Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 7 - Chuyên đề: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Nội dung text: Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 7 - Chuyên đề: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1. Mục lục I. Lời mở đầu 2 II. Kiến thức cần nhớ 3 III. Kiến thức bổ sung 3 IV. Các dạng bài tập và phương pháp chung 4 Dạng 1. Bài tập chứng minh tỉ lệ thức 4 1.1. Phương pháp chung 4 1.2. Một số ví dụ 4 1.3. Tiểu kết 8 1.4. Bài tập tương tự 9 Dạng 2. Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau 10 2.1. Phương pháp chung 10 2.2. Một số ví dụ 11 2.3. Tiểu kết 17 2.4. Bài tập tương tự 17 Dạng 3. Tính giá trị biểu thức 20 3.1. Phương pháp chung 20 3.2. Một số ví dụ 21 3.3. Tiểu kết 23 3.4. Bài tập tương tự 23 Dạng 4. Tốn đố 23 4.1. Phương pháp chung 23 4.2. Một số ví dụ 24 4.3. Tiểu kết 30 4.4. Bài tập tương tự 30 V. Kết quả 34 VI. Vấn đề cịn hạn chế 34 VII. Điều kiện áp dụng 34 VIII. Kết luận 35 IX.Tài liệu tham khảo 36 I. Lời Mở Đầu
2. Đã từng lang thang qua nhiều hiệu sách, văn phịng phẩm, cửa hàng sách cũ và Giúp người học rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo trong quá trình học tập để đạt được kết quả tốt. Nung nấu ý định đĩ trong xuốt quá trình giảng dạy, Tơi đã quyết định viết về một số mảng kiến thức, trong đĩ cĩ : “Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” theo tiêu chí trên; Mỗi dạng bài tập đều cĩ phương pháp chung, một số ví dụ đã chọn lọc cách giải hợp lí và một số bài tập tương tự-Tất cả đều được xắp xếp theo một hệ thống trình tự từ dễ tới khĩ phù hợp cho mọi đối tượng, với mong muốn giúp người đọc, người học dễ dàng hơn trong việc tìm hiểu cũng như việc học và muốn nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này một cách hiệu quả nhất. Tuy đây chỉ là một mảng kiến thức nhỏ được giới thiệu qua một tiết lí thuyết ở sách giáo khoa lớp 7 nhưng đằng sau đĩ là cả một chuỗi bài tập, ứng dụng rất nhiều. Với hệ thống bài tập được sắp xếp từ dễ đến khĩ sẽ giúp người học kích thích tính tư duy, suy luận logic, ĩc sáng tạo và tận hưởng được cảm giác vui sướng khi tự mình tìm tịi, khám phá ra đáp án cho từng bài tốn. Mong muốn chiếm lĩnh được tri thức là mong muốn của rất nhiều người, đặc biệt là học sinh – sinh viên, nhưng làm sao, làm như thế nào để chiếm lĩnh được những thứ quí báu đĩ thì lại là điều băn khoăn, trăn trở của tất cả chúng ta. Với lượng kiến thức của học sinh mới vào lớp 7, các em đĩ cú trong tay một số kĩ năng giải tốn như biến đổi các phép tốn: cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa. Nhưng rất nhiều khĩ khăn mà các em sẽ gặp phải khi học và làm bài tập phần này, đặc biệt là những bài tốn phức tạp, yêu cầu cần phân tích kĩ đầu bài để hiểu phải sử dụng những điều đã cho như thế nào, biến đổi ra sao để đạt được mục đích, tìm ra được đáp án cho bài tốn. Như vậy, rất cần thiết phải được trang bị tri thức phương pháp cho các em để khi làm bài khơng cảm thấy lúng túng, sợ, ngại những bài tốn phức tạp. Với tất cả những gì vừa nêu đã thúc đẩy Tơi thực hiện chuyên đề này.
3. Bài 7 – 8 : TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU. a c 1.1. Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số b d Trong đĩ: a, b, c, d là các số hạng. a, d là ngoại tỉ. b, c là trung tỉ. 1.2. Tính chất của tỉ lệ thức: a c * Nếu thì a . d b . c b d * Nếu a . d b . c và a, b, c, d 0 thì ta cĩ: a c a b d c d b ; ; ; b d c d b a c a 2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. 2.1. Tính chất: a b c Từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra: x y z a b c a b c a b c a b c x y z x y z x y z x y z (Với giả thiết các tỉ số đều cĩ nghĩa) 2.2. Chú ý: a b c Khi cĩ dãy tỉ số ta nĩi các số a, b, c tỉ lệ với các số x, y, z; Ta cịn x y z viết a : b : c = x : y : z. III. Kiến thức bổ sung 1. Luỹ thừa của một thương: n x xn n Với n N, x 0 và x, y Q. y y 2. Một số tính chất cơ bản: a a.m * Với m 0. b b.m a c a c * Với n 0. b d b.n d.n n n a c a c * Với n N. b d b d IV. Các dạng bài tập và phương pháp chung
4. Bài tập về “Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” khá phong phú và đa dạng ở từng mức độ khác nhau nhưng theo ý kiến chủ quan của bản thân Tơi thì cĩ thể chia làm 4 dạng cơ bản gắn liền với phương pháp chung (của mỗi dạng). Các cách làm được trình bày theo mạch tư duy suy luận logic của học sinh nhằm hình thành và phát triển cách nghĩ, cách làm, cách trình bày và cĩ thể tự tìm được con đường đi của riêng mình cho học sinh. Dạng 1. Bài tập chứng minh tỉ lệ thức. 1.1. Phương pháp chung: +) Thường thì ở dạng bài tập này, bài sẽ cho sẵn một số điều kiện nào đĩ và yêu cầu chứng minh tỉ lệ thức. +) Để làm xuất hiện tỉ lệ thức đã cần chứng minh thì chúng ta cĩ thể biến đổi từ tỉ lệ thức bài cho hoặc từ điều kiện bài cho. Với tính chất các phép tốn và tính chất của tỉ lệ thức hoặc tính chất của dãy tỉ số bằng nhau chúng ta cĩ thể biến đổi linh hoạt điều đã cho thành điều cần cĩ. +) Cĩ nhiều con đường để đi đến một cái đích, hãy lựa chọn phương pháp phù hợp, hợp lí nhất trong khi chứng minh. +) Lưu ý: Trong quá trình biến đổi chứng minh nên luơn nhìn về biểu thức cần chứng minh để tránh tình trạng biến đổi dài, vơ ích. 1.2. Một số ví dụ: a c Ví dụ 1. Cho 1 Với a, b, c, d 0. b d a c Chứng minh rằng: a b c d Đây khơng phải là bài tốn khĩ đối với đa số học sinh, nhưng các em sẽ lúng túng khi lựa chọn cách làm bài tốn này. Cĩ rất nhiều cách để làm bài tốn cơ bản này; tuy nhiên, ở đây Tơi xin được trình bày một số cách mà học sinh thường nghĩ tới và sử dụng trong quá trình chứng minh. Lời giải: Cách 1. a c a b a b a b a a b Cĩ: b d c d c d c d c c d a c Hay (Đpcm). a b c d
5. Cách 2. a c Cĩ: a . d b . c ac ad ac bc b d a c d c a b a c (Đpcm). a b c d Cách 3. a c Cĩ: m a mb ; c md b d a mb mb m Khi đĩ: a b mb b b m 1 m 1 c md md m c d md d d m 1 m 1 a c Do đĩ: (Đpcm). a b c d Cách 4. a c Cĩ: a c d c a b a b c d ac ad ac bc a . d b . c a c là đẳng thức đúng b d a c nên là dẳng thức thức đúng. a b c d Cách 5. a c b d b d a b c d Cĩ: 1 1 b d a c a c a d Suy a c ra: (Đpcm) a b c d Cách 6. a c Cĩ: ad bc b d a ad ad bc bc c Do đĩ: a b d a b ad bd bc bd b c d c d a c Vậy: (Đpcm). a b c d Cách 7. a c b d Cĩ: b d a c
6. a b a b d c d Khi đĩ: 1 a a a c c a c Suy ra: (Đpcm). a b c d a c 5a 3b 5a 3b Ví dụ 2. Cho . Chứng minh rằng: b d 5c 3d 5c 3d Học sinh quan sát kĩ đầu bài sẽ phát hiện ra ngay cách làm; Cĩ thể sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, nhưng phải biến đổi một chút đã: Lời giải: a c a b 5a 3b 5a 3b 5a 3b Cĩ: b d c d 5c 3d 5c 3d 5c 3d 5a 3b 5a 3b Vậy: (Đpcm). 5c 3d 5c 3d a c a2 b2 ab Ví dụ 3. Cho . Chứng minh: . b d c2 d 2 cd Bài này cĩ khĩ hơn một chút. Học sinh khơng biết làm thế nào để xuất hiện được a 2 ab và b2; Nhưng bù lại thì các em biết tạo ra từ tỉ lệ thức bài cho. Chỉ cần gợi ý một cd a a b b chút xíu nữa là các em làm được ngay thơi! Em hãy so sánh: . ; . và c c d d ab ? cd Bây giờ thì các em đã biết phải làm như thế nào rồi! Lời giải: a c a b a2 b2 ab a2 b2 Cĩ: b d c d c2 d 2 cd c2 d 2 a2 b2 ab Vậy: (Đpcm). c2 d 2 cd Với cách tư duy trên, dễ dàng nghĩ ngay ra con đường đi cho bài tập khơng dễ sau: a c Ví dụ 4. Cho 1 và c 0. Chứng minh rằng: b d 2 3 a b ab a b a3 b3 a) 2 b) 3 3 c d cd c d c d Đã cĩ bài tập ở ví dụ 3 thì học sinh khơng mấy khĩ khăn khi làm xuất hiện điều phải chứng minh. Lời giải: a c a b a b a) Cĩ: b d c d c d a b a b a b Suy ra: . . c d c d c d 2 ab a b Hay: (Đpcm). cd c d 2
7. a c a b a b b) Cĩ: b d c d c d 3 3 3 a b a b Suy ra: c c c d 3 a3 b3 a3 b3 a b Do đĩ: 3 3 3 3 c d c d c d 3 a b a3 b3 Vậy: 3 3 (Đpcm). c d c d Ngược lại với cách làm những bài tập trên, từ một đẳng thức phức tạp phải chứng minh đẳng thức đơn giản hơn thì các em tỏ ra bối rối khi làm bài. Ví dụ 5. Cho = . Chứng minh rằng: = . Khơng mấy khĩ khăn để đơn giản biểu thức đã cho. Nhìn về điều phải chứng minh thì đưa a lên tử, đưa b xuống mẫu và làm “biến mất” những gì khơng cần thiết trong nháy mắt. Lời giải: Cĩ: = suy ra: = = = Hay: = (Đpcm). Ví dụ 6. Cho 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z). Chứng minh rằng: = . Hãy làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau trước đã. Từ 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) đưa về dãy tỉ số bằng nhau như thế nào? Lời giải: Cĩ: 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) Suy ra: = = = = +) = = = (1) +) = = = (2) Từ (1) và (2) ta cĩ = (Đpcm). a2 b2 Ví dụ 7. Cho = với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ d. c2 d 2 Chứng minh rằng: = hoặc = . Đầu bài khĩ thật, nhưng các em sẽ phát hiện ra ngay đây là bài tốn ngược của ví dụ 3. Làm theo quy trình ngược lại ư? Điều đĩ khơng đưa các em đến được với điều phải chứng minh. Vậy thì phải biến đổi như thế nào? Lúc này giáo viên vào cuộc bằng một gợi ý nhỏ: cĩ thể biến đổi điều đã cho về hằng đẳng thức khơng? Lời giải: 2 2 a b = = = = c2 d 2 a b 2 a b 2 ( )2 = ( )2 c d 2 c d 2 Suy ra: = hoặc = - . +) Nếu = thì = = = = = (1)
8. +) Nếu = - thì = - = = = = (2) Từ (1) và (2) ta cĩ: = hoặc = . 1.3. Tiểu kết: Với dạng bài tập này, các em phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo ra dãy tỉ số bằng nhau hợp lí, cĩ thể kết hợp với mối quan hệ khác mà bài cho để đi đến điều phải chứng minh. Lưu ý học sinh khi sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau phải nhớ đặt dấu ngoặc, tránh nhầm dấu. Cĩ nhiều cách để chứng minh một tỉ lệ thức nhưng cần lựa chọn cách nào phù hợp với khả năng và mức độ nhận thức của người học sao cho đơn giản mà lại dễ hiểu, dễ làm, dễ trình bày. Mặt khác, trong quá trình chứng minh phải luơn hướng về điều phải chứng minh nhằm tránh “lạc đường”, dài dịng khơng cần thiết, cĩ khi lại khơng tới được đích cần đến. Cịn bây giờ là lúc các em đã tự tin làm bài tập tương tự.
9. 1.4. Bài tập tương tự: a2 b2 a Bài 1. Cho b2 = ac. Chứng minh: b2 c2 c Bài 2. Cho b2 = ac ; c2 = bd với b, c, d ≠ 0; b+c ≠ 0; b3+c3 ≠ d3. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a b c a a) 3 3 3 b) 3 3 3 b c d b c d b c d d Bài 3. Cho = với a, b, c ≠ 0. Chứng minh rằng từ ba số a, b, c (cĩ một số sử dụng 2 lần) cĩ thể lập thành một tỉ lệ thức. Bài 4. Cho = với a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: 2 2a 3b 2c 3d ab a b a) b) 2a 3b 2c 3d cd c d 2 7a2 3ab 7c2 3cd 3a2 10b2 17ab 3c2 10d 2 cd c) d) 11a2 8b2 11c2 8d 2 7a2 b2 5ab 7c2 d 2 5cd Bài 5. (Mở rộng) Cho = . Chứng minh: a) = b) = c) = d) = e) = f) = Bài 6. Cho = = . Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a a) ( )3= b) b3 c3 d 3 d Bài 7. Cho = = . Chứng minh: = = . Bài 8. Cho a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) với a ≠ b ≠ c và a, b, c ≠ 0. Chứng minh rằng: = = . Bài 9. Chứng minh rằng: Nếu a+c = 2b & 2bd = c(b+d) thì = với b, d ≠ 0. Bài 10. Chứng minh rằng: Nếu a2 = bc thì = . Điều đảo lại cĩ đúng khơng? 2 2 Bài 11. Cho bốn số khác 0 là: a1, a2, a3, a4 thoả mãn a2 = a1.a3 và a3 = a2.a4 3 3 3 a1 a2 a3 a1 Chứng minh rằng: 3 3 3 a2 a3 a4 a4 an bn an bn Bài 12. Chứng minh rằng: Nếu = thì với n N. cn d n cn d n a2k b2k a2k b2k Bài 13. Chứng minh rằng: Nếu thì = . c2k d 2k c2k d 2k an bn n Bài 14. Từ ( ) = cn d n với n N suy ra: = nếu n là số tự nhiên lẻ & = nếu n là số tự nhiên chẵn. 2008 Bài 15. Chứng minh rằng: =( ) biết = = = = . 2 2 Bài 16. Chứng minh rằng: Nếu a b = thì = . c2 d 2 Bài 17. Cho k, m, n N*. Chứng minh rằng: Nếu k2 = m.n thì = . Bài 18. Cho = . Hãy chứng minh: a) = =
10. b) (a+2c).(b+d) = (a+c).(b+2d) 4 4 c) ( )4 = a b c4 d 4 Bài 19. Chứng minh: = biết rằng (a+b+c+d).(a-b-c+d) = (a-b+c-d).(a+b-c-d) Bài 20. Chứng minh: = (Đây là cách rút gọn hỗn số) HD: = = = . Dạng 2. Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau. 2.1. Phương pháp chung: +) Dạng bài tập này các em gặp rất nhiều, nĩ rất phong phú và đa dạng. Bài thường cho 2 dữ kiện, cũng cĩ khi chỉ cho 1 dữ kiện. Từ những mối quan hệ đĩ ta cĩ thể tìm được đáp án của bài, nhưng cũng cĩ thể phải biến đổi rồi mới sử dụng được. +) Cĩ thể sử dụng phương pháp ở dạng 1. +) Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp cĩ số mũ chẵn hoặc tích của 2 số, để tránh tìm ra số khơng thoả mãn yêu cầu của bài. Cũng lưu ý các trường hợp cĩ thể xảy ra để khơng bỏ xĩt những giá trị cần tìm.
11. 2.2. Một số ví dụ: Ví dụ 1. Tìm x, y khác 0 biết: a) = và 2x + 5y = 10 b) = - và 2x + 3y = 7 c) 21.x = 19.y và x – y = 4 d) = và x.y = 84 Bài này tương đối dễ, chỉ cần áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là tìm được ngay đáp số của bài; Nhưng trước tiên phải biến đổi tỉ lệ thức của bài một chút cho phù hợp với mối quan hệ cịn lại. Lời giải: a) Cĩ = = = = áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta cĩ: = = = = Do đĩ: +) = suy ra x = = +) = suy ra y = = Vậy: x = và y = b) Cĩ = - = Do đĩ: = = = Hay: +) = suy ra: 2x = x = - +) = suy ra: y = Vậy: x = - và y = c) 21.x = 19. y = Do đĩ: = = = = -2 Hay: +) = -2 x = -2.19 = -38 +) = -2 y = -2.21 = -42 Vậy: x = - 38 và y = - 42 d) = = = = = 4 Hay: +) = 4 x2 = 36 x = 6 +) = 4 y2 = 196 y = 14 Vậy: x = 6 và y = 14 hoặc x = - 6 và y = -14 * Cũng cĩ em làm cách khác: Cĩ = = mà xy = 84 ( x và y cùng dấu) nên . xy = . 84 x2 = 36 x = 6 và xy: = 84: y2 = 196 y = 14 Ví dụ 2. Tìm x, y, z biết: a) = ; = và 2x + 3y – z = 186 b) x : y : z = 3 : 5 (- 2) và 5x – y + 3z = 124 c) = = = Lời giải: a) Chắc chắn là phải sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nhưng lại chưa cĩ, hãy làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau. Cĩ: = =
12. = = Do đĩ: = = = = = = = 3 Hay: +) = 3 x = 3.15 = 45 +) = 3 y = 3.20 = 60 +) = 3 z = 3.28 = 84 Vậy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84 b) Tương tự như câu a): Cĩ x : y : z = 3 :5 : (- 2) = = Do đĩ, ta cĩ: = = = = = = = 31 Hay: +) = 31 x = 31.3 = 93 +) = 31 y = 31.5 = 155 +) = 31 z = 31.(-2) = -62 Vậy: x = 93 ; y = 155 ; z = -62. c) Bài chỉ cho dãy tỉ số bằng nhau chứ khơng cho thêm mối quan hệ khác như những bài trước. Khác những bài trước, học sinh thấy mới lạ. Vậy thì làm thế nào? Liệu cĩ làm xuất hiện mối quan hệ khác từ dãy tỉ số bằng nhau khơng? Cĩ: = = = = = 2 Suy ra: x+y+z = . Khi đĩ: y+z = - x ; x+z = - y ; x+y = - z Do đĩ: +) = 2 = 2 x = +) = 2 = 2 y = +) = 2 = 2 z = - Vậy: x = ; y = ; z = - . Ví dụ 3. Tìm các số x, y, z biết: = = và 5z – 3x – 4y = 50 Gặp bài này, các em khơng tránh khỏi băn khoăn: Tạo ra 5z, 3x, 4y bằng cách nào đây? Vì x cịn vướng -1, y vướng 3 và z vướng -5. Cứ bình tĩnh và làm như bình thường xem sao? Lời giải: Cĩ: = = & 5z – 3x – 4y = 50 = = & 5z – 3x – 4y = 50 = = = = = 2 Hay: +) = 2 x – 1 = 4 x = 5 +) = 2 y + 3 = 8 y = 5 +) = 2 z – 5 = 12 z = 17 Vậy: x = y = 5 ; z = 17 Ví dụ 4. Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a – b + c = 35 Đã cĩ dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để cĩ dãy tỉ số bằng nhau? Lời giải: Cĩ: 2a = 3b = 4c = = = = = Khi đĩ: = = = = = 7 Hay: +) = 7 a = 7.6 = 42 +) = 7 b = 7.4 = 28 +) = 7 c = 7.3 = 21
13. Vậy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21 Ví dụ 5. Tìm x biết: = Đầu bài thật đơn giản, nhưng làm như thế nào? Chỉ cĩ mỗi một mối quan hệ, cĩ thể làm triệt tiêu x được khơng? Lời giải: Cĩ: = = = = 4 Hay: = 4 x – 12 = 20 x = 20 + 12 x = 32 Vậy: x = 32. Ví dụ 6. Tìm a, b biết rằng: a) = và a2 – b2 = 36 b) = và ab = 48 Muốn sử dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì phải qua bước biến đổi đã: Phải làm xuất hiện được a 2, b2 ở câu a và tích ab ở câu b. Làm được điều đĩ thì coi như bài tốn đã được hồn thành 90%. Lời giải: a) Cĩ: = (a, b cùng dấu) Suy ra: = = = = 4 Hay: = 4 a2 = 100 a = 10 = 4 b2 = 64 b = 8 Vậy: a = 10 và b = 8 hoặc a = - 10 và b = - 8. b) Cĩ: = Suy ra: = = = = 4 Hay: = 4 a2 = 36 a = 6 = 4 b2 = 64 b = 8 Vậy: a = 6 và b = 8 hoặc a = - 6 và b = - 8. Ví dụ 7. Tìm x1, x2, x3, , x9 biết rằng: = = = = và x1 + x2 + x3 + + x9 = 90 Nhìn cĩ vẻ khĩ vì nhiều số chưa biết phải tìm quá. Khơng vấn đề gì, đã cĩ tính chất cuă dãy tỉ số bằng nhau đây rồi. Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta cĩ: = = = = = x x x 1 2 9 = 1 2 9 9 8 1 = 90 45 45 = 1 +) = 1 x1 = 9 + 1 = 10 +) = 1 x2 = 8 + 2 = 10 +) = 1 x3 = 7 + 3 = 10 +) = 1 x9 = 1 + 9 = 10 Vậy: x1 = x2 = x3 = = x9 = 10.
14. Ví dụ 8. a) Tìm phân số cĩ dạng tối giản biết = với a, b Z và b ≠ 0. b) Cho phân số . Tìm các số nguyên x, y sao cho = . Lời giải: a) = áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta cĩ: = = = = Phân số cần tìm cĩ dạng tối giản = nên phân số cần tìm cĩ dạng với k Z và k ≠ 0. b) Tương tự như câu a, nhưng tổng quát hơn. Cĩ: = = = Với = thì ta cĩ thể tìm được vơ số các số nguyên x, y thoả mãn. Ví dụ 9. Tìm x, y biết: a) = & x4 y4 = 16 b) = & x10 y10 = 1024 c) = = Bài này khĩ đây, số mũ to, cĩ 2 số chưa biết mà chỉ cĩ 1 mối quan hệ. Làm bằng cách nào, làm như thế nào? Lời giải: a) Cĩ thể đưa về số mũ nhỏ hơn khơng? Đưa về bài tốn đã biết cách làm cĩ được khơng? Cịn chần chừ gì nữa, cứ thử xem? Từ = suy ra: = = và x, y cùng dấu (1) Với x4 y4 = 16 xy = 2 (2) Kết hợp (1) và (2) ta cĩ: = = = = Hay: +) = x2 = 1 x = 1 +) = y2 = 4 y = 2 Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = - 1 và y = - 2 b) Cĩ sử dụng được cách làm như ở câu a khơng? Tại sao lại khơng thử xem? Chú ý đến dấu của x, y vì rất dễ kết luận thiếu giá trị cần tìm. Cĩ: = = = = = x2 x = Khi đĩ: x10y10 = (± )10.y10 = 1024 y20 = 210.1024 y20 = 220 y = 2 Do đĩ: x = 1 Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = –1 và y = –2 hoặc x = 1 và y = –2 hoặc x = –1 và y = 2 c) Câu này làm học sinh hoang mang bởi vị trí của x. Nhưng chính điều đĩ lại là chìa khố để mở cửa căn phịng chứa đáp án của bài.
15. Hãy gợi ý các em nhận về mối quan hệ giữa 2x +1, 3y – 2 và 2x + 3y – 1. Bây giờ thì bài lại trở thành quá đơn giản với những gì cĩ trong hành trang của các em. = = (1) = = = (2) Từ (1), (2) ta cĩ: 6x = 12 x = 2 thay vào (1) thì y = 3 Vậy: x = 2 và y = 3. Ví dụ 10. Tìm ba số x, y, z biết = = (1) và x2 + y2 + z2 = 14 Làm thế nào đây khi vừa cĩ mũ 3 lại cĩ cả mũ 2? Thường thì hạ bậc xuống thấp cho dễ tính, làm điều đĩ với bậc 2 ở đây là khơng thể, cịn bậc 3 thì sao? (1) = = Suy ra: = = = = = Hay: +) = x2 = 1 x = 1 +) = y2 = 4 y = 2 +) = z2 = 9 z = 3 Mà theo (1) thì x, y, z cùng dấu Nên: x = 1; y = 2; z = 3 hoặc x = –1; y = –2; z = –3. 2.3. Tiểu kết: Dạng bài tập này tương đối phức tạp, nếu khơng làm và trình bày cẩn thận thì rất dễ bị nhầm lẫn. Kiến thức thì khơng phải là quá khĩ nhưng rất cần đến khả năng quan sát và kĩ năng biến đổi. Cũng cần đến sự khéo léo đưa bài tốn về dạng quen thuộc đã biết cách làm ở dạng 1. 2.4. Bài tập tương tự: Bài 1. Tìm các số a, b, c, d biết: a) a : b : c : d = 15 : 7 : 3 : 1 và a – b + c – d b) 2a = 3b ; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30 c) 3a = 4b & b – a = 5 Bài 2. Tìm x1, x2, , xn–1, xn biết: = = = = và x1+x2+ +xn–1+xn = c (Với a1, a2, ,an–1, an khác 0 và a1+a2+ +an–1+an ≠ 0) Bài 3. Tìm a, b, c, d biết: a) = = = & a + b + c + d = 12. b) = = & a – 2b + 3c = 35. c) = ; = & a + b – c = 69. d) a = b = c & a – b = 15. e) = = & 2a + 3b – c = 95
16. Bài 4. Tìm x, y, z biết: x y a) và xy = 54 2 3 x y b) ; x2 – y2 = 4 với x, y > 0 5 3 x y y z c) ; và x + y + z = 92 2 3 5 7 d) 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95 x y z e) x y z y z 1 x z 1 x y 2 y z g) x và 4x – 3y + 2z 36 2 3 x 1 y 2 z 3 h) và x – 2y + 3z = 14 2 3 4 4 2 3 i) và xyz = 12 x 1 y 2 z 2 x2 y2 k) và x2 + y2 = 100 9 16 x 2 x 3 l) ; và x2 + y2 + z2 = 217 y 3 z 5 x 16 y 25 z 9 m) và 2x3 – 1 = 1 9 16 25 x y n) ; x2 – y2 = 81 với x, y > 0 5 4 x 2 p) và x2 + y2 = 208 y 3 Bài 5. Tìm x biết: x 2 x 4 x 3 5 x 1 x 2 a) b) c) x 1 x 7 x 5 7 x 2 x 3 x 18 x 17 72 x 3 d) e) x 4 x 16 x 18 5 Bài 6. Tìm a, b, c biết
