Đề ôn thi môn Toán 12 - Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số

Nội dung text: Đề ôn thi môn Toán 12 - Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số

1. CHUYÊN ĐỀ 1 : TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ - Vấn đề 1: xét tính đơn điệu của hàm số. - Vấn đề 2: Định tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng. - Vấn đề 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức. - Vấn đề 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình. Bài tập Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số. Phương pháp: Để xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x), ta thực hiện theo các bước sau đây: + Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y=f(x). + Bước 2. Tính đạo hàm f′(x) và tìm các điểm x0 sao cho f′(x0)=0 hoặc f′(x0) không xác định. + Bước 3. Lập bảng xét dấu f′(x), nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=f(x). 1. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số : a. y x3 6x2 9x 4 b. y x3 3x2 3x 5 c. y x3 x2 2x 3 1 d. y x3 3x2 2 e. y x3 x2 x 4 f. y x3 2x2 x 2 3 2. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số : a. y x4 2x2 5 b. y x4 3x2 4 c. y x4 4x2 3 1 1 2 3 d. y x4 2x2 1 e. y x2 x4 f. y x 2 x 3 4 4 3. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số : x 2 2x 1 3 3x 4 a. y b. y c. y 1 d. y x 1 x 3 x 2 1 x x 1 x2 2x 2 x2 x 5 x2 x 2 e. y f. y g. y h. y x2 8 x 1 x 1 x 1 4. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số : x 1 x2 a. y 2x x2 b. y x2 4x 3 c. y d. y x2 x 1 x2 1 e. y 5 x x 1 f. y x x2 9 g. y x2 2 5 x2 h. y x2 4x 5. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số : a. y x2 2x 3 b. y x (x 2) c. y x2 3x x2 6x 9 6. Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số : 5 a. y x sin x, x 0;2  b. y x 2cos x, x ; 6 6 1
2. Vấn đề 2: Định tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng Phương pháp : Xét hàm số y f (x) trên K  Tính f '(x)  Nêu điều kiện của bài toán : + Hàm số đồng biến trên K f '(x) 0,x K + Hàm số nghịch biến trên K f '(x) 0,x K  Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm m  CHÚ Ý : Cho hàm số f (x) ax2 bx c a 0 a 0 a 0  f (x) 0,x ¡  f (x) 0,x ¡ 0 0 1. Tìm m để hàm số : y x3 (3 m)x2 (2m 1)x 2 luôn giảm trên R 1 2. Tìm m để hàm số : y x3 mx2 4x 10 đồng biến trên R 3 x3 3. Cho hàm số y 2mx2 4mx 2. Xác định m để : 3 a. Hàm số đồng biến trên miền xác định b. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 x3 4. Cho hàm số y 2x2 mx 1. Xác địn m để : 3 a. Hàm số nghịch biến trên trên tập xác định của nó b. Hàm số nghịch biến với mọi x 1 1 m 5. Tìm m để hàm số y x3 2(2 m)x2 2(2 m)x 5 nghịch biến trên R 3 x3 6. Tìm m để hàm số y (m 1)x2 (m 1)x 1 đồng biến trên (1; + ). 3 7. Tìm m để hàm số y x3 3(2m 1)x2 (12m 5)x 2 đồng biến trên (2; ) mx 2 8. Tìm m để hàm số y luôn đồng biến trên từng khoảng xác định x 2 x m 9. Tìm m để hàm số y đồng biến trên (–1; + ). x m 10. Tìm m đề : a) y x3 3x2 mx m nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1 1 1 b) y x3 mx2 2mx 3m 1 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 3 2 2
