Hướng dẫn ôn tập học kì II môn Toán 9

Nội dung text: Hướng dẫn ôn tập học kì II môn Toán 9

1. HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KÌ II MÔN TOÁN 9 I/ LÝ THUYẾT: A/ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN: Câu 1: Nêu khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn. Áp dụng cho phương trình x+3y=4, tìm nghiệm tổng quát của phương trình. Trả lời: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y có dạng ax+by=c, trong đó a, b và c là các số đã biết a 0 hoặc b 0. x 4 3y Áp dụng: nghiệm tổng quát của phương trình là y ¡ Câu 2: a) Nêu định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x và y. Cho ví dụ b) Trong trường hợp nào thì (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình hai ẩn. Trả lời: a) Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=c và a’x+b’y=c’. Khi đó, ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. ax by c (1) (I) a ' x b' y c ' (2) 2x y 2 2x 3y 5 Ví dụ: a / b / x y 1 x 2y 8 b) Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung (x0; y0) thì (x0; y0) được gọi là nghiệm của hệ (I) Câu 3: Nêu các bước giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế. 2x y 2 2x 3y 5 Áp dụng giải hệ phương trình a / b / x y 1 x 2y 8 Trả lời: Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: Dùng guy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Áp dụng: 2x y 2 2x (1 x) 2 x 1 a) x y 1 y 1 x y 0 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (-1; 0) 2x 3y 5 2(2y 8) 3y 5 b) x 2y 8 x 2y 8 4y 16 3y 5 7y 21 x 2 x 2y 8 x 2y 8 y 3 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (-2;3) Câu 4: Nêu các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng. Áp dụng giải các hệ phương trình sau: x 5y 7 2x 5y 2 a) b) 3x 2y 4 3x 2y 4 Trả lời: Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng 1
2. Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (Nếu cần) sao cho các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau. Áp dụng quy tắc cộng đại số để được một hệ phương trình mới, trong đó một phương trình có hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (Tức là phương trình một ẩn) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Áp dụng x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 a) 3x 2y 4 3x 2y 4 x 5y 7 y 1 x 2 x 5.1 7 y 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 1) 2x 5y 2 4x 10y 4 19x 16 b) 3x 2y 4 15x 10y 20 3x 2y 4 16 16 x x 19 19 16 14 3 2y 4 y 19 19 16 14 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ; 19 19 Câu 5: Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Trả lời: Bước 1: Lập hệ phương trình Chọn 2 ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết Lập hệ phương trình Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa điều kiện bài toán rồi kết luận. B/ HÀM SỐ y=ax2 (a 0) – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN: Câu 1: Nêu các tính chất của hàm số y=ax2 (a 0). Áp dụng: nêu tính chất của hàm số y=-2x2. Trả lời Hàm số y=ax2 (a 0) được xác định với mọi giá trị của x thuộc ¡ Tính chất của hàm số y=ax2 (a 0) a>0 a 0 và nghịch biến Hàm số đồng biến khi x 0 y=0 là giá trị nhỏ nhất (khi x=0) y=0 là giá trị lớn nhất (khi x=0) Áp dụng: Hàm số y=-2x2 có dạng y=ax2 với a=-2 0 y=0 là giá trị lớn nhất của hàm số (khi x=0) Câu 2: Nêu nhận xét đồ thị của hàm số y=ax2 (a 0) Áp dụng vẽ đồ thị của hàm số y=2x2. Trả lời: 2
3. Nhận xét Đồ thị của hàm số y=ax2 (a 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O. Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu a 0 phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: x1 = ; x1 = 2a 2a b • = 0 phöông trình coù nghieäm keùp :x1 = x2 = 2a • < 0 phöông trình voâ nghieäm Áp dụng: ( 7)2 4.( 3).10 169 0 169 13 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 7 13 10 7 13 x ; x 1 1 2.( 3) 3 2 2.( 3) Câu 5: Trình bày công thức nghiệm thu gọn của phương trình ax2+bx+c=0 (a 0) Áp dụng: Giải phương trình x2+6x – 7=0 Trả lời: 3
4. Phương trình: ax2 +bx + c = 0 (a 0) có hệ số b là số chẵn, ta có thể sử dụng công thức b nghiệm thu gọn với b’ = ; ’ = b’2 – ac 2 b' ' b' ' • ’ > 0 phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: x = ; x = 1 a 2 a b' • ’ =0 phöông trình coù nghieäm keùp :x = x = 1 2 a • ’ 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và b 1 x1 x2 a 3 c 10 x .x 1 2 a 3 c) -9x2 – 6x – 1=0 (3) (a=-9, b=-6, c=-1) b2 4ac =(-6)2 – 4.(-9).(-1)=36 – 36=0 Vậy phương trình (3) có nghiệm kép b 6 2 x x 1 2 a 9 3 c 1 1 x .x 1 2 a 9 9 Câu 6: Định nghĩa và cách giải phương trình trùng phương Áp dụng: Giải phương trình 3x4+4x2 – 7=0 Trả lời: 4
5. Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4+bx2+c=0 Đặt t=x2 (điều kiện t 0), ta có phương trình at2+bt+c=0 (*) Giải (*) rồi chọn nghiệm t 0, lúc đó x= t Áp dụng: 3x4+4x2 – 7=0 Đặt t=x2 (điều kiện t 0) Ta có phương trình 3t2+4t – 7=0 (*) Vì (*) có a+b+c=3+4+(-7)=0 nên phương trình (*) có hai nghiệm t1=1>0 (nhận) c 7 t2= (loại) a 3 Với t=1 x2=1 x= 1 2 Câu 7: Cho phương trình : ax bx c 0 (a 0) có hai nghiệm x1 và x2 .Chứng minh : b S x x 1 2 a c P x x 1 2 a Trả lời: ta có ïì - b + D ï x = ï 1 2a íï ï - b- D ï ï x2 = îï 2a - b + D - b- D - 2b - b Þ x + x = + = = 1 2 2a 2a 2a a - b + D - b- D (- b)2 - D b2 - b2 + 4ac c x .x = . = = = 1 2 2a 2a 4a2 4a2 a Câu 8: Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình Trả lời: Bước 1: Lập phương trình Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết Lập phương trình Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa điều kiện bài toán rồi kết luận. C/ GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN: Câu 1: Giữa hai đường tròn có mấy vị trí tương đối? Kể ra và vẽ hình mô tả. Trả lời: Giữa hai đường tròn (O) và (O’) có ba vị trí tương đối Hai đường tròn không giao nhau (không có điểm chung) Hai đường tròn ở ngoài nhau Hai đường tròn đựng nhau O O' O O' 5
6. Hai đường tròn tiếp xúc nhau (có một điểm chung) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài Hai đường tròn tiếp xúc trong O' O O' O Hai đường tròn cắt nhau (có hai điểm chung) A O O' B Câu 2: Hãy cho biết vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’) khi hai đường tròn này có: a) 4 tiếp tuyến chung b) 3 tiếp tuyến chung c) Không có tiếp tuyến chung Vẽ hình mô tả mỗi trường hợp Trả lời: O O' O O' O O' Hình 1 Hình 2 Hình 3 Số tiếp tuyến của hai đường tròn Vị trí tương đối của (O) và (O’) 4 Ngoài nhau (Hình 1) 3 Tiếp xúc ngoài (Hình 2) 0 Đựng nhau (Hình 3) Câu 3: Nêu các vị trí tương đối của hai đường tròn. Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa đoạn nối tâm d với các bán kính R, r. Trả lời: Vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) Số điểm Hệ thức giữa d với R và r và (O’;r) (R>r) chung Hai đường tròn cắt nhau 2 R – r R+r 0 (O) đựng (O’) d<R – r (O) và (O’) đồng tâm d=0 Câu 4: a) Nêu định nghĩa góc ở tâm. Vẽ hình 6
