›
›
›

Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9

pdf 77 trang hatrang 24/08/2022 11120
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdfde_cuong_on_tap_mon_toan_lop_9.pdf

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9

  1. CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM a1 x b 1 y c 1 1 Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: I a2 x b 2 y c 2 2 a. Phương pháp thế: Bước 1: Từ một phương trình của hệ, ta biểu thị ẩn x theo y (hoặc y theo x). Bước 2: Thế biểu thức tìm được của x (hoặc của y) vào phương trình còn lại để được phương trình bậc nhất một ẩn. Giải phương trình bậc nhất vừa tìm được. Bước 3: Thay giá trị vừa tìm được của ẩn vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm giá trị của ẩn còn lại. b. Phương pháp cộng đại số: Bước 1: Chọn ẩn muốn khử, thường là x (hoặc y). Bước 2: - Xem xét hệ số của ẩn muốn khử. - Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ. - Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ về theo vế của hệ. - Nếu các hệ số đó không bằng nhau thì ta nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau (đồng nhất hệ số). Rồi thực hiện các bước ở trên. - Ta được một phương trình mới, trong đó ẩn muốn khử có hệ số bằng 0. Bước 3: Giải hệ phương trình gồm một phương trình mới (một ẩn) và một phương trình đã cho. Ta suy ra nghiệm của hệ *Đối với một số bài toán ta có thể kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình đơn giản hơn với ẩn mới. Sau khi tìm được nghiệm của hệ phương trình mới, ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình ban đầu. *Sử dụng máy tính CASIO/VINACAL: Nhấn Mode, chọn mục EQN, chọn số tương ứng với mục: anX+bnY=cn a1 x b 1 y c 1 1 Nếu hệ phương trình theo đúng thứ tự a2 x b 2 y c 2 2 Ta nhập số liệu tương ứng: Hàng thứ nhất: a1 ;; b 1 c 1 và hàng thứ hai: a2 ;; b 2 c 2 Nhấn =; = ta sẽ có kết quả nghiệm của hệ phương trình. Các em có thể sử dụng máy tính casio để tính ra nghiệm đúng. 1 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
  2. | TOÁN 9 B.CÁC DẠNG TOÁN I. PHƯƠNG PHÁP THẾ Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Phương pháp giải Thực hiện theo hai bước 23xy Ví dụ: Giải hệ phương trình I : bằng Bước 1. Từ một phương trình đã cho (coi như xy 34 phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn này phương pháp thế. theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để Hướng dẫn giải được phương trình mới (chỉ có một ẩn). yx 32 yx 32 Ta có I Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế xy 34 xx 3 3 2 4 cho phương trình thứ hai trong hệ (phương y 3 2 x y 3 2 x trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi 9 5xx 4 5 5 hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở y 3 2 x y 1 bước 1). xx 11 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là xy; 1;1 . Ví dụ mẫu xy 23 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 2xy 3 4 Hướng dẫn giải x 2 y 3 x 2 y 3 xy 23 Ta có 2x 3 y 4 2 x 3 y 4 2 2yy 3 3 4 x 2 y 3 x 2 y 3 x 1 y 6 4 y 2 y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là xy; 1;2 . Lưu ý: Trong phương pháp thế khi lựa chọn rút x theo y hay rút y theo x thì nên cố gắng chọn các phương trình cho liên hệ của yx, có hệ số nguyên. 3xy 2 4 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 4xy 3 5 Hướng dẫn giải THCS.TOANMATH.com| 2
  3. CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 3 3 yx 2 3x 2 y 4 2 y 3 x 4 yx 2 2 Ta có 4x 3 y 5 4 x 3 y 5 2 3 4xy 3 5 4xx 3 2 5 2 3 3 3 y x 2 y x 2 y x 2 3 yx 2 y 1 2 2 2 9 1 1 2 x 2 4x x 6 5 x 6 5 x 1 x 2 222 3xy 2 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là xy; 2;1 . 4xy 3 5 Lưu ý: Nếu không thể lựa chọn phương trình nào để liên hệ của yx, có hệ số nguyên thì chúng ta sẽ lựa chọn phương trình để liên hệ của dễ biến đổi nhất. Bài tập tự luyện dạng 1 35xy Câu 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 4xy 2 8 2xy 3 4 Câu 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 3xy 4 11 ĐÁP ÁN Câu 1: 3x y 5 y 5 3 x yx 53 y 5 3 x 4x 2 y 8 4 x 2 y 8 4xx 2 5 3 8 4x 10 6 x 8 y 5 3 x y 5 3 x y 5 3 x y 2 10 2x 8 2 x 2 x 1 x 1 Vậy hệ phương trình nhận xy; 1;2 là nghiệm duy nhất. Câu 2: 3 3 xy 2 2x 3 y 4 2 x 3 y 4 xy 2 2 3x 4 y 11 3 x 4 y 11 2 3 3xy 4 11 3 yy 2 4 11 2 33 x y 22x y 3 xy 2 x 1 22 9 17 2 y 2 y 6 4 y 11 y 17 y 2 22 Vậy hệ phương trình nhận xy; 1;2 là nghiệm duy nhất. 3 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
  4. | TOÁN 9 Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau Ví dụ: Giải hệ phương trình Bước 1: Nhân khai triển, chuyển vế đưa hệ 3 xy 1 2 1 4 bằng phương pháp thế. phương trình về phương trình bậc nhất hai ẩn. 4 xy 2 3 1 5 Bước 2: Giải hệ phương trình bằng phương Hướng dẫn giải pháp thế. Bước 3: Kết luận. 3x 3 2 y 2 4 3x 2 y 1 4x 8 3 y 3 0 4x 3 y 10 31 31 yx yx 22 22 31 4xy 3 10 4xx 3 10 22 31 yx 22 93 4xx 10 22 31 yx 31 yx y 2 22 17 17 22 x 1 x x 1 22 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy; 1;2 . Ví dụ mẫu x y 2 y x 1 3 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 2x y 1 y 2 x 3 1 Hướng dẫn giải Xét hệ phương trình . xy 2 x yx y 3 2x y 3 y 2 x 3 22231231231xy x xy y x y x y yx 23 y 2 x 3 y 2 x 3 2xx 3 2 3 1 2x 6 x 9 1 4x 8 THCS.TOANMATH.com| 4
  5. CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| y 2 x 3 y 1 xx 22 x y 2 y x 1 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy; 2;1 . 2x y 1 y 2 x 3 1 x 2 y 1 y 2 x 1 4 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. x 3 y 1 y 3 x 2 5 Hướng dẫn giải x 2 y 1 y 2 x 1 4 2xy x 2 xy y 4 x 3 y 1 y 3 x 2 5 3xy x 3 xy 2 y 5 xy 4 xy 25 yx 4 xy 25 yx 4 xx 2 4 5 yx 4 x 3 yx 4 x 3 y 1 x 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy; 3;1 . Bài tập tự luyện dạng 2 2 xy 1 3 2 9 Câu 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 3 xy 1 6 x 2 y 1 y 2 x 2 7 Câu 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. x 2 2 y y 2 x 1 8 2 x y 3 y 1 7 Câu 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 3 xy 1 2 6 3y x 2 x 3 y 1 5 Câu 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 3x 2 y y 3 x 2 4 5 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
  6. | TOÁN 9 ĐÁP ÁN Câu 1: 2 xy 1 3 2 9 2x 3 y 13 2xx 3 3 9 13 7x 14 x 2 Ta có 3 xy 1 6 3x y 9 yx 39 y 3 x 9 y 3 2 xy 1 3 2 9 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy; 2;3 . 3 xy 1 6 Câu 2: Ta có x 2 y 1 y 2 x 2 7 2xy x 2 xy 2 y 7 x 7 2 y xy 72 x 3 x 2 2 y y 2 x 1 8 2x 2 xy 2 xy y 8 2 x y 8 2 7 2yy 8 y 2 x 2 y 1 y 2 x 2 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy; 3;2 . x 2 2 y y 2 x 1 8 Câu 3: 2 x y 3 y 1 7 2x 2 y 3 y 3 7 2x y 4 y 2 x 4 Ta có 3 xy 1 2 6 3x 3 2 y 6 3x 2 y 3 3 x 2 y 3 yx 24 3xx 2 2 4 3 yx 24 3xx 4 8 3 yx 24 7x 8 3 yx 24 75x yx 24 5 x 7 18 y 7 5 x 7 2 x y 3 y 1 7 5 18 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy;; . 3 xy 1 2 6 77 Câu 4: 3y x 2 x 3 y 1 5 3yx 6 y 3 xy x 5 Ta có 3x 2 y y 3 x 2 4 6x 3 xy 3 xy 2 y 4 THCS.TOANMATH.com| 6
  7. CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 65yx 6xy 2 4 xy 65 6xy 2 4 xy 65 6xy 2 4 xy 65 6 6yy 5 2 4 xy 65 36yy 30 2 4 xy 65 34y 34 xy 65 y 1 x 1 y 1 3y x 2 x 3 y 1 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy; 1; 1 . 3x 2 y y 3 x 2 4 Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau 12 2 xy Bước 1. Đặt điều kiện. Ví dụ: Giải hệ phương trình 34 Bước 2. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức của hệ 1 xy phương trình để đưa hệ phương trình về dạng Hướng dẫn giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Chú ý điều Điều kiện: x 0 ; y 0 kiện của ẩn phụ. 1 1 Bước 3. Sử dụng phương pháp thế giải hệ Đặt a ; b ab,0 . Hệ phương trình đã x y phương trình theo ẩn phụ. ab 22 Bước 4. Với các giá trị của ẩn phụ tìm được cho trở thành 341ab thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để xác định a 2 b 2 a 2 2 b nghiệm của hệ phương trình. 3a 4 b 1 3 a 4 b 1 Bước 5. Kết luận. ab 22 3 2 2bb 4 1 7 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
  8. | TOÁN 9 ab 22 10b 6 1 ab 22 10b 5 ab 22 1 b 2 a 1 1 b 2 1 Với a 1 suy ra 11 x (thỏa mãn); x 1 11 b suy ra y 2 (thỏa mãn). 2 y 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là xy; 1;2 . Ví dụ mẫu 34 1 xy 12 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 1 2 4 xy 1 2 3 Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1; y 2 1 1 Đặt a ; b ab,0 . x 1 y 2 3ab 4 1 Hệ phương trình đã cho trở thành 4 ab 2 3 4 3a 4 b 1 3 a 4 b 1 3 2bb 4 1 3 Ta có 44 a 22 b a b 4 33 ab 2 3 10b 4 1 4 ab 2 3 THCS.TOANMATH.com| 8
  9. CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 1 b 2 4 ab 2 3 1 b 2 1 a 3 1 11 Với a suy ra xx 1 3 4 (thỏa mãn điều kiện); 3 x 13 1 11 b suy ra yy 2 2 0 (thỏa mãn điều kiện). 2 y 22 Vậy nghiệm của hệ phương trình là xy; 4;0 . 2xy 2 3 1 4 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 3xy 2 2 1 7 Hướng dẫn giải Điều kiện: x 2 ; y 1 Đặt xa 2 ; yb 1 ab 0; 0 . 2ab 3 4 Hệ phương trình đã cho trở thành 3a 2 b 7 37 2ab 3 4 2aa 3 4 2ab 3 4 22 Giải hệ phương trình 37 3a 2 b 7 ba 37 22 ba 22 13 21 13 13 aa 4 a 1 2 2 2 2 (thỏa mãn điều kiện) 3 7 3 7 b 2 b a b a 2 2 2 2 Với a 1 suy ra x 2 1 x 2 1 x 3 (thỏa mãn điều kiện); b 2 suy ra y 1 2 y 1 4 y 3 (thỏa mãn điều kiện). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy; 3;3 . Bài tập tự luyện dạng 3 9 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
  10. | TOÁN 9 4xy22 3 5 Câu 1: Giải hệ phương trình 22 xy 24 63 3 x y x2 y Câu 2: Giải hệ phương trình 17 2 x y x2 y 7xy 2 2 1 1 Câu 3: Giải hệ phương trình 3xy 2 1 6 ĐÁP ÁN Câu 1: 4ab 3 5 Đặt ax 2 a 0 ; by 2 b 0 ta có hệ phương trình sau ab 24 4ab 3 5 Giải hệ phương trình ab 24 4a 3 b 5 4 a 3 b 5 4 4 2bb 3 5 16 8b 3 b 5 Ta có a 2 b 4 a 4 2 b ab 42 a 4 2 b 16 11b 5 11 b 11 b 1 b 1 (thỏa mãn điều kiện) a 4 2 b a 4 2 b a 4 2 b a 2 Với a 2 suy ra xx2 22 . b 1 suy ra xx2 11 . Vậy hệ phương trình có các nghiệm là xy; 2;1; 2;1; 2;1; 2;1  . Câu 2: Điều kiện: xy ; xy 2 1 1 6ab 3 3 Đặt a ; b ab;0 ta có hệ phương trình sau xy xy 2 ab 72 Giải hệ phương trình Ta có 1 b 6a 3 b 3 6 a 3 b 3 6 2 7bb 3 3 12 42b 3 b 3 45 b 9 5 a 7 b 2 a 2 7 b ab 27 a 2 7 b a 2 7 b 3 a 5 THCS.TOANMATH.com| 10
  11. CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 3 1 3 5 Với a suy ra xy 5 xy 53 1 11 b suy ra xy 25 5 xy 25 5 xy Vậy suy ra xy; là nghiệm của hệ phương trình 3 xy 25 55 55x y x y x y x y Ta có 33 33 55 x 2 y 5 x 2 y 5 y 2 y 5 3 y 5 33 5 5 25 x y x y x 3 3 9 (thỏa mãn điều kiện) 10 10 10 3y y y 3 9 9 63 3 x y x2 y 25 10 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy;; . 17 99 2 x y x2 y Câu 3: 7ab 2 1 Đặt ax 2 a 0 ; by 1 b 0 ta có hệ phương trình sau 36ab 7a 2 b 1 7 a 2 b 1 7aa 2 3 6 1 13a 12 1 Ta có 3a b 6 b 3 a 6 ba 36 b 3 a 6 13a 13a 1 a 1 (thỏa mãn điều kiện) b 3 a 6 b 3 a 6 b 3 xx 2 1 1 Với a 1 suy ra x 21 . xx 2 1 3 yy 1 3 2 b 3 suy ra y 13 . yy 1 3 4 7xy 2 2 1 1 Vậy hệ phương trình có các nghiệm là 3xy 2 1 6 xy; 1;2; 1;4; 3;2; 3;4 . Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải 11 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
  12. | TOÁN 9 Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình nhận m 13 x ny Ví dụ: Cho hệ phương trình . 22mx y xy00; là nghiệm. Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm ax by c Hệ phương trình có nghiệm a x b y c xy; 1;2 . ax by c Hướng dẫn giải khi và chỉ khi 00 . a x00 b y c Hệ phương trình nhận cặp số - Tìm giá trị của tham số để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn một số điều kiện khác. là nghiệm của hệ phương trình Bước 1. Dựa vào điều kiện của nghiệm thiết lập nên phương trình có ẩn là tham số. mn 1 .1 .2 3 Bước 2. Giải phương trình tham số. 2m .1 2 2 Bước 3. Kết luận mn 22 2m 2 2 mn 22 m 0 n 1 m 0 n 1 Vậy với hệ phương trình m 0 nhận là nghiệm của hệ phương trình. Ví dụ mẫu xy 23 Ví dụ 1. Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 22x y m xy00; với yx00 . Hướng dẫn giải x 2 y 3 x 3 2 y xy 32 Ta có 2x y m 2 2 x y m 2 2 3 2 y y m 2 xy 32 6 3ym 2 THCS.TOANMATH.com| 12
  13. CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| xy 32 8 m y 3 27m x 3 8 m y 3 xy 23 2mm 7 8 Vậy hệ phương trình nhận xy;; là nghiệm. 22x y m 33 Mặt khác theo đề bài hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy00; với yx00 nên 2mm 7 8 2m 7 8 m 3 m 15 m 5 33 Vậy với m 5 hệ phương trình có nghiệm duy nhất với . Lưu ý: Với hệ phương trình bậc nhất chứa tham số ta vẫn giải như hệ phương trình bậc nhất khi có đầy đủ các hệ số nhưng lưu ý khi chia hai vế cho đại lượng nào đó thì đại lượng đó khác 0. 2x 3 y 2 m 6 Ví dụ 2. Cho hệ phương trình ( m là tham số, m 0 ). Tìm điều kiện của m để x y m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho xy00 nhỏ nhất. Hướng dẫn giải 2x 3 y 2 m 6 2 x 3 y 2 m 6 Ta có x y m 22y x m 2x 3 x m 2 2 m 6 y x m 2 2x 3 x 3 m 6 2 m 6 y x m 2 5xm 5 12 y x m 2 12 xm 5 y x m 2 13 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
  14. | TOÁN 9 12 xm 5 2 y 5 2x 3 y 2 m 6 Suy ra hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất x y m 2 12 2 x00;; y m với mọi m 0 55 12 2 14 Khi đó x y m m 00 5 5 5 14 14 14 Vì m 0 nên x y m 0 00 5 5 5 Dấu "=" xảy ra khi m 0 Vậy với hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy00; thỏa mãn xy00 nhỏ nhất. Bài tập tự luyện dạng 4 2 m 1 x 7 n 2 y 6 Câu 1: Xác định m để hệ phương trình có nghiệm xy; 1;2 . m 1 x n 2 y 12 xy 3 Câu 2: Xác định để hệ phương trình có nghiệm xy; sao cho xy 2 . 2x y 2 a 5 x y a 2 Câu 3: Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy; , sao cho xy; là các số 3x 5 y 2 a nguyên. x my m 11 Câu 4: Cho hệ phương trình . Tìm số nguyên sao cho hệ phương trình có mx y 3 m 1 2 nghiệm duy nhất mà xy, đều là số nguyên. ĐÁP ÁN Câu 1: 2 m 1 x 7 n 2 y 6 Hệ phương trình có nghiệm suy ra m 1 x n 2 y 12 2 mn 1 .1 7 2 .2 6 2m 214 n 286 2m 14 24 mn 1 .1 2 .2 12 m 1 2 n 4 12 m 2 n 15 mn 7 12 mn 2 15 THCS.TOANMATH.com| 14
  15. CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| mn 7 12 mn 2 15 mn 7 12 7nn 12 2 15 mn 7 12 9n 27 mn 7 12 n 3 m 9 n 3 2 m 1 x 7 n 2 y 6 Vậy với mn 9; 3 hệ phương trình có nghiệm duy nhất m 1 x n 2 y 12 xy; 1;2 . Câu 2: x y 33y x yx 3 Ta có 2x y 2 a 5 2 x y 2 a 5 2x 3 x 2 a 5 12 a yx 3 y y 33 x y x 28a 3 3x 3 2 a 5 3 x 2 a 8 x 2a 8 3 x 3 2aa 8 1 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy;; 33 xy 3 Theo giả thiết hệ phương trình có nghiệm xy; sao cho xy 2 nên 2x y 2 a 5 2aa 8 1 2 2. 2a 8 2 4 a 6 a 6 a 1 33 Vậy với a 1 hệ phương trình có nghiệm sao cho . Câu 3: x y a 22 y x a y x a 2 Ta có 3x 5 y 2 a 3 x 5 y 2 a 3x 5 x a 2 2 a y x a 2 2x 5 a 10 2 a y x a 2 2xa 3 10 15 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
  16. | TOÁN 9 y x a 2 3a 10 x 2 y x a 2 3a x 5 2 x y a 2 3a Vậy hệ phương trình nhận xy; 5; x a 2 là nghiệm. 3x 5 y 2 a 2 3a 5 Để hệ phương trình có nghiệm nguyên thì 2 xa 2 3a 3a Vì 5 do đó để 5 thì ak 2 k 2 2 Với x ; a suy ra y x a 2 Vậy để hệ phương trình có nghiệm là các số nguyên thì ak 2 . Câu 4: Từ phương trình (2) ta có y 31 m mx Thế vào phương trình (1) ta được x m 3 m 1 mx m 1 m22 1 x 3 m 2 m 1 (3) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là mm2 1 0 1 Khi đó hệ phương trình tương đương với 2 3mm 2 1 mm 1 3 1 3m 1 2 x x 3 m2 1 m 1 . m 1 mm 11 31m m 12 y 31. m m y 1 m 1 mm 11 2 Để xy, thì . Do đó mm 1 2; 1;1;2  3; 2;0;1  m 1 Kết hợp điều kiện m 1 chỉ có m 3; 2;0  thỏa mãn. Vậy là các giá trị cần tìm. THCS.TOANMATH.com| 16
  17. CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| II. PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Phương pháp giải Thực hiện theo hai bước 2x 3y 7 Ví dụ: Giải hệ phương trình Bước 1. Cộng hoặc trừ từng vế hai x 2y 4 phương trình của hệ phương trình đã cho Hướng dẫn giải để được phương trình mới. Ta lấy phương trình thứ hai nhân với 2 sau đó trừ Bước 2. Dùng phương trình mới thay thế hai phương trình cho nhau. cho một trong hai phương trình của hệ 2x 3y 7 2x 3y 7 2x 3y 7 (vẫn giữ nguyên phương trình kia). Giải x2y4 2x4y8 y1 hệ phương trình mới tìm được. 2x 4 x 2 Chú ý: y 1 y 1 Trường hợp 1: Nếu các hệ số cùng Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất một ẩn nào đó trong hai phương trình x;y 2;1 bằng nhau thì ta trừ hai phương trình đó, đối nhau thì ta cộng hai phương trình đó. Trường hợp 2: Nếu các hệ số cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau và không đối nhau ta phải thực hỉện biến đổi cùng nhân hai vế các phương trình với một số nào đó để đưa về trường hợp 1. Ví dụ mẫu x 2y 7 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. 3x 2y 13 Hướng dẫn giải Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được hệ phương trình x2y7 x2y7 2y73 2y4 x3 2x6 x3 x3 x3 y2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y 3;2 4x 3y 5 Ví dụ 2. Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau x y 3 Hướng dẫn giải 17 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
  18. | TOÁN 9 Ta nhân hai vế phương trình thứ hai với 3 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau được hệ phương trình 4x 3y 5 4x 3y 5 4.2 3y 5 3y 3 y 1 7x14 x2 x2 x2 x2 4x 3y 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y 2;1 x y 3 Bài tập tự luyện dạng 1 7x 2y 3 Câu 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. 5x 3y 11 4x 5y 23 Câu 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. 2x 3y 13 x 4y 8 Câu 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. 2x 5y 13 Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số. Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau Ví dụ: Giải hệ phương trình Bước 1. Nhân khai triển chuyển vế đưa hệ 2 x 2 3 y 1 4 phương trình về hệ phương trình bậc nhất 3 x 2 2 y 1 8 hai ẩn. Hướng dẫn giải Bước 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. Ta có Bước 3. Kết luận. 2x 4 3y 3 4 2x 3y 5 3x62y2 8 3x 2y 12 Nhân hai vế của phương trình một với 2 và hai vế phương trình hai với 3 sau đó ta cộng hai vế phương trình với nhau. 2x3y 5 4x6y 10 3x 2y 12 9x 6y 36 2x 3y 5 2x 3y 5 13x 26 13x 26 2x 3y 5 2.2 3y 5 x 2 x 2 THCS.TOANMATH.com| 18
  19. CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 3y 9 x2 y3 x2 2 x 2 3 y 1 4 Vậy hệ phương trình có 3 x 2 2 y 1 8 nghiệm duy nhất x;y 2;3 . Ví dụ mẫu 2x y 2 y 2x 1 5 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình x y 1 y 2 x 8 Hướng dẫn giải 2x y 2 y 2x 1 5 2xy 4x 2xy y 5 4x y 4 Ta có x y 1 y 2 x 8 xyx2yxy8 x2y8 4x y 5 Giải hệ phương trình . x 2y 8 Nhân hai vế phương trình một với 2 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau ta được hệ phương trình 9x 18  x 2  x 2 x 2   . x2y8  x2y8  2y6 y3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y 2;3 . 3x y 1 y 2 3x 1 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 2x y 2 2y x 2 4 Hướng dẫn giải 3x y 1 y 2 3x 1 3xy 3x 2y 3xy 1 Ta có 2x y 2 2y x 2 4 2xy 4x 2yx 4y 4 3x 2y 1 3x 2y 1 4x 4y 4 x y 1 3x 2y 1 Giải hệ phương trình x y 1 19 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
  20. | TOÁN 9 Nhân hai vế phương trình hai với 2 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau được ta được hệ x 3 x 3 phương trình . x y 1 y 4 3x y 1 y 2 3x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x;y 3; 4 . 2x y 2 2y x 2 4 Bài tập tự luyện dạng 2 4 x y 3 y 1 7 Câu 1: Giải hệ phương trình 2 x 1 y 6 2x 1 2y 4y x 1 8 Câu 2: Giải hệ phương trình 3x y 1 y 3 3x 15 2y x 2 x 4 2y 4 Câu 3: Giải hệ phương trình 5x y 3 y 5x 4 7 Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn dụ Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau 13 2 Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức cùa x 1 y 2 Ví dụ: Giải hệ phương trình 1 2 3 hệ phương trình để đưa hệ phương trình x 1 y 2 2 về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bước 2. Đặt điều kiện của ẩn phụ. Hướng dẫn giải Bước 3. Sử dụng phương pháp cộng đại x 1 0 x 1 Điều kiện y 2 0 y 2 số giải hệ phương trình theo ẩn phụ. 11 Bước 4. Với các giá trị của ẩn phụ tìm Đặt a; b ta có hệ phương trình sau x 1 y 2 được thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để a 3b 2 xác định nghiệm của hệ phương trình. 3 . Bước 5. Kết luận. a 2b 2 Điều kiện a,b 0 a 3b 2 Giải hệ phương trình 3 a 2b 2 Trừ phương trình một cho phương trình hai ta được hệ THCS.TOANMATH.com| 20
  21. CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 1 a 3b 2 a 3b 2 a 3 2 2 31 a 2b b 1 22 b 2 1 a 2 (thỏa mãn điều kiện). 1 b 2 1 Với a thì 2 11 x 1 2 x 3 (TMĐK) x 1 2 1 Với b thì 2 11 y 2 2 y 0 (TMĐK) y 2 2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x;y 3;0 . Ví dụ mẫu 3 x 1 2 y 2 4 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2 x 1 3 y 2 7 Hướng dẫn giải Đặt a x1a0;b y2b0 3a 2b 4 Hệ phương trình đã cho trở thành 2a 3b 7 Giải hệ phương trình 3a 2b 4 9a 6b 12 3a 2b 4 2a 3b 7 4a 6b 14 13a 26 3a2b4 3.22b4 2b2 b1 a 2 a 2 a 2 a 2 x 1 2 x 3 Với a2 thì x 1 2 x 1 2 x 1 21 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
  22. | TOÁN 9 y 2 1 y 1 b1 thì y 2 1 y 2 1 y 3 3 x 1 2 y 2 4 Vậy hệ phương trình có các nghiệm là 2 x 1 3 y 2 7 x;y 3;1;3;3; 1;1; 1;3  . 4 2x 1 3 y 2 1 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 2 2x 1 3 y 2 13 Hướng dẫn giải 1 2x 1 0 x Điều kiện 2 y 2 0 y2 Đặt a 2x1a0;b y2b0 . 4a 3b 1 Hệ phương trình đã cho trở thành: 2a 3b 13 4a 3b 1 Giải hệ phương trình 2a 3b 13 4a 3b 1 4a 3b 1 4a 3b 1 2a 3b 13 4a 6b 26 9b 27 4a 3b 1 4a 3.3 1 4a 8 a 2 b 3 b 3 b 3 b 3 3 Với a2 thì 2x12 2x14 2x3 x . 2 b3 thì y 2 3 y 2 9 y 11. 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y ;11 . 2 Bài tập tự luyện dạng 3 15 3 1 x 2y 2 Câu 1: Giải hệ phương trình 6 1 3 x 2y 2 2 THCS.TOANMATH.com| 22
  23. CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| 4 3 x 1 7 2y 1 Câu 2: Giải hệ phương trình 6 x 1 6 2y 1 2x 3 2y 1 1 Câu 3: Giải hệ phương trình 2 x 2 3 2y 1 11 Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải - Tìm giá trị của tham số để hệ phương 2m 1 x ny 5 Ví dụ: Cho hệ phương trình trình nhận x ;y là nghiệm. 00 mx n 2 y 7 ax by c Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm Hệ phương trình có nghiệm a x b y c x;y 1;2 . ax00 by c Hướng dẫn giải khi và chỉ khi a x00 b y c - Tìm giá trị của tham số để nghiệm của hệ Hệ phương trình nhận cặp số phương trình thỏa mãn một số điều kiện là nghiệm của hệ phương trình nên khác. Bước 1. Tìm nghiệm của hệ phương trình 2m 1 .1 n.2 5 2m 2n 4 theo tham số m. m.1 n 2 .2 7 m 2n 3 Bước 2. Dựa vào điều kiện của nghiệm m 1 n 1 thiết lập phương trình chứa tham số. m 2n 3 m 1 Bước 3. Giải phương trình tham số. n1 Vậy với hệ phương trình Bước 4. Kết luận. m1 nhận x;y 1;2 làm nghiệm. Ví dụ mẫu x 2y 1 Ví dụ 1. Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 3x 4y m 3 x00 ;y thỏa mãn x00 y 2 . 23 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
  24. | TOÁN 9 Hướng dẫn giải Ta có: m x2y1 3x6y3 2ym y 2 3x4y m3 3x4y m3 x 2y1 x m 1 x 2y 1 Theo đề bài hệ phương trình có nghiệm duy nhất x00 ;y thỏa mãn x00 y 2 3x 4y m 3 m nên m 1 2 2m 2 m 4 m 2 . 2 Vậy với m2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x y m Ví dụ 2. Cho hệ phương trình (m là tham số). Tìm điều kiện của m để hệ phương 2x 5y 3m 6 trình có nghiệm là các số nguyên. Hướng dẫn giải Ta có: x y m x y m 2x 2y 2m x y m m 2x 5y 3m 6 2x 5y 3m 6 3y m 6 y2 3 mm Để hệ phương trình có nghiệm là các số nguyên thì 2 . 33 Suy ra m có dạng m 3k k . Vậy với m 3k k thì hệ phương trình đã cho có nghiệm là các số nguyên. Bài tập tự luyện dạng 4 2 m 1 x 2n 1 y 2 Câu 1: Xác định m; n để hệ phương trình có nghiệm x;y 3;2 . m 2 x 3ny 21 x 2y 7 Câu 2: Xác định a để hệ phương trình có nghiệm x;y thỏa mãn x 2 y . 3x 2y 2a 1 m 1 x y 3 Câu 3: Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện mx y m x y 0 . ĐÁP ÁN Dạng 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số THCS.TOANMATH.com| 24
  25. CHINH PHỤC TOÀN DIỆN CHỦ ĐỀ BÀI – CỤM BÀI LIÊN QUAN SGK- TOÁN 9| Câu 1. 7x2y3 21x6y9 31x31 x1 x1 x1 Ta có 5x3y11 10x6y 22 7x2y 3 7.12y 3 2y 4 y 2 7x 2y 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y 1;2 . 5x 3y 11 Câu 2. 4x5y23 4x5y23 y3 y3 y 3 y 3 Ta có . 2x3y 13 4x6y 26 2x3y 13 2x3.313 2x 4 x 2 4x 5y 23 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y 2;3 2x 3y 13 Câu 3. x 4y 8 2x 8y 16 3y 3 y 1 x 4 Ta có 2x 5y 13 2x 5y 13 2x 5y 13 2x 5.1 13 y 1 x 4y 8 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y 4;1 2x 5y 13 Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số. Câu 1. 4 x y 3 y 1 7 4x4y3y3 7 4xy 4 6x0 x0 Ta có 2 x 1 y 6 2x 2 y 6 2x y 4 2x y 4 y 4 4 x y 3 y 1 7 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y 0; 4 . 2 x 1 y 6 Câu 2. 2x 1 2y 4y x 1 8 2x 4xy 4xy 4y 8 Ta có 3x y 1 y 3 3x 15 3xy 3x 3y 3xy 15 x 2y 4 x y 5 3y 9 x y 5 y3 x 3 5 y3 x2 25 | TOÁN HỌC SƠ ĐỒ
  26. | TOÁN 9 2x 1 2y 4y x 1 8 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y 2;3 3x y 1 y 3 3x 15 Câu 3. 2y x 2 x 4 2y 4 2yx 4y 4x 2xy 4 4x 4y 4 Ta có 5x y 3 y 5x 4 7 5xy 15x 5xy 4y 7 15x 4y 7 11x 11 15x 4y 7 x1 15.1 4y 7 x1 4y 8 x1 y2 2y x 2 x 4 2y 4 Vậy nghiệm của hệ là x;y 1;2 5x y 3 y 5x 4 7 Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn dụ Câu 1. Điều kiện x 0; y 1. 15a 3b 1 11 Đặt a ; b a;b 0 ta được hệ phương trình 3 x 2y 2 6a b 2 1 15a3b1 15a3b1 11 a 33a 6 Giải hệ phương trình 39 2 . 6a b 18a 3b 1 22 15a 3b 1 b 2 1 11 Với a thì x6 . 6 x6 1 11 Với b thì 2y 2 2 2y 4 y 2 2 2y 2 2 53 1 x 2y 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y 6;2 . 35 5 x 2y 2 Câu 2. THCS.TOANMATH.com| 26