3. Vấn đề 3 : Chứng minh bất đẳng thức Phương pháp : Trường hợp 1 : Bất đẳng thức chỉ có 1 biến Giả sử muốn chứng minh f (x) g(x) trên a;b + Đưa bất đẳng thức trên về dạng : h(x) f (x) g(x) 0,x a;b + Tính h'(x) và xét dấu h'(x) . Suy ra h(x) tăng hay giảm trên a;b + Áp dụng định nghĩa về tính đơn điệu để kết luận Trường hợp 2 : Bất đẳng thức có hai biến + Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng : f ( ) f ( ) a  b + Xét tính đơn điệu của f (x) trong ; + Áp dụng định nghĩa về tính đơn điệu để kết luận 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau : 1 a) 2 x 3 , x 1 b) sin x tan x 2x 0 x c) sin x x,x 0 x 2 x3 d) x sin x x, x 0 e) sin  sin  0  6 2 tan e) 0  tan   2 2. Cho hàm số f (x) xsin x 2cos x a) Tính đạo hàm của hàm số b) Chứng minh rằng :  ,  : 0  . Ta có : sin  sin  2(cos  cos ) 2 3
4. Vấn đề 4 VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BPT VÀ HPT I- TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP: Xét phương trình f x 0 1 x D với D là một khoảng cho trước. Để vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có một số hướng biến đổi (tương ứng với 3 dạng thông dụng) sau đây: 1. Đối với loại phương trình có 3 hướng để giải quyết: Dạng 1: D¹ng F(x) 0, víi F(x) hoÆc ®ång biÕn, hoÆc nghÞch biÕn trªn D. Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng: F(x) 0 Bước 2: Xét hàm số y F(x) Chỉ rõ hàm số y F(x) đồng biến hay nghịch biến trên D. Bước 3: Đoán được F x0 0 . Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất x x0 . F(x) ®ång biÕn trªn D Dạng 2: Ph­¬ng tr×nh (1) cã: hoÆc ng­îc l¹i G(x) nghÞch biÕn trªn D Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng : F(x) G(x) (1) Bước 2: Xét hai hàm số y f (x) và y g(x) Chỉ rõ hàm số y F(x) là hàm đồng biến (nghịch biến) và y G(x) là hàm nghịch biến (đồng biến) Bước 3: Đoán được F x0 G x0 . Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất x x0 . Dạng 3: D¹ng ph­¬ng tr×nh F(u) F(v) (*), víi F(x) hoÆc ®ång biÕn, hoÆc nghÞch biÕn trªn a;b . Lóc ®ã, (*) cã nghiÖm duy nhÊt u v Bước 1: Đưa phương trình về dạng F(u) F(v) (1) Bước 2: Xét hàm số: y F(t). Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên a;b . Bước 3: Khi đó: F(u) F(v) u v Nhận xét: + Định lí về tính đơn điệu trên đoạn: 4
5. “ Nếu hàm số y f x liên tục trên a;b và có đạo hàm f / x 0 trên khoảng a;b thì hàm số y f x đồng biến trên a;b ” + Đối với bất phương trình, hệ phương trình, tư duy vận dụng tính đơn điệu hoàn toàn tương tự như trên. II- BÀI TẬP MINH HỌA: Loại 1: Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) 4x 1 4x2 1 1 b) 3 sin x 2 sin x 1 c) x 1 x3 4x 5 d) x x2 x 1 x 1 x2 x 1 1 Bài tập 2: Giải các phương trình sau: 3x x2 1 2 1 x 1 x2 x 2 a) log3 x 3x 2 2 2 b) 2 2 x 1 5 1 1 c) e 8sin x 5 e 4sin x 1 8sin x 5 4sin x 1 Loại 2: Vận dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau: a) x 9 2x 4 5 b) x2 2x 3 x2 6x 11 3 x x 1 Loại 3: Vận dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau: 3 2 x 1 y 1 x 3 x 2 x 3 y a) 4 b) 2 x 1 y 3 y 2 y 3 x x3 3x 3 ln x2 x 1 y 3 2 c) y 3y 3 ln y y 1 z 3 2 z 3z 3 ln z z 1 x 5
6. III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) 3 x x2 2 x x2 1 b) x 3 x3 3x2 x 12 1 1 c) 2x 1 x2 3 4 x d) e 2 x 1 e x 1 2x 1 x 1 2 e) 2m x 6 24 x 3m 4 m2 x 3m 6 f) tan x 2.3log2 tan x 3 1 1 4 2sin x 3 sin x 2 g) 2 2 2 sin x h) 3 3sin x 10 .3 3 sin x 0 2sin x 2sin x cos x Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau: a) x x2 1 1 b) x 1 x2 1 x 1 3 x c) x 1 1 2x x2 x3 d) x 3 x 3 9 x Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau: 2 2x 2y y x 4x 1 x (y 3) 5 2y 0 a) b) 2 2 12 2 2 x xy y 4x y 2 3 4x 7 2 3 x 2 x 3 5 y 3 x y yx c) d) 2 2 4 2 25 3 y 2 y 3 5 x 3 x y x2 2x 6.log 6 y x sin2x 2y sin2y 2x 3 2 e) 2x 3y f) y 2y 6.log3 6 z y x, y 0 z2 2z 6.log 6 x z 3 sin x ex y sin y tan x tan y y x g) h) 10 x6 1 3 y4 2 y 1 1 x y 8 5 x, y 4 6