7. b) Định nghĩa số đo của một cung trên trên một đường tròn. Áp dụng: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C sao cho ·AOB =900 và số đo của cung nhỏ BC bằng 300 (Điểm C nằm trên cung nhỏ AB). Tính số đo của góc AOC và số đo cung lớn AB Trả lời: a) Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm. A m B O n b) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó A Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (Có n chung hai mút với cung lớn) C Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 m Áp dụng: O B ·AOB 900 sđ ¼ACB =900 Vậy sđ ¼AnC =sđ ¼ACB - sđ B¼mC =900 – 300=600 ·AOC 600 Số đo cung lớn AB bằng 3600 - sđ ¼ACB =3600 – 900=2700. Câu 5: Trên đường tròn (O) cho hai điểm A và B và điểm C nằm trên cung nhỏ AB. Chứng minh sđ »AB =sđ »AC +sđC»B Áp dụng: Trên đường tròn (O) cho ba điểm I, J, K sao cho tam giác OIJ đều và OJ  OK. Tính số đo cung lớn IK. Trả lời: Chứng minh sđ »AB =sđ »AC +sđC»B Ta có điểm C nằm trên cung AB A Do đó OC nằm giữa hai tia OA, OB C B ·AOB ·AOC B· OC O Hay sđ »AB =sđ »AC +sđC»B (đpcm) Áp dụng: Ta có tam giác OIJ đều I m J Do đó I·OJ 600 sđ I¼m J =600 Mặt khác ta có OJ  OK n Do đó J·OK 900 J¼nK 900 O K sđ I¼JK sđ I¼m J +sđ J¼nK =600+900=1500. Số đo cung lớn IK là 3600 – 1500=2100. Câu 6:Phát biểu các định lí liên hệ giữa cung và dây. Áp dụng: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết Â=500 và Bµ =650. So sánh hai cung nhỏ AB và AC. Trả lời: Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau 7
8. Định lí 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn Áp dụng: A Trong tam giác ABC, có Cµ 1800 (µA Bµ ) 1800 (500 650 ) 650 Do đó Bµ Cµ 650 ABC cân tại A O Nên AB=AC B C Vậy hai cung nhỏ AB và AC bằng nhau Câu 7: Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: c) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau d) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau” Trả lời: a) Xét OAB và OCD có OA=OC (bán kính) ·AOB C· OD (vì »AB C»D ) OB=OD (bán kính) Do đó OAB= OCD (c – g – c) AB=CD (hai cạnh tương ứng) A B b) Xét OAB và OCD có AB=CD (gt) OA=OC (bán kính) O OB=OD (bán kính) C Do đó OAB= OCD (c – c – c) D ·AOB C· OD (hai góc tương ứng) Vậy »AB C»D Câu 8: Định nghĩa góc nội tiếp và phát biểu (không chứng minh) định lí tính số đo của góc nội tiếp. Áp dụng: Xem hình bên (hai đường tròn có tâm O và tâm B, Điểm B nằm trên đường tròn tâm O). Số đo của góc JOI bằng bao nhiêu biết M· AN 300 A B M N O J I Trả lời: Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn 8
9. A A C B O O C B Định lí: Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn Áp dụng: Đối với đường tròn (B), ta có M· BN sđ M¼N 2.M· AN 600 Đối với đường tròn (O), ta có I·OJ =sđ IºJ 2.M· BN 2.600 1200 Câu 9: Chứng minh định lí “Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn” (trường hợp O nằm trên một cạnh của góc) Trả lời: Ta có OAC cân tại O (OA=OC=bán kính) A Do đó O· AC O· CA C Mặt khác ta có B· OC là góc ngoài của OAC Do đó B· OC O· AC O· CA O· AC O· AC 2O· AC O 1 1 O· AC B· OC sđ B»C 2 2 B 1 Hay B· AC sđ B»C (đpcm) 2 Câu 10: Phát biểu các tính chất về góc nội tiếp trong một đường tròn Trả lời: Trong một đường tròn: Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Câu 11: Chứng minh định lí “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn” (trường hợp tâm nằm bên ngoài góc) Trả lời: Kẻ OH  AB Ta có OAB cân tại O C Do đó OH là tia phân giác của góc AOB 1 1 B Oµ 1 ·AOB sđ ¼AmB O 2 2 1 H Mà B· Ax Oµ 1 (cùng phụ với O· AB ) · 1 ¼ Nên BAx sđ AmB A x 2 Câu 12: Chứng minh định lí :Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn”. m A Trả lời: D E Ta có B· EC là góc ngoài của BDE O C B n 9
10. Do đó B· EC B· DE D· BE 1 1 1 B· EC sđ B¼nC + sđ ¼AmD = ( sđ B¼nC +sđ ¼AmD ) 2 2 2 Câu 13: Phát biểu (không chứng minh) định lí về số đo của góc có đỉnh ở bên trong A D đường tròn. m Áp dụng: Tính số đo của góc trong hình bên, biết sđ ¼AmC 900 và sđ M ¼ 0 BnD 200 C O Trả lời: n Định lí: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai D cung bị chắn. Áp dụng: Ta có D· MC là góc có đỉnh bên trong đường tròn 1 1 1 D· MC (sđC»D +sđ »AD )= (3600 – sđ ¼AmC - sđ B¼nD )= (3600 – 900 – 2000)=350. 2 2 2 Câu 14: Chứng minh định lí “Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn” Trả lời: D C Ta có B· AC là góc ngoài của ACF F Do đó B· AC ·AFC ·ACF O 1 1 1 A ·AFC B· AC ·ACF =B sđ B»C - sđ »AD = (sđ B»C -sđ »AD ) 2 2 2 Câu 15: Phát biểu (không chứng minh) định lí về số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. P Áp dụng: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AD và BC kéo dài cắt nhau tại P. Tính số đo của ·APB biết ·ADB 160 và D· OC 1200 Trả lời: A Định lí: Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị B chắn O · 0 Áp dụng: ta có ADB 16 D » · 0 0 Do đó sđ AB =2. ADB =2.16 =32 . C Mặt khác ta có D· OC 1200 Do đó sđ D»C = D· OC 1200 1 1 ·APB (sđ D»C -sđ »AB )= (1200 – 320)=440 2 2 Câu 16: Chứng minh định lí “Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800” B A . Cho đường tròn (O) GT . ABCD nội tiếp (O) O D C µA Cµ 1800 KL Bµ Dµ 1800 1 Ta có: µA sđ B¼CD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn) 2 10
11. 1 Cµ sđ B¼AD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn) 2 1 1 µA Cµ sđ( B¼CD B¼AD ) = .3600 =1800 2 2 Tương tự: Bµ Dµ 1800 ( hoặc Bµ Dµ 3600 1800 1800 : tính chất tổng 4 góc của tứ giác) Câu 17: Tứ giác nội tiếp là gì? Phát biểu một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Định lí về tứ giác nội tiếp. Trả lời: * Định nghĩa: Một tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn. * Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc * Định lí thuận: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 * Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. Câu 18:Viết công thức tính chu vi của đường tròn Áp dụng: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH với BH=2 3 cm và CH=6 3 cm. Tính chu vi của các đường tròn (B;BA) và (A; AH) Trả lời: Công thức tính chu vi của đường tròn C=2 R hay C= d B Trong đó R là bán kính của đường tròn, d là đường kính đường H tròn Áp dụng: A C Theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC AB2=BH.BC=2 3 .(2 3 +6 3 )=2 3 .8 3 =16.3=48 AB 4 3 cm AH2=HB.CH=2 3 .6 3 =12.3=36 AH 36 6 cm Chu vi của đường tròn (B; BA) là 2 .BA=2. 4 3 =8 3 (cm) Chu vi của đường tròn (A, AH) là 2 .AH=2 .6=12 (cm) Câu 19: Viết công thức tính diện tích hình tròn và hình quạt tròn. A B Áp dụng: Tính diện tích của phần hình quạt AOB và hình tròn trong hình vẽ bên, biết OA=5cm, ·AOB 500 . O Trả lời: Công thức tính diện tích hình tròn S= R2 Trong đó: S là diện tích của hình tròn, R là bán kính của hình tròn 11
12. R2n lR Công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0 là S hay S 360 2 Trong đó: l là độ dài cung của hình quạt tròn Áp dụng: Diện tích hình tròn S= .OA2= .52=25 (cm2) Diện tích hình quạt 2 .OA .60 25 2 SAOB= (cm ) 360 6 Câu 20 : Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. (Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, có một dây đi qua tâm cuả đường tròn) Trả lời: C D Cho đường tròn (O) CD: dây cung GT AB: đường kính A B O AB // CD KL »AC B»D Ta có: ·AOC O· CD ( So le trong) B· OD O· DC ( So le trong) Mà O· CD O· DC ( VOCD cân tại O) ·AOC B· OD »AC B»D ( 2 góc ở tâm bằng nhau thì chắn 2 cung bằng nhau) II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP: ĐẠI SỐ: 1/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN: ax by c a) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng I a ' x b' y c ' a b + Hệ (I) có nghiệm duy nhất a ' b' a b c + Hệ (I) vô nghiệm a ' b' c ' a b c + Hệ (I) có vô số nghiệm khi a ' b' c ' b) Các bước giải hệ pt bằng phương pháp thế: Bước 1: Biểu thị một ẩn (Giả sử ẩn x) theo ẩn kia từ một trong hai phương trình (Lưu ý chọn các ẩn có hệ số bằng 1 hoặc -1) Bước 2: Thay biểu thức của x vào pt kia rồi tìm giá trị của y. Bước 3: Thay giá trị của y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm giá trị của x. Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ pt. c) Các bước giải hệ pt bằng phương pháp cộng: Bước 1: Biến đổi các hệ số của một ẩn (Giả sử x) có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế của hai pt để khử ẩn của x. (Hệ số của ẩn x ở hai pt có dấu giống nhau ta làm phép trừ, có dấu khác nhau ta làm phép cộng) Bước 3: Giải pt tìm giá trị của y. 12
13. Bước 4: Thay giá trị của y vừa tìm được vào một trong hai pt ban đầu để tìm giá trị của x (Lưu ý chọn pt đơn giản) Bước 5: Kết luận nghiệm của hệ pt. d) Các bước giải bài toán bằng cách lập pt: Bước 1:Lập hệ pt + Chọn các ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. Chú ý phải ghi rõ đơn vị của ẩn. + Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. + Lập hệ pt biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ pt. Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ pt nghiệm nào thích hợp với điều kiện bài toán rồi kết luận. 2/ HÀM SỐ y=ax2 (a 0), PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN: a. Hàm số y=ax2 (a 0) Tính chất Nếu a>0 + Hàm số nghịch biến khi x 0 + y=0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số, đạt được khi x=0 Nếu a 0, đồng biến khi x 0 hoặc ' >0 thì (P) cắt (d) + Nếu =0 hoặc ' =0 thì (P) tiếp xúc (d) + Nếu 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt x và x 1 2a 2 2a b Nếu =0 thì pt có nghiệm kép x x 1 2 2a Nếu <0 thì pt vô nghiệm * Công thức nghiệm thu gọn Pt bậc hai ax2+bx+c=0 (a 0) và b=2b’ (hay b’=b:2) 13
14. ' =b’2 – ac b' ' b' ' Nếu ' >0 thì pt có hai nghiệm phân biệt x và x 1 a 2 a b' Nếu ' =0 thì pt có nghiệm kép x x 1 2 a Nếu ' 0 hoặc ' >0 * Lưu ý trong trường hợp hệ số a có chứa tham số, ta cần xét hai trường hợp Trường hợp 1: a=0, ta có pt bx+c=0, giải pt bậc nhất Trường hợp 2: a 0 a 0 + Điều kiện để pt có hai nghiệm phân biệt hoặc 0 ' 0 a 0 a 0 + Điều kiện để pt có nghiệm kép hoặc 0 ' 0 e. Hệ thức Viet và các ứng dụng: 2 Pt bậc hai ax +bx+c=0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 * Hệ thức Vi ét b S x x 1 2 a c P x x 1 2 a * Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số u+v=S và uv=P Thì u và v là hai nghiệm của pt x2 – Sx+P=0 * Tìm giá trị của biếu thức đối xứng giữa các nghiệm: b S x x 1 2 a Bước 1: Tính c P x x 1 2 a Bước 2: Tính 14
15. 2 2 2 2 2 x1 x2 S 2P; (x1 x2 ) S 4P 3 3 3 x1 x2 S 3SP 1 1 S 1 1 S 2 2P ; 2 2 2 x1 x2 P x1 x2 P 2 x1 x2 S 2 P ; x1 x2 S 4P f. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số: a 0 Bước 1: Tìm điều kiện của m để pt có hai nghiệm x1, x2 0 x1 x2 f (m) Bước 2: Áp dụng hệ thức Viet ta được (I) x1x2 g(m) Bước 3: Khử m từ hệ (I) ta được hệ thức cần tìm g. Xét dấu các nghiệm: Pt bậc hai ax2+bx+c=0 (a 0) b S x x 1 2 a Bước 1: Dùng hệ thức Vi et tính c P x x 1 2 a Bước 2: Lập luận ( ') 0 + Pt có hai nghiệm trái dấu P 0 ( ') 0 + Pt có hai nghiệm cùng dấu P 0 ( ') 0 + Pt có hai nghiệm dương P 0 S 0 ( ') 0 + Pt có hai nghiệm âm P 0 S 0 ( ') 0 + Pt có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau P 1 ( ') 0 + Pt có hai nghiệm là hai số đối nhau khi S 0 h. Tìm điều kiện của m để các nghiệm của pt thỏa mãn một điều kiệm K cho trước. a 0 Bước 1: Tìm điều kiệm của m để pt có hai nghiệm x1, x2 khi ( ') 0 x1 x2 f (m) Bước 2: Áp dụng hệ thức Viet, ta được (I) x1x2 g(m) Bước 3: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I) Bước 4: Kết luận i. Tìm nghiệm còn lại của pt và tìm tham số m + Nếu cho nghiệm x1, tìm nghiệm x2 dùng hệ thức Viet + Tìm m có hai cách: Cách 1: Dùng hệ thức Viet 15
16. Cách 2: Thay giá trị x1 vào pt bậc hai để tìm giá trị m j. Phương trình quy về pt bậc hai: * Pt chứa ẩn ở mẫu: Bước 1: Tìm ĐKXĐ của pt Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế, rồi khử mẫu Bước 3: Giải pt vừa nhận được Bước 4: Kiểm tra các giá trị tìm được ở trên có thõa mãn ĐKXĐ không rồi kết luận * Giải pt bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0 (1) Bước 1: Dự đoán nghiệm x0 của pt (1) Các phương pháp dự đoán nghiệm: + Nếu a+b+c+d=0 thì (1) có nghiệm x=1 + Nếu a-b+c-d=0 thì pt (1) có nghiệm x=-1 p + Nếu a,b,c,d nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ thì p,q theo thứ tự là ước của d và a q c + Nếu ac3=bd3 (a, d 0) thì pt (1) có nghiệm x= b x x 2 0 Bước 2: Phân tích (1) thành (x – x0)(ax +b1x+c1)=0 2 g(x) ax b1x c1 0(2) 2 Lưu ý: để phân tích (1) thành (x – x0)(ax +b1x+c1)=0, ta lấy (1) đem chia cho x – x0 ta 2 được ax +b1x+c1 Bước 3: Giải (2) rồi kết luận nghiệm của pt (1) * Giải pt trùng phương ax4+bx2+c=0 (1) Bước 1: Đặt t=x2 điều kiện t 0 Bước 2: Khi đó pt(1) được biến đổi về dạng at2+bt+c=0 (2) Bước 3: Giải (2) để tìm nghiệm t, từ đó suy ra nghiệm x cho pt (1) (Lưu ý nghiệm t khi giải xong phải kiểm tra xem có thỏa mãn điều kiện hay không) Chú ý: nếu pt (2) có nghiệm t0 0 thì pt (1) có hai nghiệm x= t0 * Phương trình tích: A 0 A.B.C 0 B 0 C 0 k. Giải bài toán bằng cách lập pt: Bước 1:Lập pt + Chọn các ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. Chú ý phải ghi rõ đơn vị của ẩn. + Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. + Lập pt biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải pt. Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của pt nghiệm nào thích hợp với điều kiện bài toán rồi kết luận. *HÌNH HỌC: Các phương pháp giải bài toán hình học: Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: Vận dụng yếu tố độ dài của đoạn thẳng Vận dụng hai tam giác bằng nhau Vận dụng định nghĩa các hình Vận dụng tính chất các hình Dạng 2: Chứng minh hai góc bằng nhau Vận dụng yếu tố số đo của góc 16
17. Vận dụng hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng Vận dụng định nghĩa các hình Vận dụng tính chất các hình Dạng 3: Chứng minh hai cung bằng nhau (Lưu ý trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau) Hai cung có cùng số đo Hai cung (Nhỏ hơn nửa đường tròn) có dây trương cung bằng nhau Hai cung (nhỏ hơn nửa đường tròn) có góc ở tâm bằng nhau Hai cung bị chằn bởi hai góc nội tiếp bằng nhau Hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau Đường kính vuông góc với một dây thì chia cung bị trương thành hai phần bằng nhau Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì chia cung bị trương thành hai phần bằng nhau Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng song song Vận dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song Vận dụng quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song Vân dụng tính chất đường trung bình của tam giác của hình thang Vận dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt Vận dụng định lí Talet đảo Dạng 5: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng là góc vuông Vận dụng tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam giác vuông Vận dụng tính chất các đường đặc biệt trong tam giác Vận dụng tính chất các đường chéo của hình thoi, hình vuông Vận dụng định lí Pytago đảo Vận dụng đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó Vận dụng tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm Vận dụng đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau là đường trung trực của dây chung, từ đó đường nối tâm thì vuông góc với dây chung Vận dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông Dạng 6: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Vận dụng tính chất của hai tia đối nhau Vận dụng hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đường thẳng thì trùng nhau Vận dụng tính chất các đường đặc biệt trong tam giác Vận dụng tính chất các đường chéo các tứ giác đặc biệt Vận dụng hai mút của đường kính và tâm của đường tròn là ba điểm thẳng hàng Vận dụng hai tâm của đường tròn tiếp xúc nhau và tiếp điểm là ba điểm thẳng hàng Dạng 7: Chứng minh tứ giác nội tiếp Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 1800 Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a Dạng 8: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Giao điểm của hai đường thẳng nằm trên đường thẳng còn lại 17
18. Chỉ ra một điểm thuộc cả ba đường thẳng Vận dụng tính chất đồng quy của ba đường cùng tên của một tam giác Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành Dạng 9: Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn Đường thẳng vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn Phương pháp phản chứng Dạng 10: Tính toán Vận dụng kiến thức về định lí, hệ quả của định lí Talet, tam giác đồng dạng Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông Vận dụng các công thức tính diện tích hình phẳng Vận dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn Vận dụng hệ thức về cạnh Dạng 11: Chứng minh đẳng thức a.b=c.d Chứng minh hai tam giác đồng dạng Vận dụng các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác. III/ BÀI TẬP: Câu 1: Giải các hệ phương trình sau: x 2y 0 2x 4y 10 a) b) 3x 4y 2 3x y 10 x y 2 2x y 2 c) d) 3x y 5 2 2 x y 2 3x 4y 7 5x 2y 1 e) f ) 2x y 1 2x y 3 3x 4y 1 12x 7y 2 g) h) x 3y 2 7y 5x 12 1 1 1 1 1 1 x y 3x 3y 4 i) k) 4 2 5 1 2 1 x y 6x y 3 Câu 2: Giải các hệ phương trình sau: 2x 3y 1 2x y 1 2 a) b) x 4y 7 x 2y 1 7x 3y 6 ( 3 1)x y 2 c) x y d) 2 x ( 3 1)y 3 2 3 3 2 1 3x 2y 1 x 2y 3 2 e) 2 1 3 3x 2y 1 x 2y 3 4 18
19. 2x 3y 5 Câu 3: Cho hệ phương trình: (a 1)x 3y 2 Tìm giá trị của a để hệ pt có nghiệm, vô nghiệm 5x y 4 Câu 4: Cho hệ pt 2y 10x m Tìm m để hệ vô nghiệm, vô số nghiệm Câu 5: Cho hai hàm số (P): y=x2 và (d): y= -2x+3 a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) 1 1 Câu 6:Cho (P) y= x2 và (d) y= x+1 2 2 a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của (P) và (d) c) Gọi C là một điểm trên (P) có hoành độ là 1. Tính diện tích tam giác ABC Câu 7: Cho hàm số y=ax2 có đồ thị là (P) 1 a) Tìm hệ số a cho biết M 1; (P) 3 b) Tìm tung độ của điểm N thuộc (P) có hoành độ x= -2 c) Tìm các điểm thuộc (P) có tung độ y=3 d) Vẽ (P) Câu 8: Cho (P): y=2x2 và (d): y=3x+m+1 a) Cho m= -1, Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ giao điểm của chúng. b) Với giá trị nào của m thì (P) cắt (d); (P) tiếp xúc (d); (P) không cắt (d) 1 Câu 9: Cho (P): y= x2 và đường thẳng (d) đi qua A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là -2 4 và 4. a) Vẽ đồ thị (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d) Câu 10: giải phương trình a) x2 – 4x – 5=0 b) x2+8x+15=0 c) 3x2+8x+3=0 d) 2x4 – 5x2 – 7=0 e) x4 – 4x2 – 8=0 f) (3x+4)2 – 9(x – 2)2=0 g) 5x4+2x2 - 16=10 – x2 h) (2x+ 2 )2 – 1=(x+1)(x – 1) x2 5x 6 1 i) x2 4 x 2 2x 3 x 1 j) 0 x 1 2x 3 2x 3x 10 x k) x 2 x2 4 x 2 2x x2 11x 6 l) x 3 x2 9 x 2 5 m) 1 x 1 2x 2 19