Đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông Quốc gia năm 2022 môn Toán 12 - Mã đề thi 102 (Có lời giải)

Nội dung text: Đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông Quốc gia năm 2022 môn Toán 12 - Mã đề thi 102 (Có lời giải)

1. ĐỀ THI TN THPT MÔN TOÁN NĂM 2022 Mã đề 102 Câu 1. Cho hàm số f x ex 2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f x dx ex 2x2 C . B. f x dx ex x2 C . C. f x dx ex C. D. f x dx ex x2 C. Câu 2. Đạo hàm của hàm số y x 3 là 1 1 A. y x 4 . B. y 3x 4 . C. y x 4 . D. y x 2 . 3 2 Câu 3. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau? A. y x3 3x . B. y x3 3x . C. y x4 2x2 . D. y x4 2x2 . Câu 4. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng Oyz là A. x 0. B. x y z 0. C. z 0. D. y 0. 2x 1 Câu 5. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là đường thẳng có phương trình 2x 4 A. y 2 . B. x 2 . C. x 1. D. y 1. Câu 6. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0; . B. 1; . C. 1;0 . D. 0;1 . Câu 7. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau 1
2. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. x 2 . B. x 1. C. x 1. D. x 2 . Câu 8. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z 2 7i có tọa độ là A. 2;7 . B. 2; 7 . C. 2;7 . D. 7;2 . Câu 9. Cho cấp số nhân un với u1 1 và u2 2. Công bội của cấp số nhân đã cho là 1 1 A. . B. 2 . C. 2. D. . 2 2 Câu 10. Cho 2 số phức z1 2 3i và z2 1 i. Số phức z1 z2 bằng A. 3 4i. B. 1 4i. C. z 5 i. D. 3 2i. Câu 11. Với a là số thực dương tùy ý, 4log a bằng A. 4loga . B. 8loga . C. 2loga . D. 2loga . Câu 12. Cho f x dx cos x C . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f x sin x . B. f x cos x . C. f x sin x . D. f x cos x . Câu 13. Cho hình trụ có chiều cao h 1 và bán kính đáy r 2. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 6 . Câu 14. Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 3, đáy ABC có diện tích bằng 10. Thể tích khối chóp S.ABC bằng A. 15. B. 10. C. 2 . D. 30. Câu 15. Mô đun của số phức z 3 4i bằng A. 7 B. 5 . C. 7 . D. 25. Câu 16. Nghiệm của phương trình 32x 1 32 x là 1 A. x . B. x 0. C. x 1. D. x 1. 3 Câu 17. Cho hàm số f x ax4 bx2 c có đồ thị là đường cong trong hình vẽ sau Số nghiệm thực của phương trình f x 1 là A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 1. Câu 18. Tập nghiệm của bất phương trình log5 x 1 2 là A. 24; . B. 9; . C. 25; . D. 31; . 2 2 1 Câu 19. Nếu f x dx 4 thì f x 2 dx bằng 2 0 0 A. 2 . B. 6 . C. 4 . D. 8. Câu 20. Tập xác định của hàm số y log3 x 4 là. 2
3. A. ;4 . B. 4; . C. 5; . D. ; . Câu 21. Cho hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị như đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3. Câu 22. Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là A. 1728. B. 220 . C. 1320. D. 36. Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2; 3 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. 1;0; 3 . B. 1;0;0 . C. 1;2;0 . D. 0;2; 3 . 2 2 Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S :x2 y 2 z 1 6 . Đường kính của S bằng A. 3. B. 6 . C. 2 6 . D. 12. Câu 25. Cho tam giác OIM vuông tại I có OI 3 và IM 4. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón có độ dài đường sinh bằng A. 4 . B. 3. C. 5 . D. 7 . Câu 26. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy 3a2 và chiều cao 2a . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng A. 3a3 . B. 6a3. C. 2a3 . D. a3 . x 2 t Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : y 1 2t . Vectơ nào dưới đây là một véctơ z 1 3t chỉ phương của d ?   A. u4 2;1;1 . B. u1 2;1; 1 .   C. u3 1; 2; 3 . D. u3 1; 2; 3 . 5 1 Câu 28. Nếu f x dx 3 thì f x dx bằng 1 5 A. 3. B. 4 . C. 6 . D. 5 . Câu 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB a , BC 2a và AA' 3a (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A'C' bằng 3
4. A. 2a . B. 2a . C. 3a . D. a . Hướng dẫn: d BD,A'C' d BD, A'B'C'D' d B, A'B'C'D' BB' 3a . Câu 30. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ¡ ? x 1 A. y x4 x2 . B. y x3 x . C. y . D. y x3 x . x 2 Hướng dẫn: Hàm số y x3 x y' 3x2 1 0,x ¡ . Do đó hàm số đồng biến trên ¡ . Câu 31. Giá trị trị lớn nhất của hàm số f x x3 3x2 9x 10 trên đoạn  2;2 bằng A. 15.B. 10.C. 1.D. 12 . 2 x 1 Hướng dẫn: Ta có f x 3x 6x 9 . f x 0 x 3 loai Do đó f 2 8 , f 1 15, f 2 12 . Vậy max f x f 1 15 .  2;2 Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 0; 3;2 và mặt phẳng P : 2x y 3z 5 0 . Mặt thẳng đi qua A và và song song với P có phương trình là A. 2x y 3z 9 0 .B. 2x y 3z 3 0. C. 2x y 3z 3 0 .D. 2x y 3z 9 0 . Hướng dẫn: Vì đường thẳng cần tìm song song với mặt phẳng P : 2x y 3z 5 0 . Nên đường thẳng cần tìm có có VTPT n nP 2; 1;3 và đi qua A 1;2; 1 suy ra có phương trình 2 x 0 y 3 3 z 2 0 2x y 3z 9 0 . Câu 33. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn 40;60. Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng 2 4 3 3 A. . B. . C. . D. . 5 7 7 5 Hướng dẫn: Số cách chọn 1 số thuộc đoạn 40;60 có 21 cách chọn. Số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục: Đoạn 40;49 gồm 45;46; 49 có 5 số. Đoạn 50;59 gồm 56;57; 59 có 4 số. Đoạn 60;69 gồm 67;68;69 có 3 số. Vậy có 3 4 5 12 số. 12 4 Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là P . 21 7 4
5. Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;2; 1 , B 3;0;1 , C 2;2; 2 . Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC có phương trình là: x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 A. . B. . 1 2 1 1 2 3 x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 C. .D. . 1 2 1 1 2 1     Hướng dẫn: AB 2; 2;2 , AC 1;0; 1 . AB,AC 2;4;2 2 1;2;1 Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng ABC nên đường thẳng cần tìm có véctơ chỉ phương x 1 y 2 z 1 là u 1;2;1 và đi qua A 1;2; 1 . Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là: . 1 2 1 2 Câu 35. Gọi z1,z2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 6 0 . Khi đó z1 z2 z1.z2 bằng A. 5. B. 7. C. 7 . D. 5 . 1 6 Hướng dẫn: z z z .z z z z .z 5 (áp dụng định lý Vi-et). 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 Câu 36. Cho hàm số f x 1 . Khẳng định nào dưới đay đúng? cos2 2x 1 A. f x dx x cos2x C. B. f x dx x tan 2x C . 2 1 1 C. f x dx x tan 2x C . D. f x dx x tan 2x C. 2 2 1 1 Hướng dẫn: f x dx 1 dx x tan 2x C . cos2 2x 2 Câu 37. Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập xác định của hàm số y log 6 x x 2 ? A. 7 . B. 8. C. Vô số. D. 9 . Hướng dẫn: ĐKXĐ: 6 x x 2 0 2 x 6. Mà x ¢ x 1;0;1;2;3;4;5 Vậy có 7 số nguyên thuộc tập xác định của hàm số y log 6 x x 2 . Câu 38. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC 2,AB 3 và AA 1 (tham khảo hình bên dưới). Góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABC bằng A. 90. B. 60 . C. 30. D. 45 . 5
6. AB  CC CC  ABC Hướng dẫn: Ta có AB  C CB AB  C B. AB  BC C AB  ABC AB · · C B  AB C AB ; ABC C B;BC C· BC. CB  AB 2 ABC vuông tại B nên BC AC2 AB2 22 3 1. C C 1 Trong tam giác vuông C BC , tan C· BC 1. BC 1 Do đó C· BC 45. Vậy · C AB ; ABC 45 . Câu 39. Cho hàm số f (x) mx4 2(m 1)x2 với m là tham số thực. Nếu minf (x) f (1) thì maxf (x) [0;2] [0;2] bằng A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 0 . Hướng dẫn: f (x) 4mx3 4(m 1)x . 1 Do f x là hàm đa thức và minf (x) f (1) f 1 0 4m 4 m 1 0 m . [0;2] 2 1 Thay m vào hàm số ban đầu ta được 2 1 4 1 2 1 4 2 3 y x 2 1 x x x y 2x 2x 2x x 1 x 1 . 2 2 2 Ta có BBT: 1 Vậy với m , thì minf (x) f (1) TM . 2 [0;2] Dựa vào BBT ta có maxf (x) f (2) 4. [0;2] Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thỏa mãn 5b 1 a.2b 5 0? A. 20 . B. 21. C. 22 . D. 19. b b b b 5 Hướng dẫn: 5 1 a.2 5 0 5 1 2 0 (vì a>0) a + Đặt f b 5b 1ta có f b 0 b 0 6
7. 5 5 g b 2b g b 0 b log a 2 a Cả hai hàm f(b) và g(b) đều đồng biến theo b do b>2 + Để f b .g b 0 và thỏa mãn YCBT ta có hai trường hợp xảy ra thể hiện trong hai bảng xét dấu sau: * Trường hợp 1 (Bảng 1): + Do mỗi a tồn tại 2 số nguyên b dương nên: a Z a Z a Z a Z a 1. Vậy trường hợp này có 1 số a= 1 5 5 2 5 5 log 2 log log 2 4 a 2 a 2 a 2 a 4 5 *Trường hợp 2 (bảng 2): Theo YCBT trong khoảng log2 ;0 tồn tại 2 số nguyên b a a Z a Z a Z a Z a Z 1 5 5 5 1 5 1 a Z a 40 3 log 2 log 2 3 log log 2 2 8 a 2 2 2 2 a 20 a a 8 a 4 5 1 a 4 a 20;21; ;40 tồn tại 20 số a Kết luận: có 1+ 20 = 21 số a thỏa mãn YCBT Câu 41. Biết F x và G x là hai nguyên hàm của hàm số f x trên ¡ và 5 f x dx F 5 G 0 a, a 0 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bỡi các đường y F x , 0 y G x , x 0 và x 5. Khi S 20 thì a bằng? A. 4 . B. 15. C. 25. D. 20 . Hướng dẫn: Đặt G x F x C (C là hằng số). 5 f x dx F 5 F 0 F 5 G 0 C F 5 G 0 C 0 5 5 5 Suy ra C a . S F x G x dx a dx adx 5a . Theo giả thiết 5a 20 a 4 0 0 0 Câu 42. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a . Góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ACC A bằng 30. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 1 3 3 2 2 A. a3 .B. a3 .C. a3 .D. a3 8 8 2 2 7
8. 1 a2 Hướng dẫn: Diện tích đáy: S AB.AC . ABC 2 2 AB  AC Ta có: AB  ACC A . AB  AA ·BC , ACC A B· C A 30 Khi đó AC AB.cot 30 a 3 . 2 AA AC 2 A C 2 a 3 a2 a 2 a2 2 Vậy, thể tích khối lăng trụ đã cho là: V S .AA .a 2 .a3 . ABC 2 2 Câu 43. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 120 và chiều cao bằng 1. Gọi S là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của S bằng A. 16 . B. 12 . C. 4 . D. 48 Hướng dẫn: Xét tam giác vuông SMO có OM OM tan M· SO tan 60 OM 3 OS 1 Kẻ đường kính SS của mặt cầu ngoại tiếp hình nón. Tam giác SMS vuông tại M có MO  SS 2 MO2 OS.OS 3 1.OS OS 3 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là OS OS 1 3 R 2 2 2 Diện tích S là S 4 R2 4 .22 16 . 2 2 Câu 44. Xét các số thực x, y sao cho 499 y a4x log7 a với mọi số thực dương a . Giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y2 4x 3y bằng: 121 39 A. . B. . C. 24 . D. 39. 4 4 Hướng dẫn: 9 y2 4x log a2 2 2 49 a 7 9 y 4x log7 a Cách 1.  Ta có log7 49 log7 a . 2 2 2 9 y log7 49 4x log7 a log7 a 2 9 y 2 2x log7 a log7 a . 1 2 2 Đặt t log7 a , khi a 0 thì t ¡ , 1 trở thành t 2x.t 9 y 0 . 2 1 đúng với mọi a 0 2 đúng với mọi t ¡ x2 9 y2 0 x2 y2 9.  Xét 4x 3y 2 16 9 x2 y2 4x 3y 2 225 4x 3y 15(sử dụng BĐT Bunhiacopski: cho 4 số bất kỳ a, b, x, y, ta có: 8
9. a b ax by a2 b2 x2 y2 hay ax by 2 a2 b2 x2 y2 dấu “=”xảy ra khi x y  Suy ra P x2 y2 4x 3y 9 15 24, đẳng thức xảy ra khi 12 9 x y x ;y 5 5 4 3 2 2 12 9 x y 9 x ;y 5 5 . Vậy GTLN của P bằng 24 . Cách 2. Dùng hình học. Từ kết quả của cách 1, bài toán trở thành: 2 2 2 2 Tìm GTLN của P x y 4x 3y khi x, y thỏa mãn x y 9 2 2 2 2 2 9 9 2 3 25 P x y 4x 3y x 4x 4 4 y 3y x + 2 + y - - 2 4 4 2 4 2 2 + Gọi M(x; y) thỏa mãn (1) nên M(x; y) thuộc miền trong và biên của đường tròn x y 9 2 2 3 25 2 25 3 + P x 2 y MI với I 2; 2 4 4 2 P lớn nhất khi MI lớn nhất 2 2 3 5 + OI 2 R Vậy I nằm trong đường tròn. 2 2 MI lớn nhất khi M, O, I thẳng hàng (dễ dàng chứng minh dựa vào tính chất: Trong đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất) 5 11 Lúc đó MI R OI 3 2 2 2 25 121 25 P MI 24 max 4 4 4 Câu 45. Cho các số phức z1,z2,z3 thỏa mãn z1 z2 2 z3 2 và 3z1z2 4z3 z1 z2 . Gọi A,B,C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1,z2,z3 trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng 7 3 7 7 3 7 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Hướng dẫn: Cách 1. 3 4 4 3z 4z 4z Ta có 3z z 4z z z 3z z 4z z 4z z 3 2 1 1 2 3 1 2 1 2 3 1 3 2 z z z 2 2 2 3 2 1 z3 z2 z1 3z3 4z2 4z1 z1 z2 3z3 (1) 12 22 22 Gọi A ,B ,C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1,z2,z3 suy ra A ,B ,C lần lượt đối xứng với A,B,C qua trục Ox S S .     ABC A B C + Ta có 1 OA OB 3OC OD , trong đó   OA OB 2OC 2, OD 3OC , 9
10. suy ra tứ giác OA DB là hình thoi có OA OB 2,OD 3 và C OD :OC 1. 2 2 2 2 3 +Tính A’B’: Ta có: A'B' 2A'I 2 OA' OI 2 2 7 2 3 1 1 1 1 7 + Tính C’I: Ta có: C'I OI OC' 1 S S A'B'.C'I . 7. 2 2 ABC A 'B'C' 2 2 2 4 Cách 2. Ta có 3z1z2 4z3 z1 z2 3z1z2 4z3 z1 z2 3z1z2 4z3 z1 z2 z1 z2 3. Lấy D đối xứng với B qua O , suy ra D biểu diễn z2 . Ta có z1 z2 3 AD 3. 1 ABD có trung tuyến AO BD nên ABD vuông tại A 2 AB BD2 AD2 7 . + 3z1z2 4z3 z1 z2 z1 3z2 4z3 4z2z3 z1 3z2 4z3 4z2z3   2 2 · 3z2 4z3 4 3OB 4OC 4 9OB 16OC 24OB.OC.cosBOC 16 3 cosB· OC . 4 3 Áp dụng định lí cosin cho BOC ta có: BC OB2 OC2 2OB.OC.cosB· OC 4 1 4. 2 . 4 Tương tự ta tính được AC 2 . 7 Vậy S . ABC 4 Ghi chú: Nên giải theo cách 1 vì đơn giản và logic hơn Câu 46. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2 z z và z 2 z 2i z 2i 2 ? A. 4 .B. 2 . C. 3. D. 1. Hướng dẫn: Gọi z a bi với a;b ¡ Ta có: z2 z z a2 b2 2 b * Mặt khác z 2 z 2i z 2i 2 Vì z 2i z 2i nên z 2i z 2i . z 2i 0 z 2i Nên từ ( ) . z 2 z 2i Với z 2i 0 z 2i ( thoả mãn * ) Với z 2 z 2i a 2 2 b2 a2 b 2 2 a b thay vào (*) ta được: 10
11. b 0 a 0 z 0 b2 b2 2 b b2 b b 1 a 1 z 1 i b 1 a 1 z 1 i . Vậy có tất cả 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;1; 1 . Gọi P là mặt phẳng chứa trục Oy sao cho khoảng cách từ A đến P là lớn nhất. Phương trình của P là: A. 2x z 0 . B. 2x z 0. C. x z 0. D. x z 0. Hướng dẫn: Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng P , A là hình chiếu vuông góc của điểm A lên trục Oy suy ra A 0;1;0 . Khi đó khoảng cách từ A đến P là đoạn thẳng AH AA' . Độ dài đoạn thẳng AH dài nhất khi  H và A trùng nhau. Khi đó mặt phẳng P nhận A A 2;0; 1 làm véc tơ pháp tuyến. Suy ra phương trình mặt phẳng P  đi qua A 0;1;0 có VTPT: A A 2;0; 1 là: 2 x 0 0 y 1 1 z 0 0 2x z 0 . Câu 48. Cho hàm số bậc bốn y f x . Biết rằng hàm số g x ln f x có bảng biến thiên như sau: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x và y g x thuộc khoảng nào dưới đây? A. 38;39 .B. 25;26 .C. 28;29 .D. 35;36 . f x Hướng dẫn: + Ta có: g x . f x g x + Từ bảng biến thiên ta thấy g x 0 , x ¡ suy ra f x e 1, x ¡ . x x1 + Phương trình f x g x g x .f x g x g x . f x 1 0 g x 0 x x2 . x x3 + Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x và y g x là x x x 3 2 f x 3 f x S f x g x dx f x dx f x dx f x f x x1 x1 x2 t f x 42 37 1 1 1 dt 1 dt 35,438 35;36 . t t 10 42 Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S tâm I 4;1;2 bán kính bằng 2 . Gọi M ; N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox ; Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với S , đồng thời mặt cầu 11
12. 7 ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng . Gọi A là tiếp điểm của MN và S , giá trị AM.AN 2 bằng A. 6 2 . B. 14. C. 8. D. 9 2 . Hướng dẫn: Cách 1: Ta có : d I,(Oxy) 2 nên mặt cầu S tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại điểm A 4;1;0 , đồng thời đường thẳng MN tiếp xúc với S cũng tại điểm A 4;1;0 do MN  Oxy Gọi M m;0;0 ; N 0;n;0 , m,n 0   m 4 4k 4n Do A MN nên AM kAN m 4 n 1 4 m ,n 1 0 . 1 k n 1 n 1 21 Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OI :4x y 2z 0 2 m Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OM :x 2 n Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn ON :y 2 m n n2 6n 21 Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN là J ; ; 2 2 4n 4 7 7 49 Theo giả thuyết cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng nên OJ OJ2 2 2 4 2 2 4n2 n2 n 6n 21 49 n4 4n3 10n2 28n 49 0 n 1 2 2 n 1 2 4 16 n 1 2 4 Vì n 0 nên chọn n 1 2 2 , suy ra m 4 2 . Khi đó AM.AN 6 2 . Cách 2: Dễ thấy mặt cầu S tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại điểm A 4;1;0 , đồng thời đường thẳng MN tiếp xúc với S cũng tại điểm A 1;4;0 do MN  Oxy Gọi M a;0;0 ; N 0;b;0 .   a 4 4k 1 4 Do A MN nên AM kAN 1. 1 k b 1 b a a b Gọi J là trung điểm MN J ; ;0 và I 4;1;2 thuộc đường thẳng vuông góc với Oxy tại 2 2 a x 2 b điểm J . Phương trình là y 2 z t 12
13. a b Tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN là điểm K ; ;t . 2 2 1 4 1 4 1 1 b a b a 2 2 7 a b 2 49 Theo giả thiết ta có hệ: OK t 2 4 4 4 7 2 2 IK a b 2 49 2 4 1 t 2 2 2 4 4b 4b a a b 1 b 1 b2 6b 21 4a b 4t 21 0 t 4 b 1 2 2 a b 2 49 t a2 b2 49 4 4 4 t2 4 4 4 2 2 2 b2 6b 21 2 2 b 4b 49 2 1 16 4b 64 1 b 5 196 4 b 1 2 16 b 1 2 4 b 1 b 1 128 64 1 256 4b2 64 b 5 2 32 b 5 . 196 b 1 b 1 2 b 1 b 1 2 320 1 64 5b2 10b 25 32 b 5 4 . 132 b 1 2 16 b 1 2 b 1 b 1 2 2 2 2 b 1 2 2 b 1 8 0 b 1 8 b 1 2 2 Với b 1 2 2 ta được a 4 2 AM.AN 6 2 . Với b 1 2 2 ta được a 4 2 AM.AN 6 2 . Câu 50. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số a để hàm số y x4 2ax2 8x có đúng ba điểm cực trị? A. 2 . B. 6 . C. 5 . D. 3. Hướng dẫn: Xét hàm số f x x4 2ax2 8x trên ¡ . f x 4x3 4ax 8. 2 f x 0 4x3 4ax 8 0 a x2 (Do x 0 không thỏa mãn nên x 0 ). x 2 Xét hàm số g x x2 trên ¡ \ 0 . x 2 g x 2x . x2 2 f x 0 2x 0 x 1. x2 13
14. Bảng biến thiên của hàm số g x : Dễ thấy phương trình f x 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt, trong đó có ít nhất một nghiệm đơn x 0 nên yêu cầu bài toán Hàm số f x có đúng một điểm cực trị Phương trình a g x có một nghiệm đơn duy nhất a 3. Do a nguyên âm nên a 3; 2; 1. Vậy có 3 giá trị nguyên âm của tham số a thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Cách 2: y x4 2ax2 8x x4 2ax2 8x 2 x4 2ax2 8x 4x3 4ax 8 4x x3 2ax 8 x3 ax 2 + y' 2 x4 2ax2 8x x4 2ax2 8x + Hàm số y x4 2ax2 8x có 3 cực trị khi PT y’ = 0 có 3 nghiệm đơn. x 0 3 + y' 0 x 2ax 8 0 (1) Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) và (2). 3 x ax 2 0 (2) + PT đã có nghiêm x = 0 Tổng số nghiệm đơn của (1) và (2) phải là (2) * Xét (1): x3 2ax 8 0 3 x3 8 1 4 4 x3 4 x 4 + x3 2ax 8 0 a x2 g x g x ' x 2x 2 x x2 x2 x2 + g x ' 0 x 3 4 . Bảng biến thiên: g 3 4 33 2 3,7797 + Từ BBT a 33 2 (*) * Xét (2): x3 ax 2 0 2 + x3 ax 2 0 a x2 (Do x 0 không thỏa mãn nên x 0 ) x 2 Xét hàm số h x x2 trên ¡ \ 0 x 14
15. 3 2 2x3 2 2 x 1 hg x 2x h ' x 0 x 1. x2 x2 x2 Bảng biến thiên của hàm số h x : + f ' x 0 có 1 nghiệm đơn khi a 3 ( ) + Để thỏa mãn cả 2 điều kiện, từ (*) và ( ) a 3 Do a nguyên âm nên a 3; 2; 1 Vậy có 3 giá trị nguyên âm của tham số a thỏa mãn yêu cầu bài toán. 15