Bộ đề luyện thi môn Toán Lớp 10 - Chương I: Mệnh đề. Tập hợp

Nội dung text: Bộ đề luyện thi môn Toán Lớp 10 - Chương I: Mệnh đề. Tập hợp

1. Chương 1 MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP x1. MỆNH ĐỀ I. Tĩm tắt lí thuyết 1. Mệnh đề Định nghĩa 1. Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai. • Một mệnh đề khơng thể vừa đúng vừa sai. • Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. 4! Những điểm cần lưu ý. • Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh khơng phải là mệnh đề. • Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa. Ví dụ: Q:“6 chia hết cho 3”. • Một câu mà chưa thể nĩi đúng hay sai nhưng chắc chắn nĩ chỉ đúng hoặc sai, khơng thể vừa đúng vừa sai cũng là một mệnh đề. Ví dụ: “Cĩ sự sống ngồi Trái Đất” là mệnh đề. • Trong thực tế, cĩ những mệnh đề mà tính đúng sai của nĩ luơn gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luơn cĩ giá trị chân lí đúng hoặc sai. Ví dụ: Sáng nay bạn An đi học. 2. Mệnh đề chứa biến Định nghĩa 2. Những câu khẳng định mà tính đúng-sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến gọi là những mệnh đề chứa biến. Å1ã Ví dụ: Cho P(x) : x > x2 với x là số thực. Khi đĩ P(2) là mệnh đề sai, P là mệnh đề đúng. 2 3. Mệnh đề phủ định Định nghĩa 3. Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Khơng phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P. 11
2. 12 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP • Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. • Mệnh đề phủ định của P cĩ thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, xét mệnh đề P:“2 là số chẵn”. Khi đĩ, mệnh đề phủ định của P cĩ thể phát biểu là P:“2 khơng phải là số chẵn” hoặc “2 là số lẻ”. 4. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo Định nghĩa 4. Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. • Kí hiệu là P ) Q: • Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai. • P ) Q cịn được phát biểu là “ P kéo theo Q”, “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”. 4! Chú ý • Trong tốn học, định lí là một mệnh đề đúng, thường cĩ dạng: P ) Q. Khi đĩ ta nĩi P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để cĩ Q, hoặc Q là điều kiện cần để cĩ P. • Trong logic tốn học, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề P ) Q người ta khơng quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P, Q. Khơng phân biệt trường hợp P cĩ phải là nguyên nhân để cĩ Q hay khơng mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng. Ví dụ: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở châu Âu” là một mệnh đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề P: “Mặt trời quay xung quanh trái đất” và Q: “Việt Nam nằm ở châu Âu” đều là mệnh đề sai. Định nghĩa 5. Cho mệnh đề kéo theo P ) Q. Mệnh đề Q ) P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ) Q. 4! Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng khơng nhất thiết là một mệnh đề đúng. 5. Mệnh đề tương đương Định nghĩa 6. Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề cĩ dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương. • Kí hiệu là P , Q • Mệnh đề P , Q đúng khi cả hai mệnh đề P ) Q và Q ) P cùng đúng hoặc cùng sai. (Hay P , Q đúng khi cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai) • P , Q cịn được phát biểu là “P khi và chỉ khi Q”, “P tương đương với Q”, hay “P là điều kiện cần và đủ để cĩ Q”. 4! Hai mệnh đề P, Q tương đương với nhau hồn tồn khơng cĩ nghĩa là nội dung của chúng như nhau, mà nĩ chỉ nĩi lên rằng chúng cĩ cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai). Ví dụ: “Hình vuơng cĩ một gĩc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố” là một mệnh đề đúng. 6. Các kí hiệu 8 và 9 • Kí hiệu 8 (với mọi): “8x 2 X;P(x)” hoặc “8x 2 X : P(x)”. • Kí hiệu 9 (tồn tại): “9x 2 X;P(x)” hoặc “9x 2 X : P(x)”. 4! Chú ý • Phủ định của mệnh đề “8x 2 X;P(x)” là mệnh đề “9x 2 X;P(x)”. • Phủ định của mệnh đề “9x 2 X;P(x)” là mệnh đề “8x 2 X;P(x)”.
3. 1 MỆNH ĐỀ 13 II. Các dạng tốn Dạng 1. Mệnh đề cĩ nội dung đại số và số học Ví dụ 1. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: p a) A : “ 6 là số hữu tỉ”. b) B : “n chia hết cho 3 và 5 thì n chia hết cho 15”. c) C : “8x 2 N : x2 + x + 3 > 0”. x y d) D : “9x 2 ;9y 2 : + = 2”. N R y x Lời giải. p a) A : “ 6 khơng là số hữu tỉ”. b) B : “n khơng chia hết cho 3 hoặc n khơng chia hết cho 5 thì nĩ khơng chia hết cho 15 ”. c) C : “9x 2 N : x2 + x + 3 ≤ 0”. x y d) D : “8x 2 ;8y 2 : + 6= 2”. N R y x Ví dụ 2. Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nĩ: a) 8x 2 R : x2 + 6 > 0. b) 9x 2 R : x2 + x + 1 = 0. c) 9x 2 R : x > x2. Lời giải. a) Mệnh đề đúng. Phủ định là A : 9x 2 R : x2 + 6 ≤ 0. b) Mệnh đề sai vì phương trình x2 + x + 1 = 0 vơ nghiệm trong R. Phủ định là B : “8x 2 R : x2 + x+ 6= 0. 1 c) Mệnh đề đúng, ví dụ x = . 2 Phủ định là 8x 2 R : x ≤ x2 Ví dụ 3. Điều chỉnh các mệnh đề sau để được các mệnh đề đúng: a) 8x 2 R : 3x − 1 = 0. b) 8x 2 R : x2 − 4x = 0. c) 9x 2 R : x2 + 1 . R x Lời giải.
4. 14 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP a) 9x 2 R : 3x − 1 = 0. b) 9x 2 R : x2 − 4x = 0. c) 9x 2 R : x2 + 1 > 0 hoặc 8x 2 R : x2 + 1 > 0. 1 d) 9x 2 : x > . R x Ví dụ 4. Chứng minh “Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.” Lời giải. Giả sử n là số lẻ ) n = 2k + 1, k 2 N ) n2 = 4k2 + 4k + 1 = 22k2 + 2k
   + 1 ) n2 là số lẻ (trái giả thiết). Vậy n là số chẵn. Ví dụ 5. Chứng minh rằng: a) Với mọi số nguyên n thì n3 − n chia hết cho 3. b) Với mọi số nguyên n thì n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho 6. Lời giải. a) Ta cĩ: n3 − n = n(n2 − 1) = n(n − 1)(n + 1) = (n − 1)n(n + 1). Do n − 1, n, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên cĩ 1 số chia hết cho 3. Khi đĩ (n − 1)n(n + 1) chia hết cho 3 hay n3 − n chia hết cho 3. b) Ta cĩ n − 1, n là 2 số nguyên liên tiếp nên tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho 2. Xét 3 số nguyên liên tiếp n − 1, n, n + 1, trong 3 số này cĩ ít nhất 1 số chia hết cho 3. • Nếu 1 trong 2 số n − 1, n cho hết cho 3 thì tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho 3. • Nếu n+1 chia hết cho 3 thì 2n−1 = 2(n+1)−3 cũng chia hết cho 3. Suy ra tích n(n−1)(2n−1) chia hết cho 3. Vậy tích n(n − 1)(2n − 1) vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 nên chia hết cho 6. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Hãy xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau đây và tìm mệnh đề phủ định của chúng: a) A : “8x 2 R : x2 > 1”: b) B : “9x 2 Z : 6x2 − 13x + 6 = 0”: c) C : “8x 2 N;9y 2 N : y = x + 2”: x y d) D : “8x 2 ;8y 2 : + ≥ 0”: R R y x Lời giải. a) Mệnh đề sai, ví dụ như x = 0. Phủ định là A : “9x 2 R : x2 ≤ 1”:
5. 1 MỆNH ĐỀ 15 2 3 x = b) Mệnh đề sai vì 6x2 − 13x + 6 = 0 , 6 2 , cả hai nghiệm đều khơng thuộc . 4 2 Z x = 3 Phủ định là B : “8x 2 Z : 6x2 − 13x + 6 6= 0”: c) Mệnh đề đúng. Phủ định là C : “9x 2 N;8y 2 N : y 6= x + 2”: d) Mệnh đề sai, ví dụ x = 1;y = −2. x y Phủ định là D : “9x 2 ;9y 2 : + 4 ) x > 16. b) 8x 2 R : x2 > 36 ) x > 6. ¨ax2 + bx + c = 0 c) cĩ nghiệm kép , D = b2 − 4ac = 0. a 6= 0 ¨a > b d) 8a;b;c 2 : , a > c. R b > c 8 . 6 ) x2 > 36 hoặc 9x 2 R : x2 > 36 ) x > 6. c) Mệnh đề đúng. ¨a > b d) Mệnh đề ) a > c là đúng. b > c ¨a > b Mệnh đề a > c ) là sai, vì dụ như a = 3;c = 1;b = 0. b > c ¨ax2 + bx + c = 0 Như vậy mệnh đề cĩ nghiệm kép , D = b2 − 4ac = 0 là sai. a 6= 0 ¨a > b Sửa lại mệnh đề đúng là 8a;b;c 2 : ) a > c. R b > c 8 . <a.3 . e) Mệnh đề ) ab.6 là đúng. . :b.2 8 . . <a.3 Mệnh đề ab.6 ) là sai, ví dụ như a = 6;b = 1. . :b.2
6. 16 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 8 . b2 + 1. c) 9a 2 R;9b 2 R : a + b > 1. d) 9a 2 R;8b 2 R : a2 0 : + ≥ 2. b a Lời giải. a b Giả sử: + 0 : + ≥ 2. b a Bài 5. a) Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1. b) Nếu x 6= −1 và y 6= −1 thì x + y + xy 6= −1. c) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn. d) Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0. Lời giải.
7. 1 MỆNH ĐỀ 17 a) Giả sử a ≥ 1 và b ≥ 1, suy ra a + b ≥ 2 (trái giả thiết). Vậy nếu a + b 0 ) x2 + y2 > 0 (trái giả thiết). • Nếu y 6= 0 ) y2 > 0 ) x2 + y2 > 0 (trái giả thiết). Vậy nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0. ¨jxj 0. Lời giải.p p p Giả sử a + a + 2 ≥ 2 a + 1;8a > 0 p p 2 p 2 ) a + a + 2
   ≥ 2 a + 1
   ) a + 2pa(a + 2) + a + 2 ≥ 4(a + 1) ) pa(a + 2) ≥ a + 1, với a + 1 > 0 ) a2 + 2a ≥ a2 + 2a + 1 ) 0 >p1 (vơp lí) p Vậy 8a > 0 : a + a + 2 2(b + d) thì ít nhất một trong hai phương trình sau cĩ nghiệm x2 + ax + b = 0 (1) x2 + cx + d = 0 (2) Lời giải. Giả sử cả hai phương trình đều vơ nghiệm, khi đĩ ta cĩ ¨ 2 D1 = a − 4b < 0 ) a2 + c2 < (b + d) 2 4 D2 = c − 4d < 0 ) a2 + c2 < 2ac (do 2(b + d) ≤ ac) ) (a − c)2 < 0 (vơ lí). Vậy ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho cĩ nghiệm.
8. 18 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Bài 9. Chứng minh khi ta nhốt n + 1 con gà vào n cái lồng thì cĩ ít nhất 1 lồng chứa ít nhất 2 con gà. Lời giải. Giả sử khơng cĩ lồng nào chứa nhiều hơn 1 con gà. Khi đĩ số gà sẽ khơng nhiều hơn số lồng. Vậy cĩ nhiều nhất là n con gà. Điều này mâu thuẫn với giải thiết cĩ n + 1 con gà. Vậy khi ta nhốt n + 1 con gà vào n cái lồng thì cĩ ít nhất 1 lồng chứa ít nhất 2 con gà. Bài 10. Chứng minh với mọi số tự nhiên n: a) n2 + n + 1 khơng chia hết cho 9. b) n2 + 11n + 39 khơng chia hết cho 49. Lời giải. a) Giả sử n2 + n + 1 chia hết cho 9, khi đĩ n2 + n + 1 = 9k, với k là số nguyên. Như vậy phương trình n2 + n + 1 − 9k = 0 (1) sẽ cĩ nghiệm nguyên. Xét D = 1 − 4(1 − 9k) = 36k − 3 = 3(12k − 1). Ta thấy D chia hết cho 3, 12k − 1 khơng chia hết cho 3 nên D khơng chia hết cho 9, do đĩ D khơng là số chính phương nên phương trình (1) khơng cĩ nghiệm nguyên (mâu thuẫn giả thiết). Vậy n2 + n + 1 khơng chia hết cho 9. b) Giả sử n2 + 11n + 39 chia hết cho 49, khi đĩ n2 + 11n + 39 = 49k, với k là số nguyên. Như vậy phương trình n2 + 11n + 39 − 49k = 0 (1) sẽ cĩ nghiệm nguyên. Xét D = 112 − 4(39 − 49k) = 196k − 35 = 7(28k − 5). Ta thấy D chia hết cho 7, 28k − 5 khơng chia hết cho 7 nên D khơng chia hết cho 49, do đĩ D khơng là số chính phương nên phương trình (1) khơng cĩ nghiệm nguyên (mâu thuẫn giả thiết). Vậy n2 + 11n + 39 khơng chia hết cho 49. Dạng 2. Mệnh đề cĩ nội dung hình học Ví dụ 6. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) P : “Hai véc-tơ bằng nhau thì cĩ độ dài bằng nhau”. b) Q : “Hai véc-tơ bằng nhau nếu chúng cĩ độ dài bằng nhau”. Lời giải. a) Mệnh đề P là mệnh đề đúng theo định nghĩa hai véc-tơ bằng nhau. b) Mệnh đề Q là mệnh đề sai. Hai véc-tơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cĩ độ dài bằng nhau. Như vậy cịn thiếu điều kiện về hướng của hai véc-tơ. Ví dụ 7. Cho tam giác ABC. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Nếu AB2 + AC2 = BC2 thì tam giác ABC vuơng tại B. b) Nếu AB > AC thì Cb > Bb. c) Tam giác ABC đều khi và chỉ khi nĩ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện AB = AC và Ab = 600. Lời giải. a) Mệnh đề sai. Mệnh đề đúng là: “Nếu AB2 + AC2 = BC2 thì tam giác ABC vuơng tại A”. b) Mệnh đề đúng theo mối liên hệ giữa gĩc và cạnh đối diện trong tam giác.
