Đề thi thử Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán học 12 - Đề 37 (Có lời giải)

Nội dung text: Đề thi thử Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán học 12 - Đề 37 (Có lời giải)

1. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HOẠ KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA ĐỀ SỐ 37 Bài thi: TOÁN Đề thi gồm 50 câu Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1.Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình vẽ A. y x3 3x2 2 . B. y x4 3x2 2 . C. y x4 3x2 2 D. y x3 2x2 2 . Câu 2. Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 2 công bội q 4 . Giá trị của u3 bằng. A. 32 . B. 16 . C. 8 . D. 6 . Câu 3.Một tổ có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một học sinh nam và một học sinh nữ để đi tập văn nghệ. 2 2 A. A11 . B. 30 . C. C11 . D. 11. Câu 4.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 2x 4x là 2x 2x A. 2x ln 2 2x2 C . B. 2x2 C . C. 2x ln 2 C . D. C . ln 2 ln 2 Câu 5.Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 3a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 4 A. a3 . B. 4a3 . C. a3 . D. 3a3 . 3 4 Câu 6.Nghiệm của phương trình log 3x 8 2 là A. x 4 . B. x 12 . C. x 4 . D. x . 2 3 Câu 7.Cho khối trụ có chiều cao bằng 2 3 và bán kính đáy bằng 2. Thể tích của khối trụ đã cho bằng 8 3 A. 8 . B. 8 3 . C. . D. 24 . 3 Câu 8.Cho hàm số có bảng biến thiên như sau Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. 3; . C. 1;1 . D. ;1 . Câu 9.Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 , B 3; 4;1 .  Tọa độ của vectơ AB là A. 2;5; 3 . B. 2;5;3 . C. 2; 5;3 . D. 2;5; 3 . 2x 3 Câu 10.Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y x 1 là: A. y 2 . B. y 1. C. x 1. D. x 2 . Câu 11.Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 3a và bán kính đáy bằng a . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng A. 12 a2 . B. 3 a2 . C. 6 a2 . D. a2 . 3 3 1 Câu 12.Với a là số thực dương khác 1, log a a bằng A. . B. 3 . C. . D. . a2 4 2 4 Câu 13.Cho khối chóp có diện tích đáy bằng a2 và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 2a3 A. . B. 2a3 . C. 4a3 . D. a3 . 3 Câu 14.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x4 2x2 3 trên đoạn  1;2 bằng A. 4 . B. 0 . C. 5 . D. 3 . Câu 15. Cho f x là một hàm số liên tục trên ¡ và F x là một nguyên hàm của hàm số f x . Biết 3 f x dx 3 và F 1 1. Giá trị của F 3 bằng A. 4 . B. 2 . C. 2 . D. 3 . 1 2 Câu 16.Đạo hàm của hàm số y log3 2x x 1 là 2x 1 4x 1 4x 1 ln 3 4x 1 A. . B. . C. . D. . 2x2 x 1 ln 3 2x2 x 1 ln 3 2x2 x 1 2x2 x 1
2. Câu 17.Phần hình phẳng H được gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , y x2 4x và 0 4 hai đường thẳng x 2 ; x 0 .Biết f x dx . Diện tích 2 3 7 16 4 20 hình H là A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 18.Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 0 và B 3 ; 5 ; 2 . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là A. 2 ; 2 ; 1 .B. 2 ; 6 ; 2 . C. 4 ; 4 ; 2 . D. 1; 3 ; 1 . Câu 19.Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt là A. Vô số. B. 3 . C. 0. D. 5 . 2 Câu 20.Tập nghiệm của bất phương trình 4x 2x 64 là A. ; 13; . B. 3; . C. ; 1. D.  1;3 . Câu 21. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng a2 a2 2 A. a2 2 . B. . C. a2 . D. . 2 2 2x 1 Câu 22.Cho hàm số y . Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số x 1 3 1 đã cho trên đoạn  1;0 bằng A. . B. 2 . C. . D. 0 . 2 2 Câu 23.Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số bằng A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 24.Số nghiệm của phương trình log3 x 2 log3 x 2 log3 5 là A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 . Câu 25.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 (tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằngA. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . 2 Câu 26. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 3 x 1 . Số điểm cực trị của hàm số bằng A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. 1 x Câu 27. Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x 1 2 với x cos x  x 0; \ k ,k ¢  là 2  1 1 A. tan x C . B. ln x tan x C . C. tan x C . D. ln x tan x C . x2 x2 Câu 28.Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại B , AB a , AC a 5 , AA 2a 3 (tham khảo hình vẽ).Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 2 3a3 3a3 A. 2 3a3 . B. 4 3a3 . C. . D. . 3 3 Câu 29.Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a 2; 3;1 và b 1;0;1 . Côsin góc giữa hai vectơ a và b bằng 1 1 3 3 A. . B. . C. . D. . 2 7 2 7 2 7 2 7
3. Câu 30.Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phương trình 2 f x 11 0 bằng A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 4 . Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , cạnh AB a , AD a 2 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của đoạn OA . Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 30 . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB bằng 9 22a 3 22a 22a 3 22a A. . B. . C. . D. . 44 11 11 44 2 2 Câu 32.Cho phương trình 16x 2.4x 1 10 m ( m là tham số). Số giá trị nguyên của m  10;10 để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực phân biệt là A. 7 . B. 9 . C. 8 . D. 1. Câu 33.Trong không gian Oxyz , cho điểm I 2;4; 3 . Phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng 2 2 2 2 2 2 Oxz là A. x 2 y 4 z 3 4 . B. x 2 y 4 z 3 29 . 2 2 2 2 2 2 C. x 2 y 4 z 3 9 . D. x 2 y 4 z 3 16 . 2 3 12 Câu 34.Giả sử n là một số nguyên dương thỏa mãn 3Cn Cn 24 . Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển n 2 2 12 12 x x với x 0 . A. 672x . B. 672x . C. 672 . D. 672 . x f x Câu 35.Cho hàm số f x 0 và có đạo hàm liên tục trên ¡ , thỏa mãn x 1 f x và x 2 2 ln 2 f 0 . Giá trị f 3 bằng 2 1 2 2 1 2 2 A. 4ln 2 ln 5 . B. 4 4ln 2 ln 5 . C. 4ln 2 ln 5 . D. 2 4ln 2 ln 5 . 2 4 Câu 36.Cho hàm số y x3 m 2 x2 m 2 x 1. Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; là A. 3 . B. 0 . C. 4 . D. 2 . Câu 37.Cho khối lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a, BC 2a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh AC . Góc giữa hai mặt phẳng BCC B và ABC bằng 60 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 3 3a3 3a3 3 3a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 4 8 8 16 Câu 38.Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2;3) , B(1; 2;5) . Phương trình của mặt cầu đi qua 2 điểm A , B và có tâm thuộc trục Oy là A. x2 y2 z2 4y 22 0 . B. x2 y2 z2 4y 26 0 . C. x2 y2 z2 4y 22 0 . D. x2 y2 z2 4y 26 0 . 2x 1 Câu 39.Cho hàm số f x có f 1 e2 và f x e2x , x 0 . x2 ln3 6 e2 9 e2 Khi đó xf x dx bằng A. 6 e2 . B. . C. 9 e2 . D. . 1 2 2 Câu 40. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ Số điểm cực tiểu của hàm số g x f x2 x bằng A. 1. B. 5. C. 2. D. 3. y y 1 Câu 41.Có bao nhiêu cặp số nguyên x; y thỏa mãn 2 x 2021 và 2 log2 x 2 2x y ? A. 2020 . B. 9 . C. 2019 . D. 10 .
