Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 10 - Lê Quang Xe

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 10 - Lê Quang Xe

1. shadings,fadings GV: LÊ QUANG XE TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁNTOÁNTOÁNTOÁNTOÁNTOÁNTOÁNTOÁNTOÁNTOÁNTOÁN 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 (Cập nhật đầy đủ các dạng toán của ba bộ sách mới) A B C TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
2. Muåc luåc CHƯƠNG 1.MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP 1 Bài 1. MỆNH ĐỀ 1 A Tóm t­t l½ thuy¸t 1 B C¡c d¤ng to¡n thường gặp 7 | D¤ng 1. Nhªn di»n, x²t t½nh đúng sai cõa m»nh đề, m»nh đề chùa bi¸n 7 | D¤ng 2. Phõ định cõa mët m»nh đề 9 | D¤ng 3. M»nh đề k²o theo, m»nh đề đảo, m»nh đề tương đương 10 | D¤ng 4. M»nh đề với k½ hi»u 8 và 9 11 C Bài tªp r±n luy»n 12 D Bài tªp tự r±n luy»n 20 Bài 2. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 35 A Tóm t­t l½ thuy¸t 35 B C¡c d¤ng to¡n thường gặp 38 | D¤ng 1. Tªp hñp và ph¦n tû cõa tªp hñp 38 | D¤ng 2. Tªp con. Tªp b¬ng nhau 39 | D¤ng 3. Thực hi»n c¡c ph²p to¡n tr¶n tªp hñp 43 | D¤ng 4. Sû dụng biºu đồ ven gi£i to¡n 44 | D¤ng 5. X¡c định giao - hñp cõa hai tªp hñp. 46 | D¤ng 6. X¡c định hi»u và ph¦n bù cõa hai tªp hñp. 48 C Bài tªp r±n luy»n 50 D Bài tªp tự luy»n 58 Bài 3. ÆN TẬP CHƯƠNG 1 67 A Bài tªp tự luªn 67 B Bài tªp tr­c nghi»m 72
3. Chûúng 1 MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP §1. MỆNH ĐỀ A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến Khái niệm 1.1. - Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. - Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. o Người ta sử dụng các chữ cái P, Q, R để biểu thị các mệnh đề Ví dụ 1 Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? câu nào không phải là mệnh đề? a) Phương trình x2 − 4 có nghiệm nguyên dương; b) 3 + 1 = 6; c) Có bao nhiêu người ghét bạn? d) Trời hôm nay đẹp quá! ɓ Lời giải. a) Vì phương trình x2 − 4 có nghiệm nguyên dương x = 2 nên câu a là đúng. Do đó câu a là mệnh đề. b) 3 + 1 = 6 là mệnh đề sai vì 3 + 1 = 4. Do đó câu b là mệnh đề. c) Câu c là câu hỏi nêu lên ý kiến của người nói. Do đó không xác định được tính đúng sai. Vậy câu c không phải là mệnh đề. d) Câu d là câu cảm thán nêu lên ý kiến của người nói. Do đó không xác định được tính đúng sai. Vậy câu d không phải là mệnh đề.  Ví dụ 2 Trong các câu sau đây, câu nào là mệnh đề? Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
4. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Trang 2 a) 3 là số lẻ; d) 0,0001 là số rất bé; b) 1 + 2 > 3; e) Đến năm 2050, con người sẽ đặt chân lên c) p là số vô tỉ phải không? Sao Hoả. ɓ Lời giải. a)“ 3 là số lẻ” là mệnh đề (mệnh đề đúng). b)“ 1 + 2 > 3” là mệnh đề (mệnh đề sai). c)“ p là một số vô tỉ phải không?” là câu hỏi, không phải mệnh đề. d)“ 0,0001 là số rất bé” không có tính hoặc đúng hoặc sai (do không đưa ra tiêu chí thế nào là số rất bé). Do đó, nó không phải là mệnh đề. e) “Đến năm 2050, con người sẽ đặt chân lên Sao Hoả” là một khẳng định chưa thể chắc chắn là đúng hay sai. Tuy nhiên, nó chắc chắn chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai. Do đó, nó là một mệnh đề. o Những mệnh đề liên quan đến toán học (như các mệnh đề ở câu a) và b) trong Ví dụ 1) còn được gọi là mệnh đề toán học.  Khái niệm 1.2. - Xét câu “n là số chẵn”. (với n là số nguyên) Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này. Tuy nhiên, với mỗi giá trị của n thuộc tập số nguyên, câu này cho ta một mệnh đề. Chẳng hạn, Ì Với n = 1 ta được mệnh đề “1 là số chẵn” (đây là mệnh đề sai). Ì Với n = 2 ta được mệnh đề “2 là số chẵn” (đây là mệnh đề đúng). Ta nói rằng câu “n là số chẵn” là một mệnh đề chứa biến. Ví dụ 3 Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) P : “Tháng 12 dương lịch có 31 ngày”; b) Q : “910 ≥ 109”; c) R : “Phương trình x2 + 1 = 0 có nghiệm”. ɓ Lời giải. a) P : “Không phải tháng 12 dương lịch có 31 ngày”. b) Q : “910 < 109”. c) R : “Phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm”.  TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
5. Trang 3 1. MỆNH ĐỀ Ví dụ 4 Xét câu “x > 1”. Hãy tìm hai giá trị thực của x đã cho, ta nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. ɓ Lời giải. Ì Cho x = 5 ta được mệnh đề đúng. Ì Cho x = 0 ta được mệnh đề sai.  2. Mệnh đề phủ định Định nghĩa 1.1. - Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” gọi là mệnh đề phủ định của P, ký hiệu là P. - Mệnh đề P đúng thì P sai. Mệnh đề P sai thì P đúng. Ví dụ 5 Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau: a) 25 là số chính phương; b) Hình chữ nhật không phải là hình vuông. ɓ Lời giải. a) 25 không phải là số chính phương; b) Hình chữ nhật là hình vuông.  3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo Khái niệm 1.3. - Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ) Q. - Các định lí toán học là các mệnh đề đúng và thường có dạng “Nếu P thì Q”. Khi đó ta nói: P là giả thiết của định lí, Q là kết luận của định lí, hoặc “P là điều kiện đủ để có Q” hoặc “Q là điều kiện cần để có P”. - Mệnh đề “Nếu P thì Q” là sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại. - Mệnh đề P ) Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”. Ví dụ 6 Cho tam giác ABC. Xét hai mệnh đề: P: “Tam giác ABC có hai góc bằng 60◦”. Q: “Tam giác ABC đều”. Hãy phát biểu mệnh đề P ) Q và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó. Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
6. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Trang 4 ɓ Lời giải. P ) Q: “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60◦ thì tam giác ABC đều”. Mệnh đề kéo theo này là mệnh đề đúng.  Khái niệm 1.4. - Mệnh đề “Q ) P ” được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ) Q. - Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng. Ví dụ 7 Cho tam giác ABC. Xét hai mệnh đề: P: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng 60◦”. Q: “Tam giác ABC đều”. Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề P ) Q và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó. ɓ Lời giải. Q ) P: “Nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng 60◦ thì tam giác ABC đều”. Mệnh đề đảo này là mệnh đề đúng.  Ví dụ 8 Tìm mệnh đề đảo của mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đảo đúng hay sai: “Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau”. ɓ Lời giải. Mệnh đề đã cho có dạng P ) Q trong đó P là “hai góc đối đỉnh”, Q là “hai góc bằng nhau”. Vậy mệnh đề đảo là “Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh”. Mệnh đề này sai.  4. Mệnh đề tương đương Khái niệm 1.5. - Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu P , Q. - Nếu cả hai mệnh đề P ) Q và Q ) P đều đúng thì mệnh đề tương đương P , Q đúng. Khi đó ta nói “P tương đương với Q” hoặc “P là điều kiện cần và đủ để có Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”. Ví dụ 9 Cho hai mệnh đề: P: “tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau”. Q: “tam giác ABC cân”. Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P , Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề tương đương này. ɓ Lời giải. P , Q: “Tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau là điều kiện và đủ để tam giác ABC cân”. Mệnh đề TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
7. Trang 5 1. MỆNH ĐỀ tương đương này đúng vì cả hai mệnh đề P ) Q và Q ) P đều đúng.  5. Mệnh đề chứa ký hiệu 8, 9 Khái niệm 1.6. Ì Kí hiệu 8 đọc là “với mọi”. Ì Kí hiệu 9 đọc là “có một” (tồn tại một) hay “có ít nhất một” (tồn tại ít nhất một). Lưu ý quan trọng • M»nh đề “8x 2 M, P(x)” đúng n¸u với mọi x0 2 M, P (x0) là m»nh đề đúng. • M»nh đề “9x 2 M, P(x)” đúng n¸u có x0 2 M sao cho P (x0) là m»nh đề đúng. Ví dụ 10 9x 2 Z, x2 = x (đây là mệnh đề đúng) vì: với x = 0 thì x2 = x = 0 hay với x = 1 thì x2 = x = 1. Ví dụ 11 Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) 8x 2 R, x2 + 2x + 2 > 0; b) 9x 2 R, x2 + 3x + 4 = 0. ɓ Lời giải. a) Mệnh đề đúng, vì x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 1
