Ôn luyện Toán 10 (Kết nối tri thức ) - Chương VII, Bài 22: Ba đường conic (Tự luận) - Huỳnh Văn Ánh

Nội dung text: Ôn luyện Toán 10 (Kết nối tri thức ) - Chương VII, Bài 22: Ba đường conic (Tự luận) - Huỳnh Văn Ánh

1. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ G VII TRONG MẶT PHẲNG CHƯƠN BÀI 22. BA ĐƯỜNG CONIC I LÝ THUYẾT. = 1. ELIP= = - Cho hai điểm cố định và phân biệt F1 , F2 . Đặt F1F2 2c 0 . Cho số thực a lớn hơn c . Tập hợp các điểm M sao cho MF MF 2a được gọi là đường elip . Hai điểm F , F được gọi là I 1 2 1 2 hai tiêu điểm và F1F2 2c được gọi là tiêu cự của elip đó. - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm x2 y2 của đọan thẳng nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình 1, với a b 0 . 2 a2 b2 Ngược lại, mỗi phương trình có dạng 2 đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm F a2 b2 ;0 , F a2 b2 ;0 , tiêu cự 2c 2 a2 b2 và tổng các khoảng cách từ mỗi 1 2 điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a . - Phương trình 2 được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng. x2 y2 *Tính chất và hình dạng của Elip: Cho elip có phương trình chính tắc 1, với a b 0 . a2 b2 ● Trục đối xứng O x , O y ● Tâm đối xứng O . ● Tiêu điểm F1 c;0 , F2 c;0 . ● Tọa độ các đỉnh A1 a;0 , A2 a;0 , B1 0; b , B2 0;b . ● Độ dài trục lớn 2a. Độ dài trục bé 2b. ● Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở có kích thước là 2a và 2b. c ● Tâm sai e 1. a a a ● Hai đường chuẩn x và x . e e Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 340 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
2. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ● M x; y E . Khi đó MF1 a ex : bán kính qua tiêu điểm trái. MF2 a ex: bán kính qua tiêu điểm phải. 2. HYPEBOL Trên mặt phẳng, nếu hai thiết bị đặt tại các vị trí F1 , F2 nhận được một tín hiệu âm thanh cùng lúc thì vị trí phát ra tín hiệu cách đều hai điểm F1 , F2 , và do đó, nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng F1F2 . Cho hai điểm phân biệt cố định F1 , F2 . Đặt F1F2 2c . Cho số thực dương a nhỏ hơn c . Tập hợp các điểm M sao cho MF1 MF2 2a được gọi là đường hypebol . Hai điểm F1 , F2 được gọi là hai tiêu điểm và F1F2 2c được gọi là tiêu cự của hypebol đó. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm x2 y2 của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình 1, với a,b 0 . a2 b2 Ngược lại, mỗi phương trình có dạng 4 đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm F a2 b2 ;0 , F a2 b2 ;0 , tiêu cự 2x 2 a2 b2 và giá trị tuyệt đối của hiệu các 1 2 khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a . Phương trình được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng. 3. PARABOL Cho một điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi qua F . Tập hợp các điểm M cách đều F và được gọi là đường parabol . Điểm F được gọi là tiêu điểm, được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến được gọi là tham số tiêu của parabol đó. Xét P là một parabol với tiêu điểm F , đường chuẩn . Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên . Khi đó, trong hệ trục tọa độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF , tia Ox trùng với tia OF , parabol P có phương trình y2 2 px 5 Phương trình 5 được gọi là phương trình chính tắc của parabol P . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 341 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
3. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Ngược lại, mỗi phương trình dạng 5 , với p 0, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu p p điểm F ;0 và đường chuẩn : x . 2 2 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BA ĐƯỜNG CONIC. TÍNH CHẤT QUANG HỌC Tương tự gương cầu lồi thường đặt ở những khúc đường cua, người ta cũng có những gương elip, hypebol, parabol. Tia sáng gặp các gương này, đều được phản xạ theo một quy tắc được xác định rõ bằng hình học, chẳng hạn: • Tia sáng phát ra từ một tiêu điểm của elip, hypebol sau khi gặp elip, hypebol sẽ bị hắt lại theo một tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại . • Tia sáng hướng tới một tiêu điểm của elip, hypebol , khi gặp elip, hypebol sẽ bị hắt lại theo một tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại . • Với gương parabol lõm, tia sáng phát ra từ tiêu điểm khi gặp parabol sẽ bị hắt lại theo một tia vuông góc với đường chuẩn của parabol . Ngược lại, nếu tia tới vuông góc với đường chuẩn của parabol thì tia phản xạ sẽ đi qua tiêu điểm của parabol. Tính chất quang học được đề cập ở trên giúp ta nhận được ánh sáng mạnh hơn khi các tia sáng hội tụ và giúp ta đổi hướng ánh sáng khi cần. Ta cũng có điều tương tự đối với tín hiệu âm thanh, tín hiệu truyền từ vệ tinh. MỘT SỐ ỨNG DỤNG Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 342 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
4. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Ba đường conic xuất hiện và có nhiều ứng dụng trong khoa học và trong cuộc sống, chẳng hạn: • Tia nước bắn ra từ đài phun nước, đường đi bổng của quả bóng là những hình ảnh về đường parabol; • Khi nghiêng cốc tròn, mặt nước trong cốc có hình elip. Tương tự, dưới ánh sáng mặt trời, bóng của một quả bóng, nhìn chung, là một elip; • Ánh sáng phát ra từ một bóng đèn Led trên trần nhà có thể tạo nên trên tường các nhánh hypebol; • Nhiều công trình kiến trúc có hình elip, parabol hay hypebol. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA. 2 2 7.19 Cho elip có phương trình .Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip 36 + 9 = 1 2 2 7.20 Cho hypebol có phương trình: . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. 7 ― 9 = 1 7.21 Cho parabol có phương trình: 2 = 8 . Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol. 7.22 Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điềm A và có một tiêu điềm là F2. 7.23 Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm 7.24 Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét. Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 343 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
5. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 7.25 Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là A điểm cuối là B, khoảng cách = 400 . Đỉnh parabol của khúc cua cách đường thẳng một khoảng 20 m và cách đều A, B . a).Lập phương trình chính tắc của , với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng 1 m trên thực tế. b). Lập phương trình chính tắc cùa , với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng 1 km trên thực tế. II HỆ THỐNG BÀI TẬP. = = DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA ELÍP =I { Xác định các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm. của elip} 1 PHƯƠNG PHÁP. = = x2 y2 Cho Elip có phương trình chính tắc: E : 1 với b 2 a 2 c 2 . =I a2 b2 ● Tiêu điểm F1 c;0 , F2 c;0 . ● Tọa độ các đỉnh A1 a;0 , A2 a;0 , B1 0; b , B2 0;b . ● Độ dài trục lớn 2a. ● Độ dài trục bé 2b. ● Tiêu cự 2c 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = = x2 y2 Câu 1: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip: E : 1. =I 4 1 Câu 2: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip: E :4x2 25y2 100. Câu 3: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip: E : 4x2 9y2 1. Câu 4: Tìm tâm sai của Elíp biết: a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 600. b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 600. c) Khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục bằng hai lần tiêu cự: Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 344 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
6. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. = = x2 y2 Câu 1: Cặp điểm nào là các tiêu điểm của elip E : 1? =I 5 4 A. F1,2 0; 1 . B. F1,2 1;0 . C. F1,2 3;0 . D. F1,2 1; 2 . Câu 2: Cho Elip E : 4x2 9y2 36 . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau: c 5 A. E có tỉ số . B. E có trục lớn bằng 6. a 3 C. E có trục nhỏ bằng 4. D. E có tiêu cự 5 . x2 y2 Câu 3: Cho elip 1. Phát biểu nào sau đây đúng? 3 1 A. Tỉ số giữa trục lớn và trục nhỏ bằng 3 . B. Tiêu cự bằng 4. 2 C. Tâm sai e . D. Hai tiêu điểm F1 2;0 và F2 2;0 . 3 Câu 4: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của elip x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 4x2 8y2 32 . B. 1. C. 1. D. 1. 1 1 64 16 8 4 5 2 x² y² Câu 5: Cho elip (E) : 1 . Chọn khẳng định sai 9 4 A. Điểm A(3; 0) (E ) . B. ( E ) có tiêu cự bằng 2 5. 3 5 C. Trục lớn của ( E ) có độ dài bằng 6. D. ( E ) có tâm sai bằng . 5 Câu 6: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của elip 2 2 2 2 A. x y 2. B. x y 2. C. x2 2y2 2 . D. x2 2y2 . x2 y2 Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy , cho elip E có phương trình 1. Tìm tiêu cự của E . 36 16 A. F1F2 12 B. F1F2 8 C. F1F2 2 5 D. F1F2 4 5 x2 y2 Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy , tìm tiêu cự của elip E : 1. 25 16 A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 x2 y2 Câu 9: Tìm các tiêu điểm của Elip 1 9 1 A. F1 3;0 ; F2 0; 3 . B. F1 8;0 ; F2 0; 8 . C. F1 3;0 ; F2 0; 3 . D. F1 8;0 ; F2 8;0 . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 345 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
7. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x2 y2 Câu 10: Elíp (E) : 1có độ dài trục lớn bằng: 25 9 A. 25 . B. 50 . C. 10. D. 5 . Câu 11: Cho 9x2 25y2 225. Hỏi diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoại tiếp E là A. 15. B. 30 . C. 40 . D. 60 . 12 Câu 12: Cho E có độ dài trục lớn bằng 26 , tâm sai e . Độ dài trục nhỏ của E bằng 13 A. 5 . B. 10. C. 12 D. 24 . Câu 13: Cho E :16x2 25y2 100 và điểm M thuộc E có hoành độ bằng 2 . Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiêu điểm của E bằng A. 5 . B. 2 2 . C. 4 3 . D. 3 . x2 y2 Câu 14: Cho elip E : 1. Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn bằng 5 4 5 5 3 5 2 5 A. . B. . C. . D. . 4 5 5 5 Câu 15: Phương trình chính tắc của E có độ dài trục lớn gấp 2 lần độ dài trục nhỏ và đi qua điểm A 2; 2 là x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1 24 16 36 9 16 4 20 5 Câu 16: Phương trình chính tắc của E nhận điểm M 4;3 là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1 16 9 16 4 16 3 9 4 50 Câu 17: Phương trình chính tắc của E có khoảng cách giữa các đường chuẩn bằng và tiêu cự bằng 3 6 là x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1 64 25 89 64 25 16 16 7 x2 y2 Câu 18: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường elip E : 1 có hai tiêu điểm F , F . M là điểm 9 4 1 2 thuộc E . Tính MF1 MF2 . A. 5 B. 6 C. 3 D. 2 Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy cho elip E : x2 3y2 6 . Giá trị nào sau đây là tiêu cự của elip? A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 4x2 4y2 Câu 20: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho elip E : 1. Độ dài tiêu cự của E bằng 25 9 A. 4 . B. 8 . C. 16. D. 2 . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 346 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
8. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x2 y2 Câu 21: Cho elip E : 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 25 9 A. E có các tiêu điểm F1 4;0 và F2 4;0 . c 4 B. E có tỉ số . a 5 C. E có đỉnh A1 5;0 . D. E có độ dài trục nhỏ bằng 3 . x2 y2 Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy cho E có phương trình: 1 khẳng định nào sau đây đúng? 9 4 5 A. E có tâm sai e . 3 B. F1 0; 5 , F2 0; 5 là các tiêu điểm của E . C. Độ dài trục lớn là 9 . D. Các đỉnh nằm trên trục lớn là A1 0;3 và A2 0; 3 . x2 Câu 23: Cho Elip có phương trình y2 1. Một tiêu điểm của Elip có tọa độ là: 4 A. A 3;0 . B. B 0; 3 . C. C 5;0 . D. D 0; 5 . Câu 24: Cho Elip có phương trình x2 4y2 1. Tiêu cự của Elip là: A. 5 . B. 3 . C. 2 5 . D. 2 3 . x2 Câu 25: Diện tích của tứ giác tạo nên bởi các đỉnh của elip E : y2 1 là 4 A. 8 . B. 4 . C. 2 . D. 6 . x2 y2 Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy cho elip có phương trình E : 1. Đường thẳng : x 4 cắt 25 9 elip E tại hai điểm M , N . Tính độ dài đoạn thẳng MN ? 18 9 18 9 A. MN . B. MN . C. MN . D. MN . 25 25 5 5 x2 y2 Câu 27: Trong hệ tọa độ Oxy , cho elip E : 1. Bán kính qua tiêu của E đạt giá trị nhỏ nhất 25 16 bằng 3 A. 0 B. 1 C. D. 2 5 x2 y2 Câu 28: Một elip E có phương trình 1, trong đó a b 0 . Biết E đi qua điểm A 2; 2 a2 b2 và B 2 2;0 thì E có độ dài trục bé là A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 6. Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 347 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
9. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Câu 29: Cho E có hai tiêu điểm F1 4;0 , F2 4;0 và điểm M thuộc E . Biết chu vi tam giác MF1F2 bằng 18. Khi đó tâm sai của E bằng 4 4 4 4 A. . B. . C. . D. . 18 5 5 9 9 Câu 30: Cho E có hai tiêu điểm F1 7;0 , F2 7;0 và điểm M 7; thuộc E . Gọi N là 4 điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ O. Khi đó 9 9 7 A. NF MF . B. NF MF . C. NF NF D. NF MF 8 . 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP 1 PHƯƠNG PHÁP. = 2 2 = x y 2 2 2 { Phương trình chính tắc của Elip có dạng: E : 2 2 1 với b a c ; } =I a b 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = Câu= 1: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết: =I 5 a) Elip đi qua điểm M 2; và có một tiêu điểm F1 2;0 . 3 b) Elip nhận F2 5;0 là một tiêu điểm và có độ dài trục nhỏ bằng 4 6 . c) Elip có độ dài trục lớn bằng 2 5 và tiêu cự bằng 2. d) Elip đi qua hai điểm M 2; 2 và N 6;1 . Câu 2: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết: 1 a) Elip có tổng độ dài hai trục bằng 8 và tâm sai e . 2 5 b) Elip có tâm sai e và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20. 3 c) Elip có tiêu điểm F1 2;0 và hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng 12 5 . Câu 3: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết: a) Elip đi qua điểm M 5;2 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 10. 3 25 b) Elip có tâm sai e và khoảng cách từ tâm đối xứng của nó đến một đường chuẩn bằng . 5 3 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 348 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
10. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 25 c) Elip có độ dài trục lớn bằng 10 và phương trình một đường chuẩn là x . 4 d) Khoảng cách giữa các đường chuẩn bằng 36 và bán kính qua tiêu điểm của điểm M thuộc Elip là 9 và 15. Câu 4: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết: a) Elip có hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn C : x2 y2 41 và đi qua điểm A 0;5 . b) Elip có hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn C : x2 y2 21 và điểm M 1;2 nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc 600 . c) Một cạnh hình chữ nhật cơ sở của Elip nằm trên d : x 5 0 và độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng 6. d) Tứ giác ABCD là hình thoi có bốn đỉnh trùng với các đỉnh của Elip. Bán kính của đường tròn 1 nội tiếp hình thoi bằng 2 và tâm sai của Elip bằng . 2 Câu 5: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết a) Tứ giác ABCD là hình thoi có bốn đỉnh trùng với các đỉnh của Elip. Đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình C : x2 y2 4 và AC 2BD , A thuộc Ox . b) Elip có độ dài trục lớn bằng 8 và giao điểm của Elip với đường tròn C : x2 y2 8 tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông. 1 c) Elip có tâm sai e và giao điểm của Elip với đường tròn C : x2 y2 9 tại bốn điểm A , 3 B , C , D sao cho AB song song với Ox và AB 3BC . d) Elip có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của Elip cùng nằm trên một đường tròn. Câu 6: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết a) Elip có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông có diện tích bằng 32. b) Elip có một đỉnh và hai tiêu điểm tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của Elip bằng 12 2 3 . c) Elip đi qua điểm M 2 3;2 và M nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc vuông. 3 0 d) Elip đi qua điểm M 1; và tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 60 . 2 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 349 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
11. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Câu 7: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết a) Elip có một tiêu điểm F1 3;0 và đi qua điểm M , biết tam giác F1MF2 có diện tích bằng 1 và vuông tại M . b) Elip đi qua ba đỉnh của tam giác đều ABC . Biết tam giác ABC có trục đối xứng là Oy , 49 3 A 0;2 và có diện tích bằng . 12 c) Khi M thay đổi trên Elip thì độ dài nhỏ nhất của OM bằng 4 và độ dài lớn nhất của MF1 bằng 8 với F1 là tiêu điểm có hoành độ âm của Elip. 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. = Câu= 1: Phương trình chính tắc của Elip là x2 y2 x2 y2 =I A. 1. B. 1. a2 b2 a2 b2 x2 y2 x2 y2 C. 1 a b 0 . D. 1. a2 b2 a2 b2 Câu 2: Phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10. x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 25 9 100 81 25 16 25 16 Câu 3: Phương trình của Elip E có độ dài trục lớn bằng 8 , độ dài trục nhỏ bằng 6 là: x2 y2 x2 y2 A. 9x2 16y2 144 . B. 9x2 16y2 1. C. 1. D. 1. 9 16 64 36 Câu 4: Cho E có hình chữ nhật cơ sở diện tích bằng 8 , chu vi bằng 6 thì phương trình chính tắc là: x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 2 1 4 1 4 2 16 4 4 Câu 5: Cho E có tiêu điểm F 4;0 , F 4;0 , tâm sai e thì phương trình là: 1 2 5 A. 4x2 5y2 20 . B. 16x2 25y2 400 . C. 9x2 25y2 225. D. 9x2 16y2 144 . Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho elip E có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip E x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 0 . 144 36 9 36 36 9 144 36 1 Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng và trục lớn bằng 6 . 3 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 9 3 9 8 9 5 6 5 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 350 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
12. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Câu 8: Phương trình Elip có trục lớn bằng 2 5 và một tiêu điểm F1 1;0 là: A. 4x2 5y2 20 . B. 4x2 5y2 12 . C. 5x2 4y2 20 D. 5x2 4y2 12 . Câu 9: Phương trình chính tắc của E có độ dài trục lớn bằng 8 , trục nhỏ bằng 6 là x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 9x2 16y2 1. D. 1. 64 36 9 16 16 9 4 Câu 10: Phương trình chính tắc của E có tâm sai e , độ dài trục nhỏ bằng 12 là 5 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 25 36 64 36 100 36 36 25 Câu 11: Phương trình chính tắc của E có độ dài trục lớn bằng 6 , tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn 1 bằng là 3 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 9 3 9 8 19 5 6 5 Câu 12: Elip có hai đỉnh 3;0 ; 3;0 và hai tiêu điểm 1;0 và 1;0 có phương trình chính tắc là x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 8 9 9 8 9 4 9 2 Câu 13: Phương trình chính tắc của E có độ dài trục lớn gấp 2 lần độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng 4 3 là x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 36 9 36 24 24 6 16 4 Câu 14: Phương trình chính tắc của E có đường chuẩn x 4 0 và tiêu điểm F 1;0 là x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 4 3 16 15 16 9 9 8 Câu 15: Phương trình chính tắc của E có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A 5;0 là x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 100 81 15 16 25 9 25 16 1 Câu 16: Elip có hai tiêu điểm F 1;0 ; F 1;0 và tâm sai e có phương trình là 1 2 5 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 25 24 24 25 24 25 25 24 Câu 17: Trong hệ trục tọa độOxy , một elip có độ dài trục lớn là 8 , độ dài trục bé là 6 thì có phương trình chính tắc là. x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 9 16 64 36 16 9 16 7 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 351 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
13. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x2 y2 Câu 18: Các đỉnh của Elip E có phương trình 1; a b 0 tạo thành hình thoi có một góc a2 b2 ở đỉnh là 60 , tiêu cự của E là 8 , thế thì a2 b2 ? A. 16. B. 32 . C. 64 . D. 128. Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Elip E đi qua điểm M 0;3 . Biết khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì trên E bằng 8 . Phương trình chính tắc của Elip là x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 9 16 16 9 9 64 64 9 x2 y2 Câu 20: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường elip (E) : 1 và hai điểm 16 5 M 5; 1 , N 1;1 . Điểm K thay đổi trên elip (E) . Diện tích tam giác MNK lớn nhất bằng 9 A. 9 5 . B. . C. 9 . D. 18. 2 x2 y2 Câu 21: Cho elip E : 1. Xét các điểm M , N lần lượt thuộc các tia Ox, Oy sao cho đường 16 9 thẳng MN tiếp xúc với E . Hỏi độ dài ngắn nhất của MN là bao nhiêu? A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 . DẠNG 3: TÌM ĐIỂM THUỘC ELIP THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 1 PHƯƠNG PHÁP. = 2 2 = x y 2 2 2 Cho Elip có phương trình chính tắc: E : 2 2 1 với b a c . =I a b ● M x; y E . Khi đó MF1 a ex : bán kính qua tiêu điểm trái. MF2 a ex : bán kính qua tiêu điểm phải. 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = = x2 y2 Câu 1: a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1. Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm =I 25 16 của Elip; A , B là hai điểm thuộc E sao cho AF1 BF2 8 . Tính AF2 BF1 . x2 y2 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1. Gọi F , F là hai tiêu điểm 9 5 1 2 của Elip trong đó F1 có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm M thuộc E sao cho MF1 2MF2 . x2 y2 c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1. Gọi F , F là hai tiêu điểm 8 4 1 2 của Elip trong đó F1 có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm M thuộc E sao cho MF1 MF2 2 . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 352 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
14. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x2 y2 Câu 2: a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1. Tìm những điểm M thuộc 9 1 E sao cho nó nhìn hai tiêu điểm của E dưới một góc vuông. x2 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : y2 1 với hai tiêu điểm F , F . Tìm 4 1 2 · 0 tọa độ điểm M thuộc E sao cho góc F1MF2 60 . x2 y2 c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 với hai tiêu điểm F , F . 100 25 1 2 · 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc E sao cho góc F1MF2 120 . x2 y2 d) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 với hai tiêu điểm F , F trong 25 9 1 2 · 0 đó F1 có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm M thuộc E sao cho góc MF1F2 120 . x2 y2 Câu 3: a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 và điểm C 2;0 . Tìm tọa độ 4 1 các điểm A , B thuộc E , biết rằng A , B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều. x2 y2 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1. Tìm tọa độ các điểm A và 4 1 B thuộc E có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất. x2 y2 c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 và điểm A 3;0 . Tìm tọa độ 9 1 các điểm B , C thuộc E sao cho tam giác ABC vuông cân tại A , biết B có tung độ dương. x2 y2 Câu 4: a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 và hai điểm A 5; 1 , 16 5 B ( 1;1) . Xác đinh tọa độ điểm M thuộc E sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất. x2 y2 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 và hai điểm A 3;4 , B(5; 3) . 8 2 Tìm trên E điểm C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4,5. x2 y2 c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1. Tìm trên E những điểm sao 2 1 cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng d : 2 x 3 y 1 0 là lớn nhất. x2 y2 Câu 5: a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 và các điểm A 3;0 , I 1;0 9 4 . Tìm tọa độ các điểm B , C thuộc E sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 353 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
15. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x2 y2 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 có hai tiêu điểm F , F . Tìm 25 9 1 2 4 tọa độ điểm M thuộc E sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MF1F2 bằng . 3 x2 y2 c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip E : 1 có hai tiêu điểm F , F . Tìm 25 9 1 2 · 48 tọa độ điểm M thuộc E sao cho đường phân giác trong góc F1MF2 đi qua điểm N ;0 . 25 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. = x 2 y 2 Câu= 1: Cho Elip E : 1. Với M là điểm bất kì nằm trên E , khẳng định nào sau đây là 16 9 =I khẳng định đúng? A. 4 OM 5. B. OM 5. C. OM 3. D. 3 OM 4. 3 Câu 2: Elip đi qua điểm M 1; và có tiêu cự bằng 2 3 thì có phương trình chính tắc là: 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1. B. 1. C. 1. D. 1. 4 3 4 1 3 1 4 1 4 x 2 y 2 Câu 3: Cho Elip E : 1 và điểm M nằm trên E . Nếu điểm M có hoành độ bằng 13 169 144 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của E bằng: A. 8; 18 . B. 13 5 . C. 10;16 . D. 13 10. 2 2 Câu 4: Cho Elíp có phương trình 16x 25y 100. Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hoành độ x 2 đến hai tiêu điểm. A. 10. B. 2 2 . C. 5. D. 4 3. x 2 y 2 Câu 5: Cho Elip E : 1. Đường thẳng d : x 4 cắt E tại hai điểm M , N . Khi đó: 25 9 9 18 18 9 A. MN . B. MN . C. MN . D. MN . 25 25 5 5 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 354 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
16. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x 2 y 2 Câu 6: Cho Elip có phương trình: 1 . M là điểm thuộc E sao cho MF1 MF2 . Khi đó tọa 16 4 độ điểm M là: A. M1 0;1 , M2 0; 1 . B. M1(0;2), M2(0; 2) . C. M1( 4;0), M2(4;0) . D. M1(0;4), M2(0; 4) . x 2 y 2 Câu 7: Dây cung của Elip E : 1 0 b a . vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là a 2 b 2 2 2 2 2 A. 2c . B. 2b . C. 2a . D. a . a a c c x 2 y 2 Câu 8: Cho E : 1 và điểm M thuộc E . Khi đó độ dài OM thỏa mãn 16 9 A. OM 3 B. 3 OM 4 . C. 4 OM 5 . D. OM 5 . x 2 y 2 Câu 9: Cho E : 1. Đường thẳng d : x 4 cắt E tại hai điểm M, N . Khi đó, độ dài đoạn 25 9 MN bằng A. 9. B. 9 . C. 18 . D. 18 . 5 25 5 25 x 2 y 2 Câu 10: Đường thẳng y kx cắt E : 1 tại hai điểm M, N phân biệt. Khi đó M, N a 2 b 2 A. Đối xứng nhau qua O 0;0 . B. Đối xứng nhau qua O y . C. Đối xứng nhau qua O x . D. Đối xứng nhau qua I 0;1 . x 2 y 2 Câu 11: Cho elip E : 1 và điểm M thuộc E có hoành độ xM 13. Khoảng cách từ M 169 144 đến hai tiêu điểm của E lần lượt là A. 10 và 6. B. 8 và 18. C. 13 và 5. D. 13 và 10 x² y² Câu 12: Cho elip (E) : 1, với tiêu điểm F1,F2 . Lấy hai điểm A, B (E) sao cho AF1 BF1 8. 25 16 Khi đó, AF2 BF2 ? A. 6. B. 8. C. 12. D. 10. x² y² Câu 13: Cho elip (E) : 1. Tìm toạ độ điểm M (E ) sao cho M nhìn F1,F2 dưới một góc vuông: 25 9 9 5 7 9 A. ( 5; 0) . B. 4; . C. (0; 4) . D. ; . 5 4 4 x 2 y 2 Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho E : 1 và hai điểm A 5; 1 , B 1;1 . Điểm M bất 16 5 kì thuộc E , diện tích lớn nhất của tam giác MAB là: A. 18. B. 9. C. 9 2 . D. 4 2 . 2 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 355 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
17. CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 2 2 Câu 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip E : x 4y 4 0. Tìm tất cả những điểm N · 0 trên elip E sao cho: F1NF2 60 ( F1, F2 là hai tiêu điểm của elip E ) 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 A. N ; hoặc N ; hoặc N ; hoặc N ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 4 2 1 4 2 1 4 2 1 B. N ; hoặc N ; hoặc N ; . 3 3 3 3 3 3 4 2 1 4 2 1 4 2 1 C. N ; hoặc N ; hoặc N ; . 3 3 3 3 3 3 4 2 1 4 2 1 D. N ; hoặc N ; . 3 3 3 3 Câu 16: Các hành tinh và các sao chổi khi chuyển động xung quanh mặt trời có quỹ đạo là một đường elip trong đó tâm mặt trời là một tiêu điểm. Điểm gần mặt trời nhất gọi là điểm cận nhật, điểm xa mặt trời nhất gọi là điểm viễn nhật. Trái đất chuyển động xung quanh mặt trời theo quỹ đạo là một đường elip có độ dài nửa trục lớn bằng 93.000.000 dặm. Tỉ số khoảng cách giữa điểm 59 cận nhật và điểm viễn nhật đến mặt trời là . Tính khoảng cách từ trái đất đến mặt trời khi trái 61 đất ở điểm cận nhật. Lấy giá trị gần đúng. A. Xấp xỉ 91.455.000 dặm. B. Xấp xỉ 91.000.000 dặm. C. Xấp xỉ 91.450.000 dặm. D. Xấp xỉ 91.550.000 dặm. Câu 17: Ông Hoàng có một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 60m và 30m . Ông chia thành hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với elip để làm mục đích sử dụng khác nhau. Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích T giữa phần trồng cây lâu năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích elip được tính theo công thức S ab trong đó a,b lần lượt là đọ dài nửa trục lớn và nửa trục bé của elip. Biết độ rộng của đường elip không đáng kể. 2 1 3 A. T . B. T 1. C. T . D. T . 3 2 2 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 356 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn