Đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông Quốc gia năm 2022 môn Toán 12 - Mã đề thi 101 (Có lời giải)

Nội dung text: Đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông Quốc gia năm 2022 môn Toán 12 - Mã đề thi 101 (Có lời giải)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2022 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài thi: TOÁN - Mã đề thi 101 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề 2 2 1 Câu 1. Nếu f x dx 4 thì f x 2 dx bằng 2 0 0 A. 6 . B. 8. C. 4 .D. 2 . Câu 2. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy 3a2 và chiều cao 2a . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: A. a3 . B. 6a3. C. 3a3 . D. 2a3 . 5 1 Câu 3. Nếu f x dx 3 thì f x dx bằng 1 5 A. 5 . B. 6 . C. 4 . D. 3. Câu 4. Cho f x dx cos x C . Khẳng định nào sau đây đúng? A. f x sin x . B. f x cos x . C. f x sin x . D. f x cos x . Câu 5. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. 0;1 . C. 1;0 . D. 0; . 2 2 Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y 2 z 1 6. Đường kính của S bằng A. 6. B. 12. C. 2 6. D. 3. Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2; 3 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. 0;2; 3 . B. 1;0; 3 . C. 1;2;0 . D. 1;0;0 . Câu 8. Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 3, đáy ABC có diện tích bằng 10. Thể tích khối chóp S.ABC bằng A. 2 . B. 15 . C. 10 . D. 30 . Câu 9. Cho cấp số nhân un với u1 1 và u2 2 . Công bội của cấp số nhân đã cho là: 1 1 A. q . B. q 2 . C. q 2 . D. q . 2 2 Câu 10. Cho hình trụ có chiều cao h 1 và bán kính đáy r 2 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 6 . 2x 1 Câu 11. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là đường thẳng có phương trình : 2x 4 A. x 2 .B. x 1.C. y 1.D. y 2 . Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình log5 x 1 2 là A. 9; . B. 25; . C. 31; . D. 24; . Câu 13. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau? 1
2. A. y x4 2x2 . B. y x3 3x . C. y x4 2x2 . D. y x3 3x . Câu 14. Mô đun của số phức z 3 4i bằng A. 25. B. 7 . C. 5 . D. 7 . Câu 15. Cho hàm số f x ax4 bx2 c có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm của phương trình f x 1 là A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. Câu 16. Tập xác định của hàm số y log3 x 4 là A. 5; .B. ; . C. 4; .D. ;4 . Câu 17. Với a là số thực dương tùy ý, 4log a bằng A. 2loga .B. 2loga . C. 4loga .D. 8loga . Câu 18. Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là A. 1320. B. 36. C. 220. D. 1728. Câu 19. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là: A. x 2 . B. x 2 .C. x 1. D. x 1. Câu 20. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng Oyz là A. z 0 . B. x 0. C. x y z 0. D. y 0 . Câu 21. Nghiệm của phương trình 32x 1 32 x là 1 A. x . B. x 0. C. x 1. D. x 1. 3 Câu 22. Cho hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị như đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2 . B. 3.C. 1. D. 0 . x 2 t Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 1 2t .Vecctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ z 1 3t phương của d ? 2
3.     A. u (2;1; 1). B. u (1;2;3). C. u (1; 2;3). D. u (2;1;1). 1 2 3 4 Câu 24. Cho tam giác OIM vuông tại I có OI 3 và IM 4. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành hình nón có độ dài đường sinh bằng A. 7. B. 3. C. 5. D. 4. Câu 25. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z 2 7i có tọa độ là A. 2;7 . B. 2;7 .C. 2; 7 . D. 7;2 . Câu 26. Cho hai số phức z1 2 3i, z2 1 i . Số phức z1 z2 bằng A. 5 i . B. 3 2i . C. 1 4i . D. 3 4i . Câu 27. Cho hàm số f x ex 2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f x dx ex x2 C .B. f x dx ex C . C. f x dx ex x2 C . D. f x dx ex 2x2 C . Câu 28. Đạo hàm của hàm số y x 3 là 1 1 A. y' x 4 .B. y' x 2 .C. y' x 4 D. y' 3x 4 . 2 3 Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;2; 1 , B 3;0;1 và C 2;2; 2 . Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC có phương trình là: x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 A. . B. . 1 2 3 1 2 1 x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 C. . D. . 1 2 1 1 2 1 Câu 30. Giá trị lớn nhất của hàm số f x x3 3x2 9x 10 trên đoạn  2;2 bằng A. 12 .B. 10 . C. 15 . D. 2 . Câu 31. Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập xác định của hàm số y log 6 x x 2 ? A. 7. B. 8. C. 9. D. Vô số. 2 Câu 32. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 6 0 . Khi đó z1 z2 z1z2 bằng A. 7 .B. 5 .C. 7 .D. 5 . Câu 33. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC 2, AB 3 và AA 1 (tham khảo hình bên). Góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABC bằng A. 30.B. 45 .C. 90.D. 60 . Câu 34. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a,BC 2a và AA' 3a (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A'C' bằng A. a. B. 2a. C. 2a. D. 3a. 3
4. 1 Câu 35. Cho hàm số f x 1 . Khẳng định nào dưới đây đúng? cos2 2x 1 A. f x dx x tan 2x C . B. f x dx x cot 2x C . 2 1 1 C. f x dx x tan 2x C. D. f x dx x tan 2x C . 2 2 Câu 36. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ¡ ? x 1 A. y x4 x2 .B. y x3 x . C. y .D. y x3 x . x 2 Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0; 3;2 và mặt phẳng P :2x y 3z 5 0. Mặt phẳng đi qua A và song song với P có phương trình là: A. 2x y 3z 9 0 . B. 2x y 3z 3 0. C. 2x y 3z 3 0 . D. 2x y 3z 9 0 . Câu 38. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn 40;60. Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng 4 2 3 3 A. . B. . C. . D. . 7 5 5 7 Câu 39. Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng ba số nguyên b thoả mãn 3b 3 a.2b 18 0? A. 72. B. 73. C. 71. D. 74. Câu 40. Cho hàm số f x m 1 x4 2mx2 1 với m là tham số thực. Nếu min f x f 2 thì 0;3 max f x bằng 0;3 13 14 A. . B. 4. C. . D. 1. 3 3 3 Câu 41. Biết F x và G x là hai nguyên hàm của hàm số f x trên ¡ và f x dx F 3 G 0 a 0 a 0 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y F x , y G x ,x 0 và x 3 . Khi S 15 thì a bằng A. 15 . B. 12 . C. 18 . D. 5 . Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2; 2 . Gọi P là mặt phẳng chứa trục Ox sao cho khoảng cách từ A đến P lớn nhất. Phương trình của P là A. 2y z 0 .B. 2y z 0 .C. y z 0 .D. y z 0 . Câu 43. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 120 và chiều cao bằng 4 . Gọi S là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của S bằng A. 64 . B. 256 . C. 192 . D. 96 . 2 2 Câu 44. Xét tất cả các số thực x, y sao cho a4x log5 a 2540 y với mọi số thực dương a . Giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y2 x 3y bằng 125 A. . B. 80 . C. 60. D. 20 . 2 Câu 45. Cho các số phức z1,z2,z3 thỏa mãn z1 z2 2 z3 2 và 8 z1 z2 z3 3z1z2 . Gọi A,B,C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1,z2,z3 trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng 55 55 55 55 A. . B. . C. . D. . 32 16 24 8 4
5. Câu 46. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB 2a . Góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ACC A bằng 300 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 3a3 . B. a3 . C. 12 2a3 . D. 4 2a3 . Câu 47. Cho hàm số bậc bốn y f x . Biết rằng hàm số g x ln f x có bảng biến thiên như sau: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x và y g x thuộc khoảng nào dưới đây? A. 5;6 .B. 4;5 .C. 2;3 .D. 3;4 . 2 Câu 48. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2 2 z z và z 4 z 4i z 4i ? A. 3. B. 1. C. 2 . D. 4 . Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S tâm I 1;3;9 bán kính bằng 3. Gọi M , N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox , Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với S , đồng thời mặt cầu 13 ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng . Gọi A là tiếp điểm của MN và S , giá trị 2 AM.AN bằng A. 39 . B. 12 3 . C. 18 . D. 28 3 . Câu 50. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y x4 2mx2 64x có đúng ba điểm cực trị? A. 5 . B. 6 .C. 12 . D. 11. HƯỚNG DẪN - MÃ ĐỀ 101 2 2 1 Câu 1. Nếu f x dx 4 thì f x 2 dx bằng 2 0 0 A. 6 B. 8 C. 4 D. 2 2 2 2 1 1 1 Hướng dẫn: Ta có f x 2 dx f x dx 2dx .4 4 6 2 2 2 0 0 0 Câu 2. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy 3a2 và chiều cao 2a . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: A. a3 B. 6a3 C. 3a3 D. 2a3 Hướng dẫn: Thể tích khối lăng trụ: V B.h 3a2.2a 6a3 . 5 1 Câu 3. Nếu f x dx 3 thì f x dx bằng 1 5 A. 5 B. 6 C. 4 D. 3 Câu 4. Cho f x dx cos x C . Khẳng định nào sau đây đúng? A. f x sin x B. f x cos x C. f x sin x D. f x cos x Câu 5. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 5
6. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; B. 0;1 C. 1;0 D. 0; Hướng dẫn: Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 0;1 . Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y 2 2 z 1 2 6. Đường kính của S bằng A. 6 B. 12 C. 2 6 D. 3 Hướng dẫn: Ta có bán kính của S là 6 nên đường kính của S bằng 2 6 . Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2; 3 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. 0;2; 3 B. 1;0; 3 C. 1;2;0 D. 1;0;0 Hướng dẫn: Hình chiếu của điểm A a;b;c lên mặt phẳng Oxy là điểm A' a;b;0 nên hình chiếu của điểm A 1;2; 3 lên mặt phẳng Oxy là điểm A' 1;2;0 Câu 8. Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 3, đáy ABC có diện tích bằng 10. Thể tích khối chóp S.ABC bằng A. 2 B. 15 C. 10 D. 30 1 1 Hướng dẫn: Ta có V B.h .10.3 10. S.ABC 3 3 Câu 9. Cho cấp số nhân un với u1 1 và u2 2. Công bội của cấp số nhân đã cho là: 1 1 A. q B. q 2 C. q 2 D. q 2 2 u2 Hướng dẫn: Ta có u2 u1.q q 2 . Vậy q 2 u1 Câu 10. Cho hình trụ có chiều cao h 1 và bán kính đáy r 2. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 4 B. 2 C. 3 D. 6 Hướng dẫn: Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là Sxq 2 rh 2 .2.1 4 . 2x 1 Câu 11. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là đường thẳng có phương trình : 2x 4 A. x 2 B. x 1 C. y 1 D. y 2 1 2 2 Hướng dẫn: Ta có lim y lim x 1 4 x x 2 2 x 2x 1 y 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . 2x 4 6
7. Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình log5 x 1 2 là A. 9; B. 25; C. 31; D. 24; 2 Hướng dẫn: Ta có log5 x 1 2 x 1 5 x 1 25 x 24. Vậy tập nghiệp của bất phương trình là 24; . Câu 13. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau? A. y x4 2x2 B. y x3 3x C. y x4 2x2 D. y x3 3x Hướng dẫn: Từ bảng biến thiên ta có lim y nên loại A và B. x Có lim y nên loại C chọn D. x Câu 14. Mô đun của số phức z 3 4i bằng A. 25 B. 7 C. 5 D. 7 Hướng dẫn: Ta có: z 32 42 5.Vậy mô đun của số phức z bằng 5 . Câu 15. Cho hàm số f x ax4 bx2 c có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm của phương trình f x 1 là A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 Hướng dẫn: Kẻ đường thẳng y 1 cắt đồ thị y f x tại 2 điểm phân biệt nên phương trình f x 1có 2 nghiệm phân biệt. Câu 16. Tập xác định của hàm số y log3 x 4 là A. 5; B. ; C. 4; D. ;4 Hướng dẫn: Điều kiện: x 4 0 x 4 . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: D 4; . Câu 17. Với a là số thực dương tùy ý, 4log a bằng A. 2loga B. 2loga C. 4loga D. 8loga 1 1 Hướng dẫn: Ta có 4log a 4loga 2 4. loga 2loga . 2 Câu 18. Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là 7
8. A. 1320 B. 36 C. 220 D. 1728 3 Hướng dẫn: Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là C12 220 . Câu 19. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là: A. x 2 B. x 2 C. x 1 D. x 1 Hướng dẫn: Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là x 1. Câu 20. Trong không gianOxyz , phương trình mặt phẳng Oyz là A. z 0 B. x 0 C. x y z 0 D. y 0 Hướng dẫn: Mặt phẳng Oyz nhận i 1;0;0 làm vectơ pháp tuyến và đi qua gốc tọa độ O 0;0;0 có phương trình là x 0. Câu 21. Nghiệm của phương trình 32x 1 32 x là 1 A. x . B. x 0. C. x 1. D. x 1 3 1 Hướng dẫn: Xét phương trình 32x 1 32 x 2x 1 2 x x 3 Câu 22. Cho hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị như đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2 B. 3 C.1 D. 0 Hướng dẫn: Dựa vào đồ thị ta suy ra số điểm cực trị của hàm số đã là 3. x 2 t Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 1 2t .Vecctơ nào dưới đây là một véctơ z 1 3t chỉ phương của d ?     A. u1 (2;1; 1) B. u2 (1;2;3) C. u3 (1; 2;3) D. u4 (2;1;1)  Hướng dẫn: Từ phương trình đường thẳng d ta thấy véctơ u3 (1; 2;3)là một véctơ chỉ phương của d . Câu 24. Cho tam giác OIM vuông tại I có OI 3 và IM 4. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành hình nón có độ dài đường sinh bằng A. 7 B. 3 C. 5 D. 4 8
9. Hướng dẫn: Xét tam giác OIM vuông tại I , ta có OM2 OI2 IM2 OM2 32 42 25 OM 5. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành hình nón có đường sinh là cạnh huyền OM . Vậy độ dài đường sinh của hình nón là 5. Câu 25. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z 2 7i có tọa độ là A. 2;7 B. 2;7 C. 2; 7 D. 7;2 Hướng dẫn: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z 2 7i có tọa độ là 2; 7 . Câu 26. Cho hai số phức z1 2 3i, z2 1 i . Số phức z1 z2 bằng A. 5 i B. 3 2i C. 1 4i D. 3 4i Hướng dẫn: Ta có : z1 z2 2 3i 1 i 3 2i . Câu 27. Cho hàm số f x ex 2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f x dx ex x2 C B. f x dx ex C C. f x dx ex x2 C D. f x dx ex 2x2 C Hướng dẫn: Ta có f x dx ex 2x dx ex x2 C . Câu 28. Đạo hàm của hàm số y x 3 là 1 1 A. y' x 4 B. y' x 2 C. y' x 4 D. y' 3x 4 2 3 Hướng dẫn: Ta có y x 3 y' 3x 4 . Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;2; 1 , B 3;0;1 và C 2;2; 2 . Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC có phương trình là: x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 A. B. 1 2 3 1 2 1 x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 C. D. 1 2  1  1 2 1 Hướng dẫn: Ta có AB 2; 2;2 , AC 1;0; 1 .   Mặt phẳng ABC có một véctơ pháp tuyến là n AB,AC 2;4;2 . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC có một véctơ chỉ phương là u 1;2;1 . x 1 y 2 z 1 Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC có phương trình là . 1 2 1 Câu 30. Giá trị lớn nhất của hàm số f x x3 3x2 9x 10 trên đoạn  2;2 bằng A. 12 B. 10 C. 15 D. 2 Hướng dẫn: Xét hàm số f x x3 3x2 9x 10 trên đoạn  2;2 , ta có: f x 3x2 6x 9 . x 1  2;2 f x 0 3x2 6x 9 0 . x 3  2;2 f 2 8 ; f 1 15; f 2 12 . 9
10. Suy ra max f x f 1 15.  2;2 Câu 31. Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập xác định của hàm số y log 6 x x 2 ? A. 7 B. 8 C. 9 D. Vô số Hướng dẫn: Điều kiện 6 x x 2 0 2 x 6 D 2;6 . Vậy có 7 số nguyên x thuộc tập xác định của hàm số đã cho. 2 Câu 32. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 6 0 . Khi đó z1 z2 z1z2 bằng A. 7 B.5 C. 7 D. 5 2 Hướng dẫn: Vì z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 6 0 z1 z2 1 nên theo định lý Vi ét, ta có: . Khi đó z1 z2 z1z2 1 6 5. z1z2 6 Câu 33. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC 2, AB 3 và AA 1 (tham khảo hình bên). Góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABC bằng A. 30 B. 45 C. 90 D. 60 Hướng dẫn: AB  BC, AB  BB Ta có BC,BB  BCC B AB  BCC B , BC  BB B mà BC  BCC B AB  BC . ABC  ABC AB Lại có BC  ABC , BC  AB ABC , ABC BC ,BC C· BC . BC  ABC , BC  AB 2 Xét ABC vuông tại B có: BC AC2 AB2 22 3 1. CC 1 Xét BCC vuông tại C có: tan C· BC 1 C· BC 45 . BC 1 Câu 34. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a,BC 2a và AA' 3a (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A'C' bằng A. a. B. 2a. C. 2a. D. 3a. Hướng dẫn: Ta có: BD  ABCD và A'C'/ / ABCD . 10
11. Suy ra: d BD,A'C' d A'C',(ABCD) d A', ABCD AA' 3a. 1 Câu 35. Cho hàm số f x 1 . Khẳng định nào dưới đây đúng? cos2 2x 1 A. f x dx x tan 2x C B. f x dx x cot 2x C 2 1 1 C. f x dx x tan 2x C D. f x dx x tan 2x C 2 2 1 1 Hướng dẫn: f x dx 1 dx x tan 2x C . cos2 2x 2 Câu 36. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ¡ ? x 1 A. y x4 x2 B. y x3 x C. y D. y x3 x x 2 Hướng dẫn: Xét hàm số: y x3 x có TXĐ D ¡ . Ta có y 3x2 1 y 0,x ¡ . Vậy hàm số y x3 x đồng biến trên ¡ . Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0; 3;2 và mặt phẳng P :2x y 3z 5 0. Mặt phẳng đi qua A và song song với P có phương trình là: A. 2x y 3z 9 0 B. 2x y 3z 3 0 C. 2x y 3z 3 0 D. 2x y 3z 9 0 Hướng dẫn: Gọi Q là mặt phẳng cần tìm. Theo bài Q / / P Q :2x y 3z m 0 m 5 Mà Q qua A 2.0 3 3.2 m 0 m 9 . Vậy mp Q : 2x y 3z 9 0 . Câu 38. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn 40;60. Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng 4 2 3 3 A. B. C. D. 7 5 5 7 Hướng dẫn: Không gian mẫu n  21 Gọi số tự nhiên chọn được theo yêu cầu có dạng ab , Vì chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục nên a chỉ được chọn là 4 hoặc 5. Với a 4 b 5;6;7;8;9 Với a 5 b 6;7;8;9 Có 9 số thỏa mãn yêu cầu. 9 3 Vậy xác suất chọn được số theo yêu cầu đề bài là P . 21 7 Câu 39. Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng ba số nguyên b thoả mãn 3b 3 a.2b 18 0? A. 72 B. 73 C. 71 D. 74 b b b b 18 Hướng dẫn: 3 3 a.2 18 0 3 3 2 0 (do a>0) a + Đặt f b 3b 3ta có f b 0 b 1 11
12. 18 18 Và g b 2b g b 0 b log a 2 a Cả hai hàm f(b) và g(b) đều đồng biến theo b do b>2 + Để f b .g b 0 và thỏa mãn YCBT ta có hai trường hợp xảy ra thể hiện trong hai bảng xét dấu sau: * Trường hợp 1 (Bảng 1): Do mỗi a nguyên dương tồn tại 2 số nguyên b dương nên: a Z a Z a Z a 1. Vậy trường hợp này có 1 số a= 1 18 18 4 18 9 log 4 2 a 2 a a 16 7 48 *Trường hợp 2 (bảng 2): Theo YCBT trong khoảng log2 ;1 tồn tại 2 số nguyên b a a Z a Z a Z 18 3 18 2 1 18 1 3 log 2 log 2 log log 2 2 a 2 2 a 2 8 a 4 a Z a Z 1 18 a Z a 144 a 73;74; ;144 72 1;72 2; ;72 72 Vậy tồn tại 72 số a 8 a a 72 18 1 a 4 Kết luận: có 1+ 72 = 73 số a thỏa mãn YCBT Câu 40. Cho hàm số f x m 1 x4 2mx2 1 với m là tham số thực. Nếu min f x f 2 thì 0;3 max f x bằng 0;3 13 14 A. B. 4 C. D. 1 3 3 Hướng dẫn: Phương pháp là theo hai bước: + Bước 1: Tìm hàm số + Bước 2: Tính f(2) Giải: Ta có f x m 1 x4 2mx2 1 f x 4 m 1 x3 4mx 4x m 1 x2 m 12
13. x 0 f x 0 2 . m 1 x m 0 * 4 Điều kiện cần để min f x f 2 là PT * có nghiệm x 2 4 m 1 m 0 m . 0;3 3 1 8 4 16 + Khi đó f x x4 x2 1 f x x3 x 3 3 3 3 x 0 0;3 f x 0 x 2 0;3 x 2 0;3 13 Ta có f 0 1;f 3 4;f 2 . 3 13 Vậy min f x f 2 và max f x 4 khi x 3. 0;3 3 0;3 Câu 41. Biết F x và G x là hai nguyên hàm của hàm số f x trên ¡ và 3 f x dx F 3 G 0 a a 0 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0 y F x , y G x ,x 0 và x 3. Khi S 15 thì a bằng A. 15 B. 12 C. 18 D. 5 Hướng dẫn: Giả thiết F x ,G x đều là nguyên hàm của f x nên ta có: F x G x C F 0 G 0 C (1). 3 3 + Ta có f x dx F x F 3 F 0 F 3 G 0 C F 3 G 0 C . 0 0 3 + Mà theo giả thiết f x dx F 3 G 0 a nên C a . 0 Suy ra F x G x a F x G x a . 3 3 3 a 5 Ta có S F x G x dx a dx a x 3 a .MàS 15 nên ta có a 5 chọn D 0 a 5 0 0 Câu 42. Trong không gianOxyz , cho điểm A 1;2; 2 . Gọi P là mặt phẳng chứa trục Ox sao cho khoảng cách từ A đến P lớn nhất. Phương trình của P là A. 2y z 0 B. 2y z 0 C. y z 0 D. y z 0 Hướng dẫn: Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm A 1;2; 2 lên trục Ox .  Ta có K 1;0;0 , AK 0; 2;2 . Gọi H là điểm chiếu của A lên mặt phẳng P . Ta có d A, P AH AK 2 2. 13
14. Suy ra max d A, P 2 2 , đạt được khi H  K 1;0;0 .  Khi đó mặt phẳng P qua O 0;0;0 có một vectơ pháp tuyến là AK 0; 2;2 . Nên phương trình mặt phẳng P là 0. x 1 2 y 0 2 z 0 0 y z 0. Vậy P : y z 0. Câu 43. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 120 và chiều cao bằng 4. Gọi S là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của S bằng A. 64 B. 256 C. 192 D. 96 Hướng dẫn: Gọi S là đỉnh của hình nón và gọi I là tâm mặt cầu. Gọi đường kính đường tròn đáy của hình nón là AB; H là trung điểm của AB. 1 Ta có A· SH A· SB 60. 2 AI AS Vì nên AIS là tam giác đều. · ASI 60 Suy ra AI R 2SH 8. 2 Vậy Smc 4 R 256 . 2 2 Câu 44. Xét tất cả các số thực x, y sao cho a4x log5 a 2540 y với mọi số thực dương a . Giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y2 x 3y bằng 125 A. B. 80 C. 60 D. 20 2 Hướng dẫn: Ta có: 2 2 2 2 2 40 y 2 40 y 4x log5 a 40 y 2 2x log5 a 2 2x log5 a a 25 a 5 log5 a log5 5 2 2 2 2 2x log5 a .log5 a 2 40 y 2x.log5 a log5 a 40 y 2 2 2 2 2 2 log5 a 2x.log5 a 40 y 0 Với a > 0 ' x 40 y 0 x + y 40 1 2 2 2 2 2 1 1 2 9 9 1 3 5 P x y x 3y x x y 3y x + + y - - 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 1 3 5 2 2 * Bài toán trở về việc tìm P x + + y - - nhỏ nhất thỏa mãn x + y 40 1 2 2 2 Cách 1: Dùng hình học: 2 + Gọi M(x; by) thỏa mãn (1) nên M(x; y) thuộc miền trong và biên của đường tròn x2 y2 2 10 2 2 1 3 5 2 5 1 3 + P x y MI với I ; 2 2 2 2 2 2 14
15. P lớn nhất khi MI lớn nhất 2 2 1 3 10 Tái có: OI R I nằm trong đường tròn. 2 2 2 MI lớn nhất khi M, O, I thẳng hàng (dễ dàng chứng minh dựa vào tính chất: Trong đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất) 10 5 25 125 Lúc đó MI R OI 2 10 . 10 MI2 10. 2 2 4 2 5 125 5 P MI2 60 max 2 2 2 Cách 2: sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho 4 số bất kỳ a, b, x, y a b ax by a2 b2 x2 y2 hay ax by 2 a2 b2 x2 y2 dấu “=”xảy ra khi x y Từ kết quả cách 1 thì x, y thỏa mãn (1) và (2) sao cho Pmax, tức là: Tìm x, y sao cho x2 + y2 40 1 và P x2 y2 x 3y đạt lớn nhất. + Ta có: x2 + y2 40 1 + x 3y 2 12 3 2 x2 y2 10.40 400 . x 3y 20. Khi đó P x2 y2 x 3y 40 20 60 . x2 y2 40 x 2 Dấu bằng xảy ra khi y . x 0 y 6 3 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 60. Câu 45. Cho các số phức z1,z2,z3 thỏa mãn z1 z2 2 z3 2 và 8 z1 z2 z3 3z1z2 . Gọi A,B,C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1,z2,z3 trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng 55 55 55 55 A. B. C. D. 32 16 24 8 Hướng dẫn: 8 8 3 8z 8z 3z 8z 8z 3z Ta có 8 z z z 3z z 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 2 z z z z z z z z z 2 2 2 2 1 3 2 2 1 1 3 3 z2 z1 z3 8z 8z 3z 3 2 1 3 z z z 1 . 4 4 1 2 1 2 3 Gọi A ,B ,C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1,z2,z3 suy ra A ,B ,C lần lượt đối xứng với A,B,C qua trục Ox S ABC S A B C .   3   + Ta có 1 OA OB OC OD , trong đó 2 15
16.  3  OA OB 2OC 2,OD OC , 2 3 suy ra tứ giác OA DB là hình thoi có OA OB 2,OD và C OD :OC 1. 2 2 2 2 2 3 55 +Tính A’B’: Ta có: A'B' 2A'I 2 OA' OI 2 2 4 2 3 1 + Tính C’I: Ta có: C'I OC' OI 1 4 4 1 1 55 1 55 S S A'B'.C'I . . ABC A 'B'C' 2 2 2 4 16 Câu 46. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB 2a . Góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ACC A bằng 300 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 3a3 B. a3 C. 12 2a3 D. 4 2a3 Hướng dẫn: B' C' Ta có: BA  BC và BA  AA BA  ACC A . A' Suy ra góc BC , ACC A BC ,C A B· C A 300 . Ta giác ABC vuông tại A , có AC AB.cot A· C B 2a 3 . Tam giác CAC vuông tại C , có CC AC 2 AC2 2a 2 . 1 3 Thể tích khối lăng trụ là V B.h AB.AC.CC 4a 2 . B C 2 A Câu 47. Cho hàm số bậc bốn y f x . Biết rằng hàm số g x ln f x có bảng biến thiên như sau Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x và y g x thuộc khoảng nào dưới đây? A. 5;6 B. 4;5 C. 2;3 D. 3;4 Hướng dẫn: f ' x g x Cách 1: Từ g x ln f x g' x và từ g x ln f x f x e f x + Từ bảng biến thiên ta thấy g x 0, x R f x eg x 1, x R + Xét phương trình g' x 0 f x g' x f x g' x 0 g' x .f x g' x 0 g' x f x 1 0 f ' x 1 (VN) x x1 g' x 0 x x2 Với x1,x2,x3 là các điểm cực trị trên bảng biến thiên x x3 16
17. x3 x2 x3 S f x g' x dx f x g' x dx f x g' x dx x1 x1 x2 x x x x 2 f ' x 3 f ' x 2 1 3 1 f x dx f x dx 1 d f x 1 d f x f x f x f x f x x1 x2 x1 x2 Ta đổi biến bằng cách đặt t f x lúc đó các cận của tích phân lần lượt là 43 ln 43 t f x eg x1 e 8 , t 6, t 2 1 1 8 2 3 6 2 1 1 Vậy S 1 dt 1 dt 3,41638 t t 43 6 8 Dùng CASIO 580VNX đề tính q(y(1pa1R[$)Ra43R8EE6$+o$+q(y(1pa1R[$)R6E2= Cách 2: Ta cóg x ln f x f x eg x . Từ bảng biến thiên ta có 43 43 g x ln f x ; g x ln 6 f x 6; g x ln 2 f x 2. 1 8 1 8 2 2 3 3 Ta có f x g x g x .eg x g x g x eg x 1 . g x 0 g x 0 f x g x 0 x x ,x ,x . g x 1 2 3 e 1 0 g x 0 VN Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x và y g x là x3 x2 x3 S f x g x dx f x g x dx f x g x dx x1 x1 x2 x2 x3 f x g x dx f x g x dx x1 x2 x2 x3 f x g x f x g x x1 x2 f x2 g x2 f x1 g x1 f x3 g x3 f x2 g x2 43 43 6 ln 6 ln 2 ln 2 6 ln 6 8 8 3,42 3;4 . Câu 48. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2 2 z z và z 4 z 4i z 4i 2 ? A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 17
18. z2 2 z z (*) Hướng dẫn: Số phức z thỏa mãn z 4 z 4i z 4i 2 ( ) ( ) z 4 z 4i z 4i 2 z 4 z 4i z 4i 2 z 4 z 4i z 4i 2 z 4i (1) z 4i z 4i z 4 0 z 4i z 4 (2) (ở trên ta đã sử dụng tính chất: z1 z2 z1.z2 và z z ) * Xét 1 : z 4i 0 z 4i 0 z 4i z 4i . z2 16 z2 16 2 Khi đó suy ra z 2 z z (thỏa mãn yêu cầu bài toán). z z 8i 8 * Xét 2 : z 4 z 4i Giả sử z a bi, với a,b ¡ . Ta có 2 a 4 2 b2 a2 b 4 2 8a 8b a b. Hay z a ai z2 2a2i z2 2a2 và z z 2ai z z 2 a . z 0 2 2 a 0 Khi đó z 2 z z 2a 4 a z 2 2i . a 2 z 2 2i Vậy có 4 số phức z 0, z 2 2i , z 2 2i , z 4i thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S tâm I 1;3;9 bán kính bằng 3. Gọi M , N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox , Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với S , đồng thời mặt cầu 13 ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng . Gọi A là tiếp điểm của MN và S , giá trị AM.AN 2 bằng A. 39 B. 12 3 C. 18 D. 28 3 Hướng dẫn: + Đặt M a;0;0 và N 0;0;b . Nhận xét: Do I 1;3;9 d(I,(Oxz)) 3 R S tiếp xúc Oxz mà MN  Oxz tiếp xúc S MN tiếp xúc S tại tiếp điểm của S và Oxz A 1;0;9 (A là hình chiếu vuông góc của I lên mp(Oxz)  AM a 1; 0; 9 +  AN 1; 0;b 9   a 1 9 Do AM và AN cùng phương a 1 b 9 9. 1 b 9 + Khi đó OIMN có OMN vuông tại O , 18
19. IMN  OMN (do IA  IMN , IA  OMN ) 13 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp OIMN bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp IMN bằng 2 (Chứng minh: Gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp OIMN. Để J cách đều 3 điểm O, M, N thì J phải nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp OMN J Nằm trên đường trung trực của MN. Để IM=JI thì J phải nằm trên đường trung trực của IM. Vậy tâm J của mặt cầu trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp IMN) 1 IM.IN.MN abc Suy ra: S .3.MN IM.IN 39 1 (sử dụng công thức S ) IMN 13 2 4. 4R 2 Mà IM a 1 2 32 92 a 1 2 90 . 81 IN 12 32 b 9 2 10 (do a 1 b 9 9 ) a 1 2 81 Thay vào 1 ta được: a 1 2 90 10 392 1521 a 1 2 27 . 2 a 1 2 AM a 1 81 108 6 3 Ta có AM.AN 12 3 . 2 AN 1 b 9 1 3 2 Câu 50. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y x4 2mx2 64x có đúng ba điểm cực trị? A. 5 B. 6 C. 12 D. 11Hướng dẫn: Xét hàm sốf x x4 2mx2 64x ; lim f x x x 0 f x 0 3 x 2mx 64 0 + Hàm số y f x x4 2mx2 64x có 3 điểm cực trị khi hàm số y f x cắt hoành tại 2 điểm phân biệt và có một cực trị PT f x 0 có ít nhất hai nghiệm đơn phân biệt và PT f ' x 0 có đúng 1 nghiệm đơn. * Tìm điều kiện để PT f x 0 có 2 nghiệm đơn phân biệt x 0 + Ta có: f x x4 2mx2 64x x x3 2mx 64 f x 3 x 2mx 64 0 (1) x3 64 1 32 32 x3 32 + (1) x3 2mx 64 0 m x2 g x g' x x 2x 2 x x2 x2 + Ta có: g' x 0 x3 32 x 3 32 g 3 32 123 2 15,119 + Bảng biến thiên: Để PT (1) có 1 nghiêm đơn m 123 2 15,119 (*) 19
20. * Tìm điều kiện để PT f ' x 0 có đúng 1 nghiệm đơn + Ta cóf ' x 4x3 4mx 64 4 x3 mx 16 0. 16 f ' x 0 m x2 (vì x 0 không là nghiệm của phương trình g x 0). x 16 16 2x3 16 Xét hàm số h x x2 ; h x 2x ; h x 0 x 2 x x2 x2 Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra m 12 ( ) . (vì m = 12 thì f’(x) = 0 có nghiệm kép vẫn chấp nhận) Vậy có 12 giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán. 2 Cách 2: y x4 2mx2 64x x4 2mx2 64x 4 2 3 3 3 2 x 2mx 64x 4x 4mx 64 4x x 2mx 64 x mx 16 y' x4 2mx2 64x 2 x4 2mx2 64x x4 2mx2 64x + Hàm số có đúng ba điểm cực trị khi PT y’ = 0 có đúng 3 nghiệm đơn x 0 3 y' 0 x 2mx 64 0 (1) (1) và (2) có nghiệm đơn và không trùng nhau 3 x mx 16 0 (2) x3 64 1 32 + Xét (1): x3 2mx 64 0 x3 2mx 64 0 m x2 g x 2x 2 x 32 x3 32 g' x x x2 x2 + Ta có: g' x 0 x3 32 x 3 32 g 3 32 123 2 15,119 + Bảng biến thiên: Để PT (1) có 1 nghiêm đơn m 123 2 15,119 (*) 16 + Xét 2: x3 mx 16 0 m x2 (vì x 0 không là nghiệm của phương trình. x 20