9. 1 MỆNH ĐỀ 19 c) Mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết tam giác đều. Ví dụ 8. Cho tứ giác lồi ABCD. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi nĩ thỏa mãn AC = BD. b) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nếu nĩ cĩ ba gĩc vuơng. Lời giải. a) Mệnh đề sai. Mệnh đề cĩ cấu trúc P , Q trong đĩ mệnh đề P ) Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì AC = BD” là mệnh đề đúng cịn mệnh đề Q ) P là mệnh đề sai. b) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 11. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: −! −! a) Hai véc-tơ −!a và b cùng hướng với véc-tơ −!c thì −!a ; b cùng hướng. −! b) Trong ba véc-tơ khác véc-tơ 0 và cùng phương thì cĩ ít nhất hai véc-tơ cùng hướng. Lời giải. a) Mệnh đề đúng theo cách hiểu về hướng của véc-tơ. −! −! b) Mệnh đề đúng. Thật vậy: Xét ba véc-tơ −!a ; b ;−!c khác véc-tơ 0 và cùng phương. Khi đĩ cĩ 2 trường hợp: −! Trường hợp 1. Hai véc-tơ −!a ; b cùng hướng Trường hợp này phù hợp kết luận. −! Trường hợp 2. Hai véc-tơ −!a ; b ngược hướng −! Khi đĩ nếu véc-tơ −!c ngược hướng với véc-tơ −!a thì −!c và b cùng hướng. Bài 12. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng cĩ diện tích bằng nhau. b) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nĩ cĩ một gĩc bằng 60◦ và hai đường trung tuyến bằng nhau. Lời giải. a) Mệnh đề sai vì hai tam giác bằng nhau thì cĩ diện tích bằng nhau nhưng ngược lại, hai tam giác cĩ diện tích bằng nhau thì cĩ thể khơng bằng nhau. Ví dụ một tam giác vuơng cĩ cạnh gĩc vuơng là 2 và 8, tam giác vuơng thứ hai cĩ cạnh gĩc vuơng là 4 và 4 cĩ cùng diện tích nhưng hai tam giác khơng bằng nhau. b) Mệnh đề đúng. Thật vậy, xét tam giác ABC tùy ý. +) Nếu tam giác ABC đều thì cả ba gĩc bằng 60◦ và cặp trung tuyến nào cũng bằng nhau. +) Ngược lại, giả sử cĩ hai trung tuyến BM và CN bằng nhau. Khi đĩ hình thang BCMN cĩ hai đường chéo bằng nhau nên nĩ là hình thang cân. Do đĩ tam giác ABC cĩ Bb = Cb và gĩc một gĩc bằng 60◦ nên tam giác ABC đều. Bài 13. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau:
10. 20 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP a) Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi nĩ cĩ một cặp cạnh đối song song và bằng nhau. b) Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ nĩ cĩ hai đường chéo bằng nhau. Lời giải. a) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành. b) Mệnh đề sai. Chẳng hạn hình thang cân cĩ hai đường chéo bằng nhau nhưng khơng nhất thiết phải là hình bình hành. Bài 14. Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD là hình vuơng”. Q: “Tứ giác ABCD là hình thoi cĩ hai đường chéo bằng nhau”. Phát biểu mệnh đề P , Q bằng hai cách và cho biết mệnh đề đĩ đúng hay sai. Lời giải. Phát biểu mệnh đề: Cách 1. “Tứ giác ABCD là hình vuơng khi và chỉ khi nĩ là hình thoi cĩ hai đường chéo bằng nhau”. Cách 2. “Tứ giác ABCD là hình vuơng là điều kiện cần và đủ để nĩ là hình thoi cĩ hai đường chéo bằng nhau”. Mệnh đề này đúng theo tính chất và dấu hiệu nhận biết hình vuơng. Bài 15. Xét các tập hợp: X: tập hợp các tứ giác. A: Tập hợp các hình vuơng. B: Tập hợp các hình chữ nhật. D: Tập hợp các hình thoi. E: Tập hợp các tứ giác cĩ trục đối xứng. Phát biểu thành lời nội dung các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng. a) 8x 2 X;x 2 B ) x 2 A. b) 8x 2 X;x 2 A ) x 2 D. c) 8x 2 X;x 2 E ) x 2 B. d) 8x 2 X;x 2 D ) x 2 E. e) 9x 2 E : x 2= B. Lời giải. a) Phát biểu: “Mọi hình chữ nhật đều là hình vuơng”. Mệnh đề này sai vì hai cạnh của hình chữ nhật khơng phải lúc nào cũng bằng nhau. b) Phát biểu: “Mọi hình vuơng đều là hình thoi”. Mệnh đề này đúng vì mọi hình vuơng đều là tứ giác cĩ bốn cạnh bằng nhau. c) Phát biểu: “Mọi tứ giác cĩ trục đối xứng đều là hình chữ nhật”. Mệnh đề này sai, ví dụ hình thang cân cĩ trục đối xứng nhưng hình thang cân cĩ các gĩc cĩ số đo khơng nhất thiết phải bằng 90◦. d) Phát biểu: “Mọi hình thoi đều cĩ trục đối xứng”. Mệnh đề này đúng vì mỗi hình thoi đều cĩ ít nhất hai trục đối xứng là hai đường chéo.
11. 1 MỆNH ĐỀ 21 e) Phát biểu: “Tồn tại một tứ giác cĩ trục đối xứng mà khơng phải là hình chữ nhật”. Mệnh đề này đúng, chẳng hạn hình thang cân cĩ gĩc ở đáy bằng 60◦. Dạng 3. Thành lập mệnh đề - Mệnh đề phủ định a) Phát biểu thành lời khi cho cho một mệnh đề dạng kí hiệu. b) Dùng kí hiệu 8;9 phát biểu một mệnh đề. c) Xét tính Đúng – Sai của các mệnh đề. d) Phủ định một mệnh đề. Ví dụ 9. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây: a) “8x 2 R;x2 6= 0”: 1 b) “9x 2 ;x2 x”: Lời giải. a) Mọi số thực đều cĩ bình phương khác khơng. 1 b) Tồn tại một số thực mà bình phương của nĩ nhỏ hơn : 2 c) Mọi số thực đều cĩ nghịch đảo lớn hơn hoặc bằng chính nĩ. d) Tồn tại một số thực sao cho căn bậc hai của nĩ lớn hơn nĩ. Ví dụ 10. Dùng các kí hiệu 8;9 phát biểu các mệnh đề sau: a) Tồn tại một số tự nhiên chia hết cho 9: b) Mọi số khơng âm đều lớn hơn khơng. c) Tồn tại một số thực khơng là số dương cũng khơng là số âm. Lời giải. . a) “9n 2 N;n.9”: b) “8x ≥ 0;x > 0”: c) “9x 2 R;x = 0”: Ví dụ 11. Xét tính Đúng – Sai của các mệnh đề sau: a) “8x 2 R;x2 > 0”: b) “8n 2 N;n2 > n”: Lời giải.
12. 22 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP a) 9x = 0 2 R;02 = 0 ) Mệnh đề sai. b) 9n = 1 2 N;12 = 1 ) Mệnh đề sai. Ví dụ 12. Phủ định các mệnh đề sau đây: a) Tất cả bài tập trong sách này đều dễ. b) Cĩ ít nhất một hình thang nội tiếp được trong đường trịn. c) “9x 2 R;x + 3 = 5”: d) “8x 2 R;x > 5”: Lời giải. a) Tồn tại một bài tập trong sách khơng dễ. b) Mọi hình thang đều khơng nội tiếp được trong đường trịn. c) “8x 2 R;x + 3 6= 5”: d) “9x 2 R;x ≤ 5”: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 16. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây: 1 a) “9x 2 ; = x”: R x 1 b) “9n 2 ; 2 ”: N n N c) “8x 2 R;x2 − 4x + 8 > 0”: d) “9x 2 Z;x2 + 5x ≤ 0”: Lời giải. a) Tồn tại một số thực mà nghịch đảo của nĩ bằng với nĩ. b) Tồn tại số tự nhiên sao cho nghịch đảo của nĩ thuộc tập số tự nhiên. c) Với mọi số thực ta đều cĩ bình phương của nĩ hiệu bốn lần nĩ và cộng thêm 8 lớn hơn 0: d) Tồn tại một số nguyên mà tổng bình phương của nĩ với năm lần nĩ bé hơn hoặc bằng 0: Bài 17. Dùng các kí hiệu 8;9 phát biểu các mệnh đề sau: a) Cĩ một số tự nhiên khác khơng mà căn bậc hai của nĩ thuộc tập số tự nhiên khác khơng. b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên. c) Cĩ một số tự nhiên khơng là số nguyên. d) Mọi số tự nhiên đều là số thực. e) Tồn tại một số thực khơng cĩ nghịch đảo. Lời giải.
13. 1 MỆNH ĐỀ 23 ∗ p ∗ a) “9n 2 N ; n 2 N ”: b) “8n 2 Z;n 2 N”: c) “9n 2 N;n 2= Z”: d) “8n 2 N;n 2 R”: 1 e) “9x 2 ; khơng tồn tại ”: R x Bài 18. Phủ định các mệnh đề sau: a) Mọi học sinh trong lớp em đều biết dùng máy tính. b) Cĩ một học sinh trong lớp em chưa được leo núi. c) Mọi học sinh trong lớp em khơng biết đá bĩng. d) Cĩ một học sinh trong lớp em thích bĩng chuyền. Lời giải. a) Cĩ một học sinh trong lớp em khơng biết dùng máy tính. b) Mọi học sinh trong lớp em đều được leo núi. c) Cĩ một học sinh trong lớp em biết đá bĩng. d) Mọi học sinh trong lớp em khơng thích bĩng chuyền. Bài 19. Xét xem các mệnh đề sau đúng hay sai và nêu các mệnh đề phủ định của chúng. a) “8x 2 R;x2 − 7x + 15 > 0”: b) “9x 2 R;x3 + 2x2 + 8x + 16 = 0”: c) “8x 2 R;8y 2 R;2x + 3y = 5”: d) “9x 2 R;9y 2 R;x2 + y2 − 2x − 4y = −1”: Lời giải. a) Ta cĩ: 7 49 49 Å 7ã2 11 11 x2 − 7x + 15 = x2 − 2: :x + + 15 − = x − + ≥ > 0 8x 2 . 2 4 4 2 4 4 R Vậy mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định: “9x 2 R;x2 − 7x + 15 ≤ 0”: b) 9x = −2 2 R;(−2)3 + 2:(−2)2 + 8:(−2) + 16 = 0 ) Mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định: “8x 2 R;x3 + 2x2 + 8x + 16 6= 0”: c) 9x = 0 2 R;9y = 0 2 R;2:0 + 3:0 = 0 6= 0 ) Mệnh đề sai. Mệnh đề phủ định: “9x 2 R;9y 2 R;2x + 3y 6= 0”: d) 9x = 1 2 R;9y = 0 2 R;12 + 02 − 2:1 − 4:0 = −1 ) Mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định: “8x 2 R;8y 2 R;x2 + y2 − 2x − 4y = −1”: Bài 20. Tìm hai giá trị thực của x đề từ mỗi câu sau ta được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. a) x2 < x:
14. 24 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP b) x = 5: c) x2 > 0: 1 d) x > : x Lời giải. 1 a) Với x = thì mệnh đề đúng. 2 Với x = 1 thì mệnh đề sai. b) Với x = 5 thì mệnh đề đúng. Với x = 0 thì mệnh đề sai. c) Với x = 1 thì mệnh đề đúng. Với x = 0 thì mệnh đề sai. d) Với x = 2 thì mệnh đề đúng. 1 Với x = thì mệnh đề sai. 2 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 21. Chứng minh rằng: Nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ cĩ ít nhất một chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ. Lời giải. Ta định nghĩa mệnh đề Q. Q : Ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ. Suy ra mệnh đề Q : Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ. Giả sử mệnh đề Q đúng, tức là tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ. Khi đĩ số thỏ sẽ cĩ tối đa là 4:6 = 24 con, mâu thuẫn với giả thiết số thỏ là 25 con. Suy ra mệnh đề Q sai, do đĩ mệnh đề Q đúng. Vậy nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ cĩ ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ. Bài 22. Cho các mệnh đề chứa biến P(n) : “n là số chẵn” và Q(n) : “7n + 4 là số chẵn”. a) Phát biểu và chứng minh mệnh đề “8n 2 N;P(n) ) Q(n)”: b) Phát biểu và chứng minh mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu 1: Lời giải. a) Với mọi số tự nhiên n, nếu n là số chẵn thì 3n + 4 cũng là số chẵn. Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n chẵn, ta cĩ: 3n và 4 là các số chẵn. Suy ra 3n + 4 là một số chẵn. Vậy mệnh đề đúng. b) Với mọi số tự nhiên n, nếu 3n + 4 là số chẵn thì n cũng là số chẵn. Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n mà 3n + 4 là số chẵn thì ta suy ra 3n là số chẵn (do 4 là số chẵn). Khi đĩ n là một số chẵn. Vậy mệnh đề đảo đúng.
15. 2 TẬP HỢP 25 x2. TẬP HỢP I. Tĩm tắt lí thuyết 1. Tập hợp và phần tử • Tập hợp (gọi tắt là tập) là một khái niệm cơ bản của tốn học, khơng định nghĩa. • Ta thường dừng các chữ cái in hoa để kí hiệu cho tập hợp. • Cho tập hợp A và phần tử x. Nếu x cĩ mặt trong tập A ta nĩi x là một phần tử của tập A hay x thuộc A, kí hiệu x 2 A hoặc A 3 x. Nếu x khơng cĩ mặt trong tập A ta nĩi x khơng thuộc A, kí hiệu x 2= A hoặc A 63 x. 2. Cách xác định tập hợp • Liệt kê các phần tử của tập hợp. • Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. 3. Tập hợp rỗng Định nghĩa 1. Tập hợp rỗng, kí hiệu là ?, là tập hợp khơng chứa phần tử nào. 4. Tập con. Hai tập hợp bằng nhau • Tập hợp A gọi là tập con của tập hợp B, kí hiệu A ⊂ B nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc B. Với kí hiệu đĩ, ta cĩ A ⊂ B , (8x;x 2 A ) x 2 B) • Tập rỗng là tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu là ?. Qui ước : ? ⊂ A với mọi tập hợp A. • Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B nếu mỗi phần tử của A là một phần tử của B và ngược lại. Với định nghĩa đĩ, ta cĩ A = B , (A ⊂ B và B ⊂ A) 5. Tính chất Tính chất 1. a) ? ⊂ A, với mọi A. b) A ⊂ A, với mọi A c) Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C II. Các dạng tốn Dạng 1. Xác định tập hợp - phần tử của tập hợp • Liệt kê các phần tử của tập hợp (giải phương trình nếu cần). • Nêu đặc trưng của tập hợp.
16. 26 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Ví dụ 1. Xác định tập hợp A gồm 10 số nguyên tố đầu tiên bằng phương pháp liệt kê Lời giải. A = f2;3;5;7;11;13;17;19;23;29g Ví dụ 2. a) Tập hợp A các số thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn 3 là A = fx 2 R j 1 < x < 3g. b) Tập hợp S gồm các nghiệm của phương trình x8 + 9 = 0 là S = fx 2 R j x8 + 9 = 0g. Ví dụ 3. Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau: a) A = fn 2 N j n < 5g. b) B là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 0 và nhỏ hơn 5. c) C = fx 2 R j (x − 1)(x + 2) = 0g. Lời giải. a) A = f0;1;2;3;4g. b) B = f1;2;3;4g. đx = 1 c) Ta cĩ (x − 1)(x + 2) = 0 , x = −2: Mà x 2 R nên C = f−2;1g. Ví dụ 4. Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:  2 a) A = x 2 Z j (2x − 3x + 1)(x + 5) = 0 .  2 2 b) B = x 2 Q j (x − 2)(x − 3x + 2) = 0 . Lời giải. a) Ta cĩ: 2x = 1 6 1 (2x2 − 3x + 1)(x + 5) = 0 , 6x = 4 2 x = −5: Vì x 2 Z nên A = f1;−5g. b) Ta cĩ: 2 p x = 2 6 p 6x = − 2 (x2 − 2)(x2 − 3x + 2) = 0 , 6 6 4x = 1 x = 2: Vì x 2 Q nên B = f1;2g.
17. 2 TẬP HỢP 27 Ví dụ 5. Viết các tập hợp sau bằng phương pháp liệt kê:  2 2 a) A = x 2 Q j (x − 2x + 1)(x − 5) = 0.  2 b) B = x 2 N j 5 < n < 40 .  2 c) C = x 2 Z j x < 9 . d) D = fx 2 R j j2x + 1j = 5g. Lời giải. a) A = f1g. b) B = f3;4;5;6g. c) C = f−2;−1;0;1;2g. đx = 2 d) Ta cĩ j2x + 1j = 5 , x = −3: Vậy C = f2;−3g. Ví dụ 6. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau: a) Tập hợp A các số chính phương khơng vượt quá 50. b) Tập hợp B = fn 2 N j n(n + 1) ≤ 30g. Lời giải. A = f0;1;4;9;16;25;36;49g B = f1;2;3;4;5g Ví dụ 7. Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đĩ. a) A = f0;4;8;12;16;:::;52g. b) B = f3;6;9;12;15;:::;51g. c) C = f2;5;8;11;14;:::;62g. Lời giải. § ª . a) A = x 2 N j 0 ≤ x ≤ 16 và x . 4 . § ª . b) B = x 2 N j 3 ≤ x ≤ 51 và x . 3 . § ª . c) C = x 2 N j 2 ≤ x ≤ 62 và (x − 2) . 3 .
18. 28 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Ví dụ 8. Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đĩ. a) A = f2;3;5;7;11;13;17g. b) B = f−2;4;−8;16;−32;64g. Lời giải.  a) A = x 2 N j x ≤ 17 và x là số nguyên tố . n b) B = fx = (−2) j n 2 N;1 ≤ n ≤ 6g. Ví dụ 9. Tìm một tính chất đặc trưng xác định các phần tử của mỗi tập hợp sau A = f1;2;3;4;5;6;7;8;9g B = f0;7;14;21;28g Lời giải. ∗ A = fx 2 N j x ≤ 9g . B = fx 2 N j x . 7 và x ≤ 28g BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. A là tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 20. Liệt kê các phần tử của tập hợp A. Lời giải. A = f2;3;5;7;11;13;17;19g. Bài 2. Cho tập hợp A = f0;2;4;6;8;10g Hãy xác định tập hợp A bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng cho các phần tử của nĩ. Lời giải. A là tập hợp các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn hoặc bằng 10. Bài 3. Cho A = fx 2 N j x là ước của 8g. Liệt kê các phần tử của tập hợp A. Lời giải. A = f1;2;4;8g. Bài 4. Cho A = fx 2 Z j x là ước của 15g. Liệt kê các phần tử của tập hợp A. Lời giải. A = f−15;−5;−3;−1;1;3;5;15g. Bài 5. Cho A = fx 2 N j x là ước chung của 30 và 20g. Lời giải. A = f1;2;5;10g. Bài 6. Cho A = fx 2 N j x là bội chung của 15 và 20;x ≤ 60g. Lời giải. A = f0;30;60g. Bài 7. Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đĩ. a) A = f1;2;3;4;5;6g. b) B = f0;2;4;5;6;8g. Lời giải. a) A = fx 2 N j 1 ≤ x ≤ 6g. § ª . b) B = x 2 N j x . 2 và x ≤ 8 :
19. 2 TẬP HỢP 29 Bài 8. Tìm một tính chất đặc trưng xác định các phần tử của mỗi tập hợp sau a) A = f0;2;7;14;23;34;47g p p b) B = {−1 + 3;−1 − 3g Lời giải. 2 A = fn − 2 j n 2 N;1 ≤ n ≤ 7g 2 B = fx 2 R j x + 2x − 2 = 0g Bài 9. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau a) A = fx 2 Z j jxj 2m + 1g: b) B = fx 2 R j x2 − 2x + m = 0g Lời giải. a) Để A là tập rỗng thì m ≥ 2m + 1 , m ≤ −1.
20. 30 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP b) Để B là tập rỗng thì phương trình x2 − 2x + m = 0 phải vơ nghiệm, tức là D0 = 1 − m 1. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng? ¦ p © A = x 2 N j x2 − 2 = 0 . § 1 ª B = x 2 j x2 − = 0 . Z 4  2 C = x 2 Q j x ≤ 0 . Lời giải. Tập hợp A;B. Bài 2. Cho tập hợp A = fx 2 N j x = mg: Tìm m để A = ?. Lời giải. Để A = ? thì m 62 N. Bài 3. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để các tập hợp sau là tập hợp rỗng. a) A = fx 2 R j x 4m + 3g: b) B = fx 2 R j x2 − 2x + m + 9 = 0g Lời giải. a) Để A là tập rỗng thì m + 3 ≥ 4m + 3 , m ≤ 0. Vậy m thuộc tập hợp các số nguyên khơng dương. b) Để B là tập rỗng thì phương trình x2 −2x+m = 0 phải vơ nghiệm, tức là D0 = −8−m −8. Vậy m thuộc tập hợp các số nguyên lớn hơn −8. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Viết tập hợp sau dưới dạng liệt kê các phần tử.  2 2 a) A = x 2 Z j (x − 3x + 2)(2x + 3x + 1) = 0 . b) B = fx 2 N j jxj < 3g. Lời giải. a) A = f1;2;−1g. b) Bf0;1;2g. Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của m để tập hợp A = fx 2 N j x < mg là tập hợp rỗng. Lời giải. Để A = ? thì m ≤ 0. Bài 3. Cho A = fx 2 N j 1 < x − m < 3g. Tìm tất cả các giá trị của m để A = f1g. Lời giải. Để A = f1g thì 1 − m = 2 , m = −1. Bài 4. Cho A = fx 2 N j −4 < x < 3g. Liệt kê tất cả các phần tử của A. Lời giải. Ta cĩ A = f0;1;2g. Bài 5. Tìm tất cả các giá trị của m để A = fx 2 N j 1 < x − m < 3g là tập hợp rỗng. Lời giải. Ta cĩ A = (m + 1;m + 3) \ N. Do đĩ, A = ? , m + 3 ≤ 0 , m ≤ −3. ¨ 2 2 2 « a + b + c Bài 6. Cho tập hợp A = y 2 y = ; với a;b;c là các số thực dương . Tìm số nhỏ nhất của R ab + bc + ca tập hợp A. a2 + b2 + c2 Lời giải. Ta cĩ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca , ≥ 1. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c: Vậy số ab + bc + ca nhỏ nhất là 1.
21. 2 TẬP HỢP 31 Dạng 3. Tập con. Tập bằng nhau • Tập hợp A là tập con của tập hợp B nếu mọi phần tử của A đều cĩ trong B. A ⊂ B , (8x 2 A ) x 2 B). • ? ⊂ A, với mọi tập hợp A. • A ⊂ A, với mọi tập hợp A. n • Cĩ tập A gồm cĩ n phần tử (n 2 N). Khi đĩ, tập A cĩ 2 tập con. ¨A ⊂ B • A = B , . B ⊂ A Ví dụ 1. Tìm tất cả các tập con của tập A = fa;1;2g. Lời giải. Tập A cĩ 23 = 8 tập con. • 0 phần tử: ?. • 1 phần tử: fag, f1g, f2g. • 2 phần tử: fa;1g, fa;2g, f1;2g. • 3 phần tử: fa;1;2g. Ví dụ 2. Tìm tất cả các tập con cĩ 2 phần tử của tập A = f1;2;3;4;5;6g. Lời giải. f1;2g,f1;3g, f1;4g, f1;5g, f1;6g, f2;3g, f2;4g, f2;5g, f2;6g, f3;4g, f3;5g, f3;6g, f4;5g, f4;6g, f5;6g. Ví dụ 3. Xác định tập hợp X biết f1;2g ⊂ X ⊂ f1;2;5g. Lời giải. Ta cĩ • Vì f1;2g ⊂ X nên tập hợp X cĩ chứa các phần tử 1;2. • Vì X ⊂ f1;2;5g nên các phần tử của tập hợp X cĩ thể là 1;2;5. Khi đĩ tập hợp X cĩ thể là f1;2g;f1;2;5g. Ví dụ 4. Xác định tập hợp X biết fa;1g ⊂ X ⊂ fa;b;1;2g. Lời giải. Ta cĩ • Vì fa;1g ⊂ X nên tập hợp X cĩ chứa 2 phần tử là a;1. • Vì X ⊂ fa;b;1;2g nên các phần tử của tập hợp X cĩ thể là a;b;1;2. Suy ra, tập hợp X cĩ 2 phần tử, 3 phần tử hoặc 4 phần tử. Khi đĩ, tập hợp X cĩ thể là fa;1g;fa;1;2g;fa;b;1g;fa;b;2g;fa;b;1;2g. Ví dụ 5. Cho ba tập hợp A = f2;5g, B = fx;5g và C = fx;y;5g. Tìm các giá trị của x;y sao cho A = B = C.