Đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông Quốc gia năm 2022 môn Toán 12 - Mã đề thi 103 (Có lời giải)

Nội dung text: Đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông Quốc gia năm 2022 môn Toán 12 - Mã đề thi 103 (Có lời giải)

1. GIẢI ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HOC PHỔ THÔNG NĂM 2022 Môn: TOÁN Mã đề thi 103 Câu 1. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau A y x3 3x B. y x3 3x C. y x2 2x D. y x2 2x Lời giải. Chọn B. Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy: • Đây là hàm y ax3 bx2 cx d a 0 . • lim y a 0. x Do đó hàm số thỏa mãn là y x3 3x . 3 3 1 Câu 2. Nếu f x dx 6 thì f x 2 dx bằng? 3 0 0 A. 8 B. 5 C. 9 D. 6 3 3 3 1 1 1 Lời giải. Ta có f x 2 dx f x dx 2dx 6 6 8 . 3 3 3 0 0 0 Câu 3. Phần ảo của số phức z 2 i 1 i bằng A 3 B. 1 C. 1 D. 3 Lời giải. Ta có z 2 i 1 i 3 i . Vậy phần ảo là 1. Cách 2 : Dùng CASIO : w2(2pb)(1+b)= Câu 4. Khẳng định nào dưới đây đúng? A exdx xex C B. exdx ex 1 C C. exdx ex 1 C D. exdx ex C Lời giải. Ta có exdx ex C Câu 5. Cho hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng y 4 3 -1 O 1 x A 1 B. 4 C. 1 D. 3 Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy giá trị cực tiểu bằng 3. 1
2. Câu 6. Cho a 3 5 ,b 32 và c 3 6 mệnh đề nào dưới đây đúng A a c b B. a b c C. b a c D. c a b 5 2 4 6 4 5 6 Hướng dẫn : Ta có a 3 ,b 3 3 ,c 3 và b a c 3 1 2 5 5 Câu 7. Nếu f x dx 2 và f x dx 5 thì f x dx bằng 1 2 1 A 7 B. 3 C. 4 D. 7 . 5 2 5 Hướng dẫn: Ta có f x dx f x dx f x dx 2 5 3. 1 1 2 Câu 8. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng y 1 là A 1 B. 0 C. 2 D. 3 Hướng dẫn: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm. Câu 9. Từ các chữ số 1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau? A. 120 B. 5 C. 3125 D. 1 Hướng dẫn: Số các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lập từ các số 1,2,3,4,5 là 5! 120 . Câu 10. Cho khối nón có diện tích đáy bằng 3a2 và chiều cao 2a . Thể tích của khối nón đã cho bằng? 2 A. 3a3 B. 6a3 C. 2a3 D. a3 3 1 Hướng dẫn: Thể tích của khối nón đã cho bằng V .3a2.2a 2a3 3 2 Câu 11. Số nghiệm thực của phương trình 2x 1 4 là A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 x2 1 2 2 2 x 1 Hướng dẫn: 2 2 x 1 2 x 1 x 1 Câu 12. Với a là số thực dương tùy ý, log 100a bằng A. 1 loga B. 2 loga C. 2 loga D. 1 loga 2
3. Hướng dẫn: log 100a log 100 loga 2 loga Câu 13. Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 5 , đáy ABC có diện tích bằng 6 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng A. 11 B. 10 C. 15 D. 30 1 1 Hướng dẫn: V .S.h .6.5 10 S.ABC 3 3 Câu 14. Hàm số F x cot x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng 0; 2 1 1 A. f2 x B. f1 x sin2 x cos2 x 1 1 C. f4 x D. f3 x cos2 x sin2 x 1 Hướng dẫn: Có dx cot x C suy ra F x cot x trên khoảng 0; là một nguyên hàm sin2 x 2 1 của hàm số f3 x . sin2 x Câu 15. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong hình bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ A. 1; 1 B. 3;1 C. 1;3 D. 1; 1 Hướng dẫn: Dựa vào đồ thị, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là 1; 1 Câu 16. Số phức nào dưới đây có phần ảo bằng phần ảo của số phức w 1 4i A. z2 3 4i B. z1 5 4i C. z3 1 5i D. z4 1 4i Hướng dẫn: Cả hai số phức w 1 4i và z1 5 4i đều có phần ảo bằng 4 nên ta chọn B. Câu 17. Cho cấp số nhân un với u1 3 và công bội q 2 . Số hạng tổng quát un n 2 bằng A. 3.2n 1 B. 3.2n 2 C. 3.2n D. 3.2n 1 n 1 Hướng dẫn: Cấp số nhân un với u1 3 và công bội q 2 có số hạng tổng quát un 3.2 . 2 2 2 Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 1 z 3 4 . Tâm của S có tọa độ là 3
4. A. 4;2; 6 B. 4; 2;6 C. 2; 1;3 D. 2;1; 3 Câu 19. Cho khối chóp và khối lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng bằng nhau và có thể tích V1 lần lượt là V1,V2 . Tỉ số bằng V2 2 3 1 A. B. 3 C. D. 3 2 3 Hướng dẫn: Gọi diện tích đáy và chiều cao tương ứng của khối chóp và khối lăng trụ là B và h . 1 V1 Bh V 1 Ta có 3 1 V2 3 V2 Bh x 2 y 1 z 1 Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : . Điểm nào dưới đây thuộc d 1 2 3 ? A. Q 2;1;1 B. M 1;2;3 C. P 2;1; 1 D. N 1; 2;3 x 2 0 x 2 Hướng dẫn: Cho y 1 0 y 1 vậy P 2;1; 1 d . z 1 0 z 1 Câu 21. Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng Oxy là: A. z 0 B. x 0 C. y 0 D. x y 0 Câu 22. Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu S O;R . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. OM R B. OM R C. OM R D. OM R Câu 23. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z 2 7i có tọa độ là A. 2; 7 B. 2;7 C. 7;2 D. 2; 7 Câu 24. Nghiệm của phương trình log1 2x 1 0 là 2 3 1 2 A. x B. x 1 C. x D. x 4 2 3 Hướng dẫn: log1 2x 1 0 2x 1 1 x 1. Vậy nghiệm của phương trình là x 1. 2 Câu 25. Tập xác định của hàm số y log2 x 1 là A. 2; .B. ; .C. 1; .D. ;1 . Hướng dẫn: Hàm số xác định khi x 1 0 x 1. Tập xác định của hàm số là D 1; . Câu 26. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 4
5. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình: A. x 1 B. y 1 C. y 2 D. x 2 Hướng dẫn: Ta thấy: lim f x và lim f x . x 2 x 2 Vậy tiệm cận đứng của hàm số đã cho là x 2 . Câu 27. Trong không gian Oxyz . Cho hai vectơ u 1; 4;0 và v 1; 2;1 . Vectơ u 3v có tọa độ là A. 2; 6;3 B. 4; 8;4 C. 2; 10; 3 D. 2; 10;3 Hướng dẫn: Ta có: u 1; 4;0 và 3v 3; 6;3 . Vậy: u 3v 2; 10;3 Cách 2: Dùng CASIO: w5=CT1131=z4=0=CT123z1=z2=1=CT3+3T4= Câu 28. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;3 B. 0; C. 1;0 D. ; 1 Câu 29. Cho hàm số f (x) ax4 bx2 c có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn  2;5 của tham số m để phương trình f (x) m có đúng 2 nghiệm thực phân biệt? A.1 B 6 C. 7 D. 5 Hướng dẫn: Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f (x) m có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi m 2 Hoặc m 1. Vậy m 2;0;1;2;3;4;5 . Vậy có 7 giá trị m thỏa mãn. Câu 30. Cho hàm số f (x) 1 e2x . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 1 A. f (x)dx x ex C B f (x)dx x 2e2x C 2 1 C. f (x)dx x e2x C D. f (x)dx x e2x C 2 1 Hướng dẫn: Ta có (1 e2x )dx x e2x C. 2 5
6. 2 2 2 Câu 31. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 5 0. Khi đó z1 z2 bằng A. 6 B. 8i C. 8i D. 6 2 Hướng dẫn: Phương trình z 2z 5 0 có nghiệm là z1 1 2i và z2 1 2i nên ta có: 2 2 2 2 z1 z2 1 2i 1 2i 6 . 2 2 2 2 Cách 2: Dùng định lý Vi ét: z1 z2 z1 z2 2z1z2 2 2.5 6 Câu 32. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (tham khảo hình bên). Giá D C trị sin của góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng ABCD bằng 3 6 A B A. B. 3 3 3 2 D' C. D. C' 2 2 Hướng dẫn : Ta có AC CC' 2 AC' AC2 CC'2 CC' 3 A' B' CC' CC' 3 Ta có ·AC'; ABCD ·AC';AC C· AC' sin C· AC' . AC' CC' 3 3 Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2;3 . Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng x 2y 2x 3 0 là A. x 1 2 y 2 2 z 3 2 2 B. x 1 2 y 2 2 z 3 2 2 C. x 1 2 y 2 2 z 3 2 4 D. x 1 2 y 2 2 z 3 2 4 1 2.2 2.3 3 6 Hướng dẫn: Bán kính mặt cầu R 2 1 2 2 22 3 Do đó phương trình của mặt cầu: x 1 2 y 2 2 z 3 2 22 4 1 Câu 34. Với a,b là các số thực dương tùy ý và a 1, log bằng 1 3 a b 1 A. 3log b B. log b C. 3log b D. log b a a a 3 a 1 Hướng dẫn: log log b 3 3log b 1 3 a a a b Câu 35. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 3 (tham khảo A D hình bên). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ACC'A' bằng H 3 2 3 A. B. B C 2 2 C. 3 2 D. 3 A' Hướng dẫn: Gọi H là trung điểm của AC . D' Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên BH  ACC'A' 1 B' C' B; ACC'A' BH AC 2 3 2 Mà ABCD là hình vuông cạnh 3 nên AC 3 2 B; ACC'A' 2 6
7. Câu 36. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 với mọi x ¡ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; B. 1; C. ; 1 D. ;1 Hướng dẫn: Ta có: f x 0 x 1 0 x 1. Bảng xét dấu: Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; 1 Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2; 2;1 và mặt phẳng P : 2x 3y z 1 0 . Đường thẳng đi qua M và vuông góc với P có phương trình là: x 2 2t x 2 2t x 2 2t x 2 2t A. y 2 3t B. y 2 3t C. y 2 3t D. y 3 2t z 1 t z 1 t z 1 t z 1 t Hướng dẫn: Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với P . Do d vuông góc với P nên d có một vectơ chỉ phương là u 2; 3; 1 . x 2 2t Vậy phương trình của đường thẳng d là: y 2 3t . z 1 t Câu 38. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn 30;50. Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng 11 8 13 10 A. B. C. D. 21 21 21 21 Hướng dẫn: Số phần tử của không gian mẫu là n  21. Gọi A là biến cố: " chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục" . Khi đó A 34;35;36;37;38;39;45;46;47;48;49 n A 11. n A 11 Vậy P A n  21 Câu 39. Biết F x ; G x là hai nguyên hàm của hàm số f x trên ¡ và 4 f x dx F 4 G 0 a a 0 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0 y F x ;y G x ;x 0;x 4. Khi S 8 thì a bằng A.8 B. 4 C. 12 D. 2 Hướng dẫn: Đặt F x G x C + Bước 1: Tìm C. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y F x ;y G x ;x 0;x 4là S = 8, ta có: 4 4 4 S F x G x dx C dx C x0 4 C 8 C 2 C 2 Vậy F x G x 2 0 0 + Bước 2: Tìm a. Mặt khác theo đề bài 7
