Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 12 - Cực trị của hàm số

Nội dung text: Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 12 - Cực trị của hàm số

1. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 TRƯỜNG  THPT KIỂM TRA CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NĂM HỌC 2020 - 2021 TRẮC NGHIỆM Thời gian: 45 phút Câu 1. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên (a;b) và x0 Î (a;b). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. Nếu f ¢(x0 )= 0 thì hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 . B. Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì f ¢(x0 )= 0 . C. Nếu f ¢(x0 )= 0 và f ¢(x0 )> 0, " x Î (x0 ;b) và f ¢(x0 ) 0, " x Î (x0 ;b) và f ¢(x0 )< 0, " x Î (a; x0 )thì hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x0 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là lý thuyết về cực trị của hàm số. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Xem lại khái niệm cực trị. Lời giải Chọn C Câu 2. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x . A. 3. B. 2 . C. 1. D. 0 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm số điểm cực trị của hàm số y f x khi biết đồ thị. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Biết nhận dạng điểm cực trị của đồ thị. 3. HƯỚNG GIẢI: Đếm số điểm cực trị của đồ thị suy ra số điểm cực trị của hàm số. Lời giải Chọn A Hàm số có 3 điểm cực trị. 1 Câu 3. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 x2 x 1 bằng 3 TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 1
2. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT 5 2 2 10 10 2 2 5 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Khoảng cách giưa hai điểm cực trị. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 2 2 +) Độ dài đoạn thẳng AB xB xA yB yA . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Ta có y x2 2x 1. x 1 2 y 0 , suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là x 1 2 8 4 2 8 4 2 10 2 AB A 1 2; ; B 1 2; . Vậy . 3 3 3 Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình sau. Tìm điểm cực đại của hàm số trên. A. - 1. B. 1. C. 0 . D. 2 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Tìm cực trị của hàm số. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: + Định nghĩa cực trị của hàm số: Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0 K . Ta nói: x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa x0 sao cho a;b  K và f x f x0 ,x a;b \ x0 . Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f . x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa x0 sao cho a;b  K và f x f x0 ,x a;b \ x0 . Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f . + Điều kiện để hàm số đạt cực trị. Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 thì f ' x0 0 . Nếu f x 0 trên khoảng x0 h; x0 và f x 0 trên khoảng x0 ; x0 h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x . Nếu f x 0 trên khoảng x0 h; x0 và f x 0 trên khoảng x0 ; x0 h thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x . Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
3. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 3. HƯỚNG GIẢI: Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại x = 0 . 3 2 Câu 5. Dạng của đồ thị của hàm số bậc ba y ax bx cx d (a 0) trong trường hợp phương trình y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt là: y y x x O O A. Hình 1. B. Hình 2. y y x x O O C. Hình 3. D. Hình 4. Lời giải Chọn A 3 2 Vì hàm số bậc ba y ax bx cx d (a 0) trong trường hợp phương trình y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt nên đồ thị dạng Hình 1. Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để hàm số y x3 mx 2 có cực trị? A. 10. B. 11. C. 12. D. 9. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Tìm điều điện để hàm số bậc 3 có cực trị. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ + Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên khoảng K hoặc K \ x0. Nếu qua x0 , f x đổi dấu từ sang thì x0 là điểm cực đại của hàm số. Nếu qua x0 , f x đổi dấu từ sang thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số. + Hàm số bậc ba có 2 cực trị hoặc không có cực trị. + Hàm số y ax3 bx2 cx d , a 0 có hai điểm cực trị Phương trình y 0 có 2 2 nghiệm phân biệt y 0 (công thức tính nhanh của đạo hàm: y b 3ac ) + Hàm số y ax3 bx2 cx d , a 0 không có cực trị y 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất y 0 . 3. HƯỚNG GIẢI: TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 3
4. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT B1: Tính y và y . B2: Giải điều kiện y 0 . B3: Đối chiếu điều kiện và kết luận. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A y 3x2 m . y 12m . Hàm số y x3 mx 2 có cực trị khi và chỉ khi y 0 có hai nghiệm phân biệt 12m 0 m 0 mà m ¢ ;m  10;10 nên m 10; 9; 8; ; 1 . Vậy có 10 giá trị của m thỏa mãn điều kiện để bài. Trắc nghiệm: y x3 mx 2 3 2 Hàm số y x mx 2 có cực trị khi và chỉ khi y b 3ac 3m 0 m 0 mà m ¢ ;m  10;10 nên m 10; 9; 8; ; 1 . Vậy có 10 giá trị của m thỏa mãn điều kiện để bài. Câu 7. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. Trên đoạn  3;3 hàm số đã cho có mấy điểm cực trị? A. .4 B. . 2 C. . 5 D. 3 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là một bài toán xác định số điểm cực trị dựa vào đồ thị. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Với bảng biến thiên:  f x đổi dấu từ (dương) sang (âm) qua điểm x0 thì x0 là điểm cực đại.  f x đổi dấu từ (âm) sang (dương) qua điểm x0 thì x0 là điểm cực tiểu Với đồ thị hàm số:  Đồ thị “đi lên” rồi “đi xuống” thì đây là cực đại.  Đồ thị “đi xuống” rồi “đi lên” thì đây là cực tiểu. 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Quan sát sự thay đổi chiều biến thiên của đồ thị hàm số tại các điểm x 1, x 1 và x 3 Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị ta thấy, trên đoạn  3;3 hàm số có 3 điểm cực trị là x 1, x 1 và x 3 vì khi đi qua ba điểm này đồ thị hàm số thay đổi chiều biến thiên. Trang 4 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
5. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Câu 8. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ . Khẳng định nào sau đây đúng?: A. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì đạo hàm đổi dấu khi x đi qua x0 . B. Nếu đạo hàm đổi dấu khi x đi qua x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 . C. Nếu f x0 0 thì hàm số đạt cực trị tại x0 . D. Nếu f x0 f x0 0 thì hàm số không đạt cực trị tại x0 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: nhận biết về lí thuyết cực trị 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 3. HƯỚNG GIẢI: Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A 3 Câu 9. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 2 x x2 1 . Hỏi đồ thị hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán đếm số cực trị của hàm số biết biểu thức đạo hàm. Phương pháp: Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của đạo hàm. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: + Đạo hàm không đổi dấu qua nghiệm kép hoặc nghiệm bội chẵn nên hàm số không có cực trị tại những nghiệm đó. 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm nghiệm của đạo hàm. B2: Đếm số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ rồi kết luận số cực trị. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B 3 4  Ta có f x x 1 2 x x2 1 x 1 2 x x 1 . x 1  f x 0 x 1. x 2  Trong đó x 1 là nghiệm kép.  Vậy hàm số có hai cực trị. Câu 10. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ có đạo hàm f ' x như hình vẽ bên. TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 5
6. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A. x 1 B. x 1 C. x 2 D. x 2 Phân tích lời giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm cực trị của hàm số. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: + Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 + Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số f ' x ta có BBT của hàm số y f x như sau x 2 f x – 0 f x Dựa vào BBT ta có x 2 là điểm cực tiểu của hàmCT số. 1 Câu 11. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 mx2 m2 m 1 x đạt cực đại tại x 1. 3 A. m 0 . B. m 3 . C. m  . D. m 2 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0 . 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: ïì = ï f '(x0 ) 0 í ¾ ¾® x là điểm cực đại của f (x). ï 0 îï f ''(x0 ) 0 Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B  Ta có y x2 2mx m2 m 1. y 2x 2m . y 1 0 1 2m m2 m 1 0 m2 3m 0  Hàm số đạt cực đại tại x 1 y 1 0 2 2m 0 m 1 m 0 m 3 m 3 . m 1 1 Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y x2 m2 3m 2 x 2019m3 1 có một 2 điểm cực trị dương. Trang 6 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
7. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 m 2 A. . B. 2 m 1. C. m 2 . D. m 1. m 1 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa điều kiện. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm. B2: Dùng điều kiện về điểm cực trị để tìm m . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A 1  Hàm số y x2 m2 3m 2 x 2019m3 1 xác định trên ¡ và có 2 y x m2 3m 2  Ta có: y 0 x m2 3m 2 . 2 m 2  Hàm số có một điểm cực trị dương m 3m 2 0 . m 1 5 Câu 13. Số giá trị nguyên của m để hàm số y x3 x2 2x 1 m có giá trị cực đại và giá trị cực 2 tiểu trái dấu là A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tham số để hàm số có cực trị kèm giả thiết theo y . 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 2.1 Một số qui tắc tính đạo hàm: xn nxn 1 . u v u v . ku ku ( k là hằng số). 2.2 Hàm số y ax3 bx2 cx d có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và y x1 .y x2 0 . 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm y và giải phương trình y 0 hoặc tìm tham số để phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . B2: Tính y x1 , y x2 . B3: Giải điều kiện y x1 .y x2 0 và kết luận. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D  Ta có y 3x2 5x 2 ; TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 7
8. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT x 2 y 0 3x2 5x 2 0 1 . x 3  Với x 2 thì y 5 m . 1 73 Với x thì y m . 3 54 73  Hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu 5 m m 0 54 73 5 m . Do m ¢ nên m 4; 3; 2; 1;0;1 . 54  Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 14. Đồ thị của hàm số y x3 3x2 9x 1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB . A. P 1;0 . B. M 0; 1 . C. N 1; 10 . D. Q 1;10 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm đường thẳng nối hai điểm cực trị. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Phương trình đường thẳng AB có dạng d : y ax b a 0 . 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Lập bảng biến thiên cho hàm số y x3 3x2 9x 1 để tìm toạ độ của hai điểm A và B . B2: Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng d : y ax b a 0 . B3: Từ A d và B d lập thành hệ phương trình hai ẩn. B4: Giải hệ, từ đó ta được phương trình đường thẳng AB . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C  Ta có y x3 3x2 9x 1, TXĐ: D ¡ . 2 x 1 y 6  Suy ra y 3x 6x 9 , xét y 0 . x 3 y 26  Bảng biến thiên 3 2 A 1;6  Với A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3x 9x 1, suy ra . B 3; 26  Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng d : y ax b a 0 . 6 a b a 8  Ta có hệ phương trình . 26 3a b b 2 Trang 8 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
9. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020  Suy ra đường thẳng AB có phương trình y 8x 2 .  Vậy điểm N 1; 10 thuộc đường thẳng AB . x2 2x 2 Câu 15. Biết rằng đồ thị hàm số y có hai điểm cực trị là A và B . Phương trình của x 1 đường thẳng AB là A. x y 1 0. B. x y 1 0 . C. 2x y 2 0 . D. x y 2 0 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ ax2 bx c thị hàm số y . b x c 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Sử dụng công thức nhớ nhanh đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ax2 bx c 2ax b y là d : y . b x c b 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm tập xác định của hàm số. B2: Tính đạo hàm, chúng tỏ đạo hàm có hai nghiệm phân biệt, lập bảng biến thiên kết luận các điểm cực trị của đồ thị. B3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Lời giải Chọn C Tập xác định của hàm số D R \ 1 . x2 2x x 0 2 Đạo hàm y 2 ; phương trình y 0 x 2x 0 . (x 1) x 2 Bảng biến thiên hàm số Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(0; 2) và B(2; 2) , do vậy đường thẳng x y 2 AB : AB : 2x y 2 0 . 2 4 Vậy AB : 2x y 2 0 . 2 Câu 16. Hàm số f x xác định và liên tục trên ¡ và có đạo hàm f ' x 2 x 1 x 1 . Khi đó hàm số f x . A. Đạt cực tiểu tại điểm x 1. B. Đạt cực tiểu tại điểm x 1. C. Đạt cực đại tại điểm x 1. D. Đạt cực đại tại điểm x 1. TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 9
10. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm cực trị của hàm số. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Giả sử hàm số f bliên tục trên khoảng a;b chứa điểm x0 và có đạo hàm trên a;b hoặc a;b \ x0 - Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0 . - Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0 . 3. HƯỚNG GIẢI: Để tìm cực trị của hàm số y f x , ta thực hiện các bước như sau: - B1: Tìm tập xác định của hàm số. - B2: Tính y . Tìm các điểm mà tại đó y 0 hoặc y không xác định. - B3: Lập bảng xét dấu y - bảng biến thiên (tìm lim tại vô cùng, tại x0 mà y’ không xác định – giới hạn một bên). Từ đó kết luận các điểm cực trị của hàm số. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C 2 x 1 Ta có f ' x 0 2 x 1 x 1 0 . x 1 Bảng biến thiên của hàm số f x . . Suy ra hàm số đã cho đạt cực đại tại x 1. Câu 17. Cho hàm số y f x liên tục trên R có đồ thị f x như hình vẽ. y y= f' (x) O 2 x Số điểm cực tiểu của hàm số g x f x2 x là A. 1. B. 4 . C. 3. D. 2 . Phân tích hướng dẫn giải Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
11. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán: Cho hàm số y f x (Đề có thể cho bằng hàm, đồ thị, bảng biến thiên của f x , f ' x ). Tìm số điểm cực trị của hàm số y f u trong đó u là một hàm số đối với x 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ +) xo là điểm cực trị của hàm số g(x) nếu g (x) đổi dấu khi qua xo . +) Giả sử hàm số y f x đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu y f x có đạo hàm tại điểm x 0 thì f x0 0. + Số cực trị của hàm số là số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình: f x 0. 3. HƯỚNG GIẢI: Bước 1. Tính đạo hàm y ' u '. f ' u u ' 0 Bước 2. Giải phương trình y ' 0 f ' u 0 Bước 3.Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà y ' không xác định. Kết luận Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A  Ta có g x f x2 x g x 2x 1 f x2 x . 1 1 x x 2 2 2x 1 0 g x 0 2x 1 f x2 x 0 x2 x 0 x 1 . f x2 x 0 2 x x 2 x 0 2x 1 0 2 f x x 0  Do đó g x 0 2x 1 f x2 x 0 2x 1 0 2 f x x 0 1 1 x x 2 2 x2 x 2 x 1 x 0 2 x x 0 x 0 . 1 x 1 1 1 2 x x 2 2 2 0 x 1 0 x x 2  Bảng biến thiên TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 11
12. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT  Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu. Câu 18. Cho hàm số y x3 6x 2 9x 2 có đồ thị là C . Đường thẳng đi qua điểm A 1,1 và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của C là 1 3 1 3 A. y x 3 . B. y x . C. y x . D. x 2 y 3 0 . 2 2 2 2 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình đường thẳng liên quan đến phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: - Cho hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d, a 0 , nếu hàm số bậc ba có hai điểm cực trị thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị được xác định như sau: +) Thực hiện phép chia đa thức: y ax3 bx2 cx d cho y 3ax2 2bx c được thương là q x và phần dư là r x mx n , ta được: y y .q x r x Khi đó y mx n chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba. 3. HƯỚNG GIẢI: Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B 2 3 2 1 2 2  y 3x 12x 9 , y x 6x 9x 2 x 3x 12x 9 2x 4 3 3  Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của C có phương trình là y 2x 4 . 1  Đường thẳng vuông góc với y 2x 4 có phương trình y x b . 2 1 3  Đường thẳng qua A 1;1 suy ra 1 . 1 b b . 2 2 1 3  Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y x . 2 2 Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x12 (m 5)x7 (m2 25)x6 1 đạt cực đại tại x 0 ? A. 8 B. 9 C. Vô số D. 10 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm x0 cho trước. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điểm x0 là điểm cực trị của hàm số khi f x0 0 và f x đổi dấu khi đi qua x0 ,cụ thể: Điểm x0 là điểm cực đại của hàm số khi f x0 0 và Trang 12 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
13. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 f x đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x0 , điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số khi f x0 0 và f x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0 . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A  y ' 12x11 7(m 5)x6 6(m2 25)x5 .  m 5 y ' 12x11 . Khi đó y ' 0 x 0 là nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu của y’ đổi từ âm sang dương, nên x 0 là điểm cực tiểu của hàm số, do đó không thỏa mãn, m 5 loại.  m 5 y ' x6 (12x5 70) 0 x 0 là nghiệm bội chẵn, do đó y’ không đổi dấu khi đi qua x 0 , m 5 loại. 5 6 2 5  m 5 y ' x 12x 7(m 5)x 6(m 25) x .g(x) với g(x) 12x6 7(m 5)x 6(m2 25) , ta thấy x 0 không là nghiệm của g x . Để hàm số đạt cực đại tại x 0 thì y’ phải đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x 0 , xảy ra lim g(x) 0 x 0 2 khi và chỉ khi 6(m 25) 0 5 m 5. lim g(x) 0 x 0  m nguyên nên m 4; 3; ;3;4 . Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Câu 20. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f (x) m có đúng ba điểm cực trị? m 1 m 3 m 1 A. . B. . C. . D. 1 m 3. m 3 m 1 m 3 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán về cực trị của hàm chứa giá trị tuyệt đối. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: - Đồ thị của hàm y f (x) suy ra từ đồ thị của hàm y f (x) : Giữ nguyên phần đồ thị ở trên trục hoành, phần đồ thị bên dưới trục hoành lấy đối xứng lên trên. - Điểm cực trị của hàm số là những điểm thuộc tập xác định của hàm số mà tại điểm đó hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến hoặc ngược lại. 3. HƯỚNG GIẢI: - Vẽ được đồ thị y f (x) m , sau đó vẽ y f (x) m - Dựa vào đồ thị suy ra điều kiện cần có của m Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 13
14. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT Từ đồ thị hàm số y f (x) ta có bảng biến thiên của hàm số y f (x) m như sau  Trường hợp 1: 3 m 0 1 m 1 m 3 pt f (x) m 0 có 3 nghiệm a x1 b x2 c x3 và bảng biến thiên của hàm số y f (x) m như sau: Hàm số có 5 điểm cực trị, không thỏa mãn yêu câu đề bài  Trường hợp 2: 1 m 0 m 1 pt f (x) m 0 có 1 nghiệm c x3 và bảng biến thiên của hàm số y f (x) m như sau: Hàm số có 3 điểm cực trị.  Trường hợp 3: 3 m 0 m 3 pt f (x) m 0 có 1 nghiệm a x1 và bảng biến thiên của hàm số y f (x) m như sau: Hàm số có 3 điểm cực trị. Kết luận: m 1 hoặc m 3 Câu 21. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 y x 2m 3 x m 4 x m 8 có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn y x1 .y x2 0 . Tính tổng các phần tử của tập S . 4 22 A. 3. B. 3. C. . D. . 3 3 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán cực trị chứa tham số. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Trang 14 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
15. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 +) c 0 . +) xn nxn 1 . 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Tính đạo hàm của hàm số. Từ đó tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị. B2: Xác định điều kiện bài toán. B3: Giải điều kiện bài toán từ đó xác định các giá trị của tham số m . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D  Ta có y 3x2 2 2m 3 x m 4 .  Hàm số có hai điểm cực trị y 0 có hai nghiệm phân biệt 15 273 m 2 8 2m 3 3 4 m 0 4m 2 15m 3 0 . 15 273 m 8 3 2  Theo giả thiết y x1 .y x2 0 suy ra đồ thị hàm số y x 2m 3 x m 4 x m 8 tiếp xúc với trục hoành. x3 2m 3 x2 m 4 x m 8 0 có nghiệm kép. 2 x 1 x 2 m 2 x m 8 0 có nghiệm kép. x 1  Ta có x 1 x2 2 m 2 x m 8 0 . 2 x 2 m 2 x m 8 0  Trường hợp 1: phương trình x2 2 m 2 x m 8 0 có hai nghiệm phân biệt có một nghiệm x 1. 13 Với x 1 m . 3 x 1 13 14 11 Với m có phương trình x2 x 0 11 . 3 3 3 x 3 13 Do đó m thỏa mãn. 3  Trường hợp 2: Phương trình x2 2 m 2 x m 8 0 có nghiệm kép khác 1 m 2 2 m 8 0 m2 3m 4 0 m 1 13 13 . m m m 4 3 3 13  22 Do đó S ; 4;1 . Vậy tổng các phần tử của S là . 3  3 Câu 22. Cho hàm số y x3 m 3 x2 2m 9 x m 6 có đồ thị C . Tìm giá trị thực của tham số m để C có hai điểm cực trị và khoảng cách từ O đến đường thẳng nối hai điểm cực trị lớn nhất. TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 15
16. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT 3 2 3 2 A. m 6 . B. m 3 . C. m 3 6 2 . D. m 6 6 2 . 2 2 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng cực trị hàm số bậc ba chứa tham số có yếu tố hình học. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: a 0 a) Hàm số y ax3 bx2 cx d có hai cực trị y 0 b) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y ax3 bx2 cx d có phương trình: 2 b2 bc : y c x d 3 3a 9a c) Điểm cố định mà họ đường cong m. f (x; y) g(x; y) 0 luôn đi qua với mọi giá trị tham số f (x; y) 0 m là nghiệm của hệ phương trình: g(x; y) 0 3. HƯỚNG GIẢI: Tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị, sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị, từ đó tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách bằng cách xét điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A  y x3 m 3 x2 2m 9 x m 6 . Tập xác định D ¡ .  y ' 3x2 2 m 3 x 2m 9 .  Để hàm số có 2 điểm cực trị y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 2 2 ' m 3 3 2m 9 m 6 0 m 6 .  Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị trên là: 2 b2 bc 2m2 24m 72 2m2 24m 81  : y c x d x 3 3a 9a 9 9 2m2 24m y x 1 8x 9 9  Nhận thấy đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định là I 1;1 . O H I  Ta có: d O; OI 2 , dấu bằng xảy ra OI  . 2m2 24m 72  Đường thẳng có hệ số góc là: k , đường thẳng OI có hệ số góc là: 1 9 k2 1. 2m2 24m 72 12 3 2  OI  k .k 1 1 2m2 24m 72 9 m . 1 2 9 2 Trang 16 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
17. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Câu 23. Cho hàm số y x4 2mx2 1 m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm. A. m 1. B. m 2 . C. m 0 . D. m 1. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tham số trong phần cực trị của hàm bậc bốn trùng phương. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Hàm số bậc bốn trùng phương y ax4 bx2 c có ba điểm cực trị khi ab 0 . OB  AC  Gốc tọa độ O 0;0 là trực tâm tam giác khi và chỉ khi , với A, B , C là ba điểm OA  BC cực trị của đồ thị.  Đồ thị hàm số y ax4 bx2 c có ba cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực b3 8a 4abc 0 tâm khi . ab 0 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm điều kiện (*) cho m để hàm số có ba điểm cực trị. B2: Tìm tọa độ ba điểm cực trị B3: Dựa vào giả thiết cho tam giác là tam giác gì từ đó ta áp dụng tính chất của tam giác đó để thiết lập các phương trình có liên quan đến tham số m . B4: Giải các phương trình lập được suy ra giá trị của tham số m . B5: Kiểm tra các giá trị m tìm được với điều kiện (*) để chọn m phù hợp. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A  TXĐ: D ¡ . x 0 3 2 y 0  Ta có y 4x 4mx 4x x m . Cho 2 . x m  Hàm số có ba cực trị m 0 1 . Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: A 0;1 m , B m; m2 m 1 , C m; m2 m 1 .   OB m; m2 m 1 , AC m, m2  Ta có tam giác ABC cân tại A nên AO  BC    Do đó tam giác ABC nhận O làm trực tâm OB  AC OB.AC 0 4 3 2 3 2 m 0 m m m m 0 m m m m 1 0 . m 1  Kết hợp với 1 ta suy ra m 1. Cách 2 :  Đồ thị hàm số y ax4 bx2 c có ba cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực b3 8a 4abc 0 tâm khi . ab 0  Chứng minh công thức : TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 17
18. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT x 0 3 Ta có y 4ax 2bx , y 0 b . x 2a Hàm số có ba cực trị ab 0 . b b2 b b2 Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A 0;c , , B ; c C ; c 2a 4a 2a 4a  b b2  b b2 , OB ; c AC ; 2a 4a 2a 4a  Ta có tam giác ABC cân tại A nên AO  BC    Do đó tam giác ABC nhận O làm trực tâm OB  AC OB AC 0 2 2 2 b b b b b 3 c 0 1 c 0 b 8a 4abc 0 . 2a 4a 4a 2 4a  Áp dụng cho hàm số y x4 2mx2 1 m với a 1, b 2m , c 1 m . m 0  Ta có 3 m 1. 2m 8 4 2m 1 m 0 Câu 24. Cho hàm số bậc ba y f (x) có đồ thị của hàm đạo hàm y f '(x) như hình vẽ và f (b) 1; f (c) 2 . Số giá trị nguyên của m  5;5 để hàm số g(x) f 2 (x) 4 f (x) m 1 có đúng 5 điểm cực trị là A. 8. B. 10. C. 9. D. 7 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm điểm cực trị của hàm ẩn chứa giá trị tuyệt đối 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: + Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số: - Hàm số y f (x) gọi là đồng biến trên khoảng a;b nếu với mọi x1, x2 a;b mà x1 x2 thì f (x1) f (x2 ) - Hàm số y f (x) gọi là nghịch biến trên khoảng a;b nếu với mọi x1, x2 a;b mà x1 x2 thì f (x1) f (x2 ) - Hàm số y f (x) gọi là đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng a;b ta nói hàm số y f (x) đơn điệu trên khoảng a;b + Định lí: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K - Nếu f ' x 0 với mọi x K và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f đồng biến trên K . Trang 18 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
19. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 - Nếu f ' x 0 với mọi x K và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f nghịch biến trên K . + Định nghĩa cực trị của hàm số: Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0 K . Ta nói: f x  - x0 là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng a;b chứa 0 sao cho a;b K và f x f x0 ,x a;b \ x0 . Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f  - x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa x0 sao cho a;b K và f x f x0 ,x a;b \ x0 . Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f . + Sự tương giao: Cho hàm số y = f (x),(C1); y = g(x),(C2 ) Xét phương trình: f (x)= g(x),(*) Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị (C1)&(C2 ) 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Lập bảng biến thiên của hàm số y f x B2: Tìm điểm cực trị của hàm số h(x) f 2 (x) 4 f (x) m 1 và sự tương giao của hàm số y h x với trục hoành B3: Xét sự tương giao của đồ thị hàm số t(x) f 2 (x) 4 f (x) và đường thẳng y m 1 Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A  Ta có bảng biến thiên của hàm số y f x  Xét hàm số h(x) f 2 (x) 4 f (x) m 1 Ta có h'(x) 2 f (x) f'(x) 4 f '(x) f '(x) 0 x a; x b Khi đó: h'(x) 2 f (x)f'(x) 4 f '(x) 0 f (x) 2 x c a Vậy h'(x) 0 có 3 nghiệm phân biệt, suy ra h x có 3 điểm cực trị.  Xét h(x) 0 f 2 (x) 4 f (x) 1 m (∗).  Để g(x) f 2 (x) 4 f (x) m 1 có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi PT (∗) có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt.  Xét hàm số t(x) f 2 (x) 4 f (x) . f '(x) 0 x a; x b Ta có t'(x) 2 f (x)f'(x) 4 f '(x) 0 f (x) 2 x c a Ta có t(c) 4;t(b) 5  Ta có bảng biến thiên của t(x): TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 19
20. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT Từ YCBT t(x) m 1 có hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt m 1 t(a) 5 m 6 4 m 1 5 6 m 3 m  5;5;m ¢ m 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2 . Vậy có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 25. Cho f ( x) là hàm đa thức bậc 6 sao cho đồ thị hàm số y f ( x) như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số y g(x) f x2 4x 5 . A. 2. B. 5. C. 3. D. 1. Phân tích Lời giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm cực trị của hàm hợp khi biết đồ thị của hàm số 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 3. HƯỚNG GIẢI: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm g f u x , giả sử ta được tập xác định D a ;a  a ;a   a ;a 1 2 3 4 n 1 n . Ở đây có thể là a1  ; a n  . Bước 2: Xét sự biến thiên của u u x và hàm y f ( x) (B2 có thể làm gộp trong B3 nếu nó đơn giản). Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa x;u u x và u;g f (u). Bảng này thường có 3 dòng giả sử như sau Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Trang 20 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
21. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Chọn C Cách 1: PP tự luận truyền thống  Đầu tiên ta nhận xét tại x 3 và x 4 đồ thị f x tiếp xúc trục O x nên ta có x 2 f x 0 x 3 trong đó x 3 , x 4 là nghiệm kép. x 4  Ta có y g(x) f x2 4x 5 , nên x 2 g x 2x 4 f x2 4x 5 0 . 2 f x 4x 5 0 t 2  Xét phương trình f t 0 t 3 ,ta loại hai nghiệm t 3 và t 4 do nghiệm kép t 4 không là điểm cực trị.  Từ t 2 ; x 2 4 x 5 2 x 1  x 3 .  Tóm lại hàm số g x có ba điểm cực trị là x 1; x 2; x 3 . Cách 2: (PP ghép trục) BBT cùa hàm số y f x  Đặt u x 2 4 x 5  u 2x 4 u 0 x 2 u 1  BBT của u  BBT của hàm số y g(x) f x2 4x 5 f u  Vậy hàm số y g(x) f x2 4x 5 có ba điểm cực trị. TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 21