›
›
›

Một số đề và đáp án HSG Toán 8

doc 63 trang hatrang 25/08/2022 5161
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Một số đề và đáp án HSG Toán 8", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docmot_so_de_va_dap_an_hsg_toan_8.doc

Nội dung text: Một số đề và đáp án HSG Toán 8

  1. Së GD&§T §Ò Thi chän häc sinh giái cÊp tØnh B¾c giang N¨m häc : 1997-19981996-1997 M«n : To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi : 150 phót Bµi 1: (2,5 ®iÓm). a b a) TÝnh gi¸ trÞ cña ph©n thøc M= a b BiÕt r»ng 2a2+2b2=5ab vµ b>a>0. b) Cho a, b lµ c¸c nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh: 4a + 5b = 7 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 5 a 3 b Bµi 2 : (2,5 ®iÓm) a) Cho f(x) lµ ®a thøc cã c¸c hÖ sè nguyªn kh«ng ©m vµ nhá h¬n hay b»ng 8. L¹i biÕt r»ng f(9) = 19970. H·y x¸c ®Þnh ®a thøc f(x). b) Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× ®a thøc : x2n - xn + 1 kh«ng thÓ chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1. Bµi 3 : (3 ®iÓm) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã AC lµ ®­êng chÐo lín. Gäi E vµ F lÇn l­ît lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ C xuèng AB vµ AD. Chøng minh r»ng : AB.AE+AD.AF=AC2 Bµi 4 : (2 ®iÓm) Cho P = 2n + 3n Q =2n+2+3n+2 T×m ­íc chung lín nhÊt cña P vµ Q Së GD&§T §Ò Thi chän häc sinh giái cÊp tØnh B¾c giang N¨m häc : 1997-1998 M«n : To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi : 150 phót 1
  2. Bµi 1: (2 ®iÓm). a) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö: x4 + x3 - 2x2 + 3x -1 b) T×m x, y sao cho biÓu thøc : A = 2x2 +9y2 - 6xy - 6x -12y + 2026 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 2 : (2 ®iÓm) a) T×m th­¬ng vµ phÇn d­ trong phÐp chia ®a thøc: f(x) = 1 + x + x2 + x3 + + x1997 cho x2 + 1. b) §a thøc f(x) khi chia cho (x -3) th× d­ 10, khi chia cho (x + 5) th× d­ 2, cßn khi chia cho (x - 3)(x +5) th× ®­îc th­¬ng lµ (x 2 + 1) vµ cßn d­. T×m ®a thøc f(x). Bµi 3 : (1,5 ®iÓm) T×m sè tù nhiªn x sao cho (x1999 + x1997 + 1) cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn tè. Bµi 4 : (2,5 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD vµ mét ®iÓm M trªn ®­êng chÐo AC. Tõ M h¹ MH, MK thø tù vu«ng gãc víi AB vµ BC. a) Chøng minh r»ng AK, CH, DM ®ång quy. b) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c DHK nÕu biÕt diÖn tÝch cña tam gi¸c ®ã b»ng 1 (HK2 + KD2). 4 Bµi 5 : (2 ®iÓm) T×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt: 2x a 1 x 3 Së GD&§T §Ò Thi chän häc sinh giái cÊp tØnh B¾c giang N¨m häc : 1998-1999 M«n : To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi : 150 phót 2
  3. Bµi 1: (2 ®iÓm). a) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö: x4 + 4 a2 a 3 b) T×m sè nguyªn a ®Ó biÓu thøc P= nhËn gi¸ trÞ nguyªn. a 1 Bµi 2 : (2 ®iÓm) §a thøc P(x) khi chia cho (x-3) d­ 7 , khi chia cho (x+5) th× d­ -9, cßn khi chia cho ( x2-5x+6) th× ®­îc th­¬ng lµ: x2 +1 vµ cßn d­. T×m ®a thøc P(x). Bµi 3 : (3 ®iÓm) a) BiÕt x lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ; x ab x ac x bc a b c a b a c b c (23 1)(33 1)(43 1) (503 1) b) Rót gän biÓu thøc : M= (23 1)(33 1)(43 1) (503 1) Bµi 4 : (3 ®iÓm) a) Trªn tia Ox cña gãc xOy cho tr­íc lÊy 1 ®iÓm A. H·y t×m trªn tia Oy cña gãc ®ã 1 ®iÓm B sao cho: OB+BA=d (víi d lµ ®é dµi cho tr­íc) b) Cho tam gi¸c ABC cã 2 trung tuyÕn kÎ tõ B vµ tõ C lµ BE vµ CF. Chøng minh r»ng BE vu«ng gãc víi CF khi vµ chØ khi AC2+AB2=5BC2 Së GD&§T §Ò Thi chän häc sinh giái cÊp tØnh B¾c giang N¨m häc : 1999-2000 M«n : To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi : 150 phót Bµi 1: (2 ®iÓm). a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A= x3(x2-7)2-36x 3
  4. b) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 210. Bµi 2 : (3,5 ®iÓm) a ) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n nµo ®Ó: (2n3-3n2+n+3) chia hÕt cho (n2-n). b) T×m x biÕt: x 2 x 3 x 4 x 5 x 349 1) 0 327 326 325 324 5 x 97 x 63 x 7 x 77 2) 125 35 21 49 Bµi 3 : (1,5 ®iÓm). Cã 7 c¸i b¸nh chia ®Òu cho 12 em. Chia nh­ thÕ nµo ®Ó kh«ng chia bÊt cø c¸i b¸nh nµo thµnh 12 phÇn b»ng nhau c¶. Bµi 4 : (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn AD lÊy ®iÓm E, trªn tia ®èi cña tia CD lÊy ®iÓm K sao cho AE=CK. a) Chøng minh r»ng: BE vu«ng gãc víi BK b) BiÕt OK=a, DE=b. TÝnh diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c: DEK, BEK vµ tÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c ABCD. Së GD&§T §Ò Thi chän häc sinh giái cÊp tØnh B¾c giang N¨m häc : 2000-2001 M«n : To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi : 150 phót Bµi 1: (2 ®iÓm). a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x4 + x2 + 1 4
  5. b) Rót gän ph©n thøc: 1 1 1 1 P = x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 Bµi 2 : (2 ®iÓm) Cho a, b lµ c¸c sè tù nhiªn tho¶ m·n : 2a2+a=3b2+b Chøng minh r»ng: a - b; 2a + 2b + 1 ®Òu lµ sè chÝnh ph­¬ng Bµi 3 : (2 ®iÓm) a) TÝnh : 34 4 74 4 114 4 154 4 194 4 P= . . . . 54 4 94 4 134 4 174 4 214 4 b) T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh: 2x2 + 5xy + 3y2 = 3 Bµi 4 : (4 ®iÓm) a) Cho tam gi¸c c©n ABC (AB=AC). M lµ trung ®iÓm cña BC. Mét ®iÓm D thay BM 2 ®æi trªn c¹nh AB. LÊy mét ®iÓm E trªn c¹nh AC sao cho CE= . Chøng BD minh r»ng: 1) Tam gi¸c DME ®ång d¹ng víi tam gi¸c DBM 2) Kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®o¹n th¼ng DE kh«ng ®æi. b) Cho gãc nhän xOy. I lµ ®iÓm thuéc miÒn trong gãc xOy. H·y dùng ®o¹n th¼ng AB, A thuéc Ox, B thuéc Oy sao cho I lµ trung ®iÓm cña AB. Së GD&§T §Ò Thi chän häc sinh giái cÊp tØnh B¾c giang N¨m häc : 2001-2002 M«n : To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi : 150 phót Bµi 1: (2 ®iÓm). Cho biÓu thøc : 1 1 1 1 M= x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 a) Rót gän M. b) T×m x ®Ó M>0. Bµi 2 : (2 ®iÓm) 5
  6. Ng­êi ta ®Æt mét vßi n­íc ch¶y vµo mét bÓ vµ mét vßi n­íc ch¶y ra ë l­ng chõng bÓ. Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy n­íc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra, më vßi ch¶y vµo th× sau 1 giê r­ìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp hai lÇn vßi ch¶y ra. a) TÝnh thêi gian n­íc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc n­íc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra. b) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2 m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu. Bµi 3 : (1 ®iÓm). T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh: x2 + 2xy + y2+ x + 4y = 0 Bµi 4 : (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh cã ®é dµi c¹nh lµ a. E chuyÓn ®éng trªn c¹nh CD (E kh¸c D). §­êng th¼ng AE c¾t BC t¹i F. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t CD t¹i K. a) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña KF, J lµ trung ®iÓm cña AF. Chøng minh r»ng: JA=JB=JF=JI c) §Æt DE=x a x 0 . TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c AEK theo a vµ x d) H·y chØ ra vÞ trÝ cña E sao cho ®é dµi EK ng¾n nhÊt. Bµi 5: ( 2 ®iÓm). 1 1 1 z2 x2 y2 a) Cho 0 . TÝnh N = xy yz zx xy yz zx b) Kh«ng dïng m¸y tÝnh, h·y sè trÞ cña biÓu thøc: P=(0,2345)4+(0,7655)4-(1,2345)3-(0,7655)2-(1,2345)2.(0,7655)3+4,938.3052 Së GD&§T §Ò Thi chän häc sinh giái cÊp tØnh B¾c giang N¨m häc : 2002-2003 M«n : To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi : 150 phót Bµi 1: (2 ®iÓm). Rót gän ph©n thøc x x x 1 (a 1)4 11(a 1)2 30 a) b) 3x2 4x 1 3(a 1)4 18(a2 2a) 3 Bµi 2 : (2 ®iÓm) a) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d­ 2 vµ b chia cho 13 d­ 3 th× (a2+b2) chia hÕt cho 13. 6
  7. b) Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n a.b.c=1. a b c TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A= 1 a ac 1 b bc 1 c ca x2 2x 1 x2 2x 2 7 c) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x2 2x 2 x2 2x 3 6 Bµi 3 : (2 ®iÓm) §Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp §oµn TNCS HCM. Hai tæ c«ng nh©n l¾p m¸y ®­îc giao lµm mét khèi l­îng c«ng viÖc. NÕu hai tæ lµm chung th× hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu tæ 1 lµm trong 5 giê , tæ hai lµm trong 3 giê th× hoµn thµnh 30% c«ng viÖc. NÕu c«ng viÖc trªn ®­îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thêi gian ®Ó hoµn thµnh. Bµi 4 : (3 ®iÓm) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC>BD). Gäi E, F lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña B, D trªn AC; H, K lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña C trªn AB vµ AD. a) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g×? V× sao. b) Chøng minh tam gi¸c CHK ®ång d¹ng víi tam gi¸c BCA. c) Chøng minh AC2=AB.AH+AD.AK Bµi 5: (1 ®iÓm) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x 2002 2002 x 2003 2003 1 Së GD&§T §Ò Thi chän häc sinh giái cÊp tØnh B¾c giang N¨m häc : 2003-2004 M«n : To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi : 150 phót Bµi 1: (2 ®iÓm). x x x 1 a) Rót gän ph©n thøc: P = 3x2 4x 1 2004x 2005x b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 902 2x2 x 1 2x2 2x 1 Bµi 2 : (2 ®iÓm) a) T×m c¸c nghiÖm nguyªn x, y, z cña bÊt ph­¬ng tr×nh: x2+y2+z2 xy+3y+2z-4. b) Chøng minh r»ng víi mäi n N* ta lu«n cã : 7
  8. 1 1 1 1 3 n 1 n 2 n 3 2n 4 Bµi 3 : (2 ®iÓm) Hai « t« cïng xuÊt ph¸t mét lóc tõ hai ®Þa ®iÓm A vµ B. ¤ t« thø nhÊt xuÊt ph¸t tõ A ®Õn B råi quay l¹i A ngay, « t« thø hai xuÊt ph¸t tõ B ®Õn A råi quay l¹i B ngay. Hai « t« gÆp nhau lÇn hai t¹i mét ®Þa ®iÓm C c¸ch A lµ 20 km. TÝnh ®é dµi qu·ng ®­êng AB, biÕt r»ng vËn tèc cña « t« thø nhÊt vµ vËn tèc cña « t« 3 thø hai tû lÖ víi vµ vËn tèc cña hai « t« tõ lóc xuÊt ph¸t ®Õn lóc gÆp nhau lÇn hai 2 lµ kh«ng ®æi. Bµi 4 : (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã trung tuyÕn AM. Tia ph©n gi¸c cña gãc AMB c¾t c¹nh AB ë E, tia ph©n gi¸c cña gãc AMC c¾t c¹nh AC ë D. a) Chøng minh DE//BC. b) Cho MC=8 cm vµ 3AD=5CD. TÝnh DE. Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho biÓu thøc P=(b2+c2-a2)2-4b2c2. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c th× P<0. Së GD&§T §Ò kh¶o s¸t chän häc sinh giái cÊp tØnh B¾c giang N¨m häc : 2001-2002 M«n : To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi : 150 phót Bµi 1: (2,5 ®iÓm). Chøng minh r»ng: a) [x2-z2+(2x+y)y] chia hÕt cho (x+y+z) víi x, y, z lµ c¸c sè tù nhiªn b) (x8n+x4n+1) chia hÕt cho (x2n+xn+1) víi n lµ sè tù nhiªn Bµi 2 : (2,5 ®iÓm) a ) Cho ®a thøc f(x)=ax2+bx+c. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng: 2a, 2b lµ c¸c sè nguyªn. b) T×m sè tù nhiªn A nhá nhÊt biÕt r»ng : 8
  9. A chia cho 91 d­ 23 A chia cho 93 d­ 32 Bµi 3 : (1,5 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc : 22 1 32 1 42 1 n2 1 . . víi n lµ sè tù nhiªn. 22 32 42 n2 Bµi 4 : (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng trong mét tø gi¸c låi chu vi lín h¬n tæng ®é dµi c¸c ®­êng chÐo nh­ng l¹i nhá h¬n hai lÇn tæng ®é dµi c¸c ®­êng chÐo. Bµi 5: ( 1,5 ®iÓm) Cã 5 ng­êi A, B, C, D, E xÕp hµng mua vÐ xem phim. BiÕt r»ng A mua vÐ tr­íc B nh­ng sau E; C vµ E kh«ng ®øng kÒ nhau. D kh«ng ®øng kÒ víi E, C, A. T×m thø tù xÕp hµng cña 5 ng­êi ®ã. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TẠO TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2013 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (4,5 điểm) 1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a3 7a2b 7ab2 2b3 . 2) Cho x2 x 1. Tính giá trị biểu thức Q x6 2x5 2x4 2x3 2x2 2x 1. Câu 2. (4,5 điểm) x 1 x 1 4 4026 1) Cho biểu thức: R 2 2 3 : . Tìm x để biểu thức xác x 2x x 2x x 4x x định, khi đó hãy rút gọn biểu thức. 2) Giải phương trình sau: x 2 x 1 x 1 x 2 4 . Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh n3 n chia hết cho 24. 9
  10. 2) Tìm số tự nhiên n để n2 4n 2013 là một số chính phương. Câu 4. (6,0 điểm) 1) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD=2AB=2AD và BC a 2 . a. Tính diện tích hình thang ABCD theo a . b. Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Chứng minh H· DI 450 . 2) Cho tam giác ABC có BC a,CA b, AB c . Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là la ,lb ,lc . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 la lb lc a b c Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai số không âm a và b thoả mãn a2 b2 a b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b S a 1 b 1 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM BẮC GIANG BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI 30 /3/2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu 1 Hướng dẫn giải (4.5 điểm) 3 3 Ta có P 2 a b 7ab a b 0,5 2 a b a2 ab b2 7ab a b 0.5 a b 2a2 2b2 5ab 1 a b 2a2 4ab 2b2 ab (2.5 điểm) 0.5 a b 2a a 2b b b 2a 0.5 a b 2a b a 2b 0.5 Kết luận P a b 2a b a 2b 2 4 3 2 4 3 2 2 2 Ta có Q x x 2x x x 2x x x x x 1 0.5 (2.0 điểm) 10
  11. 2 2 x2 x2 x x2 x x 2 0.5 x2 x 3 4 0.5 Vậy Q 4 0.5 Câu 2 (4.5 điểm) x 1 x 1 4 x Ta có R . x x 2 x x 2 x x2 4 4026 0.5 ĐK: x x2 4 0 x 0 x 2 0.5 1 Khi đó: (2.5 điểm) 1 x 1 x 1 4 R 2 4026 x 2 x 2 x 4 0.5 1 x 1 x 2 x 1 x 2 4 . 4026 x2 4 2 1 2 x 4 1 . 0.5 4026 x2 4 2013 x 0 1 Vậy R xác định khi và R x 2 2013 0.5 + Nếu x 2 , phương trình đã cho trở thành x 2 x 1 x 1 x 2 4 0.5 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 0 x2 x2 5 0 x 0 l 0.5 x 5 tm x 5 l 2 (2 điểm) Nếu x 2 , phương trình đã cho trở thành 2 x x 1 x 1 x 2 4 0.5 x 2 x 1 x 1 x 2 4 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 8 0 2 2 5 7 x 0 vô nghiệm 0.25 2 4 KL: Phương trình có một nghiệm x 5 . 0.25 11
  12. Câu 3 (4 điểm) 3 Ta có n n n n 1 n 1 0.5 Vì n 1; n; n 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số 0.5 đó chia hết cho 3. Do đó n3 n 3 (1) 1 (2 điểm) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n 1 và n 1 là hai số tự nhiên chẵn liên 3 0.5 tiếp. Do đó n 1 n 1 8 n n 8 (2) Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1), (2) 3 0.5 suy ra n n 24 (đpcm) + Giả sử n2 4n 2013 m2 , m ¥ + Suy ra n 2 2 2009 m2 m2 n 2 2 2009 0.5 m n 2 m n 2 2009 + Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 và m n 2 m n 2 nên có các trường hợp sau xảy ra: m n 2 2009 m 1005 0.5 2 • TH1: m n 2 1 n 1002 (2 điểm) m n 2 287 m 147 • TH1: m n 2 7 n 138 0.5 m n 2 49 m 45 • TH3: m n 2 41 n 2 Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2. 0.5 Câu 4 (6 điểm) A B H I 1 D C (4 điểm) E a) + Gọi E là trung điểm của CD, chỉ ra ABED là hình vuông và 0.5 BEC là tam giác vuông cân. 12
  13. + Từ đó suy ra AB AD a; BC 2a 0.5 AB CD .AD + Diện tích của hình thang ABCD là S 0.5 2 a 2a .a 3a2 0.5 2 2 b) + ·ADH ·ACD (1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vuông 0.5 góc) + Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có AD IB 1 , do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng. 0.5 DC BD 2 Suy ra ·ACD B· DI (2) + Từ (1) và (2), suy ra ·ADH B· DI 0.5 0.5 + Mà ·ADH B· DH 450 B· DI B· DH 450 hay H· DI 450 M A B C D + Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M. Ta có B· AD ·AMC (hai góc ở vị trí đồng vị) 2 · · (2 điểm) DAC ACM (hai góc ở vị trí so le trong) Mà B· AD D· AC nên ·AMC ·ACM hay tam giác ACM cân tại A, 0.5 suy ra AM AC b AD BA c + Do AD//CM nên CM BM b c 0.5 c AD 1 1 1 1 + Mà CM AM AC 2b (1) 0.5 b c 2b la 2 b c + Tương tự ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 (2); (3) 0.5 lb 2 c a la 2 b c Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm Câu 5 1điểm 1 điểm + Ta có a2 1 2a;b2 1 2b a2 b2 2 2a 2b a b 2 0.25 13
  14. 1 1 4 + Chứng minh được với hai số dương x, y thì 0.25 x y x y 1 1 4 + Do đó S 2 2 1 0.25 a 1 b 1 a 1 b 1 + Kết luận: GTLN của S là 1, đạt được khi a b 1. 0.25 Điểm toàn bài (20điểm) Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. - Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TẠO TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2013- 2014 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG Ngày thi: 21/ 3 / 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang) Câu 1. ( 4,0 điểm) 1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử P = a4 + 4a2b2 + 16b4 , với a,b Î ¡ . 2) Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng S = 1+ 5n + 7n + 11n chia hết cho 12. æ x 2 1 ö æ 7 - x 2 ÷ö Câu 2. ( 5,0 điểm) 1) Cho biểu thức T = ç + + ÷: çx - 1+ ÷. 2 ÷ ç ÷ èçx - 1 1- x x + 1÷ø èç x + 1 ø÷ Hãy rút gọn T và tìm tất cả các giá trị của x Î ¡ để T > 0 . 2) Tìm tất cả các số nguyên n để n 4 + 3n 3 + 3n 2 là số chính phương. Câu 3. ( 4,0 điểm) 1) Giải phương trình x - 10 + x - 12 + x + 101 + x + 991 + x + 1001 = 2014 . 2) Tìm phần dư của phép chia đa thức P(x) cho (x - 1)(x + 2) . Biết rằng đa thức P(x) chia cho (x - 1) dư 7 , chia cho (x + 2) dư 1. Câu 4. (6,0 điểm) 1) Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 10 cm, AB = 29 cm. Trên cạnh CD lấy điểm M sao cho DM = 4 cm. a) Chứng minh rằng AM vuông góc với MB . 14
  15. b) Tia phân giác của góc A·MB cắt AB tại E . Kẻ đường thẳng d qua E vuông góc với AB . Đường thẳng d cắt MA và MB lần lượt tại H,K . Đường thẳng AK cắt BH tại N . Chứng minh rằng MN là tia phân giác của góc B·MH . 2) Cho tam giác ABC vuông tại A . Hai đường phân giác trong BD và CE cắt BD CE nhau tại O . Chứng minh rằng × = 2. BO CO Câu 5. ( 1,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng a2 b2 c2 3 minh rằng: + + ³ × 1+ 2bc 1+ 2ca 1+ 2ab 5 HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM BẮC GIANG BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI 21/3/2014 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 P = (a4 + 8a2b2 + 16b4 )- 4a2b2 0.5 1.1. 2 2 (1.5 điểm) P = (a2 + 4b2) - (2ab) 0.5 P = (a2 + 4b2 + 2ab)(a2 + 4b2 - 2ab). Kết luận 0.5 + Với n = 1 ta có: S = 24M12 (đúng) 0.5 + Với n ³ 2 và n là số tự nhiên lẻ ta luôn có: 5n + 7n = (5 + 7)(5n- 1 - 5n- 2.7 + 5n- 3.72 - - 5.7n- 2 + 7n- 1) 0.5 = 12(5n- 1 - 5n- 2.7 + 5n- 3.72 - - 5.7n- 2 + 7n- 1) 1.2 (2.5 điểm) Þ (5n + 7n )M12 (1) 0.5 Tương tự ta cũng có: 0.5 1+ 11n = 12(1- 11+ 112 - - 11n- 2 + 11n- 1) Þ (1+ 11n )M12 (2) Từ (1) và (2) ta có (1+ 5n + 7n + 11n )M12 . 0.5 Câu 2 2.1 Điều kiện: x ¹ ± 1 0.5 15
  16. (2.5 điểm) x - 2(x + 1) + x - 1 x 2 - 1+ 7 - x 2 T = : 0.5 x 2 - 1 x + 1 - 3 x + 1 T = × 0.5 (x - 1)(x + 1) 6 - 1 T = 0.5 2(x + 1) - 1 T > 0 Û > 0 Û x + 1 < 0 Û x < - 1. Kết luận 0.5 2(x + 1) Đặt m = n 4 + 3n 3 + 3n 2 . Ta có: 0.5 4m = 4n 4 + 12n 3 + 12n 2 = n 2 é(2n + 3)2 + 3ù ëê ûú + Với n = 0 thì m = 0 là số chính phương (thoả mãn). 0.5 +Với n ¹ 0 , m là số chính phương Þ 4m là số chính phương 2 0.5 Þ 2n + 3 + 3 là số chính phương. 2.2 ( ) (2.5 điểm) Tồn tại số nguyên dương k thoả mãn: (2n + 3)2 + 3 = k2 Û (2n + 3 - k)(2n + 3 + k) = - 3 0.5 ì ì ï 2n + 3 - k = - 1 ï 2n + 3 - k = - 3 í hoặc í Þ n = - 1 hoặc n = - 2. ï 2n + 3 + k = 3 ï 2n + 3 + k = 1 îï îï 0.5 Thử lại thoả mãn.Vậy m Î {0;- 1;- 2} thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu 3 (4,0 điểm) Ta có: x - 10 + x + 1001 = 10 - x + x + 1001 ³ 1011 (1) 0.5 Đẳng thức xảy ra khi - 1001 £ x £ 10 x - 12 + x + 991 = 12 - x + x + 991 ³ 1003 (2) 0.5 Đẳng thức xảy ra khi - 991 £ x £ 12 3.1 x + 101 ³ 0 (3) (2,0 điểm) 0.5 Đẳng thức xảy ra khi x = - 101 Từ (1), (2) và (3) Þ x - 10 + x - 12 + x + 101 + x + 991 + x + 1001 ³ 2014 0.5 Đẳng thức xảy ra khi x = - 101. Kết luận Do (x - 1)(x + 2) = x 2 + x - 2 là đa thức bậc 2 nên phần dư của phép chia P(x) cho (x - 1)(x + 2) là một đa thức có bậc nhỏ hơn 2. 0.5 Giả sử ax + b(a,b Î ¡ ) là phần dư cần tìm 3.2 Từ giả thiết bài toán: Tồn tại các đa thức Q (x),Q (x),Q (x) thoả mãn: (2,0 điểm) 1 2 3 ïì P(x) = Q (x).(x - 1)(x + 2) + ax + b ï 1 ï 0.5 í P(x) = Q (x). x - 1 + 7 . ï 2 ( ) ï P(x) = Q (x).(x + 2) + 1 îï 3 16
  17. Xét P(1) = 7 = a + b;P(- 2) = 1 = - 2a + b. Từ đó ta có hệ phương trình: ì 0.5 ï a + b = 7 í ï - 2a + b = 1 îï Giải hệ tìm được a = 2;b = 5. Kết luận phần dư cần tìm là 2x + 5. 0.5 Câu 4 0.5 4.1.a (2.0 điểm) Tìm được MC = 25. Xét tam giác vuông ADM , theo định lý Pytago: 0.5 AM 2 = AD 2 + DM 2 = 116 . 2 2 2 Tương tự: Xét tam giác vuông MCB có: BM = BC + CM = 725. 0.5 Xét tam giác AMB có: AM 2 + BM 2 = AB 2(= 841) . 0.5 Theo định lý Pitago đảo ta suy ra AM ^ MB . · · · o Xét DANH và DBMH có: AHB chung, ANH = BMH = 90 HN HA 0.5 Þ DANH : DBMH (g.g) Þ = . HM HB HN HA · Xét DHMN và DHBA có: = và AHB chung HM HB 0.5 4.1.b · · Þ DHMN : DHBA Þ HMN = HBA . (1) (2.0 điểm) · · Tương tự ta cũng có: DAME : DABH Þ AME = ABH . (2) 0.5 · · · · o Từ (1) và (2) suy ra HMN = AME . Mà AME = EMB = 45 · o Þ HMN = 45 . 0.5 · o · · Từ đó suy ra NMB = 45 Þ NMB = NMH (Điều phải chứng minh). 17
  18. 0.5 Đặt BC = a,CA = b,AB = c . Theo tính chất phân giác ta có: DC BC a DC + DA a + c bc = = Þ = Þ DA = . DA BA c DA c a + c Xét DABD có AO là phân giác trong. Ta có OD DA OD b BD a + b + c 0.5 4.2 = Þ = Þ = (1) (2,0 điểm) OB BA OB a + c BO a + c CE a + b + c Chứng minh tương tự: = (2) CO a + b 2 0.5 BD CE (a + b + c) Từ (1) và (2) suy ra × = BO CO (a + c)(a + b) Mà DABC vuông tại A nên theo Pitago có: b2 + c2 = a2 . Như vậy: 2 (a + b + c) (a + c)(a + b) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = a2 + ab + bc + ca 2(a2 + ab + bc + ca) = 0.5 a2 + ab + bc + ca = 2 Kết luận Câu 5 Sử dụng BĐT x 2 + y2 ³ 2xy ta có: a2 b2 c2 a2 b2 c2 0.25 + + ³ + + 1+ 2bc 1+ 2ca 1+ 2ab 1+ b2 + c2 1+ c2 + a2 1+ a2 + b2 a2 b2 c2 + + 1.0 điểm 1+ b2 + c2 1+ c2 + a2 1+ a2 + b2 2 2 2 0.25 a b c æ 1 1 1 ö = + + = - 3 + 2ç + + ÷ 2 2 2 ç 2 2 2 ÷ 2 - a 2 - b 2 - c èç2 - a 2 - b 2 - c ø÷ 1 1 1 9 9 Lại có: + + ³ = 0.25 2 - a2 2 - b2 2 - c2 6 - a2 - b2 - c2 5 18
  19. a2 b2 c2 3 Kết hợp lại ta được: + + ³ × 1+ 2bc 1+ 2ca 1+ 2ab 5 0.25 1 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = . 3 Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. - Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 21/ 3/ 2015 (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 ( 4,0 điểm) 1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P = 21x 4 + 3x 3 + 2036x 2 + 3x + 2015, với x Î ¡ . 2) Cho các thực x,y khác 0 thoả mãn x 2013 + y2013 = x 2014 + y2014 = x 2015 + y2015. Tính S = x 2016 + y2016. æ1- x 3 ö æ2 + x - x 2 ö Câu 2 (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức B = ç - x÷: ç ÷. ç ÷ ç 3 2 ÷ èç1- x ø÷ èçx - 3x + 4ø÷ a) Tìm x để biểu thức B có nghĩa, khi đó hãy rút gọn B . b) Tìm các giá trị của x Î ¡ để B > 0. æ ö 2 4ç 1÷ 2) Giải phương trình (x - 3) + 4 = ç3- ÷. x èç x ø÷ Câu 3 ( 4,0 điểm) 1) Cho đa thức f (x) = ax2 + bx + c với a,b,c là các số hữu tỉ. Biết rằng f (0), f (1), f (2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên. 2) Tìm số tự nhiên n để P = n 7 + n 5 + 1 là số nguyên tố. Câu 4 ( 6,0 điểm) 1) Cho hình chữ nhật ABCD và điểm T nằm trên đoạn BD . Gọi M là điểm đối xứng của C qua T . Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng AB,AD . a) Chứng minh rằng EF //AC và ba điểm E,F,T thẳng hàng. TD 9 b) Cho CT vuông góc với BD , = và CT = 2,4 . Tính độ dài các cạnh của TB 16 hình chữ nhật. 19
  20. 2) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AM ,BN,CP . Gọi H là trực tâm của tam (AB + BC + CA)2 giác ABC . Chứng minh rằng ³ 4. AM 2 + BN 2 + CP 2 Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x 2 + y2 + z2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất x 2 y + z 1 của biểu thức M = + + × x 2 + yz + x + 1 x + y + z + 1 xyz + 3 Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI 21/3/2015 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 2 2 2 2 1.1 P = 21x (x + 1) + 2015(x + 1) + 3x(x + 1) . 1.0 (2 điểm) 2 2 P = (x + 1)(21x + 3x + 2015) . 1.0 Ta có (x 2014 + y2014)(x + y) - xy(x 2013 + y2013) = x 2015 + y2015 . 0.5 éx = 1 Kết hợp với giả thiết suy ra x + y - xy = 1 Þ ê (do x, y ≠ 0). êy = 1 0.5 ëê 1.2 (2 điểm) Với x = 1 thì y =1 suy ra S = 2. 0.25 Với y = 1 thì x = 1 suy ra S = 2. 0.25 KL: S = 2. 0.5 Câu 2 ïì 1- x ¹ 0 ï ï 3 2 a) B xác định khi í x - 3x + 4 ¹ 0 0.25 ï ï 2 + x - x 2 ¹ 0 îï +) 2.1 x 3 - 3x 2 + 4 = (x 3 + 1) - 3(x 2 - 1) = (x + 1)(x 2 - 4x + 4) = (x + 1)(x - 2)2 0.25 (3 điểm) +) B xác định khi x ¹ ± 1,x ¹ 2 0.5 (x + 1)(2 - x) +)B = (x 2 + 1) : 0.5 (x + 1)(x - 2)2 +) B = (x 2 + 1)(2 - x) . 0.5 20
  21. Kết luận b) B > 0 Û (x 2 + 1)(2 - x) > 0 Û x 0 thì n + n + 1 ³ 3. P nguyên tố khi n - n + n - n + 1 = 1. Do 0.5 đó n =1. +) Kết luận : n = 1. 0.25 Câu 4 E M I D A F 4.1 (4 điểm) T O B C 21
  22. a) TO là đường trung bình của tam giác CMA, suy ra TO song song với AM. · · Khi đó OBA = MAE . 0.5 Gọi I là giao điểm của AM và EF. · · · · IAE = IEA = FEA = OAB 0.5 Þ EF / / AC. 0.5 Mặt khác IT là đường trung bình của tam giác MAC, suy ra IT song song AC. 0.5 Từ đó suy ra E, F, T thẳng hàng. 0.5 TD 9 TD TB b) = Þ = = t Þ TD = 9t,TB = 16t. TB 16 9 16 0.5 +) CT ^ BD suy ra tam giác CTB và DTC đồng dạng. CT BT 0.5 Þ = Þ CT 2 = TB.TD DT CT 0.5 Þ (2,4)2 = 9.16t 2 Þ t = 0.2. Þ TD = 9t = 1,8;TB = 16t = 3,2 Þ DB = 5. 0.5 BC 2 = TB.BD = 16 Þ BC = 4,CD = 3. A P N H M C B D Dựng đường thẳng d đi qua C song song với AB. Gọi D là điểm đối xứng với 0.25 A qua d. 4.2 Chứng minh được góc BAD vuông, CD=AC, AD = 2CP. (2 điểm) Xét ba điểm B, C, D ta có BD £ BC + CD. 0.5 Tam giác BAD vuông tại A nên AB 2 + AD 2 = BD 2 2 Þ AB 2 + AD 2 £ (BC + CD) 2 Þ AB 2 + 4CP 2 £ (BC + CD) 0.5 2 Þ 4CP 2 £ (BC + CD) - AB 2. Hoàn toàn tương tự ta có 0.25 2 4AM 2 £ (AB + AC ) - BC 2, 2 4BN 2 £ (AB + BC ) - AC 2. Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có 0.5 22
  23. 2 4(AM 2 + BN 2 + CP 2) £ (AB + AC + BC ) 2 (AB + AC + BC ) Û ³ 4. AM 2 + BN 2 + CP 2 Câu 5 x 2 x +) Chứng minh £ . x 2 + yz + x + 1 z + y + x + 1 Thật vậy +) x = 0 đúng +) x > 0 , ta chỉ cần chứng minh x(z + y + x + 1) £ x 2 + yz + x + 1 0.25 Û xz + xy £ yz + 1 Û 2xz + 2xy £ 2yz + 2 Û 2xz + 2xy - 2yz - (x 2 + y2 + z2) £ 0 Û - (x - y - z)2 £ 0. x + y + z 1 M £ + x + y + z + 1 xyz + 3 0.25 1 1 xyz + 2 - (x + y + z) (1 điểm) = 1- + = 1- . x + y + z + 1 xyz + 3 (x + y + z + 1)(xyz + 3) +) Chứng minh xyz + 2 ³ x + y + z . Ta có 2 = x 2 + y2 + z2 ³ y2 + z2 ³ 2yz Þ yz £ 1. Dấu bằng xảy ra khi yz =1, x = 0. Mặt khác 2 é ù2 (x + y + z - xyz) = ëêx(1- yz) + y + zûú £ (x 2 + (y + z)2)((1- yz)2 + 1) = (2 + 2yz)(y2z2 - 2yz + 2) 0.25 = 4+ 2y2z2(yz - 1) £ 4. Þ - 2 £ x + y + z - xyz £ 2 Þ x + y + z £ xyz + 2. Do đó M £ 1 Þ max M = 1 khi x = 0, y= z = 1. 0.25 Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. - Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng. 23
  24. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 (Đề thi có 01 trang) Ngày thi: 20/ 3/ 2016 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (5,0 điểm) 1) Cho số nguyên dương x thỏa mãn x x 1 x 2 x 3 24 . Tính giá trị biểu thức 2 P x2015  x2016 1 2) Cho đa thức P(x) x 5 x 10 x 15 x 20 2016. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho đa thức x2 25x 120. Câu 2 ( 4,0 điểm) a 1 a 1 8a a2 a 11 2 1) Cho biểu thức A 2 : 2 , a 0,a 1 . a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 2 2 2 2 2 1 2 2) Giải phương trình x 1 1 1 8 1 . x x x Câu 3 ( 4,0 điểm) 2 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q x x 2 2 1 2x2 8x 2. 2) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng số đó chia cho 51 dư 17 và chia cho 101 dư 22. Câu 4 (6,0 điểm) 1) Cho hình vuông ABCD . Điểm P thay đổi trên đường chéo BD ( P khác B và D ). Gọi Q , R lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên AB và AD . a) Chứng minh ba đường thẳng BR, DQ,CP đồng quy. b) Xác định vị trí điểm P để diện tích tứ giác AQPR lớn nhất. 2) Cho tam giác ABC cân tại A có BC 4cm. Hai điểm D và E lần lượt nằm trên các cạnh AC và AB sao cho AD 2DC , AE 2EB và BD, CE vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC . 3) Cho tứ giác ABCD . Qua trung điểm M của đường chéo BD dựng đường thẳng song song với AC , cắt cạnh AD tại E . Chứng minh CE chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau. Câu 5 ( 1,0 điểm) Cho các số thực a,b,c thoả mãn a2 b2 c2 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 2016ac ab bc. Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM 24
  25. BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI 20/3/2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 1.1 Từ x x 1 x 2 x 3 24 tìm ra được x = 1 1.5 (2.5 2 điểm) Thay x = 1 tính được P x2015 1 1 2 Kết luận. 1.0 x2016 1 Ta biến đổi P(x) x 5 x 10 x 15 x 20 2016 0.5 1.2 2 2 (2.5 x 25x 100 x 25x 150 2016 điểm) Đặt a x2 25x 120 ta có P(x) a 20 a 30 2016 a2 10a 1416 . 1.25 Vậy khi chia P(x) cho x2 25x 120 ta được dư là 1416. 0.75 Câu 2 a 1 a 1 8a a2 a 11 2 A 2 : 2 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 0.75 a2 2a 1 a2 2a 1 8a a2 a 11 2 a 1 : a2 1 a2 1 2.1 4a 2  0.5 (2.0 a a 9 điểm) 2 (a2 - a + 9)- 5a = a2 - 6a + 9 = (a - 3) ³ 0. Do đó a2 - a + 9 ³ 5a > 0. 0.25 a 1 4a 4 Khi đó £ Þ - ³ - × 0.25 a2 - a + 9 5 a2 - a + 9 5 4 0.25 A đạt giá trị nhỏ nhất là - . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 3. 5 2 2 2 2 2 1 2 x 1 1 1 8 1 1 . ĐK : x ¹ 0. x x x 0.5 x 1 2 x 2 2 x 1 2 8 x 2 2 . 4 3 2 2.2 Biến đổi được về phương trình x + 6x + 6x - 18x - 27 = 0 0.5 (2.0 điểm) 2 Û (x + 3) (x 2 - 3) = 0. 0.5 Kết luận tập nghiệm của phương trình là {- 3;- 3; 3} . 0.5 Câu 3 25
  26. 2 2 Q x x 2 2 1 2x2 8x 2 x2 4x 5 2 x2 4x 5 8 0.75 2 2 2 2 3.1 = x 4x 5 2 x 4x 5 4 x 4x 5 8 (2 điểm) 0.75 = x2 4x 3 x2 4x 9 = x 1 x 3 x2 4x 9 . 0.5 Từ giả thiết, gọi n là số có bốn chữ số cần tìm thì tồn tại hai số tự nhiên a,b sao 0.25 cho n = 101a + 22 = 51b + 17 (1). Ta có 51b = 101a + 5 = 102a - (a - 5), do đó (a - 5)M51. 0.5 Đặt a - 5 = 51m (m Î ¥ ) Þ a = 51m + 5. 3.2 (2 điểm) Thế vào (1) 51b = 101(51m + 5)+ 5 = 51(101m + 10) Þ b = 101m + 10. 0.5 Thay vào (1) n = 51(101m + 10)+ 17 = 5151m + 527. 0.5 Vì 1000 £ n £ 9999nên 1000 £ 5151m + 527 £ 9999 Khi đó m = 1 và suy ra n = 5678. 0.25 Câu 4 B C P Q 4.1 (3 điểm) A D R a) Khẳng định hai tam giác vuông ABR và BCQ bằng nhau, suy ra · · 0.5 ABR = BCQ , RB ^ CQ . 26