17. a b c a) và 3a + b – 2c = 14 3 8 5 a 1 b 2 c 2 b) và a + 2b – c = 6 5 3 2 a b c c) và 5a + b – 2c = 28 10 6 21 a 1 b 2 c 3 d) và 2a + 3b – c = 50 2 3 4 12a 15b 20c 12a 15b 20c e) và a + b + c = 48 7 9 11 2a 3b 4c f) và a + b +c = 49 3 4 5 a b c g) và abc = 810 2 3 5 6 9 18 h) a b c và –a + b + c = –120 11 2 5 a b b c i) ; và 2a + 3b – c = 186 3 4 5 7 a b b c k) ; và 2a – 3b + c = 6 3 4 3 5 a 10 b 3 l) ; và a – b + c = 78 b 9 c 4 a 7 b 5 m) ; và 2a + 5b – 2c = 100 b 20 c 8 a 2 a 1 n) ; và a3 + b3 + c3 = 99 b 3 c 2 p) 3a = 2b ; 7b = 5c và a – b + c = 32 q) 5a = 8b = 20c và a – b – c = 3 Dạng 3. Tính giá trị biểu thức. 3.1. Phương pháp chung:
18. +) Đây là loại bài tập khĩ, địi hỏi học sinh phải huy động nhiều kiến thức và kĩ năng cũng như biết tổng hợp tri thức phương pháp đã học. Khả năng quan sát và dự đốn được sử dụng nhiều, liên tục, đồng thời với sự suy luận logic, sáng tạo +) Làm dạng bài tập này, học sinh rất cần đến sự xúc tác của giáo viên mỗi khi các em gặp bế tắc. Những lúc đĩ thì giáo viên chỉ cần gợi mở hướng đi cho học sinh bằng những câu hỏi mở
19. 3.2. Một số ví dụ: x y z Ví dụ 1. Cho x, y, z thoả mãn: với x, y, z khác 0. 2 5 7 Tính: P = x y z x 2y z Bài này tương đối khĩ khi thoạt nhìn, vì học sinh chẳng biết làm thế nào để tính được P đây? Cứ bình tĩnh quan sát đặc điểm của biểu thức P để tìm mối liên hệ giữa P và dãy tỉ số bằng nhau đã cho thì các em khơng chỉ tìm được một cách làm. x y z * Đặt = k (k khác 0) thì x = 2k , y = 5k , z = 7k 2 5 7 2k 5k 7k 4k 4 Khi đĩ: P = 2k 10k 7k 5k 5 Vậy: P = 4 5 * Hoặc cách khác: x y z x y z x y z Ta cĩ: suy ra x – y + z = 2x 2 5 7 2 5 7 4 x 2y z x 2y z x 2y z 5x Lại cĩ: suy ra x + 2y – z = 2 10 7 2 10 7 5 2 2x 4x 4 Do đĩ: P = 5x 5x 5 2 Vậy: P = 4 5 Ví dụ 2. Cho 3 tỉ số bằng nhau a ; b ; c . b c c a a b Tìm giá trị của mỗi tỉ số đĩ. Với bài này các em dễ dàng tìm ra đáp án: a = b = c = a b c = 1 b c c a a b (b c) (c a) (a b) 2
20. Và kết luận: Giá trị của mỗi tỉ số đã cho là 1 . 2 Nhưng chỉ cĩ thế thì lời giải bài tốn chưa được hồn thiện. Mà phải trình bày được như sau: a b c a b c a b c Cĩ: = = = (*) b c c a a b (b c) (c a) (a b) 2(a b c) +) Nếu a + b +c ≠ 0 thì a = b = c = a b c = 1 b c c a a b (b c) (c a) (a b) 2 +) Nếu a + b +c = 0 thì b + c = –a ; c + a = –b ; a + b = –c. a a b b c c Khi đĩ: = 1 ; 1 ; 1 b c a c a b a b c a b c c Hoặc: = = = 1 b c c a a b c Vậy: +) Nếu a + b +c ≠ 0 thì a = b = c = 1 b c c a a b 2 a b c +) Nếu a + b +c = 0 thì = = = 1 b c c a a b x y y z z t t x Ví dụ 3. Cho biểu thức: P = z t t x x y y z x y z t Tìm giá trị của biểu thức P biết: (*) y z t z t x t x y x y z Chỉ cần nhìn đầu bài thơi đã thấy sợ rồi. Làm thế nào để tính được giá trị của biểu thức P? Cĩ thể thấy dãy tỉ số bằng nhau (*) khá quen thuộc, nhưng P thì khơng. Liệu cĩ thể sử dụng các cách đã làm khơng? Sử lí (*) như thế nào đây? Lời giải: x y z t Cĩ: 1 1 1 1 y z t z t x t x y x y z x y z t x y z t x y z t x y z t Hay: y z t z t x t x y x y z +) Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z
21. x = y = z = t khi đĩ: P = 1 + 1 + 1 +1 = 4 +) Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = – (z + t) ; y + z = – (z + t) Khi đĩ: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – 4 Vậy: +) P = 4 khi x + y + z + t ≠ 0 +) P = – 4 khi x + y + z + t = 0 3.3. Tiểu kết: Dạng bài tập này gây tương đối nhiều khĩ khăn cho học sinh bởi sự suy luận logic và tính phức tạp của nĩ. Nhưng với vai trị gợi mở của giáo viên thì học sinh cĩ được cảm giác của người khám phá ra điều thú vị, cảm xúc của người chiến thắng. Điều đĩ chính là động lực kích thích các em, gây hứng khởi cho các em tiếp tục chinh phục những bài tiếp theo. 3.4. Bài tập tương tự: Bài 1. Cho A = x 2y 3z . Tính A biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3. x 2y 3z Bài 2. Cho các số A, B, C tỉ lệ với a, b, c. Tính giá trị biểu thức : Q = Ax By C ax by c Bài 3. Cho 4 tỉ số bằng nhau: a b c ; b c d ; c d a ; d a b d a b c Tìm giá trị của mỗi tỉ số trên. 