8. 4 F 4 G 0 a f x dx F 4 F 0 F 4 G 0 C F 4 G 0 C a C 2 0 Mà a 0 a 2 Câu 40. Cho hàm số f x ax4 2 a 4 x2 1 với a là tham số thực. Nếu max f x f 1 thì 0;2 min f x bằng 0;2 A. 17 B. 16 C. 1 D. 3 Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có f 1 0 4a 4 a 4 0 a 2 và f x 2x4 4x2 1 Ta có f 0 1, f 1 1, f 2 17 Vậy min f x f (2) 17 0;2 Câu 41. Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thỏa mãn 4b 1 a.3b 10 0? A.182 B. 179 C. 180 D. 181 b b b b 10 Hướng dẫn: 4 1 a.3 10 0 4 1 3 0(vì a>0) a + Đặt f b 4b 1ta có f b 0 b 0 10 10 g b 3b g b 0 b log a 3 a Cả hai hàm f(b) và g(b) đều đồng biến theo b do b>3 + Để f b .g b 0 và thỏa mãn YCBT ta có hai trường hợp xảy ra thể hiện trong hai bảng xét dấu sau: * Trường hợp 1 (Bảng 1): + Do mỗi a tồn tại 2 số nguyên b dương nên: a Z a Z a Z a Z a 1. Vậy trường hợp này có 1 số a= 1 10 10 2 10 10 log 2 log log 3 9 a 3 a 2 a 3 a 9 8
9. 5 *Trường hợp 2 (bảng 2): Theo YCBT trong khoảng log2 ;0 tồn tại 2 số nguyên b a a Z a Z a Z a Z a Z 1 10 10 10 1 10 1 a Z a 270 3 log 2 log 3 3 log log 3 2 27 a 3 3 3 3 a 90 a a 27 a 9 10 1 a 9 a 91;92; ;270 tồn tại 180 số a Kết luận: có 1+ 180 = 181 số a thỏa mãn YCBT Câu 42. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 1200 và chiều cao bằng 3. Gọi S là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của S bằng A.144 B. 108 C. 48 D. 96 Hướng dẫn: Gọi H là tâm đáy, AB là đường kính của đáy hình nón và SC là đường kính của mặt cầu S . Khi đó SH 3 và A· SC 600 . SH SA 6 cos600 SA2 SH.SC 62 3.SC SC 12 Bán kính của mặt cầu S là R 6 nên diện tích của S là S 4 .62 144 Câu 43. Cho hàm số bậc bốn y f x . Biết rằng hàm số g x ln f x có bảng biến thiên Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x và y g x thuộc khoảng nào dưới đây? A. 33;35 B. 37;40 C. 29;32 D. 24;26 Hướng dẫn: Từ bảng biến thiên hàm số g x ln f x ta có ln f x ln3, x ¡ f x 3, x ¡ f x g x Dog x ln f x g x và f x e f x Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y g x có 3 điểm cực trị là A x1;ln30 , B x2;ln35 , C x3;ln3 nên f x1 f x2 f x3 0 và f x1 30, f x2 35, f x3 3. Do y f x là hàm số bậc 3 nên phương trình f x 0 chỉ có 3 nghiệm x1, x2, x3. 9
10. Xét phương trình hoành độ giao điểm của f x và g x ta có x x1 f x 1 f x 0 f x g x f x f x 1 0 x x2 . f x f x f x 1 VN x x3 1 , 1 1 + Lập bảng xét dấu của f x g x f x 1 eg x 1 g' x eg x 1 f x f x f x g x 1 Do g x ln3 e 0 và 1 0 do f x 3, x ¡ dấu của f x g x cùng dấu f x với g x Từ bảng biến thiên ta có bảng xét dấu như sau Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x và y g x là: x x x 3 3 f x 3 1 S f ' x g' x dx f x dx f x . 1 dx f x f x x1 x1 x1 x x 3 1 3 1 f x . 1 dx f x . 1 dx I I f x f x 1 2 x1 x2 Đặt t f x dt f x dx . Đổi cận: x x1 t f x1 30 .Khi x x2 t f x2 35. Khi x x3 t f x3 3 35 1 35 6 Suy ra I1 1 dt t ln t 35 ln35 30 ln30 5 ln . t 30 7 30 3 1 3 35 Suy ra I2 1 dt t ln t 3 ln3 35 ln35 32 ln . t 35 3 35 6 35 18 VậyS 5 ln 32 ln 37 ln 34,39 33;35 . 7 3 245 Do kết quả không yêu cầu tính toán chính xác nên không cần mất thời gian đề làm như trên x x x x 3 3 f x 3 1 3 1 S f ' x g' x dx f x dx f x . 1 dx 1 d f (x) f x f x f x x1 x1 x1 x1 t t 35 3 2 1 3 1 1 1 1 dt 1 dt 1 dt 1 dt 34,38911 t t t t t1 t2 30 35 Dùng CASIO q(y(1pa1R[$)R30E35$$+q(y(1pa1R[$)R35E3= 10
11. 2 3 Câu 44. Xét tất cả số thực x, y sao cho 275 y a6x log3 a với mọi số thực dương a . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 y2 4x 8y bằng A. 15 B. 25 C. 5 D. 20 Hướng dẫn: 2 2 3 3 5 y 5 y 6x log3 a 3 2x log3 a 2 + Ta có: 27 a 3 a 3 5 y 3 2x log3 a log3 a 2 2 2 5 y 2x log3 a log3 a log3 a 2x log3 a 5 y 0 Để x, y thỏa mãn (*) đúng với a > 0 tức là phương trình t2 2xt 5 y2 0 đúng với t R Khi và chỉ khi ' x2 5 y2 0 x2 y2 5 (*) Suy ra tập hợp các điểm M x;y là hình tròn tâm O 0;0 và bán kính R 5 + Ta có P x2 y2 4x 8y x 2 2 4 y 4 2 16 x 2 2 y 4 2 P 20 ( ) Cách 1. Để (x; y) thỏa mãn đồng thời (*) và ( ) thi 2 đường tròn C1 0 0;0 ,R 5 và C2 I 2; 4 ,R P 20 phải có điểm chung 2 2 IO R1 5 2 4 20 P 5 5 20 P P 15. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 15 Cách 2. Bài toán là tìm (x; y) thỏa mãn x2 y2 5 (*) sao cho biểu thức P x2 y2 4x 8y đạt nhỏ nhất Ta có: P x2 y2 4x 8y x 2 2 4 y 4 2 16 x 2 2 y 4 2 20 IM2 20 với I 2; 4 P nhỏ nhất khi IM2 nhỏ nhất (tìm M thuộc hình tròn sao cho IM2 nhỏ nhất) + Ta có: OI 22 4 2 20 2 5 R Vậy M nằm ngoài đường tròn IM nhỏ nhất khi I, M, O thẳng hàng, lúc đó: 2 2 IM OI R 2 5 5 5 IM 5 Pmin IM 20 5 20 15 Có thể giải bằng phương pháp tọa độ như sau nhưng dài: + Đường thẳng IO có phương trình là y 2x Tọa độ của M x;y thỏa mãn HPT: x 1 y 2x y 2x y 2x y 2 2 2 2 2 x y 5 x 4x 5 x 1 x 1 y 2 Vậy M 1; 2 vì M thuộc góc phần tư thứ IV. IM2 1 2 2 2 4 2 5 2 Pmin IM 20 5 20 15 Câu 45. Cho các số phức z1,z2,z3 thỏa mãn 2 z1 2 z2 z3 2 và z1 z2 z3 3z1z2 . Gọi A,B,C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1,z2,z3 trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng 11
12. 5 7 5 7 5 7 5 7 A. B. C. D. 8 16 24 32 Hướng dẫn: Cách 1: 1 1 3 z z 3z Ta có z z z 3z z z z z z 3z z 2 1 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 z z z 2 2 2 2 1 3 z2 z1 z3 z2 z1 3z3 3 z1 z2 z3 12 12 22 4 Gọi A ,B ,C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1,z2,z3 suy ra A ,B ,C lần lượt đối xứng với A,B,C qua trục Ox S ABC S A B C   3   + Ta có 1 OA OB OC OD C OD 4 3 Tứ giác OA DB là hình thoi có OA OB 1, OC' 2; OD 2 2 2 2 2 3 7 +Tính A’B’: Ta có: A'B' 2A'I 2 OA' OI 2 1 4 2 3 5 1 1 7 5 5 7 + Tính C’I: Ta có: C'I OC' OI 2 S S A'B'.C'I . . 4 4 ABC A 'B'C' 2 2 2 4 16 Cách 2: Dùng phương pháp tọa độ 1 1 3 z z 3z Ta có z z z 3z z z z z z 3z z 2 1 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 z z z 2 2 2 2 1 3 z2 z1 z3 z2 z1 3z3 3 z1 z2 z3 12 12 22 4 Gọi A ,B ,C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1,z2,z3 suy ra A ,B ,C lần lượt đối xứng với A,B,C qua trục Ox S ABC S A B C Nhận xét: Do bài toán chỉ yêu cầu tình diện tích ABC, không yêu cầu tìm của số phức z1,z2,z3cụ thể nên ta có thể chọn z3 2 mà không ảnh đến kết quả bài toán (vì vị trí tương đối của A, B, C không đổi) 3 3 3 z z z x1 x2 .2 (1) 1 2 4 3 4 2 y1 y2 0 (2) + Gọi z3 2 , z1 x1 y1i, z2 x2 y2i . Ta có: z1 1 x2 y2 1 (3) z2 1 1 1 2 2 x2 y1 1 (4) HPT trên đối xứng, vai trò của x1,x2 hoặc y1, y2 có thể đổi chỗ cho nhau Vị trí A’ và B’ có thể đổi cho nhau 3 + Từ (2), (3) và (4) y y và x2 x2 0 x x x x 0 x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 2 2 3 7 7 , 3 7 , 3 7 , y1 1 x1 1 y1 A ; , B ; và C 2;0 4 16 4 4 4 4 4 7 7 A,B, 2. 4 2 12
13.  , , 7 + Đường thẳng A’B’ có VTCP u A B 0; VTPT n 1;0 Phương trình đường thẳng 2 A’B’ là 3 2 3 3 4 5 1 x 0 x 0 d C;AB 4 4 1 4 1 1 7 5 5 7 S ' AB.d C;AB . . A 'B'C 2 2 2 4 16 Cách 3: Không mất tính tổng quát, giả sử z3 2 . 1 1 3 Khi đó z1 z2 z3 3z1z2 trở thành 2 z1 z2 3z1z2 . z1 z2 2 1 1 3 Đặt x yi x, y ¡ x yi . z1 z2 2 1 1 Ta có z3 2 và 2 z1 2 z2 z3 2 nên z1 z2 1 1. z1 z2 3 3 3 x x 4 2 4 x2 y2 1 7 7 Suy ra 2 y y 3 2 x y 1 4 4 2 7 7 y y 4 4 3 7 3 7 Do đó z i;z i . 1 4 4 1 4 4 3 7 3 7 Nên tọa độ các điểm là A ; ;B ; ;C 2;0 . 4 4 4 4 1 1 7 3 5 7 Diện tích tam giác ABC là SABC AB.d C;AB .2. . 2 . 2 2 4 4 16 Câu 46. Trong không gianOxyz , cho điểm A 1;2;2 . Gọi P là mặt phẳng chứa trục Ox sao cho khoảng cách từ A đến P lớn nhất. Phương trình của P là: A. 2y z 0 B. 2y z 0 C. y z 0 D. y z 0 Hướng dẫn: Gọi hình chiếu vuông góc của điểm A 1;2;2 lên trục Ox là K 1;0;0 . + Khi (P) quay quanh trục Ox thì AM luôn luôn không đổi và lớn nhất (vì là cạnh huyền) AH lớn nhất khi HK Vậy khoảng cách từ A đến P lớn nhất nên mặt phẳng P có vecto  pháp tuyến là KA 0;2;2 .  + Phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M 1;0;0 và có vecto pháp tuyến là MA 0;2;2 nên 0. x 1 2 y 0 2 z 0 0 y z 0. 13
14. Câu 47. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2 z z và z 2 z 2i z 2i 2 ? A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Hướng dẫn: + Biến đổi: Do z1 z2 z1.z2 Do z z z 2 z 2i z 2i 2 z 2 z 2i z 2i 2 z 2 z 2i z 2i 2 z 2i 0 2 (*) 2 z 2i z 2i z 2 0 z z z z 2 z 2i z 2i Vậy z thỏa mãn HPT: z2 z z z2 z z z 2i z 2 ( ) z2 z z + Giải (*): z 2i 0 z 2i z 2i thỏa mãn phương trình (2), cả 2vế đều bằng 4 z 2i z 2 (1) + Giải ( ): z2 z z (2) Đặt z x yi Khi đó 2 2 (1) z 2i z 2 x2 y 2 x 2 y2 4y 4x y x 2 2 Lại có: z2 x yi 2 x2 y2 2xyi x2 y2 4x2y2 x2 y2 x2 y2 (2) z2 z z x2 y2 2 y 2y2 2 y 2 y  y 1 0 x y x y x y Vậy ( ) y 0 y 0 x;y 0;0 , 1;1 , 1; 1 y y 1 0 y 1 y 1 Do đó ta có các số z 0;1 i; 1 i; 2i thỏa mãn. Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 48. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh bên AA 2a , góc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng 30. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 8 8 A. 24a3 B. a3 C. 8a3 D. a3 3 9 Hướng dẫn: Kẻ AH  BC, ta có AA  ABC nên AA'  BC . A' C' AH  BC và AA'  BC suy ra BC  AA H A H  BC. Suy ra góc giữa A BC và ABC là A· HA A· HA 30 . ΔA'AH vuông tại A có B' A C 14 H B
15. AA 2a 2a tan A· HA tan30 AH 2a 3. AH AH tan30 ΔABC vuông cân tại A nên BC 2AH 4a 3 . 1 1 S AH  BC 2a 3  4a 3 12a2. ABC 2 2 2 3 Vậy thể tích của khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' là V SABC.h 12a 2a 24a Câu 49. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số a để hàm số y x4 ax2 8x có đúng 3 điểm cực trị? A. 5 B. 6 C. 11 D. 10 Hướng dẫn: Cách 1: y x4 ax2 8x f x + Gọi f x x4 ax2 8x x x3 ax 8 và f ' x 4x3 2ax 8 2 2x3 ax 4 + Đề hàm số y f x có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình f x 0 phải có 2 nghiệm phân biệt và phương trình f ' x 0phải có 1 nghiệm đơn hoặc 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép * Tìm điều kiện PT f x 0 phải có 2 nghiệm phân biệt. x 0 + Ta có: f x x4 ax2 8x x x3 ax 8 0 3 x ax 8 0 (1) x3 8 8 + Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của PT (1). Từ (1) a x2 g x x x 3 8 2 x 4 + g' x 2x g' x 0 x 3 4 x2 x2 2 2 3 3 2 2 a 3a (chú ý rằng: y x a x a x ax a x a x nên y cùng dấu với x a 2 4 + Bảng biến thiên: PT f x 0 phải có 2 nghiệm phân biệt PT (1) có 1 nghiêm đơn Từ bảng biến thiên a 3 4 (*) * Tìm điều kiện PT f ' x 0phải có 1 nghiệm đơn hoặc 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép 2x3 4 4 + f ' x 4x3 2ax 8 2 2x3 ax 4 0 a 2x2 h x x x 3 4 x 1 + h ' x 4x h ' x 0 x 1 x2 x2 15
16. + Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên PT f ' x 0phải có 1 nghiệm đơn hoặc 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép a 6 ( ) Từ (*) và ( ) a 6 mà a Z a 6; 5; 4; 3; 2; 1 x 2 3 4 2 Nhận xét: Với a = -6 thì f ' x 4 x 3x 2 0 x 1 và f x x 6x 8x đồ thị có dạng x 1 như sau: (dùng phần mền để vẽ) 2 Cách 2: y x4 ax2 8x x4 ax2 8x 2 x4 ax2 8x 4x3 2ax 8 4x x3 ax 8 2x3 ax 4 y' 2 x4 ax2 8x 2 x4 ax2 8x + Để hàm số y x4 ax2 8x có đúng 3 cực trị thì PT y’ = 0 phải có 3 nghiệm bội lẻ x 0 3 y' 0 x ax 8 0 (1) . Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) và (2) 3 2x ax 4 0 (2) Để y’ = 0 có 3 nghiệm bội lẻ thì tổng số nghiệm của (1) và (2) là 2 nghiệm và không có nghiệm chung x3 8 8 *Xét (1): x3 ax 8 0 a x2 g x x x 3 8 2 x 4 + g' x 2x g' x 0 x3 4 x 3 4 x2 x2 + Bảng biến thiên: 4 8 123 2 (g 3 4 63 2 ) 3 4 2 16
17. 2x3 4 4 *Xét (2): 2x3 ax 4 0 a 2x2 h x x x 3 4 x 1 h ' x 4x h ' x 0 x 1 x2 x2 + Ta có bảng biến thiên: 63 2 6 nên khi a 6 thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm đơn (dương) và 2 nghiệm dương này không trùng nhau vì giả sử chúng trùng nhau ta có: x3 8 2x3 4 Do x 0 a x3 8 2x3 4 x3 4 x 3 4 3 4 0 x x (tại nghiệm kép hàm số không đạt cực trị) Vậy YCBT a 6 mà a Z a 6; 5; 4; 3; 2; 1 Nhân xét: Nên giải theo cách 2 do đơn giản hơn và chặt chẽ hơn. Câu 50. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S tâm I 9;3;1 bán kính bằng 3. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc 2 trục Ox, Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với S , đồng thời mặt cầu ngoại tiếp 13 tứ diện OIMN có bán kính bằng . Gọi A là tiếp điểm của MN và S , giá trị AM.AN bằng 2 A. 12 3 B. 18 C. 28 3 D. 39 Hướng dẫn: Cách 1: + Đặt M a;0;0 và N 0;0;b . Nhận xét: Do I 9;3;1 d(I,(Oxz)) 3 R S tiếp xúc Oxz mà MN  Oxz tiếp xúc S MN tiếp xúc S tại tiếp điểm của S và Oxz A 9;0;1 (A là hình chiếu vuông góc của I lên mp(Oxz)  AM a 9; 0; 1 +  AN 9; 0;b 1   a 9 1 Do AM và AN cùng phương a 9 b 1 9. 9 b 1 + Khi đó OIMN có OMN vuông tại O , IMN  OMN (do IA  IMN , IA  OMN ) 13 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp OIMN bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp IMN bằng 2 (Chứng minh: Gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp OIMN. Để J cách đều 3 điểm O, M, N thì J phải nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp OMN J Nằm trên đường trung trực của MN. Để IM=JI thì J phải nằm trên đường trung trực của IM. Vậy tâm J của mặt cầu trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp IMN) 17
18. 1 IM.IN.MN abc Suy ra: S .3.MN IM.IN 39 1 (sử dụng công thức S ) IMN 13 2 4. 4R 2 Mà IM a 9 2 32 12 a 9 2 10 IN 92 32 b 1 2 90 b 1 2 (do a 9 b 1 9 ) 81 Thay vào 1 ta được: a 9 2 10 90 392 2 a 9 81 Dùng máy tính MA: (t + 10) 90 + = 392 t = 3 or t = 3 t 92 a 9 2 3, b 1 2 27 3 2 AM a 9 1 2 Ta có AM.AN 12 3 . 2 AN 81 b 1 81 27 108 6 3 Cách 2: I 9;3;1 d I Oxz 3 R S tiếp xúc với Oxz . Gọi M a;0;0 Ox N 0;0;b Oz MN tiếp xúc với S tại A nên A là hình chiếu của I lên Oxz . Suy ra A 9;0;1 . a b Gọi K là trung điểm MN K ;0; . 2 2 13 Gọi H là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN OH HK  MN . 2 OM  KT Gọi T là trung điểm OM  OM  KHT OM  HK HK  OMN OM  HT Mà IA  OMN HK // IA .  Ta có AI 0;3;0  a b KH xH ;yH 0;zH . 2 2 a x H 2   AI cùng phương KH nên yH c c 0 b z H 2 a b H ;c; 2 2 18
19. 13 a2 b2 169 OH c2 1 2 4 4 4 2 2 13 a 2 b 169 HI OH 9 c 3 1 2 2 2 2 4 2 2 2 2 a 2 b a 2 b Từ 1 và 2 suy ra c 9 c 3 1 4 4 2 2 9a b 6c 91 3  AM a 9;0; 1  AN 9;0;b 1 a 9 1 A,M, N thẳng hàng 9 b 1 a 2 b 1 9 ab a 9b 9 9 ab a 9b 0 a b 1 ab 9b a b 1 9b Từ 3 9. b 6c 91 b 1 81b b 6c 91 b 1 b2 80b b2 80b b2 11b 91 6c 91 6c 91 b 1 b 1 b 1 b2 11b 91 c 6 b 1 Ta có a2 4c2 b2 169 2 2 9b b2 11b 91 4 b2 169 b 1 6 b 1 9.81b2 b4 121b2 8281 22b3 182b2 2002b 9b2 b 1 2 169.9. b 1 2 729b2 b4 121b2 8281 22b3 182b2 2002b 9b4 18b3 9b2 1521b2 3042b 1521 10b4 40b3 480b2 1040b 6760 0 9 1 3 3 b 1 3 3 a 9 3 3 3 9 1 3 3 b 1 3 3 a 9 3 3 3  + Trường hợp 1: a 9 3; b 1 3 3 AM 3;0; 1 AM 2 . 19
20.  AN 9;0;3 3 AN 108 . AM.AN 2. 108 12 3 .  + Trường hợp 2: a 9 3; b 1 3 3 AM 3;0; 1 AM 2.  AN 9;0; 3 3 AN 108 . AM.AN 2. 108 12 3 Chú ý: Nên giải theo cách 1 20