Ôn luyện Toán 10 (Kết nối tri thức ) - Chương VIII, Bài 25: Nhị thức Newton - Huỳnh Văn Ánh

Nội dung text: Ôn luyện Toán 10 (Kết nối tri thức ) - Chương VIII, Bài 25: Nhị thức Newton - Huỳnh Văn Ánh

1. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP G VIII ĐẠI SỐ TỔ HỢP CHƯƠN BÀI 25: NHỊ THỨC NEWTON I LÝ THUYẾT. = Ở lớp 8, khi học về hằng đẳng thức, ta đã biết khai triển: = 2 2 2 = a b a 2ab b ; I a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3. Quan sát các đơn thức ở vế phải của các đẳng thức trên, hãy nhận xét về quy luật số mũ của a n và b . Có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức trong khai triển a b khi n 4;5 không? Sơ đồ hình cây của ( + )4 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 a b C4 a C4a b C4 a b C4 ab C4 b a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 4 Ví dụ 1: Khai triển 2x 1 . Lời giải 4 Thay a 2x và b 1 trong công thức khai triển của a b , ta được: Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 387 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
2. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP 2x 1 4 2x 4 4 2x 3 1 6 2x 2 12 4 2x 13 14 16x4 32x3 24x2 8x 1 4 Ví dụ 2: Khai triển x 2 . Lời giải 4 Thay a x và b 2 trong công thức khai triển của a b , ta được: x 2 4 x4 4 x3  2 6 x2  2 2 4 x  2 3 2 4 x4 8x3 24x2 32x 16 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 a b C5 a C5a b C5 a b C5 a b C5 ab C5 b a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5 Ví dụ 3: Khai triển x 3 5 Lời giải 5 Thay a x và b 3 trong công thức khai triển của a b , ta được: (x 3)5 x5 5 x4 3 10 x3 32 10 x2 33 5 x 34 35 . x5 15x4 90x3 270x2 405x 243 Ví dụ 4: Khai triển 3x 2 5 Lời giải 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 3x 2 C5 3x C5 3x 2 C5 3x 2 C5 3x 2 C5 3x 2 C5 2 243x5 2430x4 1080x3 720x2 240x 32 Ví dụ 5: a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của 1 0,05 4 để tính giá trị gần đúng của 1,054 . b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,054 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a Lời giải 4 0 4 1 3 1 a) 1 0,05 C4 1 C41 0,05 1 0,2 1,2 b) Cách bấm: 1.05^4= Hiển thị Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 388 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
3. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a là 0,01550625. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA. 8.12. Khai triển các đa thức: a) x 3 4 ; b) 3x 2y 4 ; c) x 5 4 x 5 4 ; d) x 2y 5 8.13. Tìm hệ số của x4 trong khai triển của 3x 1 5 5 5 8.14. Biểu diễn 3 2 3 2 dưới dạng a b 2 với a,b là các số nguyên. 8.15. a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của 1 0,02 5 để tính giá trị gần đúng của 1,025 . b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,025 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a. 8.16. Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r% a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số 5 r dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là P 800 1 (nghìn người). 100 b) Với r 15% , dùng hai số hạng đầu trong khai triển của 1 0,015 5 , hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người). Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 389 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
4. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP TỔNG QUÁT VỀ CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN 1. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON n Khai triển a b được cho bởi công thức sau: Với a,b là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có n n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n a b Cn a b Cn a Cna b Cn a b Cn b . 1 k 0 Quy ước a0 b0 1 Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton). Trong biểu thức ở VP của công thức (1) a) Số các hạng tử là n 1. b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n. c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. k n k k d) Số hạng thứ k (số hạng tổng quát) của khai triển là: Tk 1 Cn a b . 2.HỆ QUẢ n 0 1 n Với a b 1, thì ta có 2 Cn Cn Cn . 0 1 k k n n Với a 1; b 1, ta có 0 Cn Cn 1 Cn 1 Cn 3. CÁC DẠNG KHAI TRIỂN CƠ BẢN NHỊ THỨC NEWTON n 0 n 1 n 1 2 n 2 k n k n 1 n ✓ x 1 Cn x Cn x Cn x Cn x Cn x Cn n 0 1 2 2 k k n 1 n 1 n n ✓ 1 x Cn Cn x Cn x Cn x Cn x Cn x n 0 1 2 2 k k k n 1 n 1 n 1 n n n ✓ x 1 Cn Cn x Cn x 1 Cn x 1 Cn x 1 Cn x k n k ✓ Cn Cn ✓ Ck Ck 1 Ck 1, n 1 n n n 1 k.n! n n 1 ! ✓ k.C k nC k 1 n n k !k! n k ! k 1 ! n 1 1 k.n! n n 1 ! 1 ✓ C k C k 1 k 1 n k 1 n k !k! n 1 n k ! k 1 ! n 1 n 1 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 390 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
5. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. = 4 Dạng= 1. Khai triển biểu thức dạng a b =I 1 PHƯƠNG PHÁP. = Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton với n 4 ta có = a b 4 C 0a4 C1a3b C 2a2b2 C3ab3 C 4b4 . =I 4 4 4 4 4 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = Câu 1. (NB) Khi khai triển nhị thức Newton x y 4 ta thu được bao nhiêu hạng tử. = 4 Câu=I 2. (NB) Khai triển nhị thức Newton 1 x . Câu 3. (NB) Khai triển nhị thức Newton x 2 4 . Câu 4. (NB) Khai triển nhị thức Newton x 1 4 . Câu 5. (TH) Khai triển nhị thức Newton 2x y 4 . Câu 6. (TH) Khai triển nhị thức Newton x 3y 4 . 4 2 1 Câu 7. (TH) Khai triển nhị thức Newton x . x 4 1 Câu 8. (TH) Khai triển nhị thức Newton x 2 . x 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 9. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của a b 4 có bao nhiêu số hạng? A. 6 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Câu 10. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2x 3 4 có bao nhiêu số hạng? A. 6 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Câu 11. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của a b 4 , số hạng tổng quát của khai triển là k 1 k 5 k k 4 k k k 1 5 k k 1 k 4 k 4 k A. C4 a b . B. C4 a b . C. C4 a b . D. C4 a b . Câu 12. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2x 3 4 , số hạng tổng quát của khai triển là k k 4 k 4 k k 4 k k 4 k k 4 k k 4 k k k 4 k 4 k A. C4 2 3 .x . B. C4 2 3 .x .C. C4 2 3 .x .D. C4 2 3 .x . Câu 13. Tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 2x 4 . A. 1. B. 1. C. 81. D. 81. Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 391 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
6. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Câu 14. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 3x 4 , số hạng thứ 2 theo số mũ tăng dần của x là A. 108x . B. 54x2 . C. 1. D. 12x . Câu 15. Tìm hệ số của x2 y2 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của x 2y 4 . A. 32 .B. 8 .C. 24 . D. 16. Câu 16. Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của P x 4x2 x x 2 4 . A. 28x2 .B. 28x2 . C. 24x2 .D. 24x2 . 3 2 3 Câu 17. Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn An 2An 48. Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 3x n . A. 108 .B. 81.C. 54 .D. 12 . 4 1 3 Câu 18. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của x . x A. 1. B. 4 . C. 6 . D. 12. Dạng 2. Khai triển biểu thức dạng a b 5 . 1 PHƯƠNG PHÁP. = Sử dụng công thức: a b 5 C 0 a5 C1a4b1 C 2 a3b2 C3a2b3 C 4 a1b4 C5b5 = 5 5 5 5 5 5 5 4 1 3 2 2 3 1 4 5 a=I 5a b 10a b 10a b 5a b b 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = 5 Câu= 1: Khai triển biểu thức a b . Câu=I 2: Khai triển biểu thức (x 1)5 . 5 Câu 3: Khai triển biểu thức x 1 . 5 Câu 4: Khai triển biểu thức x 2 . 5 Câu 5: Khai triển biểu thức 2x y . 5 Câu 6: Khai triển biểu thức x 3y . 5 Câu 7: Khai triển biểu thức 2x 3y . 5 Câu 8: Khai triển biểu thức 2x 3y . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 392 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
7. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức newton (x + 1)5 . 5 4 3 2 A. x + 5x + 10x + 10x + 5x + 1.B. x5 - 5x4 - 10x3 + 10x2 - 5x + 1. C. x5 - 5x4 + 10x3 - 10x2 + 5x- 1.D. 5x5 + 10x4 + 10x3 + 5x2 + 5x + 1. Câu 2: Viết khai triển theo công thức nhị thức newton (x- y)5 . A. x5 - 5x4 y + 10x3 y2 - 10x2 y3 + 5xy4 - y5 B. x5 + 5x4 y + 10x3 y2 + 10x2 y3 + 5xy4 + y5 C. x5 - 5x4 y - 10x3 y2 - 10x2 y3 - 5xy4 + y5 D. x5 + 5x4 y - 10x3 y2 + 10x2 y3 - 5xy4 + y5 . Khai triển của nhị thức x 2 5 . Câu 3: A. x5 - 100x4 + 400x3 - 800x2 + 800x- 32 . B. 5x5 - 10x4 + 40x3 - 80x2 + 80x- 32. C. x5 - 10x4 + 40x3 - 80x2 + 80x- 32 . D. x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32 . Câu 4: Khai triển của nhị thức (3x + 4)5 là A. x5 + 1620x4 + 4320x3 + 5760x2 + 3840x + 1024. B. 243x5 + 405x4 + 4320x3 + 5760x2 + 3840x + 1024. C. 243x5 - 1620x4 + 4320x3 - 5760x2 + 3840x- 1024 . D. 243x5 + 1620x4 + 4320x3 + 5760x2 + 3840x + 1024 . Câu 5: Khai triển của nhị thức (1- 2x)5 là A. 5- 10x + 40x2 - 80x3 - 80x4 - 32x5 . B. 1+ 10x + 40x2 - 80x3 - 80x4 - 32x5 . C. 1- 10x + 40x2 - 80x3 - 80x4 - 32x5 . D. 1+ 10x + 40x2 + 80x3 + 80x4 + 32x5 . Câu 6: Đa thức P (x)= 32x 5 - 80x 4 + 80x 3 - 40x 2 + 10x - 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây? 5 5 5 5 A. (1- 2x) . B. (1+ 2x) . C. (2x - 1) . D. (x - 1) . Câu 7: Khai triển nhị thức (2x + y)5 . Ta được kết quả là A. 32x5 + 16x4 y + 8x3 y2 + 4x2 y3 + 2xy4 + y5 . B. 32x5 + 80x4 y + 80x3 y2 + 40x2 y3 + 10xy4 + y5 . C. 2x5 + 10x4 y + 20x3 y2 + 20x2 y3 + 10xy4 + y5 . D. 32x5 + 10000x4 y + 80000x3 y2 + 400x2 y3 + 10xy4 + y5 . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 393 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
8. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Câu 8: Đa thức P(x)= x5 - 5x4 y + 10x3 y2 - 10x2 y3 + 5xy4 - y5 là khai triển của nhị thức nào dưới đây? A. (x- y)5 . B. (x + y)5 . C. (2x- y)5 . D. (x- 2y)5 . æ 1ö5 Câu 9: Khai triển của nhị thức çx- ÷ là èç xø÷ 10 5 1 10 5 1 A. x5 + 5x3 + 10x + + + . B. x5 - 5x3 + 10x- + - . x x3 x5 x x3 x5 10 5 1 10 5 1 C. 5x5 - 10x3 + 10x- + - . D. 5x5 + 10x3 + 10x + + + x x3 x5 x x3 x5 Câu 10: Khai triển của nhị thức (xy + 2)5 là A. x5 y5 + 10x4 y4 + 40x3 y3 + 80x2 y2 + 80xy + 32 . B. 5x5 y5 + 10x4 y4 + 40x3 y3 + 80x2 y2 + 80xy + 32. C. x5 y5 + 100x4 y4 + 400x3 y3 + 80x2 y2 + 80xy + 32 . D. x5 y5 - 10x4 y4 + 40x3 y3 - 80x2 y2 + 80xy - 32 . Dạng 3. Xác định một hệ số hay một số hạng trong khai triển của bậc 4 hay bậc 5: 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = Câu= 1: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển 2x 1 4 . Câu=I 2: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển 2 3x 5 . Câu 3: Tìm số hạng chứa x trong khai triển (3x- 2)4 . Câu 4: Tính tổng các hệ số trong khai triển 1 2x 5 . 