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Bài 4. Cho dãy: a b c d a b b c c d d a Tìm giá trị của biểu thức: M = c d d a a b b c Dạng 4. Tốn đố: 4.1. Phương pháp chung: +) Loại bài tập này đầu bài được cho dưới dạng lời văn, sẽ khĩ khăn khi các em chuyển lời văn thành biểu thức đại số để tính tốn. +) Khi thể hiện đầu bài bằng bểu thức đại số được rồi thì việc tìm ra đáp án cho bài tốn là đơn giản vì các em đã làm thành thạo từ các dạng trước, nhưng đa số học sinh quên khơng trả lời cho bài tốn theo ngơn ngữ lời văn của đầu bài. Phải luơn nhớ rằng: Bài hỏi gì thì ta kết luận đấy! +) Lưu ý: Khi gọi kí hiệu nào đĩ là dữ liệu chưa biết thì học sinh phải đặt điều kiện và đơn vị cho kí hiệu đĩ - dựa vào đại lượng cần đặt kí hiệu. Và kết quả tìm được của kí hiệu đĩ phải được đối chiếu với điều kiện ban đầu xem cĩ thoả mãn hay khơng. Nếu khơng thoả mãn thì ta loại đi, nếu cĩ thoả mãn thì ta trả lời cho bài tốn. 4.2. Một số ví dụ: Ví dụ 1. Tìm phân số a biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và b vào mẫu của phân số thì giá trị phân số đĩ khơng đổi.
22. TÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau 2 Dựa vào yếu tố bài cho để lập dãy tỉ số bằng nhau. Lời giải: Theo bài: Nếu ta cộng thêm cùng một số x 0 vào tử và vào mẫu của phân số thì giá trị phân số khơng đổi . a a x a a x a x a x Ta cĩ: = = = = = 1 b b x b b x b x b x Vậy: a = 1. b Ví dụ 2. Tìm hai phân số tối giản. Biết hiệu của chúng là: 3 và các tử tỉ lệ 196 với 3; 5 và các mẫu tỉ lệ với 4; 7. Thật khơng đơn giản chút nào. Học sinh đọc bài xong thấy các dữ kiện bài cho cứ rối tung lên, phải làm sao đây? Giáo viên cĩ thể gỡ rối cho các em bằng gợi ý nhỏ: “Các tử tỉ lệ với 3; 5 cịn các mẫu tương ứng tỉ lệ với 4; 7 thì hai phân số tỉ lệ với: 3 và 5 ”. 4 7 Như vậy, học sinh sẽ giải quyết bài tốn ngay thơi ! Lời giải: Gọi hai phân số tối giản cần tìm là: x, y. Theo bài tốn, ta cĩ : x : y = 3 :5 và x – y = 3 . 4 7 196 x 21 3 = và x – y = y 20 196 Hay : x =y và x – y = 3 21 20 196 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta cĩ: 3 x =y = x y = 196 = 3 21 20 21 20 1 196 x 3 3 9 +) = x = .21 = . 21 196 196 28 y 3 3 15 +) = y = .20 = 20 196 196 49 Vậy: hai phân số tối giản cần tìm là: 9 và 15 . 28 49 Ví dụ 3. Tìm 1 số cĩ 3 chữ số, biết rằng số đĩ chia hết cho 18 và các chữ số của nĩ tỉ lệ với 1; 2; 3. Đọc đầu bài thì các em thấy ngắn, đơn giản, nhưng khi bắt tay vào tìm lời giải cho bài tốn thì các em mới thấy sự phức tạp và khĩ khăn. Vì để tìm được đáp án cho bài tốn này thì phải sử dụng linh hoạt kiến thức một cách
23. TÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau 3 hợp lí, lập luận logic từ những dữ kiện đầu bài cho và mối quan hệ giữa các yếu tố đĩ để tìm ra đáp án cho bài tốn. Lời giải: * Gọi 3 chữ số của số cần tìm là: a, b, c (đ/k: a, b, c N; 0 a, b, c 9 và a, b, c khơng đồng thời bằng 0) Ta cĩ 1 a+b+c 27. Vì số cần tìm  18 = 2.9 mà (2;9)=1 Nên a+b+c cĩ thể bằng 9; 18; 27 (1). a b c a b c a b c Ta cĩ: = = = a = 1 2 3 1 2 3 6 Vì a N* nên a + b + c  6 (2). Từ (1) và (2) suy ra: a + b + c = 18 Khi đĩ: a =b =c =a b c = 18 = 3 1 2 3 1 2 3 6 a +) = 3 a = 3.1 = 3 1 b +) = 3 b = 3.2 = 6 2 c +) = 3 c = 3.3 = 9 3 Mà số cần tìm  18 nên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số 6 . Vậy: số cần tìm là : 396 hoặc 936 . Ví dụ 4. Một cửa hàng cĩ 3 tấm vải, dài tổng cộng 126m. Sau khi họ bán đi 1tấm 2 vải thứ nhất, 2tấm vải thứ hai và 3tấm vải thứ ba, thì số vải cịn lại ở ba tấm 3 4 bằng nhau. Hãy tính chiều dài của ba tấm vải lúc ban đầu . Bài cho rất rõ ràng, dễ hiểu. Chỉ cần học sinh biểu diễn được số vải cịn lại ở mỗi tấm sau khi bán thì bài tốn trở nên đơn giản và rất dễ dàng. Lời giải: Gọi số mét vải của ba tấm vải lần lượt là a, b, c (m)(a ,b, c > 0) Số mét vải cịn lại ở tấm thứ nhất: 1 a (m) 2 Số mét vải cịn lại ở tấm thứ hai: 2 b (m) 3 Số mét vải cịn lại ở tấm thứ ba: 3 c (m) 4 Theo đề bài, ta cĩ: a + b + c = 126 và 1 a = 1 b = 1 c . 2 3 4 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta cĩ:
24. TÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau 4 a =b =c =a b c =126 =14 2 3 4 2 3 4 9 a +) =14 a = 14.3 = 28 2 b +) =14 b = 14.3 = 42 3 c +) =14 c = 14.4 = 56 4 Vậy: chiều dài của mỗi tấm vải lúc đầu lần lượt là: 28m, 42m, 56m. Ví dụ 5. Cĩ ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn sách. Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ thứ nhất sang tủ thứ 3 thì số sách ở tủ thứ 1, thứ 2, thứ 3 tỉ lệ với 16;15;14. Hỏi trước khi chuyển thì mỗi tủ cĩ bao nhiêu cuốn sách ? Bài này khá phức tạp ở chỗ: số lượng sách trong mỗi tủ trước và sau khi chuyển. Lời giải: * Gọi số quyển sách của tủ 1, tủ 2, tủ 3 lúc đầu là: a, b, c (quyển) (a, b, c N * và a, b, c < 2250). Thì sau khi chuyển ,ta cĩ: Tủ 1: a –100 (quyển) Tủ 2: b (quyển) Tủ 3: c + 100 (quyển) Theo đề bài ta cĩ :a 100 =b =c 100 và a + b + c = 2250. 16 15 14 a 100 b c 100 a 100 b c 100 2250 = = = = =50 16 15 14 16 15 14 45 a 100 +) =50 a –100 = 50.16 a = 800 + 100 = 900 (t/m) 16 b +) =50 b = 50.15 = 750 (t/m) 15 c 100 +) =50 c + 100 = 50.14 c = 700 – 100 = 600 (t/m) 14 Vậy: Trước khi chuyển thì: Tủ 1 cĩ : 900 quyển sách Tủ 2 cĩ : 750 quyển sách Tủ 3 cĩ : 600 quyển sách. Ví dụ 6. Cho tam giác ABC cĩ Â và Bˆ tỉ lệ với 3 và 15, Cˆ = 4Aˆ . Tính các gĩc của tam giác ABC. Đây là bài tốn cĩ nội dung hình học nhưng lại được giải bằng phương pháp đại số, thật đơn giản khi nhớ được dữ kiện cho dưới dạng ẩn là tổng các gĩc trong một tam giác bằng 1800 Lời giải: ˆ ˆ ˆ ˆ * Theo bài ta cĩ A =B và C = A 3 15 4 1
25. TÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau 5 Aˆ Bˆ Cˆ Hay : = = mà Â + Bˆ + Cˆ = 1800 (Tổng 3 gĩc trong một tam giác) 3 15 12 Nên theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta cĩ: Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ 1800 = = = = = 60 3 15 12 3 15 12 30 Aˆ +) =60 Â = 60 .3 = 180 3 Bˆ +) =60 Bˆ = 60 .15 = 900 15 Cˆ +) =60 Cˆ = 60 .12 = 720 12 Vậy các gĩc của tam giác ABC là : Â = 180 , Bˆ = 900 , Cˆ = 720 . Ví dụ7. Một khu vườn hình chữ nhật cĩ diện tích 300 m2, cĩ hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn. Quá dễ khi bài tốn này được viết dưới dạng biểu thức. Nhưng để lập được biểu thức thể hiện mối quan hệ theo đầu bài thì lại là cả một quá trình khơng đơn giản chút nào. Với lượng kiến thức và vốn hiểu biết cịn hạn chế của học sinh mới bước vào lớp 7 thì giáo viên cần tỉ mỉ dẫn dắt các em từng bước nhỏ để làm xuất hiện kiến thức quen thuộc mà các em đã biết. (?) Bài tốn yêu cầu tìm những yếu tố nào? * Chiều dài và chiều rộng của khu vườn. (?) Em hãy gọi những yếu tố chưa biết ấy bằng kí hiệu? * Gọi chiều dài khu vườn là x và chiều rộng khu vườn là y. (?) Đơn vị và điều kiện của x, y là gì ? * x (m) & y (m) (x > y > 0) (?) Theo đề bài: Hãy biểu diễn diện tích của vườn theo x, y và hai cạnh tỉ lệ với 4 & 3 được viết như thế nào ? * x.y=300 ; x = y 4 3 Rất nhiều học sinh khơng để ý đến sự tương ứng giữa x & y với 4 & 3 nên cĩ tỉ lệ thức: x = y . Giáo viên cần lưu ý đến điều đĩ! 3 4 (?) Tìm x,y. Đến đây đã trở thành bài tốn quen thuộc đối với các em, dễ dàng tìm ra kết quả: x = 20(m) (t/m) y = 15(m) (t/m) Vậy: chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đĩ là 20m và 15m.