Đề thi thử Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán học 12 - Đề 57 (Có lời giải)

Nội dung text: Đề thi thử Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán học 12 - Đề 57 (Có lời giải)

1. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA ĐỀ SỐ 57 Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau ? 3 3 3 7 A.C7 . B. 7 . C. A7 . D. 3 . Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A.1, 3,9, 27,81 B.1, 3, 6, 9, 12 C.1, 2, 4, 8, 16 D. 0,3,9,27,81 Câu 3: Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là 1 A. V Bh B. V B2h C. V Bh D. V Bh 3 Câu 4. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số có giá trị cực đại bằng A. 1. B. 1. C. 3. D. 0. Câu 5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = b quay quanh trục AB tạo thành hình trụ. Thể tích khối trụ tương ứng bằng 1 1 A. a2b. B. ab2. C. ab2. D. a2b. 3 3 2 Câu 6: Tập xác định của hàm số y log2 x 7x 10 là A. 2; 5 B. ; 2  5; C. ; 25; D. 2; 5 Câu 7: Cho hai hàm số f x và g x liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x a, x b a b . Khi đó, diện tích S của (H) được tính bằng công thức: b b b b b A. S f x g x dx B. S f x g x dx C. S f x dx g x dx D. S g x f x dx a a a a a Câu 8. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? x 2 x 2 x 2 2x 4 A. y . B. y C. y D. y x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 Câu 9: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm M(0; -1) x 1 là A. y 2x 1. B. y 2x 1. C. y x 1 . D. y x 1 2 Câu 10. Cho a là số thực dương. Biểu thức a 3 . a viết dưới dạng lũy thừa với 11 6 1 7 số mũ hữu tỷ là: A. a 6 .B. a 5 . C. a 3 . D. a 6 . Câu 11. Hàm số F x ex tan x C là nguyên hàm của hàm số f x nào sau đây? x x 1 x 1 x e x 1 A. f x e 2 . B. f x e 2 . C. f x e 1 2 . D. f x e 2 . sin x sin x cos x cos x Câu 12. Cho số phức z 1 i i3 . Tìm phần thực a và phần ảo b của z A. a = 1; b = -2.B. a = -2; b = 1.C. a = 1; b = 0.D. a = 0; b = 1. Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm M 2;0;0 ; N 0; 3;0 ; P 0;0;4 . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của điểm Q là.A. Q 2; 3;4 . B. Q 2;3;4 . C. Q 3;4;2 . D. Q 2; 3; 4 Câu 14. Mặt cầu (S): x2 y2 z2 8x 2y 1 0 có tâm là A. I 8; 2;0 B. I 4;1;0 C. I 8;2;0 D. I 4; 1;0 Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;0;1 ; B 2;1;1 . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB làA. x y 2 0 . B. x y 1 0 . C. x y 2 0 . D. x y 2 0 .
2. x t Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng d : y 1 2t ;t ¡ có vectơ chỉ phương là z 2 A.u 1;1;2 . B. u 1; 2;2 . C. u 1; 2;0 . D. u 0;1;2 . Câu 17. Cho ba đường thẳng a,b,c và P . Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Nếu a  c và b  c thì b//a .B. Nếu a  c và b  c thì b  a . C. Nếu a// P và b  P thì b  a .D. Nếu a// P và b  P thì b//a . 3x 2 Câu 18. Cho hàm số y có đồ thị là (C). Mệnh đề nào sau đây đúng? x 1 A. (C) có tiệm cận ngang là y = 3. B. (C) chỉ có 1 tiệm cận. C. (C) có tiệm cận ngang là x = 2. D. (C) có tiệm cận đứng là x = 1. Câu 19. Hàm số y x3 3x 2020 đạt cực tiểu tại A. x 1. B. x 3. C. x 1. D. x 0. Câu 20. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y a x ; y bx ; y cx được cho trong hình vẽ bên dưới. Mệnh dề nào dưới đây đúng? A. a < 1 < c < b. B. 1 < a < c < b. C. 1 < a < b < c.D. a < 1 < b < c. Câu 21. Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất 6,9%/ năm. Biết rằng tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó rút được cả tiền gốc lẫn tiền lãi gần với con số nào sau đây A. 116 570 000 đồngB. 105 370 000 đồng C. 111 680 000 đồngD. 107 667 000 đồng Câu 22: Cho mặt cầu S(I; R) và một điểm A sao cho IA 2R . Từ A kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu (S) thì tập hợp các 3 tiếp điểm là A. một đường tròn có bán kính r R. B. một đường tròn có bán kính r 3R. 2 3R 2 5R C. một đường tròn có bán kính r . D. một đường tròn có bán kính r . 2 5 1 x Câu 23. Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y . Khi đó x2 4x 3 A. n 1 B. n 3 C. n 2 D. n 4 Câu 24.Cho tích phân I x2 cos xdx và đặt u x2 ,dv cos xdx . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 0 0 0 A. I x2 sin x xsin xdx. B. I x2 sin x xsin xdx. 0 0 0 0 C. I x2 sin x 2 xsin xdx. D. I x2 sin x 2 xsin xdx. 0 0 kx Câu 25: Áp suất không khí P (đo bằng milimet thuỷ ngân, kí hiệu mmHg) theo công thức P P0.e (mmHg), trong đó x là độ cao so với mực nước biển (đo bằng mét), P0 760 (mmHg) là áp suất không khí ở mực nước biển x 0 , k là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất không khí là 672,71 (mmHg). Tính áp suất của không khí ở độ cao 3000 m. A. 527,06 (mmHg). B. 530,23 (mmHg). C. 530,73 (mmHg).D. 545,01 (mmHg). Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC a 5 và BC a 2 . a 3 3a 2a Khoảng cách giữa SD và BC bằng A. B. a 3 C. D. 2 4 3 Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2x3 3x2 2m 1 có đúng hai nghiệm 1 3 5 1 phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng A. B. C. D. 2 2 2 2 x 1 Câu 28.Cho hàm số y có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M song song với đường x 2 thẳng 3x y 1 0 ? A.0.B.1.C.3. D.2.
3. 1 5 Câu 29: Cho tích phân I x 1 x dx. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 1 0 0 0 A. I t5 1 t dt. B. I t 6 t5 dt. C. I t5 1 t dt. D. I t 6 t5 dt. 0 1 1 1 2 Câu 30. Cho hai số phức z1 2 i, z2 1 3i . Tính mô – đun của số phức w z1 z2 A. w 7 B. w 5 C. w 19 D. w 53 Câu 31. Cho hai số phức z1, z2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? z1 A. z1 z2 z1 z2 B. z1 z2 z1 z2 C. z1 . z2 D. z1.z2 z1 . z2 z2 x 2 y 3 z Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng d : và vuông 1 1 2 góc với mặt phẳng  : x y 2z 1 0 . Hỏi giao tuyến của và  đi qua điểm nào? A. 0; 1; 3 B. 2; 3; 3 C. 5; 6; 8 D. 1; 2; 0 Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1;0;0 , B 0;2;0 ,C 0;0;3 . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 MB2 MC 2 là mặt cầu có bán kính là: A. R 2. B. R 3. C. R 3. D. R 2. Câu 34. Cho điểm A 2;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;2 , D 2;2;2 . Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là 3 2 A. .B. 3 .C. .D.3. 2 3 Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : 2y z 0. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A. / /Ox. B. / / yOz . C. / /Oy. D.  Ox. Câu 36. Có hai chiếc hộp chứa bi, mỗi viên bi chỉ mang màu xanh hoặc màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng một 55 viên bi. Biết tổng số bi trong hai hộp là 20 và xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu xanh là . Xác suất để lấy được 84 1 13 12 8 hai viên bi màu đỏ bằng. A. . B. . C. . D. . 28 42 19 21 Câu 37. Cho tứ diện ABCD có AB 6, CD 8 và các cạnh còn lại đều bằng 74 . Mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện 7 ABCD có bán kính bằng: A. . B. 5. C. 7. D. 25. 2 1 x2 Câu 38. Để tính nguyên hàm I dx . Bạn Huyền đã làm như sau: x2 1 sin2 t.costdt cos2 t Bước 1: Đặt x sin t, t ; dx costdt Bước 2: Khi đó I dt 2 2 sin2 t sin2 t cot3 t cot3 x Bước 3: I cot2 tdt C I C (với t sin x ) 3 3 Vậy bạn Huyền làm đúng hay sai? A. Bạn làm sai bước 1.B. Bạn làm sai bước 2. C. Bạn làm sai bước 3.D. Bạn làm hoàn toàn đúng Câu 39. Cho hàm số f x có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y f x được cho như hình vẽ. Biết rằng f 0 f 3 f 2 f 5 . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của f x trên đoạn [0; 5] lần lượt là A. f 0 , f 5 B. f 2 , f 0 C. f 1 , f 5 D. f 2 , f 5
4. Câu 40. Cho hình nón cụt có trục OO h , bán kính đáy lớn bằng hai lần bán kính đáy nhỏ và đường sinh của hình nón cụt tạo với mặt đáy lớn một góc 60 . Mặt phẳng song song với đáy của hình nón cụt, chia khối nón cụt thành hai phần có thể tích bằng nhau, tính bán kính của thiết diện do cắt hình nón cụt đã cho. 3 6h 3h 1 A. 6 h .B. .C. .D. 3 h . 4 2 2 2 x3 6x2 mx 2 1 Câu 41. Số giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y luôn đồng 2 biến trên khoảng 1;3 là A. 8. B. 9. C. 10. D. Vô số. Câu 42. Đường cong trong hình là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y x3 3x . B. y x3 3 x . C. y x3 3 x . D. y x3 3x . Câu 43. Tìm số nguyên dương n thõa mãn: 1 1 1 1 log 2020 log 2020 log 2020 log 2020 log 2020 log 2020 log 20202 a , a 22 a 24 4 a 26 8 a 22n 2n a a 22021 với 0 a 1 A.n = 2019 B.n = 2020C.n = 2021D.n = 2022 e ln x a 2 Câu 44. Biết dx bln c , với a,b,c ¢ . Tính a b c . 2 1 (1 x) e 1 e 1 A. 1 B. 1C. 3D. 2 Câu 45. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Hàm số y g x f 3 2x nghịch biến trên khoảng nào? A. ; 1 . B. 1; . C. 0;2 . D. 1;3 . 3x 2 Câu 46: Có bao nhiêu đường thẳng cắt đồ thị (C) của hàm số y tại hai điểm x 1 phân biệt mà hai giao điểm đó có hoành độ và tung độ là các số nguyên? A. 6 B. 2 C. 12 D. 4 Câu 47: Cho a, b là các số thực và hàm số: f x a log2021 x2 1 x bsin x.cos 2020x 6 . Biết f 2020ln 2021 10 . Tính P f 2021ln 2020 A. P = 4 B. P = 2 C. P = -2 D. P = 10 x Câu 48. Cho hàm số y f (x) 2020ln e 2020 e . Tính giá trị biểu thức A f (1) f (2) f (2019) 2017 2019 A. 2018B. 1009C. D. 2 2 Câu 49. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 3, S· AB S· CB 90. Xác định độ dài cạnh AB để khối chớp S.ABC có thể tích nhỏ nhất. 3a 2 A. AB 2a 2. B. AB . C. AB 3a. D. AB 3a 2. 2 Câu 50. Cho số thực m và hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f 2x 2 x m có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1;2? A. 2 B. 3 C. 4D. 5
5. 57 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1:Đáp án C.Số các số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho (bảy số đã cho) chính bằng số chỉnh 3 hợp chập 3 của 7 phần tử và bằng A7 . Câu 2:Đáp án A.Dãy 1, 3,9, 27,81 là cấp số nhân với công bội q 3. 3 6 Dãy 1, 3, 6, 9, 12 không phải là cấp số nhân vì . 1 2 2 4 Dãy 1, 2, 4, 8, 16 không phải là cấp số nhân vì . 1 2
6. Dãy 0, 3, 9, 27, 81 không phải là cấp số nhân vì u1 0, u2 0 . Câu 3:Đáp án C.Thể tích khối lăng trụ: V B.h Câu 4:Đáp án B.Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại xCĐ 1 và khi đó giá trị cực đại yCĐ = 1 Câu 5:Đáp án C.Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB thì ta thu được hình trụ có chiều cao h = AB = a và bán kính đáy r = AD = b.Do vậy, thể tích khối trụ tương ứng là V r 2h ab2. Câu 6:Đáp án B.Ta có: x2 7x 10 0 x ; 2  5; Vậy tập xác định của hàm số là D ; 2  5; b Câu 7:Đáp án B.Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có S f x g x dx a Câu 8:Đáp án A.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 và tiệm cận ngang y 1 nên loại B, D. Đồ thị hàm số qua điểm (0;2) nên chọn A. 2 Câu 9:Đáp án A.Tập xác định: ¡ \ 1 .Ta có: y y 0 2 . x 1 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 0; 1 là: y 2 x 0 1 y 2x 1 2 2 1 2 1 7 Câu 10:Đáp án D.Ta có: a 3 . a a 3 .a 2 a 3 2 a 6 . x x 1 Câu 11:Đáp án D.Ta có: e tan x C ' e 2 . cos x Câu 12:Đáp án A.Ta có z 1 i i3 1 i i.i2 1 i i 1 2i .Vậy a = 1; b = -2. xQ 2   Câu 13:Đáp án B. MNPQ là hình bình hành thì MN QP yQ 3 Q 2;3;4 . 4 zQ 0 2 2 Câu 14:Đáp án D.Ta có (S) x 4 y 1 z2 16 .Vậy mặt cầu (S) có tâm I 4; 1;0 3 1 Câu 15:Đáp án C.Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ ; ;1 . 2 2  Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm M và có một VTPT n AB 1;1;0 . Vậy mặt phẳng đó có 3 1 phương trình x y 0. z 1 0 x y 2 0 . 2 2 x t Câu 16:Đáp án C.Đường thẳng d : y 1 2t ;t ¡ có một vectơ chỉ phương là u 1; 2;0 . z 2 Câu 17:Đáp án C Câu 18:Đáp án A 3x 2 3x 2 Do lim y lim 3 và lim y lim 3 nên đường thẳng y = 3 là đường tiệm cận ngang của (C). x x x 1 x x x 1 2 x 1 Câu 19:Đáp án C.TXĐ: D ¡ .Ta có y ' 3x 3.Khi đó y ' 0 x 1 Ta có y" 6x y" 1 6 0 Hàm số đạt cực tiểu x 1. Câu 20:Đáp án A.Do hàm số y a x nghịch biến trên ¡ a 1 . Do hàm số y bx và y cx đồng biến trên ¡ b;c 1. x x x b b Ta có: x 0; :b c 1 1 b c . Vậy a < 1 < c < b. c c Câu 21:Đáp án C.Gọi P0 là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất/ năm
7. Số tiền gốc và lãi sau năm thứ nhất: P1 P0 P0.r P0 1 r 2 Số tiền gốc và lãi sau năm thứ hai: P2 P1 P1.r P0 1 r 5 5 Số tiền gốc và lãi người đó rút ra được sau 5 năm là P5 P0. 1 r 80000000. 1 6,9% 111680799 (đồng) Câu 22:Đáp án C.Từ điểm A nằm ngoài mặt cầu S(I;R), kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu thì tập hợp các tiếp điểm là một đường 1 1 1 3R tròn có bán kính r được xác định bởi hay r . r 2 IA2 R2 R2 2 Câu 23:Đáp án C.Tập xác định D ¡ \ 1;3 1 1 1 x x 1 2 lim y lim lim lim x x 0 x x 2 x 2 x 4 3 x 4x 3 x 4x 3 1 x x2 1 1 1 x x 1 2 lim y lim lim lim x x 0 x x 2 x 2 x 4 3 x 4x 3 x 4x 3 1 x x2 1 x 1 x lim y lim 2 ; lim y lim 2 x 3 x 3 x 4x 3 x 3 x 3 x 4x 3 1 x 1 1 1 x 1 lim y lim 2 lim ; lim y lim 2 x 1 x 1 x 4x 3 x 1 x 3 2 x 1 x 1 x 4x 3 2 Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. 2 u x du 2xdx Câu 24:Đáp án D.Đặt . Từ đó, I x2 sin x 2 xsin xdx. 0 dv cos xdx v sin x 0 0 0 Nhưng x2 sin x x2 sin x 0 , nên I x2 sin x 2 xsin xdx. 0 0 Câu 25:Đáp án A.Ở độ cao 1000 m, áp suất không khí là 672,71 (mmHg). 672,71 1 672,71 Nên ta có: 672,71 760e1000k e1000k k ln . 760 1000 760 1 672,71 3000. ln Áp suất ở độ cao 3000 m là P 760e3000k 760e 1000 760 527,06 (mmHg). Câu 26:Đáp án B BC / / AD Ta có BC / / SAD d BC, SD d BC, SAD d B, SAD AD  SAD BA  AD Mà BA  SAD d B, SAD BA BA  SA Mặt khác, trong tam giác vuông ABC : AB AC 2 BC 2 a 3 Suy ra d BC, SD a 3 Câu 27:Đáp án B.Xét hàm số y 2x3 3x2 có đồ thị C 2 2 x 0 TXĐ: D ¡ ; y 6x 6x ; y 0 6x 6x 0 x 1 Bảng biến thiên:Phương trình 2x3 3x2 2m 1 (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng d : y 2m 1 và đồ thị C có đúng hai nghiệm phân biệt. Từ bảng biến thiên, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
8. 1 2m 1 0 m 1  2 suy ra S ; 1 2m 1 1 2  m 1 1 3 Vậy tổng các phần tử của tập S là: 1 2 2 3 Câu 28:Đáp án B.TXĐ: D ¡ \ 2; y . x 2 2 Giả sử M x0 ; y0 , x0 2.Vì tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng 3x y 1 0 nên 3 2 x 3 y x 3 3 x 2 1 0 0 2 0 x 1 x0 2 0 Với x0 3 y0 4.Khi đó phương trình tiếp tuyến là: y 3 x 3 4 y 3x 13 (thỏa mãn yêu cầu bài toán) Với x0 1 y0 2.Khi đó phương trình tiếp tuyến là: y 3 x 1 2 y 3x 1(không thỏa mãn yêu cầu bài toán do trùng với đường thẳng 3x y 1 0 ) Câu 29:Đáp án A.Đặt t 1 x dx dt. 0 1 Đổi cận: x 0 t 1 và x 1 t 0. Khi đó I 1 t t5dt 1 t t5dt. 1 0 2 2 2 2 Câu 30:Đáp án D.Ta có w z1 z2 2 i 1 3i 3 4i 1 3i 2 7i w 2 7 53 Câu 31:Đáp án D  Câu 32:Đáp án B.Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ud 1; 1; 2 ; mặt phẳng  có một vectơ pháp tuyến là   d  ud  n n 1; 1; 2 . Do     n  n    => Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là n u , n 4; 4; 0 d  Mà A 2; 3; 0 d, d  A . Phương trình mặt phẳng : x y 1 0 x y 1 0 Giả sử M x; y; z   . Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn hệ x y 2z 1 0 Thay các đáp án vào hệ trên ta thấy M 2; 3; 3 thỏa mãn. Câu 33:Đáp án D.Giả sử M x; y; z . 2 2 2 Ta có MA2 x 1 y2 z2 ; MB2 x2 y 2 z2 ; MC 2 x2 y2 z 3 . 2 2 2 Từ MA2 MB2 MC 2 x 1 y2 z2 x2 y 2 z2 x2 y2 z 3 2x 1 x2 y2 z2 4y 6z 13 x2 y2 z2 2x 4y 6z 12 0. Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 MB2 MC 2 là mặt cầu có tâm I 1;2;3 , bán kính là R 2. Câu 34:Đáp án B.Gọi I a;b;c là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0, a2 b2 c2 d 0 Vì A, B,C, D S nên ta có hệ phương trình
9. Câu 35:Đáp án D.Ta thấy có vectơ pháp tuyến n 0;2;1 , trục Ox có một vectơ chỉ phương là i 1;0;0 , và n.i 0.1 2.0 1.0 0. Mặt khác O nên là mặt phẳng chứa trục Ox. 4 4a d 0 d 4a 4 4 4b d 0 d 0 a b c 4 4c d 0 a b c 1 12 12a 4a 4 0 12 4a 4b 4c d 0 Suy ra I 1;1;1 , do đó bán kính mặt cầu là R IA 3 . Câu 36:Đáp án A.Gọi n1,n2 lần lượt là số viên bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai. Theo giả thiết ta có n1 n2 20. Gọi b1,b2 lần lượt là số viên bi màu xanh trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai, với b1,b2 ¥ và b1 n1,b2 n2. 1 1 Cb Cb b b b b 55 Xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu xanh là 1 2 1 2 . Theo giả thiết, ta có 1 2 . C1 C1 n n n n 84 n1 n2 1 2 1 2 2 n1 n2 Lại có n1n2 100 và n1,n2 là các số nguyên dương nên n1n2 84. 2 n1 n2 20 n1 14 n1 6 Giải hệ ta được hoặc . n1n2 84 n2 6 n2 14 b1 5 b1 11 Khi n1n2 84 thì b1b2 55 5.11 và do b1,b2 là các số tự nhiên nên hoặc . b2 11 b2 5 Do vai trò của hai hộp như nhau nên ta có thể chọn n1 14 và n2 6. Khi đó b1 11 và b2 5. 1 1 C3C1 1 Số bi đỏ trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là 3 và 1. Do đó xác suất cần tìm là 1 1 . C14C6 28 Câu 37:Đáp án B.Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Do ADC, BDC là những tam giác cân có chung đáy CD và các cạnh bên bằng nhau (vì cùng bằng 74 ) nên AF BF . Suy ra EF  AB . Tương tự, ta cũng có EF  CD . Như vậy, EF là đường trung trực của cả AB và CD. Suy ra tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc đường thẳng EF. Ta có EF 2 AF 2 AE 2 AD2 DF 2 AE 2 74 16 9 49 nên EF 7 . Gọi R là bán kính của mặt cầu thì IE IA2 EA2 R2 9 và IF IC 2 CF 2 R2 16 . Nếu I nằm trong tứ diện ABCD thì I thuộc đoạn EF. Khi đó IE IF EF hay R2 9 R2 16 7. Dễ dàng giải được R 5. Nếu I nằm ngoài tứ diện ABCD thì I nằm ngoài đoạn EF. Do đó R2 9 R2 16 7. Dễ thấy phương trình này vô nghiệm. Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 5. Câu 38:Đáp án C.Bước 3 sai vì Câu 39:Đáp án D Cách 1: Bảng biến thiên:
10. Dựa vào bảng biến thiên, ta có min f x f 2 và max f x max f 0 , f 5  2; 5 0; 5 Vì f x đồng biến trên đoạn 2; 5 nên f 3 f 2 f 5 f 2 f 5 f 3 f 0 f 2 Do đó f 5 f 0 , vậy max f x max f 0 , f 5  f 5 0; 5 Cách 2: Căn cứ đồ thị của y f x và ứng dụng tích phân, ta có: 2 2 5 5 S f x dx f x dx f 0 f 2 và S f x dx f x dx f 2 f 5 1 2 0 0 2 2 Theo giả thiết, ta có f 0 f 3 f 2 f 5 f 5 f 3 f 0 f 2 5 5 Suy ra S f x dx f x dx f 5 f 3 S Suy ra S S 0 f 5 f 0 f 2 2 1 2 1 2 3 Vậy min f x f 2 , max f x f 5 . 0; 5 0; 5 Câu 40:Đáp án A.Gọi S là điểm đồng quy của các đường sinh của hình nón cụt đã cho. Cắt hình nón bằng mặt phẳng chứa trục OO ta được thiết diện như hình vẽ trên. Theo giả thiết, ta có S· AB S· BA 60 . Gọi R là bán kính đáy nhỏ của hình nón cụt thì bán kính đáy lớn là 2R . SO O C 1 Do và OO h nên SO h và SO 2h . SO OB 2 SO O C R hr Ta có và SO h nên SI . SI IN r R Vì S· AB S· BA 60 và tam giác SOB vuông tại O nên SO OB tan SBO 2h 2R tan SBO h R 3 . Thiết diện của hình nón cụt cắt bởi là một đường tròn có tâm I thuộc trục OO và có bán kính r . Gọi V1,V2 ,V3 lần lượt là thể tích khối nón đỉnh S có đáy là O , O , I . 3 1 2 8 8 3 1 1 3 1 3 r Ta có V 2R .SO R2h R3; V R2SO R2h R3 và V r 2SI 1 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 Ta có chia khối nón cụt đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau khi và chỉ khi 2 3 r3 9 3 V V V V 2V V V 3 3 R3 r 3 R hay r 6 h . 1 3 3 2 3 1 2 3 2 4 Câu 41:Đáp án B x3 6x2 mx 2 x3 6x2 mx 2 3 2 1 1 2 1 1 Cách 1: Ta có: y x 6x mx 2 ln 3x 12x m ln . 2 2 2 2 x3 6x2 mx 2 1 Hàm số y luôn đồng biến trên khoảng 1;3 khi và chỉ khi 2 y 0 x 1;3 3x2 12x m 0 x 1;3 m 3x2 12x f x x 1;3 . Điều kiện: m f 1 f 3 9 x3 6x2 mx 2 1 Số giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y luôn đồng biến trên khoảng 1;3 là 9 2 x3 6x2 mx 2 1 1 Cách 2: y là hàm số mũ cơ số a 0;1 hàm số luôn đồng biến trên khoảng 2 2 1;3 y x3 6x2 mx 2 nghịch biến trên khoảng 1;3
11. y 0 x 1;3 3x2 12x m 0 x 1;3 . m 3x2 12x f x x 1;3 . Điều kiện: m f 1 f 3 9 Câu 42:Đáp án B.Đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục tung nên hàm số là hàm chẵn Loại phương án A, D. Đồ thị hàm số đi qua điểm A 1; 2 nên loại phương án C. Câu 43:Đáp án C.Gọi vế trái và vế phải của hệ thức đề bài cho lần lượt là A và B. n 1 1 2n 2 Ta có log n 2020 log 2020 .log 2020 22n 2 a 22n a 22n a 1 1 Do đó A log 2020 log 2020 .log n 2020 a 4 a 22n 2 a 21 22 23 2n 1 1 1 1 1 2n loga 2020 1 n loga 2020 4 8 16 2 2 4 8 2 1 1 n 1 1 1 log 2020 2 log 2020 2 log 2020 log 20202 log 2020 mà A log 20202 a 1 a n a a n a a 2021 1 2 2 2 2 Suy ra n = 2021 dx u ln x du x Câu 44:Đáp án B.Đặt dx ta có dv 1 (1 x)2 v 1 x Theo công thức tích phân từng phần có e e e e ln x ln x dx 1 1 1 1 e 1 2 dx dx ln x ln x 1 ln 1. 2 1 1 (1 x) 1 x 1 1 x(1 x) e 1 1 x x 1 e 1 e 1 e 1 Suy ra a 1,b 1,c 1. Vậy a b c 1. Câu 45:Đáp án A.Ta có g x 2. f 3 2x . 2 x 2 Từ đồ thị hàm số y f x suy ra f x 0 . x 5 1 5 2 3 2x 2 x Do đó, g x 0 f 3 2x 0 2 2 . 3 2x 5 x 1 1 5 Vậy hàm số g x nghịch biến trên các khoảng ; và ; 1 . 2 2 3x 2 5 Câu 46:Đáp án A.Ta có y y 3 x 1 x 1 Suy ra các điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số là 0; 2 ; 2; 8 ; 4; 2 ; 6; 4 . Ta nhận thấy các điểm trên không có ba điểm nào thẳng hàng. Vậy số đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt mà hai giao điểm đó có hoành độ và tung độ là các số nguyên là 2 C4 6 . Câu 47:Đáp án B.Xét hàm số g x f x 6 a log2021 x2 1 x bsin x.cos 2020x Do x2 1 x x x 0 nên hàm số g x có tập xác định D ¡ .Ta có: x D x D 2 và g x a log2021 x 1 x bsin x .cos 2020 x 1 g x a log2021 x2 1 x bsin x.cos 2020x g x a log2021 bsin x.cos 2020x 2 x 1 x
12. g x a log2021 x2 1 x bsin x cos 2020x g x g x Vậy hàm số g x là hàm số lẻ. Lại có: 2020ln 2021 2021ln 2020 g 2020ln 2021 g 2021ln 2020 ln 2021 ln 2020 ln 2020 ln 2020 f 2020 6 f 2021 6 10 6 f 2021 6 f 2021 2 x e 2020 e x e 2020 Câu 48:Đáp án D.Ta có y f (x) 2020 x x e 2020 e e 2020 e x 2020 x x x 1 e 2020 e 2020 e 2020 e 2020 f (x) f (2020 x) x 2020 x x x 1 e 2020 e e 2020 e e 2020 e e 2020 e x x e 2020 e e 2020 e x x x x 1 e 2020 e e e.e 2020 e 2020 e e e 2020 2019 Bởi vậy 2A  f (1) f (2019)  f (2) f (2018)  f (2019) f (1) 2019 .Nên A . 2 BC  AC Câu 49:Đáp án C.Ta có BC  ASC . BC  SC x2 Kẻ AH  SC AH a 3. Đặt AC x, SC y CH . y 1 1 V V AH.S đạt GTNN khi và chỉ khi S xy đạt GTNN. Do S.ABC A.SBC 3 BCS BCS 2 BC  SAC BC  SA mà SA  AB (theo giả thiết) nên SA  ABC . Suy ra SAC vuông tại A. 2 2 3 2 2 2 2 x 2 x x Trong AHC có AC CH AH x 2 3a y xy y x2 3a2 x2 3a2 x3 Xét hàm f x x a 3 . x2 3a2 3x2 x4 Có f x x a 3 ; 2 2 3 x 3a x2 3a2 9a2 3 2a 9a2 3 f x 0 x2 x . Vậy min xy khi AB x 2 3a. 2 2 2 Câu 50:Đáp án B.Xét g x 2x 2 x với x  1;2 2x.ln 2 1 x x g x 2 .ln 2 x ln 2 2 x 4 2 g x 0 4x 1 x 0
13. 5 17 17 g 0 2, g 1 , g 2 . Vậy 2 2x 2 x Với 2 4 4 5 17 x x t0 2 ; thì phương trình 2 2 t0 có một nghiệm. 2 4 5 x x Với t0 2; thì phương trình 2 2 t0 có hai nghiệm phân biệt. 2 17 Bài toán trở thành: Phương trình f t m có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn 2; với 4 t 2x 2 x Dựa vào đồ thị hàm số y f x , ta có: - Nếu m f 3 thì f t f 3 t 3: Phương trình đã cho có một nghiệm. t t1 5 - Nếu f 3 m 0 thì f t m với t1 3,t2 3 suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm. t t2 2 17 t t4 5 17 - Nếu 0 m f thì f t m với 2 t4 ,3 t5 suy ra phương trình đã cho có tối đa ba 4 t t5 2 4 nghiệm. 17 5 - Nếu f m f (2) thì f t m t t3 với 2 t3 suy ra phương trình đã cho có tối đa hai nghiệm. 4 2 Vậy phương trình trên có tối đa 3 nghiệm phân biệt. Đáp án 1-C 2-A 3-C 4-B 5-C 6-B 7-B 8-A 9-A 10-D 11-D 12-A 13-B 14-D 15-C 16-C 17-C 18-A 19-C 20-A 21-C 22-C 23-C 24-D 25-A 26-B 27-B 28-B 29-A 30-D 31-D 32-B 33-D 34-B 35-D 36-A 37-B 38-C 39-D 40-A 41-B 42-B 43-C 44-B 45-A 46-A 47-B 48-D 49-C 50-B