   + 1 = (x + 1)2 + 1 > 0 với mọi số thực x. Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là 9x 2 R, x2 + 2x + 2 ≤ 0. b) Mệnh đề sai, vì phương trình x2 + 3x + 4 = 0 vô nghiệm (D = −7 < 0). Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là 8x 2 R, x2 + 3x + 4 6= 0.  Ví dụ 12 Xét tính đúng sai và sử dụng kí hiệu 8, 9 để viết các mệnh đề sau: p (1) Với mọi số tự nhiên x, x là số vô tỉ. (2) Bình phương của mọi số thực đều không âm. (3) Có số nguyên cộng với chính nó bằng 0. (4) Có số tự nhiên n sao cho 2n − 1 = 0. ɓ Lời giải. p p (1) “Với mọi số tự nhiên x, x là số vô tỉ” là mệnh đề sai vì x = 9 ) x = 3. (2) “Bình phương của mọi số thực đều không âm” là mệnh đề đúng vì x2 ≥ 0, 8x 2 R. Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
8. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Trang 6 (3) “Có số nguyên cộng với chính nó bằng 0” là mệnh đề đúng vì 0 + 0 = 0. 1 (4) “Có số tự nhiên n sao cho 2n − 1 = 0” là mệnh đề sai vì 2n − 1 = 0 , n = . 2 Trong toán học, để ngắn ngọn, người ta dùng các kí hiệu 8 (đọc là với mọi) và 9 (đọc là tồn tại) để phát biểu những mệnh đề như ở Ví dụ 12. Chẳng hạn, có thể viết lại các mệnh đề trên lần lượt như sau: p (1) 8x 2 N, x là số vô tỉ. (3) 9x 2 Z, x + x = 0. (2) 8x 2 R, x2 ≥ 0. (4) 9n 2 N, 2n − 1 = 0. Ta nói (1), (2) là mệnh đề chứa kí hiệu 8 và (3), (4) là mệnh đề chứa kí hiệu 9.  Khái niệm 1.7. Mối quan hệ giữa 9 và 8. Cho mệnh đề “P(x), x 2 X”. Phủ định của mệnh đề “8x 2 X, P(x)” là mệnh đề “9x 2 X, P(x)”. Phủ định của mệnh đề “9x 2 X, P(x)” là mệnh đề “8x 2 X, P(x)”. Ví dụ 13 P : 8x 2 R, x2 > 0 và P : 9x 2 R, x2 ≤ 0. Ví dụ 14 Cho mệnh đề P : 8x 2 N, x − 2 > 0. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề P. Xét tính đúng sai của mệnh đề P. ɓ Lời giải. Ta có P : 9x 2 N, x − 2 ≤ 0. Đây là mệnh đề đúng, vì với x = 0 thì x − 2 = −2 < 0 hay với x = 1 thì x − 2 = −1 < 0, hoặc x = 2 thì x − 2 = 0.  Ví dụ 15 Sử dụng kí hiệu 8, 9 để viết các mệnh đề sau: a) Mọi số thực cộng với số đối của nó đều bằng 0; b) Có một số tự nhiên mà bình phương bằng 9. ɓ Lời giải. a) 8x 2 R, x + (−x) = 0. b) 9x 2 N, x2 = 9.  TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
9. Trang 7 1. MỆNH ĐỀ Ví dụ 16 Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) 8x 2 R, x2 > 0; b) 9x 2 R, x2 = 5x − 4; c) 9x 2 Z, 2x + 1 = 0. ɓ Lời giải. a) 8x 2 R, x2 > 0 là mệnh đề sai vì x2 ≥ 0, 8x 2 R. Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là 9x 2 R, x2 ≤ 0. ñ x = 1 b) 9x 2 R, x2 = 5x − 4 là mệnh đề đúng vì x2 = 5x − 4 , x2 − 5x + 4 = 0 , x = 4. Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là 8x 2 R, x2 6= 5x − 4. 1 c) 9x 2 Z, 2x + 1 = 0 là mệnh đề sai vì 2x + 1 = 0 , x = − . 2 Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là 8x 2 Z, 2x + 1 6= 0.  B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1 Nhận diện, xét tính đúng sai của mệnh đề, mệnh đề chứa biến Ì Mệnh đề phải là một câu khẳng định có tính đúng – sai rõ ràng. Có thể chưa biết nó đúng hay là sai, nhưng chắc chắn nó chỉ có thể đúng hay là sai. Ì Có những mệnh đề mà tính đúng – sai của nó gắn với một thời gian, địa điểm cụ thể. Ì Mệnh đề chứa biến là câu phụ thuộc vào biến x. Mệnh đề chứa biến chưa phải là mệnh đề. Ví dụ 1 Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? a) Phương trình 3x2 − 5x + 2 = 0 có nghiệm nguyên. b) 5 < 7 − 3. c) Có bao nhiêu dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng? d) Đấy là cách xử lí khôn ngoan! ɓ Lời giải. a) Vì phương trình 3x2 − 5x + 2 = 0 có nghiệm nguyên x = 1 nên câu a) đúng. b) Câu b) là sai. Do đó câu a) và câu b) là những mệnh đề. c) Câu c) là câu hỏi; câu d) là câu cảm thán, nêu lên ý kiến của người nói. Do đó, không xác định được tính đúng sai. Vậy các câu c) và d) không phải là mệnh đề. Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
10. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Trang 8  Ví dụ 2 Cho mệnh đề chứa biến P(x) = 3x + 5 ≤ x2 với x là số thực. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau P(3), P(1), P(4), P(5)? ɓ Lời giải. Ta có Ì P(3) = 3 · 3 + 5 = 14 ≤ 32 là mệnh đề sai. Ì P(4) = 3 · 4 + 5 = 17 ≤ 42 là mệnh đề sai. Ì P(1) = 3 · 1 + 5 = 8 ≤ 12 là mệnh đề sai. Ì P(5) = 3 · 5 + 5 = 20 ≤ 52 là mệnh đề đúng.  Ví dụ 3 Cho mệnh đề “8x 2 R, x2 − 2 + a > 0”, với a là số thực cho trước. Tìm a để mệnh đề đúng. ɓ Lời giải. Nhận xét: x2 ≥ 0, 8x 2 R và x2 − 2 + a > 0 , x2 > 2 − a, 8x 2 R; x2 − 2 + a > 0 , 2 − a 2.  Ví dụ 4 Xét tính đúng sai của mệnh đề: “Phương trình x2 + 7x − 2 = 0 có 2 nghiệm trái dấu”. ɓ Lời giải. Phương trình x2 + 7x − 2 = 0 có a · c = 1 · (−2) < 0 nên nó có 2 nghiệm trái dấu. Do đó đây là mệnh đề đúng.  Ví dụ 5 Câu nào sau đây là mệnh đề và cho biết tính đúng – sai của nó? a) Tổng các góc trong một tam giác bằng 180◦. b) Tổng các góc trong một hình vuông có bằng 360◦ không? ɓ Lời giải. a) Mệnh đề đúng. b) Không phải là mệnh đề, vì là câu hỏi.  TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
11. Trang 9 1. MỆNH ĐỀ Ví dụ 6 Câu nào sau đây là mệnh đề và cho biết tính đúng – sai của nó? a) (3 + 4)(2 + 6) = 73. b) Chiều nay trời mưa. ɓ Lời giải. a) Là mệnh đề sai. b) Không phải là mệnh đề vì phụ thuộc vào thời gian.  Dạng 2 Phủ định của một mệnh đề Thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”) vào trước vị ngữ của mệnh đề đó. Ví dụ 1 Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau a) P:“17 là số chính phương”. b) Q: “Hình hộp không phải là hình lăng trụ”. ɓ Lời giải. a) Mệnh đề phủ định của P là P:“17 không phải là số chính phương”. b) Mệnh đề phủ định của Q là Q: “Hình hộp là hình lăng trụ”.  Ví dụ 2 Phủ định các mệnh đề sau. a) A:“x2 − 4x + 4 = 0 có nghiệm”. d) D:“10 chia hết cho 3”. b) B: “Con thì thấp hơn cha”. e) E:“5 là số hữu tỉ”. c) C:“5 + 4 = 10”. f) F: “Pari là thủ đô nước Anh”. ɓ Lời giải. a) A:“x2 − 4x + 4 = 0 có nghiệm”. d) D:“10 không chia hết cho 3”. b) B: “Con thì không thấp hơn cha”. e) E:“5 không phải là số hữu tỉ”. c) C:“5 + 4 6= 10”. f) F: “Pari không phải là thủ đô nước Anh”. Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
12. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Trang 10  Dạng 3 Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương Ì Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo. Ký hiệu là P ) Q. Ì Mệnh đề P ) Q chỉ sai khi P đúng Q sai. Ì Mệnh đề Q ) P gọi là mệnh đề đảo của P ) Q. Ì Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” gọi là mệnh đề tương đương. Ký hiệu là P , Q. Ì Mệnh đề P , Q đúng khi cả P ) Q và Q ) P cùng đúng. Ví dụ 1 Cho tứ giác ABCD, xét hai câu sau: P: “Tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180◦”. Q: “ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn”. Phát biểu mệnh đề P ) Q và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đó. ɓ Lời giải. P ) Q: “Nếu tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180◦ thì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn”. Mệnh đề kéo theo này là đúng.  Ví dụ 2 Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề: “Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì tam giác ABC là tam giác cân” và xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này. ɓ Lời giải. Mệnh đề đảo của mệnh đề đã cho là: “Nếu tam giác ABC là tam giác cân thì tam giác ABC là tam giác đều”. Mệnh đề đảo này là sai.  Ví dụ 3 Cho các mệnh đề P:“a và b cùng chia hết cho c”, Q:“a + b chia hết cho c”. a) Hãy phát biểu định lí P ) Q. Nêu giả thiết kết luận của định lí và phát biểu định lí này dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ. b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề P ) Q rồi xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này. ɓ Lời giải. a) Định lí P ) Q: “Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c”. Giả thiết là: “a và b cùng chia hết cho c”. Kết luận là: “a + b chia hết cho c”. Dạng điều kiện cần: “a + b chia hết cho c là điều kiện cần đề a và b cùng chia hết cho c”. TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
13. Trang 11 1. MỆNH ĐỀ Dạng điều kiện đủ: “a và b cùng chia hết cho c là điều kiện đủ đề a + b chia hết cho c”. b) Mệnh đề đảo Q ) P: “Nếu a + b chia hết cho c thì a và b cùng chia hết cho c”. Mệnh đề đảo này là sai.  Ví dụ 4 Cho hai mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”. Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”. Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P , Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề tương đương này. ɓ Lời giải. Mệnh đề tương đương P , Q: “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”. Mệnh đề tương đương này đúng vì cả hai mệnh đề P ) Q và Q ) P đều đúng.  Dạng 4 Mệnh đề với kí hiệu 8 và 9 Ì Phủ định của mệnh đề “8x 2 X, P(x)” là mệnh đề “9x 2 X, P(x)”. Ì Phủ định của mệnh đề “9x 2 X, P(x)” là mệnh đề “8x 2 X, P(x)”. Ví dụ 1 Dùng kí hiệu “8 ” hoặc “9”để viết các mệnh đề sau: a) Bình phương mọi số thực đều dương. b) Có ít nhất một số tự nhiên bằng với nghịch đảo của nó. ɓ Lời giải. 2 1 a)“ 8x 2 R, x > 0”. b)“ 9n 2 N, n = ”. n  Ví dụ 2 Phủ định các mệnh đề sau. a) 8x 2 R, x2 − x + 7 > 0. b) 9x 2 N, x2 = x. ɓ Lời giải. a) 9x 2 R, x2 − x + 7 ≤ 0. b) 8x 2 N, x2 6= x.  Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
14. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Trang 12 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài tập 1 Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới. b) Bạn học trường nào? c) Không được làm việc riêng trong giờ học. d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang. ɓ Lời giải. a) “Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới” là mệnh đề vì đây là câu khẳng định. b) “Bạn học trường nào?” không phải mệnh đề vì đây là câu hỏi. c) “Không được làm việc riêng trong giờ học” không phải mệnh đề vì đây là câu mệnh lệnh. d) “Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang” là mệnh đề vì đây là câu khẳng định.  Bài tập 2 Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau 10 a) p < . 3 b) Phương trình 3x + 7 = 0 có nghiệm. c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0. d) 2022 là hợp số. ɓ Lời giải. 10 10 a)“ p < ” là mệnh đề đúng vì p ≈ 3,14 < 3,33 ≈ . 3 3 7 b) “Phương trình 3x + 7 = 0 có nghiệm” là mệnh đề đúng vì 3x + 7 = 0 , x = − . 3 c) “Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0” là mệnh đề đúng vì 0 + 0 = 0. d)“ 2022 là hợp số” là mệnh đề đúng vì 2022 = 2 · 3 · 337.  TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
15. Trang 13 1. MỆNH ĐỀ Bài tập 3 Cho hai câu sau P : “Tam giác ABC là tam giác vuông”. Q : “Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”. Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P , Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề này. ɓ Lời giải. “Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại” đây là một mệnh đề đúng.  Bài tập 4 Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của chúng. P : “Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho 5”. Q : “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác có hai đường chéo bằng nhau”. ɓ Lời giải. Ì Mệnh đề đảo của mệnh đề P là “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 5 thì n có chữ số tận cùng là 5” đây là mệnh đề sai. Vì nếu lấy n = 10 thì n chia hết cho 5. Ì Mệnh đề đảo của mệnh đề Q là “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật” là mệnh đề sai. Vì nếu hai đường chéo không cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác ABCD không thể là hình chữ nhật.  Bài tập 5 Với hai số thực a và b, xét các mệnh đề P : “a2 < b2” và Q : “0 < a < b”. a) Hãy phát biểu mệnh đề P ) Q. b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a). c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề của câu a) và b). ɓ Lời giải. a) Mệnh đề P ) Q là “Nếu a2 < b2 thì 0 < a < b.” b) Mệnh đề Q ) P là “Nếu 0 < a < b thì a2 < b2.” ñ 0 < a < b c) Mệnh đề P ) Q là mệnh đề sai. Vì nếu a2 < b2 thì b < a < 0. Mệnh đề Q ) P là mệnh đề đúng.  Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
16. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Trang 14 Bài tập 6 Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phụ định của nó. Q : “9n 2 N, n chia hết cho n + 1”. ɓ Lời giải. . Ì Mệnh đề Q là mệnh đề đúng. Ta lấy n = 0 2 N và n . (n + 1). Ì Ta có Q : “@n 2 N, n chia hết cho n + 1”.  Bài tập 7 Dùng kí hiệu 8, 9 để viết các mệnh đề sau P : “Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó”. Q : “Có một số thực cộng với chính nó bằng 0”. ɓ Lời giải. Ta có P : “8n 2 N: n2 ≥ n”. Q : “9a 2 R: a + a = 0”.  BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề? A Đề thi môn Toán khó quá!. B Hà Nội là thủ đô của Việt Nam C Bạn có đi học không?. D Mùa thu Hà Nội đẹp quá!. ɓ Lời giải. Mệnh đề là “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”. Đây là một mệnh đề đúng. Chọn đáp án B  Câu 2 Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định là mệnh đề? Ì 2 + 4 = 7. Ì Học, học nữa, học mãi! Ì Hình chữ nhật có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Ì Tam giác có hai đường cao bằng nhau là tam giác cân. A 4. B 3. C 2. D 1. TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
17. Trang 15 1. MỆNH ĐỀ ɓ Lời giải. Khẳng định “Học, học nữa, học mãi” không phải là mệnh đề vì không xác định được nó đúng hay sai. Còn lại các khẳng định khác đều là mệnh đề. Chọn đáp án B  Câu 3 Câu nào sau đây không phải là mệnh đề? A x + 5 < 1. B Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. C 5 < 1. D 4 − 7 = 1. ɓ Lời giải. “x + 5 < 1” là mệnh đề chứa biến, không phải là mệnh đề. Chọn đáp án A  Câu 4 Với giá trị nào của x thì “x 2 N, x2 − 1 = 0” là mệnh đề đúng? A x = 1. B x = −1. C x = 0. D x = 1 hoặc x = −1. ɓ Lời giải. Vì x 2 N mà x2 − 1 = 0 nên x = 1. Chọn đáp án A  Câu 5 Câu nào sau đây không phải là mệnh đề? A p2 < 9,86. B Mặt trời mọc ở hướng tây. C 3 là một số nguyên tố. D Bạn ơi, mấy giờ rồi? ɓ Lời giải. “Bạn ơi, mấy giờ rồi?” là câu hỏi nên nó không phải mệnh đề. Chọn đáp án D  Câu 6 Mệnh đề nào sau đây sai? A Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau. B Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. C Tam giác có ba cạnh bằng nhau thì có ba góc bằng nhau. D Tam giác có ba góc bằng nhau thì có ba cạnh bằng nhau. Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
18. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Trang 16 ɓ Lời giải. Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau là mệnh đề sai. Chọn đáp án A  Câu 7 Cho mệnh đề P(n): “n2 + n + 1 là số chia hết cho 3”(n 2 N). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A P(1). B P(2). C P(3). D P(2). ɓ Lời giải. Có P(1): “3 chia hết cho 3” là mệnh đề đúng. Chọn đáp án A  Câu 8 Cho mệnh đề chứa biến P(x): “2x2 − 1 0” là A 9x 2 R, x2 ≤ 0. B 9x 2 R, x2 ≥ 0. C 8x 2 R, x2 > 0. D 9x 2 R, x2 < 0. TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
19. Trang 17 1. MỆNH ĐỀ ɓ Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “8x 2 R, x2 > 0” là mệnh đề “9x 2 R, x2 ≤ 0”. Chọn đáp án A  Câu 11 Mệnh đề nào sau đây sai? A Tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có 3 góc vuông. ◦ B Tam giác ABC là tam giác đều , A“ = 60 . C Tam giác ABC cân tại A ) AB = AC. D Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O ) OA = OB = OC = OD. ɓ Lời giải. Mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác đều , A“ = 60◦” sai vì chiều ngược lại sai, một tam giác có góc A“ = 60◦ thì chưa hẳn nó là tam giác đều. Chọn đáp án B  Câu 12 Trongp các mệnh đề sau,p mệnh đề nào là mệnh đề sai? ) − − · , 2 A 23 2 5. B p 4 là sai nên mệnh đề −p < −2 , p2 < 4 là sai. Chọn đáp án C  Câu 13 Cho “P , Q” là mệnh đề đúng. Khẳng định nào sau đây là sai? A P , Q đúng. B Q , P sai. C P , Q sai. D P , Q sai. ɓ Lời giải. “P , Q sai” là mệnh đề sai. Chọn đáp án C  Câu 14 Cho các mệnh đề P : “Hình bình hành ABCD có một góc vuông”, Q : “ABCD là hình chữ nhật”. Mệnh đề “P ) Q” được phát biểu là A Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì ABCD là hình bình hành và có một góc vuông. B Nếu hình bình hành ABCD có một góc vuông thì ABCD là hình chữ nhật. C Hình bình hành ABCD có một góc vuông khi và chỉ khi ABCD là hình chữ nhật. D Hình bình hành ABCD có một góc vuông là điều kiện cần và đủ để ABCD là hình chữ nhật. Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
20. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Trang 18 ɓ Lời giải. Mệnh đề “P ) Q” được phát biểu là “Nếu hình bình hành ABCD có một góc vuông thì ABCD là hình chữ nhật”. Chọn đáp án B  Câu 15 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 2 . 2 A 8x 2 N: x . x. B 8x 2 R: x ≥ x. C 9x 2 R: x2 + 1 < 2x. D 9x 2 R: x2 = x + 1. ɓ Lời giải. . Ì Mệnh đề “8x 2 N: x2 . x” sai khi x = 0. Ì Mệnh đề “8x 2 R: x2 ≥ x” sai khi 0 < x < 1. Ì Mệnh đề “9x 2 R: x2 + 1 < 2x” sai vì (x − 1)2 ≥ 0 với mọi x 2 R nên x2 + 1 ≥ 2x với mọi x 2 R. Ì Mệnh đề đúng là “9x 2 R: x2 = x + 1” vì phương trình x2 = x + 1 , x2 − x − 1 = 0 có ac < 0 nên luôn có nghiệm trong tập R. Chọn đáp án D  Câu 16 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A 9x 2 R: x2 − 3x + 2 = 0. B 8x 2 R: x2 ≥ 0. C 9n 2 N: n2 = n. D 8n 2 N: n < 2n. ɓ Lời giải. Ì Ta có ñ x = 2 x2 − 3x + 2 = 0 , x = 1 nên mệnh đề “9x 2 R: x2 − 3x + 2 = 0” là mệnh đề đúng. Ì x2 ≥ 0 với mọi x 2 R nên mệnh đề “8x 2 R: x2 ≥ 0” là mệnh đề đúng. Ì Với n = 0 thì n2 = n nên mệnh đề “9n 2 N: n2 = n” là mệnh đề đúng. Ì Với n = 0 thì n = 2n nên mệnh đề “8n 2 N: n < 2n” là mệnh đề sai. Chọn đáp án D  TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
21. Trang 19 1. MỆNH ĐỀ Câu 17 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là sai? A 8n 2 N: n ≤ 2n. B 9n 2 N: n2 = n. C 8x 2 R: x2 > 0. D 9x 2 R: x 0” là mệnh đề sai chẳng hạn với x = 0. Chọn đáp án C  Câu 18 Mệnh đề nào sau đây là sai? 1 9x 2 Q, 9x2 − 1 = 0. 8x 2 N, x 0. D 9x 2 Z, x2 − 3x + 2 = 0. ɓ Lời giải. 1 Ì Ta có 9x2 − 1 = 0 có nghiệm x = ± . 3 1 Vì ± 2 Q nên mệnh đề “9x 2 Q, 9x2 − 1 = 0” là mệnh đề đúng. 3 1 Ì Do x = 0 không thỏa mãn điều kiện xác định của bất phương trình x 0 với mọi x 2 R. Do đó mệnh đề “8x 2 R, x2 + 2 > 0” là mệnh đề đúng. Ì Ta có x2 − 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 1, x = 2. Vì 1 2 Z, 2 2 Z nên mệnh đề “9x 2 Z, x2 − 3x + 2 = 0” là mệnh đề đúng. Chọn đáp án B  Câu 19 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A 9n 2 N, n3 − n không chia hết cho 3. B 8x 2 R, x 16 nên mệnh đề “8x 2 R, x < 4 , x2 < 16” là một mệnh đề sai. Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
22. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Trang 20 Ì Với k 2 Z thì k2 + k = k(k + 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên k2 + k là số chẵn, suy ra k2 + k + 1 là số lẻ với mọi k 2 Z. Vậy mệnh đề “9k 2 Z, k2 + k + 1 là một số chẵn” là một mệnh đề sai. 2x3 − 6x2 + x − 3 2x2(x − 3) + (x − 3) (x − 3)(2x2 + 1) Ì Ta có = = = x − 3. 2x2 + 1 2x2 + 1 2x2 + 1 2x3 − 6x2 + x − 3 Vậy x 2 Z thì x − 3 2 Z hay 2 Z. 2x2 + 1 Chọn đáp án D  Câu 20 Cho ba mệnh đề P: “Số 20 chia hết cho 5 và chia hết cho 2”, Q: “Số 35 chia hết cho 9”, R: “Số 17 là số nguyên tố”. Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây. A P ) (Q ) R). B R ) Q . C (R ) P) ) Q. D (Q ) R) ) P . ɓ Lời giải. Ta có: P là mệnh đề đúng, Q là mệnh đề sai, R là mệnh đề đúng. R ) P là mệnh đề sai. Vậy nên (R ) P) ) Q là mệnh đề đúng. Chọn đáp án C  D BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Trong các câu sau, đâu không phải là mệnh đề? A 8x 2 R, x2 > 0. B Hôm nay trời nóng quá!. ◦ C Tam giác cân có một góc bằng 60 là tam giác đều. D Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam. ɓ Lời giải. “Hôm nay trời nóng quá!” không phải là mệnh đề. Chọn đáp án B  Câu 2 Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A Không được làm việc riêng trong giờ học. B Đi ngủ đi. C Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới. TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
23. Trang 21 1. MỆNH ĐỀ D Bạn học trường nào?. ɓ Lời giải. Mệnh đề là một khẳng định chỉ có thể đúng hoặc sai. Từ đó ta thấy câu “Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới” là một mệnh đề. Chọn đáp án C  Câu 3 Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A Số p có phải là số nguyên không?. B Số 4 là một số nguyên tố. ◦ C Tam giác đều có 3 góc bằng nhau và bằng 60 phải không?. D a2 + b2 = c2. ɓ Lời giải. “Số 4 là một số nguyên tố” là một mệnh đề. Chọn đáp án B  Câu 4 Câu nào trong các câu sau không phải là mệnh đề? 4 p A = 2. B 2 là một số hữu tỷ. 2 C 2 + 2 = 5. D p có phải là một số hữu tỷ không?. ɓ Lời giải. Câu “p có phải là một số hữu tỷ không?” không phải là câu khẳng định nên không là mệnh đề. Chọn đáp án D  Câu 5 Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Hãy mở cửa ra! b) Số 20 chia hết cho 8. c) Số 17 là một số nguyên tố. d) Bạn có thích chơi bóng đá không? A 1. B 2. C 3. D 4. ɓ Lời giải. Câu a), d) không là mệnh đề vì không thể khẳng định là đúng hay sai. Câu b), c) là các mệnh đề vì đó là những khẳng định có tính đúng hoặc sai. Chọn đáp án B  Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
24. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Trang 22 Câu 6 Cho tập hợp A = x2 + 1jx 2 N, x2 ≤ 5 . Khi đó tập hợp A bằng tập hợp nào sau đây? A A = f1; 2; 3; 4g. B A = f0; 2; 5g. C A = f2; 5g. D A = f0; 1; 2; 3; 4; 5g. ɓ Lời giải. p p Ta có x2 ≤ 5 , − 5 ≤ x ≤ 5, mà n 2 N∗ nên x 2 f1; 2g ) A = f2; 5g. Chọn đáp án C  Câu 7 Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Đăk Lăk là một thành phố của Việt Nam. b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. c) Hãy trả lời câu hỏi này! d) 5 + 19 = 24. e) 6 + 81 = 25. A 1. B 2. C 3. D 4. ɓ Lời giải. Câu c) không là mệnh đề vì không thể khẳng định là đúng hay sai. Câu a), b), d), e) là các mệnh đề vì đó là những khẳng định có tính đúng hoặc sai. Chọn đáp án D  Câu 8 Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến? a) Hãy đi nhanh lên! b) 5 + 7 + 4 = 15. c) Năm 2002 là năm nhuận. d) Phương trình x2 − 3x + 2 = 0 vô nghiệm. e) x10 − 1 chia hết cho 11. f) Có vô số số nguyên tố. ɓ Lời giải. Các mệnh đề là 2, 3, 4, 5, 6. Các mệnh đề chứa biến là 5.  Câu 9 Cho hàm số y = f (x) = j−5xj. Khẳng định nào sau đây là sai? Å1ã A f (−1) = 5. B f (−2) = 10. C f = −1. D f (2) = 10. 5 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
25. Trang 23 1. MỆNH ĐỀ ɓ Lời giải. Å1ã Ta có y = f (x) = j−5xj ≥ 0 8x 2 R nên f = −1 là mệnh đề sai. 5 Chọn đáp án C  Câu 10 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A 8x 2 R, x > 2 ) x2 > 4. B Nếu a + b chia hết cho 3 thì a và b đều chia hết cho 3. C 8x 2 Z, n chia hết cho 2. D 8x 2 R, x2 > 4 ) x > 2. ɓ Lời giải. Vì x > 2 kéo theo x2 > 4 với mọi số thực x nên mệnh đề "8x 2 R, x > 2 ) x2 > 4" đúng. Chọn đáp án A  Câu 11 2 − Với giá trị nào của x mệnh đề chứa biến P(x):“2x 1 0.” Ì Q :“8x 2 R, 3 x > 0.” Ì R :“9x 2 R, jxj ≤ 0.” Hỏi trong các mệnh đề đã cho bao nhiêu mệnh đề đúng? A 3. B 2. C 1. D 0. ɓ Lời giải. Ì Mệnh đề P :“8x 2 R, x2 > 0” sai khi x = 0. p Ì Mệnh đề Q :“8x 2 R, 3 x > 0” sai x 0 với a là số thực cho trước. Tìm a để mệnh đề đúng A a 2. D a ≤ 2. Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
26. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Trang 24 ɓ Lời giải. Điều kiện x2 − 2 + a > 0 với mọi x 2 R , x2 > 2 − a với mọi x 2 R , 2 − a 2. Chọn đáp án C  Câu 14 Chọn mệnh đề đúng. ∗ A 8n 2 N , n2 − 1 là bội của số 3. B 9x 2 R, x2 = 3. n n C 9n 2 N, 2 + 1 là số nguyên tố. D 8n 2 N, 2 ≥ n + 2. ɓ Lời giải. p Ta có 9x = 3, x2 = 3. Chọn đáp án B  Câu 15 Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề sai? a) Hãy cố gắng học thật tốt! b) Số 20 chia hết cho 6. c) Số 5 là số nguyên tố. d) Số 15 là một số chẵn. A 1. B 2 . C 3. D 4. ɓ Lời giải. Câu b) là mệnh đề sai vì 20 không chia hết cho 6. Câu d) là mệnh đề sai vì 15 là số lẻ. Chọn đáp án B  Câu 16 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A Nếu m, n là các số vô tỉ thì m.n cũng là số vô tỉ. B Nếu ABC là một tam giác vuông thì đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. #» #» #» #» #» #» #» #» #» Với ba vectơ a , b , c đều khác vectơ 0 , nếu a , b cùng hướng với c thì a , b cùng hướng. C # » # » # » #» D Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0 . ɓ Lời giải. p p Mệnhp đề “Nếu m, n là các số vô tỉ thì m.n cũng là số vô tỉ” sai vì 2 · 2 = 2 là số hữu tỉ trong khi 2 là số vô tỉ. Chọn đáp án A  Câu 17 Cho mệnh đề P: “9x 2 R, x2 + x + 1 là số nguyên tố”. Mệnh đề phủ định của P là mệnh đề nào sau đây? A “8x 2 R, x2 + x + 1 là số nguyên tố”. TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH