Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán (Có lời giải) - Đề 02 - Năm 2022-2023 - Trường THPT Hoài Đức A

Nội dung text: Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán (Có lời giải) - Đề 02 - Năm 2022-2023 - Trường THPT Hoài Đức A

1. TRƯỜNG HỒI ĐỨC A – HÀ NỘI THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC - 2022-2023 ĐỀ 02 Câu 1: Hàm số nào trong bốn hàm số liệt kê ở dưới nghịch biến trên từng khoảng xác định của nĩ? 2x 1 x x e 1 3 x A. y . B. y . C. y . D. y 2017 . 2 3 e Câu 2: Hàm số y x3 3x2 9x 7 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 1; . B. 5; 2 . C. ;1 . D. 1;3 . Câu 3: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và cĩ bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 3. B. Hàm số cĩ giá trị nhỏ nhất trên ¡ bằng 1. C. Hàm số cĩ giá trị cực đại bằng 1. D. Hàm số chỉ cĩ một điểm cực trị. Câu 4: Hàm số y x4 x2 3 cĩ mấy điểm cực trị? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . 2 Câu 5: Hàm số y log2 x 2x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ;1 . B. ;0 . C. 1;1 . D. 0; . 1 Câu 6: Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x x x 1 trên 2 đoạn 0;3 . Tổng S 2M m bằng 3 A. S 0 . B. S . C. S 2 . D. S 4 . 2 Câu 7: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x cos2 x trên đoạn 0; là 4 1 A. max f x ; min f x 1. B. max f x ; min f x . 0; 2 0; 0; 4 0; 6 4 4 4 4 1 1 1 C. max f x ; min f x 1. D. max f x ; min f x . 0; 4 2 0; 0; 4 2 0; 2 4 4 4 4 Câu 8: Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên như hình bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số đã cho cĩ tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
2. A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . 2 x 1 Câu 9: Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật cĩ x 1 diện tích là A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Câu 10: Hàm số nào dưới đây cĩ đồ thị như trong hình vẽ bên? x x 1 A. y 2 . B. y . C. y log1 x. D. y log3 x. 3 3 Câu 11: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. y x3 3x 2 2 . B. y x3 3x2 2. C. y x3 3x 2 . D. y x 4 2x 2 2 . Câu 12: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y 2x3 x ln x tại điểm M 1;2 . A. y 7x 9 . B. y 3x 4 . C. y 7x 5 . D. y 3x 1. 2x 1 Câu 13: Cho hàm số y cĩ đồ thị C và đường thẳng d : y 2x 3. Đường thẳng d cắt C tại x 1 hai điểm A và B . Tọa độ trung điểm của đoạn AB là 3 3 3 3 3 A. M ; 6 . B. M ; . C. M ;0 . D. M ;0 . 2 4 2 2 4
3. Câu 14: Cho hàm số f x x3 m 3 x2 2mx 2 (với m là tham số thực, m 0 ). Hàm số y f x cĩ bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 3 . C. 5 . D. 4 . Câu 15: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm liên tục trên ¡ và cĩ đồ thị hàm số y f x như hình vẽ sau. 1 1 Gọi g x f x x3 x2 x 2019 . Biết g 1 g 1 g 0 g 2 . Với x  1;2 thì 3 2 g x đạt giá trị nhỏ nhất bằng A. g 2 . B. g 1 . C. g 1 . D. g 0 . 7 3 a5 .a 3 Câu 16: Rút gọn biểu thức A với a 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? a4.7 a 2 2 2 7 7 A. A a 7 . B. A a 7 . C. A a 2 . D. A a 2 . Câu 17: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào xác định với mọi giá trị thực của x ? 1 1 3 2 3 A. y 2x 1 3 . B. y 2x 1 3 . C. y 1 2x . D. y 1 2 x . Câu 18: Cho số thực dương a,b với a 1. Tìm mệnh đề dúng trong các mệnh đề dưới đây. 1 1 1 A. log 2 ab log b . B. log 2 ab loga b . a 2 a a 2 2 1 C. log 2 ab log b . D. log 2 ab 2 2loga b . a 4 a a Câu 19: Hãy cho biết giá trị của g 2 nếu g x ln x2 1 . 2 2 A. . B. 0,8 . C. . D. 0,65. 5 3 2 Câu 20: Đạo hàm của hàm số f x 2cos x là nào số nào sau đây? 2 2 2 2 A. sin 2x .2cos x ln 2 . B. sin 2x .2cos x ln 2 . C. sin 2x .2cos x . D. sin 2x .2cos x 1 . Câu 21: Cho hai số a và b với 0 a b 1. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. loga b 1 logb a . B. 1 logb a loga b . C. 1 loga b logb a . D. logb a 1 loga b .
4. mx 1 1 x m 1 Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y đồng biến trên khoảng ; ? 5 2 1 1 1 A. m 1;1 . B. m ;1 . C. m ;1 . D. m ;1 . 2 2 2 1 m f 2 f 3 f 2019 f 2020 Câu 23: Cho hàm số f x ln 1 2 . Biết rằng với x n m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính S 2m n . A. 2 . B. 4 . C. 2. D. 4. 2 Câu 24: Số nghiệm của phương trình 22x 7 x 5 1 là A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 . x x Câu 25: Phương trình 9 3.3 2 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 x1 x2 . Giá trị 2x1 3x2 bằng A. 4log2 3. B. 2 . C. 0 . D. 3log3 2 . 2 Câu 26: Tập nghiệm S của phương trình log2 x 3x 2 là A. S 1; 4. B. S 1;4 . C. S 1. D. S 4 . 2 Câu 27: Giải phương trình log2 x 3log2 x 2 0 . Ta cĩ tổng các nghiệm là 5 9 A. 6 . B. 3 . C. . D. . 2 2 Câu 28: Tập nghiệm của bất phương trình 3x 2 4x 1 82x 1 0 1 1 A. ; . B. ; . C. ; 4 D. 4; . 4 4 Câu 29: Tập nghiệm của bất phương trình 3.9x 10.3x 3 0 cĩ dạng S a;b trong đĩ a,b là các số   nguyên. Giá trị biểu thức 5b 2a bằng 43 8 A. . B. . C. 7 . D. 3. 3 3 2 Câu 30: Tập nghiệm của bất phương trình log 1 log2 x 1 1 là: 2 A. S ; 5  5; B. S 1; 5 . C. S 5; 5 . . D. S 5;1  1; 5 . Câu 31: Bất phương trình ln(2x2 3) ln x2 ax 1 nghiệm đúng với mọi số thực x khi A. 2 2 a 2 2 . B. 0 a 2 2 . C. 0 a 2 . D. 2 a 2 . 2 2 Câu 32: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 22x 15x 100 2x 10x 50 x2 25x 150 0 A. 6. B. 5. C. 4. D. 3. Câu 33: Hình bát diện đều cĩ bao nhiêu cạnh? A. 16. B. 8 . C. 24 . D. 12.
5. Câu 34: Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA , SB , SC đơi một vuơng gĩc. Biết SA SB SC a . Tính thể tích của khối chĩp S.ABC a3 3a3 3 a3 A. . B. . C. a . D. . 6 4 2 3 Câu 35: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy, SA a . Thể tích của khối chĩp S.ABC bằng: 3a3 3a3 a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 4 6 4 12 Câu 36: Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA SB SC a 3, AB AC 2a, BC 3a. Thể tích của khối S.ABC bằng 5a3 35a3 35a3 5a3 A. . B. . C. . D. . 2 2 6 4 Câu 37: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB và P là điểm bất kì thuộc cạnh CD . Biết rằng thể tích của khối chĩp S.ABCD là V . Tính thể tích khối tứ diện AMNP theo V . V V V V A. . B. . C. . D. . 8 12 6 4 Câu 38: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cĩ diện tích mặt chéo ACC A là 2a2 2 . Thể tích khối lập phương ABCD.A B C D là:. A. a3 . B. 2a3 . C. a3 2 . D. 2a3 2 . Câu 39: Cho khối lăng trụ đều ABC.A B C cĩ AB a , AA a 2 . Gĩc giữa đường thẳng A B và mặt phẳng BCC B bằng A. 60 . B. 30 . C. 45. D. 90 . Câu 40: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C cĩ độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy là tam giác ABC vuơng cân tại C ; CA CB a . Gọi M là trung điểm của cạnh AA . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC bằng a 3 a a 3 2a A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 Câu 41: Cho khối lăng trụ cĩ đáy là tam giác đều cạnh bằng a và thể tích bằng 3a3 . Chiều cao của khối lăng trụ đã cho bằng A. 12 3a . B. 6 3a . C. 4 3a . D. 2 3a .
6. Câu 42: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ thể tích bằng 4a3 , đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Biết diện tích tam giác SAB bằng a2 . Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng SAB . A. 12a . B. 6a . C. 3a . D. 4a . Câu 43: Cho tứ diện ABCD cĩ AB BD AD 2a, AC a 7, BC a 3 . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB,CD bằng a . Tính thể tích của khối tứ diện ABCD . 2 6a3 2 2a3 A. . B. . C. 2 6a3 . D. 2 2a3 . 3 3 Câu 44: Cơng thức tính diện tích xung quanh của hình nĩn trịn xoay cĩ bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là: A. Sxq rl . B. Sxq 2 rl . C. Sxq rl . D. Sxq 2rl . o Câu 45: Hình nĩn cĩ gĩc ở đỉnh bằng 60 và chiều cao bằng 3 . Độ dài đường sinh của hình nĩn bằng A. l 2. B. l 2 2 . C. l 2 3 . D. l 3 . Câu 46: Gọi l;h;r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Đẳng thức nào sau đây đúng? A. l h . B. h r . C. l 2 r 2 h2 . D. r 2 l 2 h2 . Câu 47: Thể tích của miếng Piza dạng nửa hình trụ cĩ đường kính đáy 18 cm và chiều cao 3 cm là 243 A. . B. 81 . C. 243 . D. 972 . 2 Câu 48: Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA  ABC , AB 3, AC 2 và B· AC 60 . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC . Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp A.BCNM . 21 4 A. R 2 . B. R . C. R . D. R 1. 3 3 R Câu 49: Cho mặt cầu S I ; R và mặt phẳng P cách I một khoảng bằng . Khi đĩ thiết diện của P 2 và S là một đường trịn cĩ bán kính bằng R 3 R A. R . B. . C. R 3 . D. . 2 2 Câu 50: Cho tứ diện ABCD cĩ tam giác BCD vuơng tại C , AB vuơng gĩc với mặt phẳng BCD , AB 5a, BC 3a và CD 4a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 5a 2 5a 3 5a 2 5a 3 A. R . B. R . C. R . D. R . 3 3 2 2 HẾT
7. BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.A 7.C 8.A 9.A 10.D 11.B 12.C 13.B 14.C 15.A.C 16.B 17.B 18.B 19.B 20.A 21.A 22.D 23.C 24.A 25.D 26.A 27.A 28.A 29.C 30.A 31.D 32.C 33.D 34.A 35.D 36.D 37.A 38.D 39.B 40.A 41.C 42.C 43.B 44.C 45.A 46.A 47.A 48.B 49.B 50.C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Hàm số nào trong bốn hàm số liệt kê ở dưới nghịch biến trên từng khoảng xác định của nĩ? 2x 1 x x e 1 3 x A. y . B. y . C. y . D. y 2017 . 2 3 e Lời giải x Hàm số y a nghịch biến trên ¡ khi 0 a 1. x 1 Vậy hàm số y nghịch biến trên ¡ . 3 Câu 2: Hàm số y x3 3x2 9x 7 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 1; . B. 5; 2 . C. ;1 . D. 1;3 . Lời giải Ta cĩ y 3x2 6x 9 . 2 x 1 y 0 3x 6x 9 0 . x 3 Do đĩ hàm số đồng biến trên ; 1 nên hàm số đồng biến trên 5; 2 . Câu 3: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và cĩ bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 3. B. Hàm số cĩ giá trị nhỏ nhất trên ¡ bằng 1. C. Hàm số cĩ giá trị cực đại bằng 1. D. Hàm số chỉ cĩ một điểm cực trị. Lời giải Hàm số y f x liên tục trên ¡ và hàm số đạt cực tiểu tại x 3. Phương án A đúng. Hàm số khơng cĩ giá trị nhỏ nhất trên ¡ nên phương án B sai. Hàm số cĩ giá trị cực đại bằng 2 nên phương án C sai. Hàm số cĩ hai điểm cực trị x 1 và x 3 nên phương án D sai. Câu 4: Hàm số y x4 x2 3 cĩ mấy điểm cực trị? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Ta cĩ ab 1. 1 0 Hàm số cĩ 3 điểm cực trị.
8. 2 Câu 5: Hàm số y log2 x 2x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ;1 . B. ;0 . C. 1;1 . D. 0; . Lời giải 2 x 0 Hàm số xác định khi x 2x 0 . Tập xác định của hàm số là D ;0  2; . x 2 2x 2 Khi đĩ y 0 0 2x 2 0 x 1. x2 2x ln 2 Kết hợp với tập xác định ta được y 0 x 0 . Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ;0 . 1 Câu 6: Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x x x 1 trên 2 đoạn 0;3 . Tổng S 2M m bằng 3 A. S 0 . B. S . C. S 2 . D. S 4 . 2 Lời giải 1 1 1 x 1 1 Ta cĩ f x x x 1 f x . 2 2 2 x 1 2 x 1 f x 0 x 1 1 x 0 . 1 Ta cĩ f 0 1; f 3 và hàm số f x liên tục trên đoạn 0;3 . 2 1 1 Vậy M ;m 1 S 2M m 2 1 0. 2 2 Câu 7: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x cos2 x trên đoạn 0; là 4 1 A. max f x ; min f x 1. B. max f x ; min f x . 0; 2 0; 0; 4 0; 6 4 4 4 4 1 1 1 C. max f x ; min f x 1. D. max f x ; min f x . 0; 4 2 0; 0; 4 2 0; 2 4 4 4 4 Lời giải Ta cĩ f x x cos2 x f x 1 2cos x.sin x 1 sin 2x . Cho f x 0 1 sin 2x 0 x k . Do x 0; x . 4 4 4 1 f 0 1; f và hàm số f x liên tục trên đoạn 0; 4 4 2 4 1 Suy ra max f x ; min f x 1. 0; 4 2 0; 4 4 Câu 8: Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên như hình bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số đã cho cĩ tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
9. A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải Ta cĩ: lim f x 5; lim f x 3 đồ thị hàm số cĩ hai đường tiệm cận ngang là y 3 và y 5 . x x lim f x ; lim f x đồ thị hàm số cĩ đường tiệm cận đứng là x 1. x 1 x 1 Vậy đồ thị hàm số cĩ 3 đường tiệm cận. 2 x 1 Câu 9: Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật cĩ x 1 diện tích là A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Lời giải Ta cĩ: lim y 2; lim y 2 đồ thị hàm số cĩ đường tiệm cận ngang là y 2 . x x lim y ; lim y đồ thị hàm số cĩ đường tiệm cận đứng là x 1. x 1 x 1 Hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật cĩ kích thước lần lượt là 1 và 2 . Vậy diện tích hình chữ nhật là S 2 . Câu 10: Hàm số nào dưới đây cĩ đồ thị như trong hình vẽ bên? x x 1 A. y 2 . B. y . C. y log1 x. D. y log3 x. 3 3 Lời giải Từ đồ thị hàm số ta cĩ tập xác định của hàm số là 0; suy ra đây là đồ thị của hàm số logarit y loga x . Loại đáp án A vàB. Hàm số đồng biến trên 0; nên a 1 chọn đáp án D. Câu 11: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
10. A. y x3 3x 2 2 . B. y x3 3x2 2. C. y x3 3x 2 . D. y x 4 2x 2 2 . Lời giải Trong các đáp án cho thì ta thấy đồ thị trên là đồ thị của hàm số bậc ba cĩ hệ số a 0 nên: Loại đáp án A vì hệ số a 0 . Loại đáp án D vì là hàm số bậc bốn. Vì đồ thị đi qua điểm 2; 2 nên chỉ cĩ đáp án B thỏa mãn. Vậy đáp án đúng làB. Câu 12: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y 2x3 x ln x tại điểm M 1;2 . A. y 7x 9 . B. y 3x 4 . C. y 7x 5 . D. y 3x 1. Lời giải Tập xác định: D 0; . Ta cĩ y 6x2 ln x 1; y 1 6.12 ln1 1 7 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y 2x3 x ln x tại điểm M 1;2 là: y y 1 x 1 2 y 7 x 1 2 y 7x 5 . Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị là y 7x 5 . 2x 1 Câu 13: Cho hàm số y cĩ đồ thị C và đường thẳng d : y 2x 3. Đường thẳng d cắt C tại x 1 hai điểm A và B . Tọa độ trung điểm của đoạn AB là 3 3 3 3 3 A. M ; 6 . B. M ; . C. M ;0 . D. M ;0 . 2 4 2 2 4 Lời giải Tập xác định: D ¡ \ 1 . Xét phương trình hồnh độ giao điểm của d và C 2x 1 2x 3 2x 1 x 1 2x 3 2x 1 2x2 x 3 2x2 3x 2 0 x 1 x 2 thoảmãn y 1 1 . x thoảmãn y 4 2 1 Đường thẳng d cắt đồ thị C tại hai điểm A 2;1 và B ; 4 . 2
11. 1 2 xA xB xM 2 2 x Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là M 2 yA yB yM 1 4 2 y M 2 3 x M 4 3 y M 2 3 3 M ; . 4 2 3 3 Vậy tọa độ trung điểm của đoạn AB là: M ; . 4 2 Câu 14: Cho hàm số f x x3 m 3 x2 2mx 2 (với m là tham số thực, m 0 ). Hàm số y f x cĩ bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 3 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Nhận xét: hàm số y f x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng qua Oy. Vì vậy, ta đi tìm số cực trị dương. Khi đĩ, số điểm cực trị cần tìm bằng số cực trị dương cộng 1. Ta cĩ f x 3x2 2 m 3 x 2m ; f x 0 3x2 2 m 3 x 2m 0 (*). 2 2 m 3 6m m 9 0 với mọi m f x 0 luơn cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 (Giả sử x1 x2 ). 2 m 3 x1 x2 0 3 Theo định lý Vi–et ta cĩ với mọi m 0 . 2m x .x 0 1 2 3 Suy ra với m 0 hàm số y f x luơn cĩ hai điểm cực trị dương x1, x2 . Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số y f x cĩ 5 điểm cực trị.
12. Câu 15: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm liên tục trên ¡ và cĩ đồ thị hàm số y f x như hình vẽ sau. 1 1 Gọi g x f x x3 x2 x 2019 . Biết g 1 g 1 g 0 g 2 . Với x  1;2 thì 3 2 g x đạt giá trị nhỏ nhất bằng A. g 2 . B. g 1 . C. g 1 . D. g 0 . Lời giải Ta cĩ g x f x x2 x 1 f x x2 x 1 g x 0 f x x2 x 1 0 f x x2 x 1 x 1 2 Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy f x x x 1 x 0 . x 2 Bảng biến thiên
13. Theo giả thiết: g 1 g 1 g 0 g 2 g 1 g 2 g 0 g 1 0 g 1 g 2 Vậy min g x g 2 .  1;2 ▪ Chú ý: Cách khác khi khơng dùng giả thiết g 1 g 1 g 0 g 2 ở đề bài. 2 Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , y x x 1, x 1, x 0 . 0 0 Ta cĩ S f x x2 x 1 dx f x x2 x 1 dx 1 1 1 0 0 g x dx g x g 0 g 1 . 1 1 2 Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , y x x 1, x 0, x 2 . 2 2 Ta cĩ S f x x2 x 1 dx f x x2 x 1 dx 2 0 0 2 2 g x dx g x g 2 g 0 . 0 0 Ta cĩ S2 S1 g 2 g 0 g 0 g 1 g 2 g 1 g 2 g 1 . Vậy min g x g 2 .  1;2 7 3 a5 .a 3 Câu 16: Rút gọn biểu thức A với a 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? a4.7 a 2 2 2 7 7 A. A a 7 . B. A a 7 . C. A a 2 . D. A a 2 . Lời giải 7 5 7 3 a5 .a 3 a 3 .a 3 a4 2 Với a 0 , ta cĩ A a 7 . 4 7 2 2 26 a . a a4.a 7 a 7 Câu 17: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào xác định với mọi giá trị thực của x ?
14. 1 1 3 2 3 A. y 2x 1 3 . B. y 2x 1 3 . C. y 1 2x . D. y 1 2 x . Lời giải 1 Ta cĩ 2x2 1 0 x ¡ nên hàm số y 2x2 1 3 xác định với mọi giá trị thực của x . Câu 18: Cho số thực dương a,b với a 1. Tìm mệnh đề dúng trong các mệnh đề dưới đây. 1 1 1 A. log 2 ab log b . B. log 2 ab loga b . a 2 a a 2 2 1 C. log 2 ab log b . D. log 2 ab 2 2loga b . a 4 a a Lời giải Với a 0;b 0 và a 1, ta cĩ: 1 1 1 1 log 2 ab log ab log a log b log b . a 2 a 2 a a 2 2 a Câu 19: Hãy cho biết giá trị của g 2 nếu g x ln x2 1 . 2 2 A. . B. 0,8 . C. . D. 0,65. 5 3 Lời giải Hàm số đã cho xác định với mọi x ¡ . 2x 4 Ta cĩ g x nên g 2 0,8 . x2 1 5 2 Câu 20: Đạo hàm của hàm số f x 2cos x là nào số nào sau đây? 2 2 2 2 A. sin 2x .2cos x ln 2 . B. sin 2x .2cos x ln 2 . C. sin 2x .2cos x . D. sin 2x .2cos x 1 . Lời giải 2 2 2 Ta cĩ f x 2cos x.ln 2. cos2 x 2cos x.ln 2. 2cos x.sin x sin 2x .2cos x.ln 2 . Câu 21: Cho hai số a và b với 0 a b 1. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. loga b 1 logb a . B. 1 logb a loga b . C. 1 loga b logb a . D. logb a 1 loga b . Lời giải Ta cĩ: vì 0 a b 1nên loga b 1 logb a là khẳng định đúng. mx 1 1 x m 1 Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y đồng biến trên khoảng ; ? 5 2 1 1 1 A. m 1;1 . B. m ;1 . C. m ;1 . D. m ;1 . 2 2 2 Lời giải mx 1 mx 1 2 mx 1 1 x m 1 1 m 1 x m Ta cĩ y . ln 2 . .ln 5 . x m 5 5 x m 5 1 1 Hàm số đồng biến trên khoảng ; khi và chỉ khi y 0,x ; . 2 2
15. mx 1 2 2 1 m 1 x m 1 1 m 1 2 . .ln 5 0,x ; 2 0,x ; . x m 5 2 x m 2 1 m2 0 1 m 1 1 Điều kiện: 1 1 m 1. m m 2 2 2 1 Vậy m ;1 . 2 1 m f 2 f 3 f 2019 f 2020 Câu 23: Cho hàm số f x ln 1 2 . Biết rằng với x n m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính S 2m n . A. 2 . B. 4 . C. 2. D. 4. Lời giải Tập xác định: D ; 1  1; 1 2 2 1 1 Ta cĩ: f x ln 1 2 f x x x x2 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 Khi đĩ: f 2 f 3 f 2019 f 2020 1 1 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 2019.2020 2020.2021 1.2 2020.2021 1010.2021 1 . 2020.2021 Vậy m 1010.2021 1;n 2020.2021, suy ra 2m n 2 . 2 Câu 24: Số nghiệm của phương trình 22x 7 x 5 1 là A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 . Lời giải x 1 2 Ta cĩ: 22x 7 x 5 1 2x2 7x 5 0 5 . x 2 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 1; . 2 x x Câu 25: Phương trình 9 3.3 2 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 x1 x2 . Giá trị 2x1 3x2 bằng A. 4log2 3. B. 2 . C. 0 . D. 3log3 2 . Lời giải x 2 3 1 x 0 Ta cĩ: 9x 3.3x 2 0 3x 3.3x 2 0 . x 3 2 x log3 2 Vì x1 x2 nên x1 0, x2 log3 2 . Khi đĩ: 2x1 3x2 2.0 3.log3 2 3log3 2 . 2 Câu 26: Tập nghiệm S của phương trình log2 x 3x 2 là A. S 1; 4. B. S 1;4 . C. S 1. D. S 4 .
16. Lời giải x 0 Điều kiện: . x 3 x 1 TM Ta cĩ: x2 3x 22 x2 3x 4=0 . x 4 TM Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1; 4. 2 Câu 27: Giải phương trình log2 x 3log2 x 2 0 . Ta cĩ tổng các nghiệm là 5 9 A. 6 . B. 3 . C. . D. . 2 2 Lời giải Điều kiện: x 0 . x 21 2 TM 2 log2 x 1 Ta cĩ: log2 x 3log2 x 2 0 . log x 2 2 2 x 2 4 TM Tập nghiệm của phương trình là S 2;4 . Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: 2 4 6 . Câu 28: Tập nghiệm của bất phương trình 3x 2 4x 1 82x 1 0 1 1 A. ; . B. ; . C. ; 4 D. 4; . 4 4 Lời giải Do 3x 2 0 x nên 3x 2 4x 1 82x 1 0 4x 1 82x 1 0 4x 1 82x 1 1 22x 2 26x 3 2x 2 6x 3 4x 1 x . 4 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ; . 4 Câu 29: Tập nghiệm của bất phương trình 3.9x 10.3x 3 0 cĩ dạng S a;b trong đĩ a,b là các số   nguyên. Giá trị biểu thức 5b 2a bằng 43 8 A. . B. . C. 7 . D. 3. 3 3 Lời giải 1 Ta cĩ: 3.9x 10.3x 3 0 3x 3 1 x 1. 3 Suy ra S  1;1 a 1;b 1. Vậy 5b 2a 5 2 7 . 2 Câu 30: Tập nghiệm của bất phương trình log 1 log2 x 1 1 là: 2 A. S ; 5  5; B. S 1; 5 . C. S 5; 5 . . D. S 5;1  1; 5 .
17. Lời giải x 1 x 1 x2 1 0 x2 1 0 2 2 2 x 2 x 5 Ta cĩ: log 1 log2 x 1 1 log2 x 1 0 x 1 1 . 2 2 x 2 x 5 log x2 1 2 x 1 4 2 x 5 x 5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S ; 5  5; . Câu 31: Bất phương trình ln(2x2 3) ln x2 ax 1 nghiệm đúng với mọi số thực x khi A. 2 2 a 2 2 . B. 0 a 2 2 . C. 0 a 2 . D. 2 a 2 . Lời giải 2x2 3 x2 ax 1 x2 ax 2 0 Ta cĩ ln(2x2 3) ln x2 ax 1 I . 2 2 x ax 1 0 x ax 1 0 Để bất phương trình ln(2x2 3) ln x2 ax 1 đúng với mọi số thực x thì I phải đúng với mọi số thực x . 2 2 a 4.2 0 a 8 2 Điều này tương đương với a 4 2 a 2 . 2 2 a 4 0 a 4 Vậy 2 a 2 thỏa mãn yêu cầu bài tốn. 2 2 Câu 32: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 22x 15x 100 2x 10x 50 x2 25x 150 0 A. 6. B. 5. C. 4. D. 3. Lời giải 2 2x 15x 100 a a b Đặt . Khi đĩ bất phương trình trở thành 2 2 (a b) 0 . 2 x 10x 50 b 2a a 2b b (I). Xét hàm số f (t) 2t t trên ; . Ta cĩ f t 2t ln 2 1 0, t ; . Suy ra, hàm số f (t) đồng biến trên ; . Từ (I) ta lại cĩ f (a) f (b) a b 2x2 15x 100 x2 10x 50 x2 25x 150 0 x 10;15 . Vì x ¢ nên x 11;12;13;14. Vậy bất phương trình cĩ 4 nghiệm nguyên. Câu 33: Hình bát diện đều cĩ bao nhiêu cạnh? A. 16. B. 8 . C. 24 . D. 12. Lời giải Hình bát diện đều cĩ 12 cạnh. Câu 34: Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA , SB , SC đơi một vuơng gĩc. Biết SA SB SC a . Tính thể tích của khối chĩp S.ABC
18. a3 3a3 3 a3 A. . B. . C. a . D. . 6 4 2 3 Lời giải 1 1 1 Thể tích của khối chĩp S.ABC là V .S .SA SA.SB.SC a3 . 3 SBC 6 6 Câu 35: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy, SA a . Thể tích của khối chĩp S.ABC bằng: 3a3 3a3 a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 4 6 4 12 Lời giải Thể tích của khối chĩp S.ABC là: 1 1 1 1 3 a3 3 V .S .SA . AB.AC.sin 60.SA a.a. .a . 3 ABC 3 2 6 2 12 Câu 36: Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA SB SC a 3, AB AC 2a, BC 3a. Thể tích của khối S.ABC bằng 5a3 35a3 35a3 5a3 A. . B. . C. . D. . 2 2 6 4
19. Lời giải Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của S lên mặt phẳng ABC . Do SA SB SC nên H là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC . Áp dụng cơng thức Hê – rơng tính diện tích ABC ta được: 3a2 7 S p p a p b p c . (với p là nửa chu vi). ABC 4 abc Sử dụng cơng thức S ta tính được bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là 4R 4a 7 R AH . 7 5 Xét HAS cĩ SH SA2 AH 2 a . 7 1 1 3a2 7 5 a3 5 Khi đĩ ta cĩ V S .SH . .a . S.ABC 3 ABC 3 4 7 4 Câu 37: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB và P là điểm bất kì thuộc cạnh CD . Biết rằng thể tích của khối chĩp S.ABCD là V . Tính thể tích khối tứ diện AMNP theo V . V V V V A. . B. . C. . D. . 8 12 6 4 Lời giải
20. Ta cĩ CD // AB; AB  SAB CD // SAB CD // AMN d d d . P, AMN C, AMN C, SAB 1 1 1 1 1 Do đĩ V S .d . S .d V V . AMNP 3 AMN P, AMN 3 4 SAB C, SAB 4 SABC 8 Câu 38: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cĩ diện tích mặt chéo ACC A là 2a2 2 . Thể tích khối lập phương ABCD.A B C D là:. A. a3 . B. 2a3 . C. a3 2 . D. 2a3 2 . Lời giải Đặt cạnh của hình lập phương là x . Theo bài ra ta cĩ ACC A là hình chữ nhật với AA x; AC x 2 . Diện tích mặt chéo ACC A là 2a2 2 nên x.x 2 2a2 2 x a 2 . Do đĩ thể tích khối lập phương ABCD.A B C D là: V x3 2a3 2 . Câu 39: Cho khối lăng trụ đều ABC.A B C cĩ AB a , AA a 2 . Gĩc giữa đường thẳng A B và mặt phẳng BCC B bằng A. 60 . B. 30 . C. 45. D. 90 . Lời giải
21. Gọi M là trung điểm của cạnh B C , suy ra A M  BCC B , MB là hình chiếu vuơng gĩc của A B trên mặt phẳng BCC B ; Khi đĩ: ·A B, BCC B ·A B, MB ·A BM . a 3 Xét tam giác A ' BM vuơng tại M ta cĩ: A B a 3; A M . 2 a 3 A M 1 sin ·A BM 2 ·A BM 30. A B a 3 2 Vậy gĩc giữa đường thẳng A B và mặt phẳng BCC B là 30 . Câu 40: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C cĩ độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy là tam giác ABC vuơng cân tại C ; CA CB a . Gọi M là trung điểm của cạnh AA . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC bằng a 3 a a 3 2a A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 Lời giải Gọi E là trung điểm của cạnh CC AE //MC , E CC . d AB, MC d MC , EAB d C, EAB d C , EAB .
22. Gọi K là trung điểm của cạnh AB AB  EKC , Dựng CH  EK , H EK CH  EAB . Khi đĩ d C, ABE CH . AB a 2 CC Xét tam giác ECK vuơng tại C cĩ CK ;CE a . 2 2 2 a 2 .a CK.CE a 3 CH 2 . CK 2 CE 2 a2 3 a2 2 a 3 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC là . 3 Câu 41: Cho khối lăng trụ cĩ đáy là tam giác đều cạnh bằng a và thể tích bằng 3a3 . Chiều cao của khối lăng trụ đã cho bằng A. 12 3a . B. 6 3a . C. 4 3a . D. 2 3a . Lời giải a2 3 Diện tích đáy của khối lăng trụ là tam giác đều cĩ cạnh bằng a là . 4 3a3 Chiều cao của lăng trụ là: 4a 3 . a2 3 4 Câu 42: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ thể tích bằng 4a3 , đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Biết diện tích tam giác SAB bằng a2 . Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng SAB . A. 12a . B. 6a . C. 3a . D. 4a . Lời giải S K M H A D B C 1 1 1 Ta cĩ: V V (do S S ) V 4a3 2a3 . S.ABD 2 S.ABCD ABD 2 ABCD S.ABD 2 1 3.2a3 Mà: VS.ABD d D, SAB .S SAB d D, SAB 6a . 3 a2 d M , SAB 1 1 Lại cĩ: ( Do M là trung điểm SD ) d M , SAB .6a 3a . d D, SAB 2 2
23. Vậy khoảng cách từ M tới mặt phẳng SAB là 3a . Câu 43: Cho tứ diện ABCD cĩ AB BD AD 2a, AC a 7, BC a 3 . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB,CD bằng a . Tính thể tích của khối tứ diện ABCD . 2 6a3 2 2a3 A. . B. . C. 2 6a3 . D. 2 2a3 . 3 3 Lời giải D I B C M H N A E Do AB BD AD 2a, AC a 7, BC a 3 nên ABD đều và ABC vuơng tại B . Dựng hình chữ nhật ABCE AB P EC AB P DEC d AB,CD d AB, CED a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,CE và H là hình chiếu của D lên MN . AB  DM Ta cĩ: AB  DMN AB  DH . AB  MN Mà DM  MN DH  ABCD . 2a 3 Tam giác DMN cĩ DM a 3 , MN BC a 3 . 2 DMN cân tại M và MI d M , DEC a . MI cũng là đường trung tuyến của tam giác DMN . DMI vuơng tại I DI DM 2 MI 2 a 2 . Mà DN 2DI DN 2a 2 . Tam giác DMN cĩ: DH.MN MI.DN 2S DMN MI.DN a.2a 2 2a 6 DH . MN a 3 3 1 1 2a 6 1 2a3 2 Vậy: V DH.S . . 2a.a 3 . DABC 3 ABC 3 3 2 3 Câu 44: Cơng thức tính diện tích xung quanh của hình nĩn trịn xoay cĩ bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là: A. Sxq rl . B. Sxq 2 rl . C. Sxq rl . D. Sxq 2rl . Lời giải Cơng thức tính diện tích xung quanh của hình nĩn là: Sxq rl . o Câu 45: Hình nĩn cĩ gĩc ở đỉnh bằng 60 và chiều cao bằng 3 . Độ dài đường sinh của hình nĩn bằng A. l 2. B. l 2 2 . C. l 2 3 . D. l 3 .
24. Lời giải h 3 Ta cĩ cos30o l 2 . l cos30o Câu 46: Gọi l;h;r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Đẳng thức nào sau đây đúng? A. l h . B. h r . C. l 2 r 2 h2 . D. r 2 l 2 h2 . Lời giải Hình trụ cĩ l;h;r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy. Khi đĩ, l h . Chọn A Câu 47: Thể tích của miếng Piza dạng nửa hình trụ cĩ đường kính đáy 18 cm và chiều cao 3 cm là 243 A. . B. 81 . C. 243 . D. 972 . 2 Lời giải Ta cĩ d 18 r 9. 1 1 243 Thể tích của miếng Piza là V r 2h .81.3 . 2 2 2 Câu 48: Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA  ABC , AB 3, AC 2 và B· AC 60 . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC . Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp A.BCNM . 21 4 A. R 2 . B. R . C. R . D. R 1. 3 3 Lời giải
25. Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC IA IB IC . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC . IE  AB Ta cĩ IE  SAB hay IE  MAB . IE  SA do SA  ABC , IE  ABC Mặt khác tam giác MAB vuơng tại M nên E là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MAB . Do vậy IE là trục của đường trịn ngoại tiếp tam giác MAB IM IA IB * . Tương tự cĩ IF là trục của đường trịn ngoại tiếp tam giác NAC IN IA IC . Từ * và IA IB IC IN IM I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp A.BCNM . AB.BC.AC Bán kính mặt cầu R IA . 4S ABC 1 1 3 3 Cĩ S .AB.AB.sinA .2.3.sin 60 . ABC 2 2 2 Lại cĩ BC AB2 AC 2 2.AB.AC.cos A 32 22 2.3.2.cos60 7 3.2. 7 21 Do vậy R . 3 3 3 4. 2 R Câu 49: Cho mặt cầu S I ; R và mặt phẳng P cách I một khoảng bằng . Khi đĩ thiết diện của P 2 và S là một đường trịn cĩ bán kính bằng R 3 R A. R . B. . C. R 3 . D. . 2 2 Lời giải Gọi r là bán kính của đường trịn giao tuyến. 2 2 2 2 R R 3 Ta cĩ r R d I, P R . 2 2