Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 6 - Năm học 2015-2016

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 6 - Năm học 2015-2016

1. PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ VŨNG TÀU NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN TỐN LỚP 6 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 : (1,5 điểm) Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý nhất : 6 22.3 84.35 1/ A 212.35 46.92 2/ B = 1 + 3 – 5 – 7 + 9 + 11 – 13 – . . . – 2013 – 2015 + 2016. Bài 2 : (4,5 điểm) 1/ Tìm chữ số tận cùng của biểu thức: B = 4343 – 1717 2/ So sánh : 230 + 330 + 430 và 3.2410 . 3/ Cho a, b, c, d là các số nguyên dương đơi một khác nhau, mỗi số lấy giá trị từ 3, 4, 5, 6. Phải chọn a, b, c, d thế nào để tổng S = |a – b| + |c – d| là lớn nhất. Bài 3 : (6,0 điểm) 1/ Tìm số tự nhiên a để 2a là bội của 6 – 5a. 2/ Tìm các cặp số x, y nguyên dương thỏa mãn : 3x + 3y – 2xy = 0. 3/ Tìm số tự nhiên lớn nhất và nhỏ nhất ở trong khoảng từ 20000 đến 30000 sao cho khi chia hai số đĩ cho 36 ; 54 ; 90 đều cĩ số dư là 12. 4/ Tìm số tự nhiên cĩ bốn chữ số? Biết rằng nếu viết các chữ số của số đĩ theo thứ tự ngược lại ta được số mới gấp 4 lần số ban đầu. Bài 4 : (4,0 điểm) 1/ Cho a 111 . . .1 ; b 1000. . . 0 5 . Chứng tỏ rằng ab + 1 là số chính phương. 2008 ch÷ sè 1 2007 ch÷ sè 0 2/ Giả sử p là số nguyên tố khơng nhỏ hơn 5. Chứng tỏ rằng p2 – 1 chia hết cho 24. Bài 5 : (4,0 điểm) 1/ Cho đoạn thẳng AB và C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia AB lấy điểm E sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng CE. a/ Cĩ phải đoạn thẳng AE dài gấp ba lần đoạn thẳng CB khơng? Vì sao? b/ Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CB. Chứng tỏ M cũng là trung điểm của đoạn thẳng AE. 2/ Cho trước n điểm (n N, n 2). Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm được số đoạn thẳng nhiều hơn 171 đoạn thẳng nhưng ít hơn 210 đoạn thẳng. Tìm n ? Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị I:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ MƠN TỐN LỚP 6 - NĂM HỌC 2015 – 2016 Bài 1 : (1,5 điểm) Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý nhất : 6 22.3 84.35 1/ A 212.35 46.92 2/ B = 1 + 3 – 5 – 7 + 9 + 11 – 13 – . . . – 2013 – 2015 + 2016 Bài Lời giải Điểm Bài 1 Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý nhất : (1,5 điểm) 2 6 4 5 2 .3 8 .3 212.36 212.35 212.35. 3 1 212.35.4 1.1 A 6 0,25 3 212.35 46.92 212.35 212.34 212.34. 3 1 212.34.2 1.2 B = 1 + 3 – 5 – 7 + 9 + 11 – 13 – . . . – 2013 – 2015 + 2016 = (1 + 3 – 5 – 7) + (9 + 11 – 13 – 15) + . . . + (2009 + 2011 – 2013 – 2015) + 2016 = (– 8).252 + 2016 0,25 3 = –2016 + 2016 = 0 Bài 2 : (4,5 điểm) 1/ Tìm chữ số tận cùng của biểu thức: B = 4343 – 1717 2/ So sánh : 230 + 330 + 430 và 3.2410 3/ Cho a, b, c, d là các số nguyên dương đơi một khác nhau, mỗi số lấy giá trị từ 3, 4, 5, 6. Phải chọn a, b, c, d thế nào để tổng S = |a – b| + |c – d| là lớn nhất. Bài Lời giải Điểm Bài 2 * Ta cĩ : 4343 = 4340. 433 = (434)10.433 (4,5 điểm) - Vì: 434 cĩ tận cùng là chữ số 1 nên (434)10 cĩ tận cùng là chữ số 1 2.1 hay 4340 cĩ tận cùng là chữ số 1. 433 cĩ tận cùng là chữ số 7 . 40 3 43 Do đĩ : Tích 43 . 43 cĩ tận cùng là chữ số 7 hay 43 cĩ tận cùng là 0,5 chữ số 7 * Ta cĩ : 1717 = 1716 .17 = (174)4. 17 - Vì 174 cĩ tận cùng là 1 nên (174)4 cũng cĩ tận cùng là 1 hay 1716 cũng 16 cĩ tận cùng là 1. Do đĩ 17 .17 cĩ tận cùng là 7. 0,5 Hai số 4343 và 1717 cĩ chữ số tận cùng giống nhau nên 4343 – 1717 cĩ chữ số tận cùng là 0. 0,25 43 17 Vậy B = 43 – 17 cĩ chữ số tận cùng là 0. 0,25
3. Ta cĩ: 430 = (22)30 = 230 . 230 = 230 . 415 0,5 2.2 3.2410 = 3.(3.8)10 = 230 . 311 0,5 Vì 415 > 311 nên 230 . 415 > 230 . 311 hay 430 > 3.2410 0,25 Do đĩ : 230 + 330 + 430 > 3.2410 0,25 Vì |a – b| = |b – a| ; |c – d| = |d – c| 2.3 a b ; c d cĩ thể giả sử a > b ; c > d Do đĩ S = |a – b| + |c – d| = a – b + c – d = (a + c) – (b + d) 0,5 S lớn nhất khi đồng thời xảy ra: a + c lớn nhất và b + d nhỏ nhất 0,25 Chọn a + c = 5 + 6 = 11 b + d = 3 + 4 = 7 0,5 Vậy b = 3 ; d = 4 hoặc b = 4 ; d = 3 a = 5 ; c = 6 hoặc a = 6 ; c = 5 0,25 Bài 3 : (6,0 điểm) 1/ Tìm số tự nhiên a để 2a là bội của 6 – 5a. 2/ Tìm các cặp số x , y nguyên dương thỏa mãn : 3x + 3y – 2xy = 0 3/ Tìm số tự nhiên lớn nhất và nhỏ nhất ở trong khoảng từ 20000 đến 30000 sao cho khi chia hai số đĩ cho 36 ; 54 ; 90 đều cĩ số dư là 12. 4/ Tìm số tự nhiên cĩ bốn chữ số? Biết rằng nếu viết các chữ số của số đĩ theo thứ tự ngược lại ta được số mới gấp 4 lần số ban đầu. Bài Lời giải Điểm Bài 3 Theo đề bài ta cĩ : (6,0 điểm) 2a  6 – 5a 5 . 2a  6 – 5a 3.1 5 . 2a + 2(6 – 5a)  6 – 5a 10a + 12 – 10a  6 – 5a 12  6 – 5a 0,25 6 – 5a Ư(12) 6 – 5a {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12} 0,25 5a {5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 0} a {1 ; 0} 0,25 Vậy với a {0 ; 1} thì 2a  6 – 5a 0,5 0,25 Ta cĩ : 3x + 3y – 2xy = 0 – 6x – 6y + 4xy = 0 3.2 9 – 6x – 6y + 4xy = 9 0,25 –2x (3 – 2y) + 3(3 – 2y) = 9
4. (–2x + 3) (3 – 2y) = 9 0,25 –2x + 3 và 3 – 2y lấy các giá trị nguyên và là ước của 9 ta cĩ bảng sau: –2x + 3 1 -1 3 -3 9 -9 3 – 2y 9 -9 3 -3 1 -1 x 1 2 0 3 -3 6 0,5 y -3 6 0 3 1 2 Vậy : Cĩ ba cặp số (x ; y) nguyên dương thỏa mãn đề bài là : 0,25 (2 ; 6) ; (3 ; 3) ; (6 ; 2) - Gọi số phải tìm là x (x N*) 3.3 - Lập luận để cĩ x – 12 BC(36, 54, 90) 0,25 - Tìm được BCNN(36, 54, 90) = 22.33.5 = 540 0,25 BC(36, 54, 90) = 540k (k N) x – 12 = 540k x = 540k + 12 0,25 - Theo đề bài ta cĩ : 20000 540k + 12 30000 2 8 37 k 55 0,25 135 15 Mà k N nên 38 k 55 Vậy số nhỏ nhất cầm tìm là : 540.38 + 12 = 20532 0,25 Số lớn nhất cầm tìm là : 540.55 + 12 = 29712 0,25 - Gọi số cần tìm là : abcd (a, b, c, d N, 0 < a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9) 3.4 - Theo đề bài ta cĩ : 4.abcd dcba (1) 0,25 Vì 4.abcd là một số cĩ bốn chữ số nên 0 < a ≤ 2 mà 4.abcd là một số chẵn 0,25 nên a là số chẵn. Suy ra a = 2. Mặt khác, từ (1) suy ra 4.a ≤ d hay d 8 0,25 Do 4.d cĩ tận cùng bằng 2 nên d = 8 - Thay a = 2 và d = 8 vào (1) ta cĩ: 4.2bc8 8cb2 hay : 4(2000 + 100b + 10c + 8) = 8000 + 100c + 10b + 2 0,25 13b + 1 = 2c (2) 0,25 Vì 2c ≤ 18 nên b ≤ 1. Từ (2) ta suy ra b lẻ. Suy ra b = 1 và c = 7. Vậy số cần tìm là abcd = 2178 0,25 Bài 4 : (4,0 điểm) 1/ Cho a 111 . . .1 ; b 1000. . . 0 5 . Chứng tỏ rằng ab + 1 là số chính phương. 2008 ch÷ sè 1 2007 ch÷ sè 0
5. 2/ Giả sử p là số nguyên tố khơng nhỏ hơn 5. Chứng tỏ rằng p2 – 1 chia hết cho 24. Bài Lời giải Điểm Bài 4 Ta cĩ : (4,0 điểm) b 1000. . . 0 5 1000. . . 0 1 6   0,25 2007 ch÷ sè 0 2008 ch÷ sè 0 4.1 999. . . 9 6 9.111. . .1 6 9a 6 0,25 3 2008 ch÷ sè 9 2008 ch÷ sè 9 Suy ra: ab + 1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = = (3a+1)2 0,25 4 Vậy: ab + 1 là số chính phương. Vì p là số nguyên tố và p 5 nên (p , 3) = 1. Suy ra p2 chia cho 3 dư 1 4.2 hay p2 – 1 chia hết cho 3 (1) 0,5 Mặt khác, p là số nguyên tố khơng nhỏ hơn 5 nên p là số lẻ. 0,5 Suy ra p cĩ dạng p = 2n + 1 (n N*) Khi đĩ, p2 – 1 = 4n(n + 1) chia hết cho 8 (2) 0,5 2 Vì (3 , 8) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra: p – 1 chia hết cho 24 0,5 Bài 5 : (4,0 điểm) 1/ Cho đoạn thẳng AB và C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia AB lấy điểm E sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng CE. a/ Cĩ phải đoạn thẳng AE dài gấp ba lần đoạn thẳng CB khơng? Vì sao? b/ Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CB. Chứng tỏ M cũng là trung điểm của đoạn thẳng AE. 2/ Cho trước n điểm (n N, n 2). Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm được số đoạn thẳng nhiều hơn 171 đoạn thẳng nhưng ít hơn 210 đoạn thẳng. Tìm n ? Bài Lời giải Điểm Bài 5 - Vẽ hình đúng cho toàn bài 0,25 (4,0 điểm) A C M B E 5.1 a/ - Gọi khoảng cách giữa C và B là a 0,25 Vì C là trung điểm của đoạn thẳng AB nên : CA = CB = a. 0,25 Vì B là trung điểm của đoạn thẳng CE nên : BC = BE = a. 0,25 Từ đĩ suy ra: AE = 3a = 3CB. b/ Vì M là trung điểm của đoạn thẳng CB nên : 0,25 a M C M B = 2 a 0,5 Từ đĩ suy ra: M A M E = a + 2 0,25 - Kết luận M cũng là trung điểm của đoạn thẳng AE. - Chọn một điểm. Nối điểm đĩ với từng điểm trong n – 1 điểm cịn lại, ta 5.2 vẽ được n – 1 đoạn thẳng. Làm như vậy với n điểm, ta được n(n – 1)
6. đoạn thẳng. Nhưng mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần, do đĩ tất cả chỉ cĩ: n (n – 1) : 2 đoạn thẳng. 1,0 - Theo bài ra ta cĩ: 171 < n (n – 1) : 2 < 210 0,25 171.2 < n (n – 1) < 210.2 342 < n (n – 1) < 420 0,25 Mà 342 = 19.18 ; 420 = 21.20 Nên 19.18 < n (n – 1) < 21.20 0,25 Do đĩ: n = 20 0,25 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ VŨNG TÀU NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN TỐN LỚP 6 Thời gian làm bài: 120 phút
7. MA TRẬN THIẾT KẾ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 6 Cấp độ Vận dụng Chủ đề Tổng Cấp độ thấp Cấp độ cao 1. Tập hợp số tự - Tính (nhanh, hợp lý) giá trị biểu thức. nhiên N. Các phép - Dãy các số tự nhiên viết theo quy luật. tốn trong tập hợp - Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước. các số tự nhiên. - Bài tốn liên quan đến điền chữ số, đếm số. Số câu - Số điểm 1 1,5đ 1 1,5đ 2 3,0đ Tỷ lệ % 7,5% 7,5% 15% 2. Tính chất chia hết, - Sử dụng tính chất chia hết để tìm số tự nhiên theo điều ƯCLN, BCNN kiện cho trước. - Chứng minh chia hết của một tổng, dãy số . . . - Bài tốn liên quan đến ước chung, bội chung, ƯCLN, BCNN. - Bài tốn thực tế. Số câu - Số điểm 2 3đ 1 1,5đ 3 4,5đ Tỷ lệ % 15% 7,5% 22,5% 3. So sánh hai lũy - So sánh hai lũy thừa theo điều kiện cho trước. thừa. Tìm chữ số tận - Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa, của một biểu cùng. thức Số câu - Số điểm 1 2đ 1 2đ Tỷ lệ % 10% 10% 4. Số nguyên tố, hợp Tìm một số thỏa mãn điều kiện cho trước. số, số chính phương. Chứng minh theo điều kiện. . . .liên quan đến số nguyên tố, số chính phương. Số câu - Số điểm 1 2đ 1 1,5đ 2 3,5đ Tỷ lệ % 10% 7,5% 17,5% 5. Số nguyên - Tính(nhanh, hợp lý) giá trị biểu thức. - Tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện cho trước. - Tìm x liên quan đến giá trị tuyệt đối. - Chứng minh theo điều kiện liên quan đến số nguyên. Số câu - Số điểm 1 1,5đ 1 1,5đ 2 3,0đ Tỷ lệ % 7,5% 7,5% 15% 6. Các bài tốn về - Tính độ dài đoạn thẳng. hình học trong - Tính số điểm, số giao điểm, số đường thẳng, số đoạn chương I: “Đoạn thẳng thẳng”. - Chứng minh đặc tính hình học. - Vẽ hình thỏa mãn điều kiện cho trước. Số câu - Số điểm 1 2đ 1 2đ 2 4đ
8. Tỷ lệ % 10% 10% 20% Tổng số câu 7 5 12 Tổng số điểm 12đ 8đ 20đ Tỷ lệ % 60% 40% 100%