5 3 3 1 Câu 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển x ( với x 0 ). x 4 x 4 Câu 6: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển với x 0 . 2 x 4 3 Câu 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2x với x 0 . x 4 1 1 Câu 8: Tìm số hạng chứa 2 trong khai triển 2x 2 , x 0 . x x 4 2 1 Câu 9: (VD). Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2x 2 . x Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 394 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
9. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1 2 Câu 10: (VD). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 15. Tìm số hạng không chứa x trong khai n 2 triển x 4 . x n 2 n Câu 11: (VD). Cho khai triển 1 2x a0 a1x a2 x an x thỏa mãn a0 8a1 2a2 1. Tìm giá trị của số nguyên dương n. Câu 12: (VDC). Tìm hệ số của x10 trong khải triển thành đa thức của (1 x x2 x3 )5 n 3 2 2 Câu 13: (VDC). Tìm số hạng có hệ số nguyên trong khai triển thành đa thức của x biết n là 2 3 0 2 4 2n số nguyên dương thỏa mãn: C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 1024 n Câu 14: (VDC) Tìm số hạng chứa x 2 trong khai triển của biểu thức P x 3 x x2 với n là số A3 nguyên dương thỏa mãn C 2 n 12. n n 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 15: Khai triển theo công thức nhị thức Newton x y 4 . A. x4 4x3 y 4x2 y2 4xy3 y4 . B. x4 4x3 y 4x2 y2 4x1 y3 y4 . C. x4 4x3 y 4x2 y2 4x1 y3 y4 . D. x4 4x3 y 4x2 y2 4x1 y3 y4 . Câu 16: Đa thức P x 32x5 80x4 80x3 40x2 10x 1 là khai triển của nhị thức nào? A. 1 2x 5  B. 1 2x 5  C. 2x 1 5  D. x 1 5  5 Câu 17: Trong khai triển 2a b , hệ số của số hạng thứ 3 bằng: A. 80 B. 80 C. 10 D. 10 5 Câu 18: Tìm hệ số của đơn thức a3b2 trong khai triển nhị thức a 2b . A. 160 B. 80 C. 20 D. 40 4 Câu 19: Số hạng chính giữa trong khai triển 3x 2y là: A. C 2 x2 y2 .B. 6 3x 2 2y 2 . C. 6C 2 x2 y2 . D. 36C 2 x2 y2 . 4 4 4 4 3 3 3 Câu 20: Biết 1 2 a0 a1 2 a2 4 . Tính a1a2 A. a1a2 24 .B. a1a2 8 . C. a1a2 54 . D. a1a2 36 . 4 2 Câu 21: Số hạng chứa x trong khai triển x , x 0 là số hạng thứ mấy ? x A. 5 .B. 3 .C. 2 . D. 4 . 5 3 1 Câu 22: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức x 2 . x Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 395 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
10. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Câu 23: Cho a là một số thực bất kì. Rút gọn 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 M C4 a C4a 1 a C4 a 1 a C4 a 1 a C4 1 a . A. M a4 . B. M a . C. M 1. D. M 1. n 2 n Câu 24: Giả sử có khai triển 1 2x a0 a1x a2 x an x . Tìm a4 biết a0 a1 a2 31. A. 80 .B. 80 . C. 40 . D. 40 . n Câu 25: Biết hệ số của x2 trong khai triển của 1 3x là 90 . Khi đó ta có 3n4 bằng A. 7203. B. 1875. C. 1296. D. 6561. n 2 3 1 0 1 2 Câu 26: Tìm hệ số của x trong khai triển : f x x 2 , với x 0 , biết: Cn Cn Cn 11. x A. 20. B. 6. C. 7. D. 15. n 2 3 2 Câu 27: Tìm hệ số của x trong khai triển : f x x 2 , với x 0 , biết tổng ba hệ số đầu của x x trong khai triển bằng 33. A. 34. B. 24. C. 6. D. 12. n 7 3 2 Câu 28: Tìm hệ số của x trong khai triển : f x x 2 , với x 0 , biết tổng ba hệ số đầu của x x trong khai triển bằng 33. A. 34. B. 24. C. 6. D. 12. n n i Câu 29: Cho khai triển: 3x 5 ai x . Tính tổng S a0 a1 a2 an 1 . i 0 0 1 2 n n Biết : Cn 2Cn 4Cn 2 Cn 243 . A. 3093. B. 3157. C. 3157. D. 3093. 3n 3 Câu 30: Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 2 n n f x x 1 x 2 . Tìm n để a3n 3 26n . A. n 11. B. n 5. C. n 12. D. n 10 n 2 n Câu 31: Cho khai triển: 1 2x a0 a1x a2x an x , biết n thỏa mãn a0 8a1 2a2 1. Tìm hệ số lớn nhất của khai triển. A. 160. B. 80. C. 60. D. 105. k Dạng 4. Tính tổng của các tổ hợp Cn k n 5;k,n ¥ và ứng dụng (nếu có). 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = Câu 1: (NB) Tính tổng sau S C 0 C1 C10 . = 10 10 10 Câu 2: (NB) Tính tổng sau S C1 C 2 C5 . =I 6 6 6 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 396 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
11. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP 0 1 2 2 6 6 Câu 3: (NB) Tính tổng sau S C6 2.C6 2 .C6 2 C6 . 0 1 2 11 12 Câu 4: (NB) Tính tổng sau S C12 C12 C12 C12 C12 . 2 0 1 n Câu 5: (TH) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn n 6n 7 0 . Tính tổng S Cn Cn Cn . Câu 6: (TH) Cho đa thức P x 1 x 8 . Tính tổng các hệ số của đa thức P x . 1 2 2 3 19 20 Câu 7: (TH) Tính tổng sau S C20 2C20 2 .C20 2 C20 . 0 2 4 20 Câu 8: (TH) Tính tổng sau S C20 C20 C20 C20 . 1 2018 2 2017 2 3 2016 3 2018 1 2018 2019 2019 Câu 9: Tính tổng: S C2019.3 .2 C2019.3 .2 C2019.3 .2 C2019 .3 .2 C2019 .2 0 2021 1 2010 2 2019 2 3 2018 3 2020 1 2020 Câu 10: Tính tổng: S C2021.4 C2021.4 .2 C2021.4 .2 C2021.4 .2 C2021 .4 .2 * 7 0 8 1 9 2 10 3 2n 6 2n 1 2n 7 2n Câu 11: Cho n ¥ , tính tổng S 2 C2n 2 C2n 2 C2n 2 C2n 2 C2n 2 C2n . 0 1 2 n Câu 12: Cho n là số tự nhiên. Hãy tính tổng sau: S C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 0 1 2 n Câu 13: Cho n là số tự nhiên. Thu gọn biểu thức S 3Cn 7Cn 11Cn 4n 3 Cn theo n . 1 1 1 1 Câu 14: Rút gọn biểu thức S 1.0!.2019! 2.1!2018! 3.2!.2017! 2020.2019!.0! 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 0 1 3 4 n Câu 1: (NB) Tổng T Cn Cn Cn Cn Cn bằng A. 2n 1 B. 2n 1 C. 2n D. 0 0 2 4 Câu 2: (NB) Với n 4, tổng T Cn Cn Cn bằng A. 22n 1 B. 2n 1 C. 2n D. 2n 1. 0 1 2 k k n n Câu 3: (NB) Tổng T Cn Cn Cn 1 Cn 1 Cn bằng A. 2n 1 B. 2n 1 C. 2n D. 0 . 1 3 5 Câu 4: (NB) Với n 4, tổng T Cn Cn Cn bằng A. 22n 1 B. 2n 1 C. 2n D. 2n 1. k k 1 Câu 5: (NB) Biểu thức P Cn Cn bằng k 1 k k k A. Cn 1 B. Cn 1 C. Cn 1 D. Cn . 7 8 9 Câu 6: (TH) Cho n là số nguyên dương thỏa mãnCn Cn Cn 1 . Giá trị của số n bằng A. 16 B. 24. C. 18. D. 17. n 1 n Câu 7: (TH) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn 4 Cn 3 8 n 2 . A. 14 B. 13 C. 16 D. 15 1 2 n Câu 8: (TH) Cho n là số nguyên dương thỏa mãnCn Cn Cn 4095. Giá trị của n bằng A. 14 B. 16 C. 13 D. 12 0 2 4 2k 2n Câu 9: (TH) Tổng T C2n C2n C2n C2n C2n bằng A. 2n 1 B. 22n 1 C. 22n 1 D. 22n Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 397 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
12. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1 3 5 2021 n Câu 10: (TH) Cho T C2022 C2022 C2022 C2022 . Tính biểu thức T 2 thì n bằng A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2020 0 1 2 n Câu 11: Tính tổng Cn + Cn + Cn + + Cn. ta được kết quả là: A. 3n B. 2n C. n! D. 2n 1 0 1 2 n n Câu 12: Tính tổng Cn Cn + Cn + + 1 Cn. ta được kết quả là: A. 0 B. 2n C. 2n 1 D. 2n 1 0 2 4 2n Câu 13: Tính tổng C2n + C2n + C2n + + C2n ta được kết quả là: A. 2n 1 B. 2n C. 22n 1 D. 22n 1 20 2 40 Câu 14: Xét khai triểm 1 2x x a0 a1x a40 x . Tổng S a0 a1 a40 là: A. 440 B. 220 C. 240 D. 410 0 2 1 2 2 2 n 2 Câu 15: Tính tổng (Cn ) + (Cn ) + (Cn ) + + (Cn ) ta được kết quả là: n 2n 2 2n 1 2n A. C2n B. C2n C. 2 D. 2 n 1 0 n 2 1 n 3 2 2 n 1 n 1 Câu 16: Tính tổng n.2 .Cn + n -1 .2 .3.Cn + n - 2 .2 .3 .Cn + + 3 .Cn ta được kết quả là: A. 5n B. n.5n C. n.5n 1 D. 5n 1 C2 C3 C n Câu 17: Tính tổng C1 n n n n ta được kết quả là: n 2 1 3 2 n 1 Cn Cn Cn n n 1 n n 1 A. 3n B. 2n C. D. 2 2 Dạng 5. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của x x 4 , x x 5 để tính gần đúng và ứng dụng (nếu có). 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = Câu 18: Viết khai triển lũy thừa x x 5 = n 4 Câu=I 19: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa x x để tính gần đúng số 6,01 Câu 20: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa x x n để tính gần đúng số 2022,02 5 Câu 21: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa x x n để tính gần đúng số 4,98 5 Câu 22: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa x x n để tính gần đúng số 1999,99 4 Câu 23: Tìm giá trị gần đúng của x , biết 9 x 5 59705,1 khi ta dùng 2 số hạng đầu tiên trong khai triển 9 x 5 . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 398 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
13. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Câu 24: Một người có 500 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 7,2% / năm. Với giả thiết sau mỗi tháng người đó không rút tiền thì số tiền lãi được nhập vào số tiền ban đầu. Đây được gọi là n hình thức lãi kép. Biết số tiền cả vốn lẫn lãi T saun tháng được tính bởi công thức T T0 1 r , trong đó T0 là số tiền gởi lúc đầu và r là lãi suất của một tháng. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu – tơn, tính gần đúng số tiền người đó nhận được (cả gốc lẫn lãi) sau 6 tháng Câu 25: Một người có T0 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 7,2% / năm. Với giả thiết sau mỗi năm người đó không rút tiền thì số tiền lãi được nhập vào số tiền ban đầu. Đây được gọi là n hình thức lãi kép. Biết số tiền cả vốn lẫn lãi T sau n năm được tính bởi công thức T T0 1 r , trong đó T0 là số tiền gởi lúc đầu và r là lãi suất của một năm. Sau 4 năm người đó nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi số tiền 386400000 đồng khi dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu – tơn. Tính gần đúng số tiền người đó đã gởi lúc đầu. 4 5 Câu 26: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa x x n để so sánh 3,01 và 2,1 . Câu 27: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa 2 3x 4 để ước lượng giá trị gần đúng 4 của x (làm tròn sau dấy phẩy hai chữ số), biết 2 3x 12,8. 5 Câu 28: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa T 1 a 2 để ước lượng giá trị gần đúng của T theo a . Câu 29: Một người có 100 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 6,8% / năm. Với giả thiết sau mỗi năm người đó không rút tiền thì số tiền lãi được nhập vào số tiền ban đầu. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu – tơn, tính số tiền người đó thu được (cả gốc lẫn lãi) sau 4 năm. Câu 30: Số dân ở thời điểm hiện tại của một tỉnh là 1 triệu người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh đó là 5% . Sử dụng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa a b n , hỏi sau bao nhiêu năm thì số dân của tỉnh đó là 1,2 triệu người? Câu 31: Ông A có 800 triệu đồng và ông B có 950 triệu đồng gửi hai ngân hàng khác nhau với lãi suất lần lượt là 7% / năm và 5% / năm. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Niu – tơn, ước lượng sau bao nhiêu năm thì số tiền của hai ông thu được là bằng nhau và mỗi người nhận được bao nhiêu tiền? 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 4 4 Câu 1: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 1,01 .Tìm số đó? A. 1,04 .B. 1,0406 . C. 1,040604 . D. 1.04060401. 5 5 Câu 2: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 2,01 . Tìm số đó? A. 32.808 . B. 32,80804 . C. 32,8 . D. 32,8080401. 4 4 Câu 3: Dùng ba số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 1,02 . Tìm số đó? A. 1,08. B. 1.0824. C. 1,08243. D. 1,082432 . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 399 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
14. CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP 5 5 Câu 4: Dùng ba số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 2,03 . Tìm số đó? A. 34,473.B. 34,47 . C. 34,47308. D. 34,473088. 5 5 Câu 5: Dùng bốn số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 1,03 . Tìm số đó? A. 1,15.B. 1,1592. C. 1,159274. D. 1,15927407 . 4 4 Câu 6: Dùng bốn số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 4,001 . Tìm số đó? A. 256,2560963 .B. 256,25 .C. 256,256 . D. 256,256096 . 5 5 Câu 7: Dùng ba số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 1,0002 . Tìm số đó? A. 32,02.B. 32,024. C. 32,0240072. D. 32,024007 . 5 5 Câu 8: Dùng bốn số hạng đầu tiên trong khai triển x x để tính gần đúng số 4,0002 . Tìm số đó? A. 1024,25 .B. 1024,256026 . C. 1024,25602 . D. 1024,256 . 0 1 2 2 14 14 15 15 Câu 9: Tính giá trị của H C15 2C15 2 C15 2 C15 2 C15 A. 315 .B. 315 . C. 1. D. 1. 20 0 19 1 18 2 2 19 19 20 20 Câu 10: Tính giá trị của K 3 C20 3 .4.C20 3 .4 .C20 3.4 .C20 4 .C20 . A. 720 .B. 720 .C. 1.D. 1 5 Câu 11: Trong khai triển biểu thức F 3 3 2 số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là A. 8 B. 60 C. 58 D. 20 Câu 12: Nếu một người gửi số tiền A vào ngân hàng theo thể thức lãi kép (đến kỳ hạn mà người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kỳ kế tiếp) với lãi suất r mỗi kì thì sau N kì, số tiền người ấy thu được cả vốn lẫn lãi là C = A(1 + r)N (triệu đồng). Ông An gửi 20 triệu đồng vào ngân hàng X theo thể thức lãi kép với lãi suất 8,65% một quý. Hãy dùng ba số hạng đầu trong khai triển 1 0,0865 5 tính sau 5 quý (vẫn tính lãi suất kì hạn theo quý), ông An sẽ thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu (giả sử lãi suất hằng năm của ngân hàng X là không đổi) ? A. 30.15645 triệu đồng.B. 30.14645 triệu đồng. C. 30.14675 triệu đồng. D. 31.14645 triệu đồng. n Câu 13: Để dự báo dân số của một quốc gia người ta sử dụng công thức S A 1 r , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc, 푆 là dân số sau 푛 năm, là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, r 1,5% . Năm 2015 dân số của một quốc gia là 212.942.000 người. Dùng ba số hạng đầu trong khai triển 1 0,015 5 ta ước tính được số dân của quốc gia đó vào năm 2020 gần số nào sau đây nhất ? A. 229391769 nghìn người.B. 329391769 nghìn người . C. 229391759 nghìn người.D. 228391769 nghìn người. Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 400 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn