Ôn luyện Toán 10 (Kết nối tri thức ) - Chương VI, Bài 16: Hàm số bậc hai (Tự luận) - Huỳnh Văn Ánh

Nội dung text: Ôn luyện Toán 10 (Kết nối tri thức ) - Chương VI, Bài 16: Hàm số bậc hai (Tự luận) - Huỳnh Văn Ánh

1. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG VI HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CHƯƠNG BÀI 16. HÀM SỐ BẬC HAI I LÝ THUYẾT. = 1. ĐỊNH= NGHĨA = Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức: y ax2 bx c, I trong đó x là biến số, a,b,c là các hằng số và a 0 . Tập xác định của hàm số bậc hai là ¡ . Chú ý : + Khi a 0 , b 0 , hàm số trở thành hàm số bậc nhất y bx c . + Khi a b 0 , hàm số trở thành hàm hằng y c . 2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI a) Đồ thị hàm số y ax2 ,a 0 là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ, có trục đối xứng là trục tung (là đường thẳng x 0 ). Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a 0 , xuống dưới nếu a 0 . b) Đồ thị hàm số y ax2 bx c,a 0 là một parabol có: b + Đỉnh I ; . 2a 4a b + Trục đối xứng là đường thẳng x . 2a + Bề lõm hướng lên trên nếu a 0 , hướng xuống dưới nếu a 0 . + Giao điểm với trục tung là M 0;c . + Số giao điểm với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình ax2 bx c 0 . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 216 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
2. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG a 0 a 0 BẢNG BIẾN THIÊN a 0 a 0 b b + Khi a 0 , hàm số đồng biến trên khoảng ; và nghịch biến trên khoảng ; . 2a 2a b b + Khi a 0 , hàm số đồng biến trên khoảng ; và nghịch biến trên khoảng ; . 2a 2a - Để vẽ đường parabol y ax2 bx c ta tiến hành theo các bước sau: b 1. Xác định toạ độ đỉnh I ; ; 2a 4a b 2. Vẽ trục đối xứng x ; 2a 3. Xác định toạ độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm đặc biệt trên parabol; 4. Vẽ parabol. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA. 6.7. Vẽ các đường parabol sau: a) y x2 3x 2 ; b) y 2x2 2x 3 ; c) y x2 2x 1; d) y x2 x 1. 6.8. Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng. Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 217 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
3. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG 6.9. Xác định parabol y ax2 bx 1, trong mỗi trường hợp sau: a) Đi qua hai điểm A(1;0) và B(2;4) ; b) Đi qua điểm A(1;0) và có trục đối xứng x 1; c) Có đỉnh I(1;2) ; d) Đi qua điểm A( 1;6) và có tung độ đỉnh 0,25. 6.10. Xác định parabol y ax2 bx c , biết rằng parabol đó đi qua điểm A(8;0) và có đỉnh là I(6; 12) . 6.11. Gọi (P) là đồ thị hàm số bậc hai y ax2 bx c . Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt thức , trong mỗi trường hợp sau: a) (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành; b) (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành; c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành; d) (P) tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành. 6.12. Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau. An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tór tính ra được chiểu cao của cổng parabol đó là 12 m . Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác. Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé! Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 218 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
4. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG 6.13. Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau. a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (mét) của nó. b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được. 6.14. Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng toạ độ 3 Oxy là một parabol có phương trình y x2 x , trong đó x (mét) là khoảng cách theo 1000 phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc 0, y (mét) là độ cao của vật so với mặt đất (H.6.15). a) Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay. b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O . Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo. II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. = VẤN ĐỀ 1. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ y ax2 bx c ĐỒNG BIẾN TRÊN KHOẢNG (a;b) = =I1 PHƯƠNG PHÁP. = a 0 = + Trường hợp a 0 : Yêu cầu của bài toán . b 0 =I a 0 + Trường hợp a 0 : Yêu cầu của bài toán b . A; B  ; 2a a 0 + Trường hợp a 0 : Yêu cầu của bài toán b . A; B  ; 2a Lưu ý: - Việc tìm điều kiện để hàm số y ax2 bx c nghịch biến trên khoảng (A; B) được làm tương tự. - Có thể dựa vào định nghĩa tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để thực hiện các bài toán trên. Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 219 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
5. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG 2 BÀI TẬP. = Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y -x2 2mx 1 đồng biến trên ;3 . = 2 2 Câu=I 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 4x 4mx m 2 nghịch biến trên 2; . Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y (m2 1)x2 4mx 1 nghịch biến trên ;1 . Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y mx2 (m2 1)x 3 đồng biến trên 1; . Câu 5. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y mx2 2(m 1)x 2m 1 nghịch biến trên 1;2 . Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f (x) m 2 x2 2mx m 2019 nghịch biến trên khoảng ;3 . Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f (x) mx2 2m 1 x 3 đồng biến trên khoảng 2;3 . Câu 8. Cho hàm số: y f (x) ax2 bx c với a, b, c là các tham số, a 0 . Biết rằng f (x) đồng 6a2 biến trên khoảng 2; , hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P . 5a2 2ab b2 VẤN ĐỀ 2. XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI 1 PHƯƠNG PHÁP. = Để xác định hàm số bậc hai y f x ax2 bx c (đồng nghĩa với xác định các tham số a, b, c ) = ta cần dựa vào giả thiết để lập nên các phương trình (hệ phương trình) ẩn là a, b, c . Từ đó tìm =I được a, b, c . Việc lập nên các phương trình nêu ở trên thường sử dụng đến các kết quả sau: - Đồ thị hàm số đi qua điểm M x0 ; y0 y0 f x0 . b - Đồ thị hàm số có trục đối xứng x x x . 0 2a 0 b b xI 2a xI - Đồ thị hàm số có đỉnh là I x ; y 2a . I I yI f xI yI 4a - Trên ¡ , ta có: b 1. f x có giá trị lớn nhất a 0. Lúc này gí trị lớn nhất của f x là f . 4a 2a b 2. f x có giá trị nhỏ nhất a 0 . Lúc này giá trị nhỏ nhất f x là f . 4a 2a Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 220 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
6. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG 2 BÀI TẬP. = Câu 1. Xác định parabol P : y ax2 bx 2 , biết rằng P đi qua điểm M 1;5 và có trục đối xứng là = 1 đường thẳng x . =I 4 2 1 11 Câu 2. Xác định parabol P : y ax 2x c , biết rằng I ; là đỉnh của P . 2 2 Câu 3. Tìm parabol P : y ax2 bx c , biết rằng P đi qua ba điểm A 1; 1 , B 2;3 , C 1; 3 . Câu 4. Xác định hàm số y ax2 bx c với a, b , c là các tham số, biết rằng hàm số ấy đạt giá trị lớn nhất bằng 5 tại x 2 và có đồ thị đi qua điểm M 1; 1 . Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol P : y mx2 2mx 3m 2 m 0 cắt đường thẳng y 3x 1 tại đỉnh của nó. Câu 6. Tìm parabol P : y ax2 4x c biết rằng hoành độ đỉnh của P bằng 3 và P đi qua điểm M 2;1 . Câu 7. Tìm các tham số a, b, c sao cho hàm số y ax2 bx c đạt giá trị nhỏ nhất là 4 tại x 2 và đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6. Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của ham số m sao cho parabol P : y x2 4x m cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn OA 3OB. Câu 9. Cho hàm số y f x 4x2 4mx m2 2m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của f x 3. VẤN ĐỀ 3. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI Dạng 1. Cho parabol (P) : y ax2 bx c . + Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh của (P) . + Tương giao của (P) với trục Ox . + Tìm điều kiện để các giao điểm của (P) và trục Ox thỏa mãn điều kiện nào đó. 1 PHƯƠNG PHÁP. = Thường dùng đến các kết quả sau: = b b + Đường thẳng x là trục đối xứng của (P) , điểm I ; là đỉnh của (P) . =I 2a 2a 4a + Nghiệm (nếu có) của phương trình ax2 bx c 0 là hoành độ giao điểm của (P) và trục Ox . + Giả sử A xA; yA , B xB ; yA là hai giao điểm của (P) và trục Ox . Khi đó: 0 - A, B cùng ở bên trái đối với trục Oy xA xB 0 . xA.xB 0 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 221 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
7. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG 0 - A, B cùng ở bên phải đối với trục Oy xA xB 0 . xA.xB 0 0 - A, B cùng ở một bên đối với trục Oy . xA.xB 0 - A, B không ở cùng một bên đối với trục Oy xA.xB 0. 2 BÀI TẬP. = Câu 1. Cho parabol P : y x2 5x 6. Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh của parabol (P) , tọa độ = giao điểm của parabol (P) với trục hoành. =I Câu 2. Cho parabol P : y ax2 bx c với a 0 . Xét dấu của ,b, c biết rằng P cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm. Dạng 2. Cho parabol P : y ax2 bx c và đường thẳng d : y mx n + Biện luận số điểm chung của (P) và trục hoành. + Tìm điều kiện để đường thẳng d tiếp xúc với (P) . 1 PHƯƠNG PHÁP. = + Xét phương trình ax 2 bx c 0 (*). = - (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt. =I - (P) và trục hoành có một điểm chung (còn gọi là tiếp xúc với nhau) (*) có một nghiệm. - (P) và trục hoành không có điểm chung (*) vô nghiệm. + d và (P) tiếp xúc với nhau ax2 bx c mx n có nghiệm kép. 2 BÀI TẬP. = Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol P : y x2 3x m cắt trục hoành tại hai điểm = phân biệt =I 2 Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol P : y x 2x m 1 và trục Ox không có điểm chung. Câu 3. Cho parabol P : y x2 x 2 và đường thẳng d : y ax 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để d tiếp xúc với P . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 222 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
8. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG VẤN ĐỀ 4. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ Dạng 1. Dựa vào đồ thị của hàm số f x để biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình f x g m . 1 PHƯƠNG PHÁP. = - Vẽ đồ thị C của hàm số f x . = =I - Tùy vào giá trị của g m để chỉ ra số giao điểm của đường thẳng d : y g m và C . - Số giao điểm của d và C cũng chính là số nghiệm của phương trình f x g m . *Lưu ý: Đường thẳng d : y g m là đường thẳng có phương ngang và cắt trục tung tại điểm có tung độ g m . 2 BÀI TẬP. = Câu 1. Cho hàm số y x2 4x 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Dựa vào đồ thị tìm các giá trị của = tham số m để phương trình x2 4x 2 m có 2 nghiệm phân biệt. =I 2 Câu 2. Cho hàm số y x 6x 5 có đồ thị (P) như nhình vẽ bên dưới. Dựa vào đồ thị, tìm các giá trị của tham số m để phương trình: 2x2 12x 6m 1 0 có 2 nghiệm phân biệt dương. Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 223 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
9. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Câu 3. Cho parabol P : y ax2 bx c a 0 có đồ thị như hình bên. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình ax2 bx c m có bốn nghiệm phân biệt. Câu 4. Cho phương trình x2 4x m 0 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 1 có đúng một nghiệm thuộc khoảng 3;1 . Câu 5. Có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng 0;2019 để phương trình x2 4 x 5 m 0 có hai nghiệm phân biệt? Dạng 2. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai 1 PHƯƠNG PHÁP. = 2 = Cho đồ thị P của hàm số y ax bx c với a 0 và đồ thị d của hàm số y kx m . =I Toạ độ giao điểm của hai đồ thị P và d là nghiệm của hệ phương trình y ax 2 bx c (1) y kx m Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là 2 ax 2 bx c kx m ax b k x c m 0 2 Nhận xét: 1. Số giao điểm của P và d bằng số nghiệm của hệ phương trình (1) và cũng bằng số nghiệm của phương trình (2). 2. Nếu phương trình (2) vô nghiệm thì ta nói d và P không giao nhau. 3. Nếu phương trình (2) có nghiệm kép thì ta nói d và P tiếp xúc với nhau. Lúc này ta nói d là tiếp tuyến của P . 4. Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thì ta nói d và P cắt nhau. 2 BÀI TẬP. = Câu 1. Tìm tọa độ giao điểm của Parabol P : y x2 4x 1và đường thẳng d : y x 3 . = =I Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 224 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
10. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Câu 2. Cho Parabol P : y x2 3x 2 và đường thẳng d : y mx 2 . Tìm m để d tiếp xúc với P . Tìm tọa độ tiếp điểm khi đó. Câu 3. Cho Parabol P y x2 2x 4 và đường thẳng d : y 2mx m2 ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x1 , x2 thỏa mãn 2 2 x1 2(m 1)x2 3m 16 . 1 1 Câu 4. Cho Parabol (P) : y x 2 và đường thẳng d : y m 1 x m 2 ( mlà tham số). Tìm các giá 2 2 trị của mthì đường thẳng d cắt Parabol P tại hai điểm A(x1; y1),B(x2; y2)sao cho biểu thức T y y x x (x x ) 1 2 1 2 1 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Dạng 3. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số bậc hai 1 PHƯƠNG PHÁP. = y f x y g x = Cho hai hàm số và là các hàm số bậc hai có đồ thị lần lượt là các đường parabol P và P , khi đó tọa độ giao điểm của P và P là nghiệm của hệ phương trình =I 1 2 1 2 y f x . (1) y g x Để giải hệ (1) ta cần giải phương trình f x g x (2), phương trình (2) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của P1 và P2 . * Nhận xét: i) Số giao điểm của P1 và P2 bằng số nghiệm của hệ (1) và bằng số nghiệm của phương trình (2). ii) y f x và y g x là các hàm số bậc hai nên phương trình (2) có nhiều nhất 2 nghiệm. iii) Các bài toán liên quan đến dạng này thường áp dụng đến nội dung định lý Vi et thuận, nhắc 2 lại như sau. Cho phương trình bậc hai ax bx c 0 có hai nghiệm x1 và x2 , ta luôn có b c x x và x x . 1 2 a 1 2 a 2 BÀI TẬP. = Câu 1. Biết rằng đồ thị hàm số y x2 6x cắt đồ thị hàm số y x2 4 tại hai điểm A x ; y và = A A B x ; y . Tính y y . =I B B A B Câu 2. Biết rằng parabol y x2 x 1 cắt parabol y x2 2x 4 tại hai điểm phân biệt có hoành độ 3 3 lần lượt là x1 và x2 . Tính giá trị biểu thức P x1 x2 . Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số y m 1 x2 2x 3m 2 cắt đồ thị hàm số 2 y x 2mx 4 tại đúng hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1; x2 thỏa mãn x1 2x2 1. Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 225 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
11. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hai parabol y x2 mx m 1 2 và 2 y x m 2 x 2 m 1 cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x1; x2 thỏa mãn P x1x2 3 x1 x2 đạt giá trị lớn nhất. VẤN ĐỀ 5. ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. 1 PHƯƠNG PHÁP. = Cho họ hàm số f x;m 0 ( m là tham số) có đồ thị P . Để tìm điểm cố định mà P luôn = m m đi qua với mọi giá trị của m , ta thực hiện các bước sau: =I Bước 1: Giả sử điểm M x0 ; y0 là điểm cố định mà Pm luôn đi qua. Tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình f x;m 0 . Bước 2: Chuyển phương trình về phương trình ẩn m dạng Am B 0 (hoặc Am2 Bm C 0 ). Phương trình nghiệm đúng với mọi m . A 0 A 0 Khi đó ta có hoặc B 0 . Tìm được x0 ; y0 M x0 ; y 0 . B 0 C 0 Bước 3: Kết luận. 2 BÀI TẬP. = Câu 1. Cho hàm số y 1 m x2 2 m 1 x m 3 P . Chứng tỏ rằng P luôn đi qua một điểm = m m cố định, tìm tọa độ điểm cố định đó. =I 2 Câu 2. Cho hàm số y m 1 x 2mx 3m 1 Pm . Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số trên. Câu 3. Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số P : y m2x2 2 m 1 x m2 1 . m 2 Câu 4. Cho hàm số y x 2m 3 x 5 4m . Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , đồ thị Pm của hàm số đã cho và đường thẳng dm : y 2mx 4m 3 luôn có một điểm chung cố định. 2 2 Câu 5. Cho các hàm số Pm : y x m 3 x 4m 7 , Cm : y mx 3 m 1 x 4m 9, m dm : m 1 x my 4 m 0 . Chứng minh rằng với mọi giá trị của , các đồ thị của các hàm số đã cho luôn cùng đi qua một điểm cố định. VẤN ĐỀ 6: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẬC HAI Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 tập cho trước 1 PHƯƠNG PHÁP. = Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai, ta lập bảng biến thiên cho hàm số đó trên = tập hợp đã cho. Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) =I của hàm số trên tập hợp đã cho. Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 226 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
12. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG 2 BÀI TẬP. = Câu 1. Cho hàm số y x2 4x 3 . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên  3;5. = 2 Câu=I 2. Cho hàm số y 2x 4x 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 2;7 . Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x4 4x2 3 trên  1;2. Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 3 x4 2x2 1 4 3 x2 1 3 . Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x4 4x3 3x2 2x 2 trên  2;4. Câu 6. Cho các số x, y thỏa mãn x2 y2 1 xy . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P x4 y4 x2 y2 . Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc hai đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 1 PHƯƠNG PHÁP. = Cho hàm số bậc hai: y ax2 bx c a 0 = b b =I - Nếu a 0 thì min y f đạt tại hoành độ đỉnh xI . 2a 4a 2a b b - Nếu a 0 thì max y f đạt tại hoành độ đỉnh xI . 2a 4a 2a Trường hợp tập xác định khác ¡ , ta kẻ bảng biến thiên của hàm số trên tập đó để có được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 2 BÀI TẬP. = Câu 1. Tìm giá trị thực của tham số m 0 để hàm số y mx2 2mx 3m 2 có giá trị nhỏ nhất bằng = 10 trên ¡ . =I 2 Câu 2. Cho hàm số y ax bx c đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x 1 và nhận giá trị bằng 3 khi x 2 . Tính abc . Câu 3. Cho hàm số y mx2 2x m 1. Tìm giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 Câu 4. Cho hàm số y m 1 x2 2 m 1 x 1 2m . Với m 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức min y B x [0;2] . max y x [0;2] Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 227 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
13. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG VẤN ĐỀ 7: BÀI TOÁN THỰC TẾ 1 PHƯƠNG PHÁP. = DẠNG 1: Các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học. Các bước = làm như sau: =I Bước 1: Dựa vào giả thiết và các yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả dưới “dạng ngôn ngữ toán học” cho mô hình mô phỏng thực tiễn. Căn cứ vào các yếu tố bài ra ta chọn biến số, tìm điều kiện tồn tại, đơn vị. Bước 2: Dựa vào các mối liên hệ ràng buộc giữa biến số với các giả thiết của đề bài cũng như các kiến thức liên quan đến thực tế, ta thiết lập hàm số bậc hai. Chuyển yêu cầu đặt ra đối với bài toán thực tiễn thành yêu cầu bài toán hàm số bậc hai. Bước 3: Dùng tính chất hàm số bậc hai để giải quyết bài toán hình thành ở bước 2. Lưu ý kiểm tra điều kiện, và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa. DẠNG 2: Các bài toán thực tế đã mô hình hóa bằng một hàm số bậc hai. Thực hiện bước 3 của dạng 1. 2 BÀI TẬP. = Câu 1. Một quả bóng được ném vào không trung có chiều cao tính từ lúc bắt đầu ném ra được cho bởi công = thức h t t 2 2t 3 (tính bằng mét), t là thời gian tính bằng giây t 0 . =I a. Tính chiều cao lớn nhất quả bóng đạt được. b. Hãy tính xem sau bao lâu quả bóng sẽ rơi xuống mặt đất ? Câu 2. Độ cao của quả bóng golf tính theo thời gian có thể được xác định bằng một hàm bậc hai. Với các thông số cho trong bảng sau, hãy xác định độ cao quả bóng đạt được tại thời điểm 3 giây ? Câu 3. Một miếng nhôm có bề ngang 32 cm được uốn cong tạo thành máng dẫn nước bằng chia tấm nhôm thành 3 phần rồi gấp 2 bên lại theo một góc vuông như hình vẽ dưới. Hỏi x bằng bao nhiêu để tạo ra máng có có diện tích mặt ngang S lớn nhất để có thể cho nước đi qua nhiều nhất ? Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 228 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
14. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Câu 4. Hai con chuồn chuồn bay trên hai quĩ đạo khác nhau, xuất phát cùng thời điểm. Một con bay trên quỹ đạo là đường thẳng từ điểm A 0;100 đến điểm O 0;0 với vận tốc 5 m/s . Con còn lại bay trên quĩ đạo là đường thẳng từ B 60;80 đến điểm O 0;0 với vận tốc 10 m/s . Hỏi trong quá trình bay thì khoảng cách ngắn nhất hai con đạt được là bao nhiêu ? Câu 5. Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50000 đồng. Với giá bán này thì mỗi ngày cửa hàng chỉ bán được 40 quả. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 1000 đồng thì số bưởi bán tăng thêm được là 10 quả. Xác định giá bán để của hàng thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu cho mỗi quả là 30000 đồng. II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN TỔNG HỢP. = Câu 1. Cho hàm số y x2 6x 8 , có đồ thị là P . = a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị P . =I b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 4 x 2 m 0 . x 4 khi x 1 Câu 2. Vẽ đồ thị hàm số y 2 . x 4x 3 khi x 1 Câu 3. Xác định parabol y ax2 3x 2 , biết rằng parabol đó a) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. b) Có trục đối xứng x 3. 1 11 c) Có đỉnh I ; . 2 4 d) Đạt cực tiểu tại x 1. Câu 4. Xác định parabol y ax2 bx 2 , biết rằng parabol đó a) Đi qua hai điểm M 1;5 và N 2;8 . b) Có đỉnh I 2; 2 . 3 c) Đi qua điểm A 3; 4 và có trục đối xứng x . 4 1 d) Đi qua điểm B 1;6 và đỉnh có tung độ . 4 Câu 5. Xác định parabol y 2x2 bx c , biết rằng parabol đó a) Có trục đối xứng x 1 và cắt Oy tại điểm M 0;4 . b) Có đỉnh I 1; 2 . c) Đi qua hai điểm A 0; 1 và B 4;0 . d) Có hoành độ đỉnh 2 và đi qua điểm N 1; 2 . Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 229 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
15. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Câu 6. Xác định parabol y ax2 c , biết rằng parabol đó a) Đi qua hai điểm M 1;1 , B 2; 2 . b) Có đỉnh I 0;3 và một trong hai giao điểm với Ox là A 2;0 . Câu 7. Xác định parabol y ax2 4x c , biết rằng parabol đó a) Có hoành độ đỉnh là 3 và đi qua điểm M 2;1 . b) Có trục đối xứng là đường thẳng x 2 và cắt trục hoành tại điểm A 3;0 . Câu 8. Xác định parabol y ax2 bx c , biết rằng parabol đó a) Đi qua ba điểm A 1;1 , B 1; 3 , O 0;0 . b) Cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 2 , cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 2 . c) Đi qua điểm M 4; 6 , cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 3 . Câu 9. Xác định parabol y ax2 bx c , biết rằng parabol đó a) Có đỉnh I 2; 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 . b) Cắt trục hoành tại hai điểm A 1;0 , B 3;0 và có đỉnh nằm trên đường thẳng y 1. c) Có đỉnh nằm trên trục hoành và đi qua hai điểm M 0;1 , N 2;1 . d) Trục đối xứng là đường thẳng x 3, qua M 5;6 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 . Câu 10. Xác định parabol y ax2 bx c , biết rằng hàm số a) Có giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x 2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A 0;6 . b) Có giá trị lớn nhất bằng 3 tại x 2 và đồ thị hàm số đi qua điểm B 0; 1 . Câu 11. Cho hàm số y mx2 2mx 3m 2 m 0 . Xác định giá trị của m trong mỗi trường hợp sau a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A 2;3 . b) Có đỉnh thuộc đường thẳng y 3x 1. c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 10 . Câu 12. Cho parabol P : y x2 4x 2 và đường thẳng d : y 2x 3m . Tìm các giá trị m để a) d cắt P tại hai điểm phân biệt A , B . Tìm tọa độ trung điểm của AB . b) d và P có một điểm chung duy nhất. Tìm tọa độ điểm chung này. c) d không cắt P . d) d và P có một giao điểm nằm trên đường thẳng y 2 . Câu 13. Cho parabol P : y x2 4x 3 và đường thẳng d : y mx 3. Tìm các giá trị của m để 9 a) d cắt P tại hai điểm phân biệt A , B sao cho diện tích tam giác OAB bằng . 2 3 3 b) d cắt P tại hai điểm phân biệt A , B có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1 x2 8. Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 230 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn
16. CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – HÀM SỐ – ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Câu 14. Chứng minh rằng với mọi m , đồ thị hàm số y mx2 2 m 2 x 3m 1 luôn đi qua hai điểm cố định. Câu 15. Chứng minh rằng các parabol sau luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. a) y 2x2 4 2m 1 x 8m2 3. b) y mx2 4m 1 x 4m 1 m 0 . Câu 16. Chứng minh rằng các đường thẳng sau luôn tiếp xúc với một parabol cố định. 2 2 1 a) y 2mx m 4m 2 m 0 . b) y 4m 2 x 4m 2 m . 2 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 231 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP. Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn