Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 12 - Chuyên đề: Khối cầu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 12 - Chuyên đề: Khối cầu

1. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 TRƯỜNG  THPT CHUYÊN ĐỀ KHỐI CẦU NĂM HỌC 2020 - 2021 XXXXXX Thời gian: 45 phút Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x3 3x2 2 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3. Ta thực hiện các bước sau: B1: Tập xác định. B2: Sự biến thiên. B3: Đồ thị. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các dạng đồ thị hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d a 0 Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải  Tập xác định: D ¡ .  Sự biến thiên: Chiều biến thiên: 2 x 0 y ' 3x 6x 0 x 2 Giới hạn vô cực: lim (x3 3x2 2) x TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 1
2. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT lim (x3 3x2 2) x Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2) và ( 2; ) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;0) Hàm số đạt cực đại tại xCD 2 , yCD 2 Hàm số đạt cực tiểu tại xCT 0, yCT 2 .  Đồ thị: Câu 2. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào? Lời giải  Đồ thị hàm số trên có dạng y = ax 4 + bx2 + c suy ra y ' = 4ax 3 + 2bx .  Đồ thị đi qua các điểm A 2; 5 , B (0;- 1) và y '(2) = 0. ì ï 1 ïì 16a + 4b- 1 = - 5 ïì 16a + 4b = - 4 ï a = ï ï ï 4  Suy ra: íï c = - 1 Û íï c = - 1 Û íï b = - 2. ï ï ï ï 32a + 4b = 0 ï 32a + 4b = 0 ï c = - 1 îï îï ï îï 1  Suy ra y = x 4 - 2x2 - 1. 4 ax 1 Câu 3. Xác định a , b , c để hàm số y có đồ thị như hình vẽ bên? bx c Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
3. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 y 2 O 1 x Lời giải b a Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x và tiệm cận ngang y . c b b 1 c b c 0 b c 0 a 2b 2 a Dựa vào đồ thị ta có 2 a 2b a 2b b c 1 . b 1 c 1 c 1 ax 1 1 M 0;1 C : y c bx c Câu 4. Khảo sát dự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = - x3 + 3x2 + 1 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba. - Tìm tập xác định. - Tính y¢, giải phương trình y¢= 0 tìm các nghiệm. - Kết luận về tính đơn điệu và cực trị. - Tính lim y, lim y . x® + ¥ x® - ¥ - Lập bảng biến thiên. - Vẽ đồ thị. 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm tập xác định. B2: Khảo sát hàm số. B3: Vẽ đồ thị hàm số. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Tập xác định: D = ¡ . éx = 0 y¢= - 3x2 + 6x; y¢= 0 Û ê ëêx = 2 Hàm số đồng biến trong khoảng (0;2), nghịch biến trong các khoảng (- ¥ ;0) và (2;+ ¥ ). Hàm số đạt cực đại tại x = 2Þ yCÑ = 5, đạt cực tiểu tại x = 0Þ yCT = 1 lim y = - ¥ ; lim y = + ¥ x® + ¥ x® - ¥ Bảng biến thiên TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 3
4. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT Vẽ đồ thị: Câu 5. Giả sử hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị như hình bên dưới. Hãy tìm a , b , c . Lời giải  Ta có: y' 4ax3 2bx . y 0 c 1 a 1  Nhìn vào đồ thị, ta có: y 1 a b c 0 b 2 . c 1 y' 1 2a b 0 x 1 Câu 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y . x 1 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số nhất biến. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: nêu kiến thức về hàm nhất biến: TxĐ, BBT, Đồ thị Ta nhớ các bước: (a). Tìm tập xác định; (b). Xét sự biến thiên-xác định các đường tiệm cận; (c). Vẽ đồ thị. Trang 4 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
5. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Lời giải + Điều kiện x- 1¹ 0 Û x ¹ 1. Tập xác định D = ¡ \ {1}. - 2 + Ta có y¢= < 0, " x Î D . Suy ra, hàm số giảm trên từng khoảng xác định. (x- 1)2 + Vì lim y = 1 và lim y = - ¥ nên y = 1 là đường tiệm cận ngang và x = 1 là đường tiệm x® ± ¥ x® 1- cận đứng. Tính giới hạn rồi mới suy ra TCĐ + Đồ thị Câu 7. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình bên. Xác định dấu các hệ số a , b , c . Lời giải  Dựa vào đồ thị, nhánh cuối đi xuống a 0 . b  Hoành độ tâm đối xứng x 0 b 0 . 0 3a c  Ta có y 3ax2 2bx c . Gọi x , x là hoành độ cực trị x x 0 0 c 0. 1 2 1 2 3a Câu 8. Cho hàm số y ax4 bx2 c ( a 0) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Xác đinh dấu của a, b, c. y 2 1 -1 O 1 x -1 TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 5
6. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT Lời giải  Ta thấy nhánh bên phải của đồ thị hướng lên nên a 0 .  Ta thấy đồ thị giao với trục tung tại điểm 0;c . Từ đồ thị ta thấy được c 0 . a 0  Đồ thị có 1 cực trị nên ta có: a.b 0 . Do b 0 . ab 0  Vậy a 0,b 0,c 0. ax 1 Câu 9. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ. Hãy xác định các hệ số a,b . 2x b Lời giải a  Đồ thị hàm số có tiệm cân ngang y 1 1 a 2 . 2 b  Đồ thị hàm số có tiệm cân đứng x 1 1 b 2 . 2 3 2 Câu 10. Gọi y1, y2 lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y x 3x 9x 4 . Tính P y1.y2. Lời giải  Tập xác định: D ¡ .  Ta có: y 3x2 6x 9 2 x 1 y 0 3x 6x 9 0 x 3 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên suy ra y1 9; y2 23 . Vậy P y1.y2 23.9 207 . Trang 6 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
7. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Câu 11. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x1 0 và đạt 2 cực đại tại điểm x2 . Tính giá trị biểu thức P x2 2020x1 . Lời giải Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại điểm x1 1 và đạt cực đại tại điểm x2 0 2 Khi đó P x2 2020x1 2020 . Câu 12. Cho hàm số y x3 3x2 m . Tìm m sao cho hàm số có hai cực trị là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 26 . Lời giải 2 x 0  Ta có: y 3x 6x , y 0 , hàm số có hai cực trị lần lượt là x 2 y1 y 0 m, y2 y 2 m 4 .  Yêu cầu bài toán tương đương với y1 0 m 0 m 4 m 4 y2 0 m 4 0 m 1 m 5 . m2 4m 5 0 2 2 2 y y 26 2 m 5 1 2 m m 4 26 Vậy với m 5 bài toán thỏa mãn. 4 3 2 Câu 13. Đồ thị của hàm số y 3x 4x 6x 12x 1 đạt cực tiểu tại M x1; y1 . Tính tổng x1 y1 ? Lời giải y 12x3 12x2 12x 12 ; 3 2 2 x 1 y 0 x x x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 Lập bảng biến thiên, ta thu được điểm cực tiểu là M 1; 10 x1 y1 11. Câu 14. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên khoảng 3;0 bằng bao nhiêu? y 2 -3 -2 -1 O -2 TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 7
8. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy max f x 2 x 2 . 3;0 Câu 15. Cho hàm số f (x)= ax 4 + bx 2 + c (a ¹ 0) có bảng biến thiên như sau æ 1 5ö Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên ç- ; ÷. èç 2 4ø÷ Lời giải  f 0 1 c 1  f ' 1 0 4a 2b 0  f 1 3 a b c 3 a b 4 a 4;b 8 5 111 1 5  f f x 1,x ; 4 64 2 4 Vậy min f (x)= - 1 çæ 1 5÷ö ç- ; ÷ èç 2 4ø÷ Câu 16. Cho hàm số f x ax4 bx3 cx d có đồ thị như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) f (x 2) ? Lời giải Cách 1: Từ đồ thị hàm số y f (x) ta thấy hàm số có các điểm cực trị là x 0, x 1, x 2. Ta có: g(x) f (x 2) g (x) f (x 2) x 2 0 x 2 g (x) 0 f (x 2) 0 x 2 1 x 1 x 2 2 x 0 Vậy phương trình g x 0 có 3 nghiệm và g đổi dấu qua các nghiệm đó nên hàm số g(x) f (x 2) có 3 điểm cực trị. Cách 2: Tịnh tiến đồ thị hàm số y f (x) theo véctơ v ( 2;0) ta được đồ thị hàm số g(x) f (x 2) . Do đó số điểm cực trị của hàm số g(x) f (x 2) bằng số điểm cực trị của hàm số y f (x) . Vậy hàm số g(x) f (x 2) có 3 điểm cực trị. Trang 8 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
9. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Câu 17. Từ đồ thị (C) của hàm số y x3 3x2 3 , vẽ đồ thị (G) của hàm số y x3 3x2 3 Lời giải f x khi f x 0 Ta có y f x f x khi f x 0 Suy ra G C  C với C là phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành y 0 , 1 2 1 C còn C2 là phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành y 0 C Câu 18. Gọi S là tập hợp các điểm cực trị của hàm số g x x4 8x3 22x2 24x 6 2 . Tổng giá trị các phần tử của S là Lời giải Số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x f x bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x cộng số giao điểm (khác điểm cực trị) của đồ thị hàm số y f x với trục hoành. Xét hàm số y f x x4 8x3 22x2 24x 6 2 . Ta có f x 4x3 24x2 44x 24 . x 1 Khi đó . f x 0 x 2 x 3 Bảng biến thiên của hàm số y f x TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 9
10. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số y f x có 3 cực trị và phương trình f x 0 có bốn nghiệm phân biệt là x1 ; x3 ; x5 ; x7 thỏa mãn x1 x2 1 x3 x4 2 x5 x6 3 x7 . Đồng thời x1 ; x3 ; x5 ; x7 là nghiệm của phương trình f x 0 nên theo Định lí Viet ta có x1 x3 x5 x7 8. Vậy S có 7 phần tử với tổng các giá trị là x1 x3 x5 x7 x2 x4 x6 8 1 2 3 14 . 1 Câu 19. Cho hàm số y = f (x)= x3 + x- 2 có đồ thị (C) như hình sau 3 Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị hàm số y = f (x- 2). Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Biến đổi đồ thị. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Từ đồ thị (C): y = f (x) suy ra đồ thị (C¢): y = f (x + k), k Î ¡ . Phương pháp: Tịnh tiến đồ thị (C) sang phải (theo phương Ox ) k đơn vị nếu k 0 . 3. HƯỚNG GIẢI: Tịnh tiến đồ thị đã cho sang phải (theo phương Ox ) 2 đơn vị. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải  Dạng đồ thị y = f (x + k) với k = - 2 < 0 .  Tịnh tiến đồ thị đã cho sang phải (theo phương Ox ) 2 đơn vị. Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
11. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Câu 20. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ sau. Hãy xác định đồ thị của hàm số y f x 2 . Lời giải  Theo định lý về tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ, ta có đồ thị của hàm số y f x 2 được xác định bằng cách dịch chuyển đồ thị của hàm số y f x sang phải 2 đơn vị.  Từ đó ta có đồ thị của hàm số y f x 2 như sau : Câu 21. Cho hàm số f x ax3 bx2 cx d a, b, c, d ¡ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m đề phương trình 2 f x m 0 có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. Lời giải  Gọi tâm mặt cầu là I a;b;0 Oxy . m  Ta có: 2 f x m 0 f x . 2  f x là hàm chẵn nên đồ thị như hình sau: TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 11
12. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT  Từ đồ thị ta có phương trình 2 f x m 0 có 4 nghiệm phân biệt khi: m 1 3 2 m 6 . 2 Câu 22. Hình vẽ bên là đường biểu diễn đồ thị hàm số y x 3 3x 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3x 2 3 m x3 có hai nghiệm thực phân biệt. Lời giải x 1 2 3x 3 0  Ta có: 3x 2 3 m x3 x 1 2 3 3x 3 m x 3 2 x 3x m 3 1  Số nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn x ; 11; chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 3x 2 và đường thẳng y m 3 trên ; 11; .  Dựa vào đồ thị ta có: phương trình 3x 2 3 m x3 có hai nghiệm thực phân biệt khi 2 m 3 4 1 m 1. Câu 23. [Mức độ 4] Cho hàm số y f (x) xác định liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm k để phương trình f (x2 2x) k là có năm nghiệm phân biệt trên 0;4 Trang 12 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
13. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Lời giải Đặt t x2 2x , ta có t ' 2x 2 , từ đồ thị của hàm số f (x) đã cho ta có f (0) 1, f (1) f ( 1) 2 và f (8) m 2 . Ta có bảng biến thiên của các hàm như sau: Qua bảng ta thấy phương trình f (t) k f (x2 2x) k có 5 nghiệm phân biệt thì 1 k 2 Câu 24. Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập số thực ¡ và có đồ thị f x như hình vẽ. Hãy tìm điểm cực đại của hàm số g x 2 f x x2 . Lời giải TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 13
14. ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN THPT  Ta có: g x 2 f x 2x 0 f x x .  Vẽ đường thẳng y x trên cùng hệ trục với đồ thị hàm số y f x . Từ đồ thị ta thấy: đường thẳng y x và đồ thị hàm số y f x có 4 điểm chung có hoành độ lần lượt là - 1; 0; 1; 2 .  Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số g x như sau  Suy ra hàm số g x đạt cực đại tại điểm xCD 1. Câu 25. Cho hàm số y f x ax4 bx3 cx2 dx 3 a,b,c,d ¡ . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm hàm số y = f (x), biết f (2)= 11. Lời giải  Đạo hàm: y¢= f ¢(x)= 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d (1). éx = 1 ê  Dựa vào đồ thị ta thấy f ¢ x = 0 Û êx = 0 . ( ) ê ê ëx = - 1  Nên f ¢(x)= m(x- 1)(x + 1)x = mx3 - mx (2) Trang 14 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
15. NHÓM WORD  BIÊN SOẠN TOÁN ĐỀ THI THỬ:2019-2020 ïì 4a = m ï ì b = 0 ï ï ï 3b = 0 ï  Từ (1) và (2), ta có: í Þ íï c = - 2a . ï 2c = - m ï ï îï d = 0 îï d = 0  Suy ra f (x)= ax4 - 2ax2 + 3.  f (2)= 11Û 8a = 8 Û a = 1.  Vậy hàm số cần tìm là y = x4 - 2x2 + 3 . TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang 15