. 5 C. 6 D. 10 (Hình a) Hướng dẫn: Điều kiện xác định 30 x2 0 x2 30 30 x 30 5,48 x 5,48 x 5; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4;5 Vậy có 11 giá trị nguyên x trong tập xác định. x Z Câu 37. Cho số phức z thoả mãn z 2z 1 6i . Mô đun của z bằng A. 5B. 3 C. 5 D. 3 Hướng dẫn: Gọi số phức z có dạng z a bi với a, b R và z a bi + Theo đề bài a 1 a 1 z 2z 1 6i a bi 2 a bi 1 6i a 3bi 1 6i z 1 2i 3b 6 b 2 z 1 2 22 5 Câu 38. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, xác suất để chọn được số đó có tổng hai chữ số bằng 8 là 4 1 7 8 A. B. C. D. 81 9 81 81 Hướng dẫn: Gọi x ab là số có 2 chữ số khác nhau + Có 9 cách chọn a từ tập E 0;1;2; ;9 vì a ≠ 0 + Có 9 cách b từ tập E \ avì b ≠ a 2
3. tập S có n  9.9 81phân tử + Có 7 số có tổng 2 chữ số bằng 8 là 80;17;71;26;62;53;35 7 Xác suất cần tìm là P 81 Câu 39. Cho hàm số bậc hai y = f (x) có đồ thị (P) và đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm như trong 5 32 hình bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) có diện tích . Tính tích phân 2x 5 f ' x 3 1 104 A. 3 76 B. 3 22 C. 3 188 D. 3 Hướng dẫn: 5 3 7 32 28 Ta có: f x dx S S .4 hinh thang 2 3 3 1 b b b Áp dụng tích phân từng phần udv uv a vdu , ta có: a a 5 5 5 5 * Ta có: 2x 5 f x dx 2x 5 d f x 2x 5 f x f (x)d 2x 5 1 1 1 1 5 5 28 58 76 2x 5 f x 2 f (x)dx 2.5 5 f 5 2.1 5 f 1 2. 5.7 3.3 1 3 3 3 1 Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m, hàm số 1 2 y x3 x2 mx 3 3 có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng (0;6) A. 24 B. 25 C. 26 D. 23 Hướng dẫn: 1 2 y x2 2x m. Hàm số y x3 x2 mx có đúng một cực trị thuộc khoảng 0;6 khi và chỉ 3 3 khi y 0 có một nghiệm bội lẻ thuộc khoảng 0;6 x2 2x m 0 có một nghiệm bội lẻ thuộc khoảng 0;6 2 2 x 2x m. Đặt g x x 2x g x 2x 2 g x 0 2x 2 0 x 1 * Bảng biến thiên: 3
4. Để hàm số có 1 cực trị thuộc 0;6 0 m 24 24 m 0 m 23; 22; ;0 Có 24 số nguyên m Chú ý: Ta vẫn lấy m = 0 vì khi đó hàm số có một cực trị x 0 0;6 x 2 Câu 41. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 3 27 log3 7log3 x 10 0 ? A. 242 B. 235 C. 233 D. 238 Hướng dẫn: x 3 27 0 2 x 2 log3 x 7log3 x 10 0 Điều kiện: x > 0, ta có: 3 27 log3 7log3 x 10 0 x 3 27 0 2 log3 x 7log3 x 10 0 x 3 x 3 3 3 2 5 2 log3 x 5 3 x 3 32 x 35 9 x 243 3x 33 x 3 Mà x ¢ x 1;2;10; ;242 0 x 3 0 x 3 0 x 32 log3 x 2 log x 5 5 3 x 3 Vậy có 235 số thỏa mãn. Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 1 2 4 và đường thẳng d đi qua A(1;0;-2) , nhận u 1;a;4 a (với a R) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng d cắt (S ) tại hai điểm phân biệt mà tiếp diện của (S ) tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏia2 thuộc khoảng nào dưới đây. 17 51 23 3 A. 8; B. 25; C. ;12 D. C. ;2 2 2 2 2 Hướng dẫn : Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 1 , bán kính R 2 Gọi B,C là giao điểm giữa d và S , và K là hình chiếu vuông góc của I trên giao tuyến hai mặt tiếp diện. Theo đề d cắt S tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của S tại hai điểm đó vuông góc với nhau, nghĩa là tứ giác KBIC là hình vuông, từ đó suy ra BC IK 2 2 . Gọi H là giao điểm của 2 đường IK chéo của hình vuông thì IH 2 2 Từ đó ta có d I;d 2   Ta có AI 0; 2;1 , u 1;a;4 a suy ra AI;u a 8;1;2  AI;u 2 2 2 a 8 1 2 2 35 23 Từ đó d I;d 2 2 2 a 11,67 ;12 . u 1 a2 4 a 2 3 2 chọn C Cách 2. Tính theo góc 4
5. Ta tính được AI 22 12 5 AH AI2 IH2 5 2 3 (định lý Pi ta go)  A 1;0; 2 , I 1; 2; 1 AI 0; 2,1 , u 1;a;4 a   AI,u 2a 4 a AH 3 3a 4 5 cos AI,u  3 a2 AI u 5 1 a2 4 a 2 AI 5 2a2 8a 17 3 Câu 43. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 2. Xét hình nón N có đáy nằm trên mặt phẳng ABCD và mặt xung quanh đi qua bốn điểm A’, B’, C’, D’. Khi bán kính đáy của N bằng 2 2 , diện tích xung quanh của N bằng: A. 8 2 B. 8 3 C. 8 6 D. 4 2 Hướng dẫn: Do OC//OM, áp dụng định lý Ta lét ta có: SO' O'C SO' 2 SO' 2 SO = 2 + 2 = 4 SO OM SO' 2 2 2 Tam giác SOM vuông tại O, ta có: 2 SM SO2 OM2 42 2 2 2 6 Sxq rl .2 2.2 6 8 3 Câu 44. Gọi S là tập hợp các số phức z a bi (a, b R) thỏa mãn z z z z 4 và a.b 0. Xét z z z ,z thuộc S sao cho 1 2 là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z z 2i bằng 1 2 1 i 1 2 A. 2 2 B. 2 C. 2 5 D. 2 2 2 Hướng dẫn: a b 2 khi a 0,b 0 Từ z z z z 4suy ra a b 2 và a 2, b 2 a b 2 khi a 0,b 0 Điểm biểu diễn tập hợp các số phức S chạy trên hai đoạn thẳng như hình vẽ z z *Xét biểu thức: 1 2 k k R,k 0 (1) 1 i Gọi M biểu diễn số phức z1, N biểu diễn số phức z2 và I 1;1 từ (1)        OM ON kOI NM k.OI (2) , NM cùng chiều với OI Từ P z1 z2 2i z1 z2 0 2i P OM NA với A 0;2 * Để tìm P, ta phải viết của tọa độ của M, N theo cùng một biến x dựa vào điều kiện ràng buộc Vì M (d1) nên M x;2 x    + Từ NM k.OI mà OI 1;1 mặt khác NM d d1,d2 2 2 ta có:      NM k.OI 2 2 k 2 k 2 k 2(do k >0) NM 2OI 2,2 MN 2, 2    Vậy ON OM MN x 2;2 x 2 x 2; x Tọa độ N x 2; x * Vậy có các tọa độ M x;2 x , N x 2; x và A 0;2 nên: P OM NA x2 2 x 2 2 x 2 2 x 2   Đặt u OM x;2 x , v NA 2 x;2 x .Áp dụng: u v u v , ta có: 5
6. P x2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 22 42 2 5 . Dầu “=” xảy ra khi u và v cùng phương, x 2 x 2 ta có: x 2 x 2 x 3 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 5 khi x 3 Câu 45. Trên tập số phức, xét phương trình z2 az b 0 a,b R . Có bao nhiêu cặp số (a, b) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1,z2 thỏa mãn z1 1 2và z2 3 2i 4? A. 2 B. 4 C. 6 D. 5 Hướng dẫn: Ta có: a2 4b *Trường hợp 1. 0 z1,z2 ¡ . Xét điều kiện z1 1 z1 1 z 1 2 1 z 3 z 3 z1 1 2 1 1 z1 1 2 có 4 cặp nghiệm là z2 3 2i 4 2 z2 3 2 3 z2 3 2 3 z2 3 4 16 z2 3 2 3 z2 3 2 3 1;3 2 3 , 1;3 2 3 , 3;3 2 3 , 3;3 2 3 . Mỗi cặp nghiệm z1,z2 cho ra một bộ số a, b. Ví a z1 z2 2 2 3 z1 z2 a dụ với cặp 1;3 2 3 ta có (Dùng định lý Vi ét: ) z z b b z1z2 3 2 3 1 2 Vậy trường hợp 1 cho 4 cặp số (a, b) *Trường hợp 1. 0 z1,z2 C và z1,z2 là những số phức liên hợp. Gọi z1 x yi thì z2 x yi với x, y R, y 0. Dựa vào điều kiện ta tìm cặp (x; y) thỏa mãn điều kiện Xét điều kiện 2 2 2 2 z1 1 2 x 1 y 4 x y 2x 3 0 2x y 0 z 3 2i 4 2 2 2 2 x2 y2 2x 3 0 2 x 3 y 2 16 x y 6x 4y 3 0 x 1 y 2x y 2 y 2x x 1 3 2 2 x x y 2x 3 0 3 5 x 5 6 y 5 x 1 + Với cặp ta có 2 số phức z1 1 2i và z2 1 2i y 2 3 x 5 3 6 3 6 + Với cặp ta có 2 số phức z' i và z' i 6 1 5 5 2 5 5 y 5 + Vì có 2 cặp z1,z2 nên có 2 bộ số (a, b) trong trường hợp này. * Vậy có tất cả 6 bộ số (a, b) thỏa mãn YCBT 6
7. Nhận xét: Trong trường hợp 2 ta không cần tìm nghiệm (x, y) cụ thể ta chỉ cần chứng minh HPT có 2 2 x 1 y 4 nghiêm bằng cách xét sự tương giao của 2 đường tròn 2 2 x 3 y 2 16 + Đường tròn C1 : I1 1;0 ,R1 2 và C2 : I2 3;2 ,R1 4 2 2 + Ta có I1I2 4 2 2 5 4,47 Vậy R1 R2 I1I2 R1 R2 nên hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm A a;b , B c;d HPT có 2 cặp nghiệm, mỗi cặp ứng với một cặp số phức liên hợp nhau có 2 bộ (a; b) Câu 46. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C ' có AC ' = 8, diện tích của tam giác A'BC bằng 9 và đường thẳng AC ' tạo với mặt phẳng ( A'BC) một góc 300 Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 6 B. 18 C. 6 3 D. 18 3 Hướng dẫn: Gọi I là giao điểm của AC’ và A’C, H là hình chiếu của A lên mp(A'BC) thì góc giữa đường thẳng AC’ và mp(A'BC) là góc A· IH AC’ = 8 AI = 4 AH AIsin A· IH 4.sin300 2 1 1 V AH.S .2.9 6 A.A 'BC 3 A 'BC 3 1 VA '.ABC SABCh Mà 3 VABC.A 'B'C' 3VA '.ABC 3.6 18 VABC.A 'B'C' SABCh Câu 47. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y, tồn tại duy nhất một giá trị 5 11 3 2 2 x ; thỏa mãn log2 x 9x 24x y log3 x 8x 7 . Số phần tử của S bằng 2 2 A. 8 B. 7 C. 3 D. 1 Hướng dẫn: Ta xem y là tham số Rút y ra để có dạng quen thuộc: tìm nghiệm của phương trình m = f(x) * Đặt y = m log x2 8x 7 3 2 2 3 2 3 Ta có: log2 x 9x 24x m log3 x 8x 7 x 9x 24x m 2 2 log3 x 8x 7 5 11 m 2 x3 9x2 24x với x ; 2 2 log x2 8x 7 3 3 2 * Gọi f x 2 x 9x 24x log x2 8x 7 2 3 2 f ' x log3 x 8x 7 '2 ln 2 3x 18x 24 2 2 log3 x 8x 7 log3 x 8x 7 2x 8 2 ln 2 2.ln 2.2 3 x 4 x 2 x 4 3 x 2 2 2 x 8x 7 ln3 x 8x 7 ln3 5 11 * Ta thấy với x ; thì biểu thức trong ngoặc vuông dương do đó dấu của f’(x) phụ th8c5 vào 2 2 dấu của biểu thức x 4 * Bảng biến thiên * Từ bảng xét dấu ta thấy để ứng với mỗi y tồn tại 7
8. duy nhất x tức là phương trình m = f(x) có nghiệm duy nhất khi m 12 m 9 22,79 m 16,03 22 m 17 m Z m Z có 7 giá trị y thỏa mãn YCBT chọn B Câu 48. Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên khoảng 0; , có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn f x ln f x x f x f x , x 0; Biết f 1 f 4 , giá trị f 2 thuộc khoảng nào dưới đây? A. 1;3 B. 8;10 C. 6,8 D. 13,15 f x Hướng dẫn: f x ln f x x f x f x ln f x x 1 ln f x x 1 ln f x f x x2 ln f x x x ln f x ln f x x ln f x x x.ln f x ' x C x.ln f x 2 1 Vậy x ln f x x2 C (1) 2 Vì (1) đúng với mọi x dương, ta thay x = 1 và x = 4 vào (1) ta có: 1 Cho x 1 ta được ln f 1 C 2 16 C Cho x 4 ta được 4ln f 4 C ln f 4 2 2 4 1 C 1 Theo bài ra thì f 1 f 4 , từ đó suy ra C 2 C 2 .Thay vào (1) x ln f x x2 2 2 4 2 1 Cho x 2 ta được 2ln f 2 22 2 4 ln f 2 2 f 2 e2 7,4 6;8 chọn B 2 Câu 49. Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có tâm I (3,7,12) và bán kính R thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của (S) trong mặt phẳng (Oyz) mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 600 ? A. 11 B. 7 C. 5 D. 3 Hướng dẫn: Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng Oyz thì H 0;7;12 + Hai tiếp tuyến với mặt cầu qua O là OA, OB, ta nhận thấy khi R thay 2 2 đổi thì H và O cố định và OH 7 12 193 và IH xI 3 còn bán kính đường tròn giao tuyến r thay đổi do đó góc A· OB thay đổi. + Góc giữa 2 đường thẳng là góc nhọn, ta có 60 A· OB 120 (vì nếu A· OB 120 thì góc còn lại nhỏ hơn 60 ) 1 3 30 A· OH 60 sin A· OH (*) 2 2 AH R2 IH2 R2 9 Mà sin A· OH OH 193 193 Thay vào (*) ta có: 1 R2 9 3 193 193.3 7,57 R 12,4 9 R 9 R 8;9;10;11;12 2 193 2 4 4 R R Vậy có tất cả 5 giá trị của R . 8
9. Câu 50. Cho hàm số f x x4 18x2 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m , tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng 4;1 của phương trình 2 f x 4x 5 m bằng 8 ? A. 63 B. 65 C. 62 D. 64 Hướng dẫn: Đặt u x2 4x 5 . Ta có: f u f x2 2x 3 f ' u(x) u(x)'f ' u 2x 4 4u3 36u 2 x 2 .4.u u2 9 8 x 2 u u 3 u 3 Vì u x2 4x 5 x 2 2 1 0,x R nên u, u +4 luôn luôn dương do đó dấu của f’(u) là dấu của tích x 2 u 3 x 2 x 2 0 x 2 f ' u f ' x2 4x 5 0 x 2 2 2 u 3 0 x 4x 5 3 0 x 2 2 Bảng xét dấu của f ' u là dấu của hàm số x 2 x2 4x 2 như sau: * Khi 77 m 13 phương trình có 4 nghiệm. Ta chứng minh tổng 4 nghiệm này luôn luôn bằng – 8. * PT f u u4 18u2 4 m với 77 m 13có 4 phân biệt x1,x2,x3,x4 (theo bảng xét dấu) nên PT 4 2 2 2 u 18u 4 m có 2 nghiêm u1 0,u2 0 c (vì tích u2.u2 4 m 0 (dom 18) 1 2 a Các PT theo x là: 2 x 4x 5 u1 (1) , 2 x 4x 5 u1 (2) , 2 x 4x 5 u2 (4) 2 x 4x 5 u2 (4) 2 2 Các PT (2) và (4) vô nghiệm vì x 4x 5 u1 (2) x 2 1 u1 0 PT (1) có 2 nghiệm x1 x2 4 , PT (3) có 2 nghiệm x3 x4 4 x1 x2 x3 x4 4 4 8 * Vậy 77 m 13 , m Z thỏa mãn YCBT có 63 số 9