4. Câu 42.Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f 1 5, f 3 0 và có bảng xét dấu đạo hàm như sau.Số giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 3 f 2 x x2 4 x m có nghiệm trong khoảng 3;5 là A. 16 . B. 17 . C. 0 . D. 15 . 1 Câu 43.Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn: f 1 1, f 2 . e Hàm số f x có đồ thị như hình vẽ sau:Bất phương trình f x ln x x2 m có 1 nghiệm đúng với mọi x 1; khi và chỉ khi e 1 1 A. m 0 . B. m 3 . C. m 3 . D. m 0 . e2 e2 Câu 44.Cho hàm số f x liên tục trên khoảng 0; và thỏa mãn f x 2x 1 17 f x2 1 .ln x 1 . Biết f x dx a ln 5 2ln b c với a,b,c ¡ . Giá trị của a b 2c 4x x 2x 1 29 bằng A. . B. 5 . C. 7 . D. 37 . 2 Câu 45.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của cạnh AB . Gọi M là trung điểm của SD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và a 2 a 5 a 5 SC bằng A. a . B. . C. . D. 4 10 5 Câu 46.Cho hàm số f x có đạo hàm xác định trên ¡ . Biết f 1 2 và 1 4 1 3 x 1 x2 f x dx f 2 x dx 4 . Giá trị của f x dx bằng 0 1 2 x 0 5 3 1 A. 1. B. . C. . D. . 7 7 7 Câu 47.Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O . Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác vuông SAB có diện tích bằng 4a2 . Góc giữa trục SO và mặt phẳng SAB bằng 30 . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng A. 4 10 a2 . B. 2 10 a2 . C. 10 a2 . D. 8 10 a2 . Câu 48.Cho hàm số y f (x) có đồ thị hàm số y f (x) như hình vẽ Hàm số y g x f (ex 2) 2020 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 3 A. 1; . B. 1;2 . C. 0; . D. ;2 . 2 2 Câu 49.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và 1 SCD bằng , với cos . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a3 2 2 2a3 2a3 A. . B. a3 2 . C. . D. . 3 3 3 Câu 50.Cho đa giác đều H có 30 đỉnh. Lấy tùy ý 3 đỉnh của H . Xác suất để 3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác tù bằng 39 39 45 39 A. . B. . C. . D. . 140 58 58 280 HẾT
5. 37 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.Chọn C.Đồ thị đã cho là đồ thị của dạng hàm số y ax4 bx2 c với a 0 nên phương án đúng là C. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị phương án A và phương án C là sai. Khi x thì y phương án B là sai.Vậy phương án C đúng. 2 2 Câu 2.Chọn A.Ta có u3 u1q 2.4 32 . Câu 3.Chọn B . +) Có 6 cách chọn 1 học sinh nam từ 6 học sinh nam. +) Ứng với mỗi cách chọn 1 học sinh nam có 5 cách chọn 1 học sinh nữ từ 5 học sinh nữ. Theo quy tắc nhân có 6.5 30 cách chọn một học sinh nam và một học sinh nữ để đi tập văn nghệ. 2x Câu 4.Chọn B.Ta có f x dx 2x 4x dx 2x2 C . ln 2 Câu 5.Chọn D.Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng V B.h a2.3a 3a3 . Câu 6.Chọn C.Ta có log2 3x 8 2 3x 8 4 x 4 .Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 4 . Câu 7.Chọn B.Diện tích đáy của khối trụ bán kính R là: B R2 .22 4 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng V Bh 4 .2 3 8 3 . Câu 8.Chọn A.Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 , 1; và nghịch biến trên khoảng 1;1 .Suy ra A là phương án đúng.  Câu 9.Chọn C.Ta có: AB 2; 5;3 . 2x 3 2x 3 Câu 10.Chọn C.Xét hàm số y . Tập xác định: D ¡ \ 1 .Ta có: lim y lim .  x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là: x 1. Câu 11.Chọn B.Hình nón có độ dài đường sinh l 3a , bán kính đáy r a có diện tích xung quanh là 2 Sxq rl .a.3a 3 a . 3 1 3 3 Câu 12.Chọn A.Ta có: log a a log a 2 . .log a . a2 a2 a 2 2 4 1 2a3 Câu 13.Chọn A.Thể tích của khối chóp là V a2.2a . 3 3 Câu 14.Chọn A+) Hàm số y x4 2x2 3 liên tục trên đoạn  1;2 . x 0  1;2 +) y 4x3 4x . +) y 0 . +) y 0 3, y 1 y 1 4 , y 2 5 . x 1  1;2 Vậy min y 4 khi x 1 . -1;2 Câu 15.Chọn A.Do F x là một nguyên hàm của hàm số f x nên ta có 3 f x dx F 3 F 1 F 3 1 3 F 3 4 .Vậy F 3 4 . 1 Câu 16.Chọn B.Tập xác định của hàm số D ¡ . 2 2x x 1 4x 1 4x 1 2 y log3 2x x 1 .Vậy y . 2x2 x 1 ln 3 2x2 x 1 ln 3 2x2 x 1 ln 3 0 0 0 2 2 Câu 17.Chọn D .Diện tích hình H là : S f x x 4x dx f x dx x 4x dx 2 2 2 3 3 4 x 2 0 4 2 2 20 2x 2 2 . 3 3 2 3 3 3 20 Vậy diện tích hình H là S . 3
6. 1 3 xI 2 xI 1 Câu 18.Chọn D .Gọi I x ; y ; z là trung điểm của đoạn AB .Ta có 1 5 y 3 . I I I yI I 2 z 1 0 2 I zI 2 Vậy I 1; 3 ; 1 . Câu 19.Chọn B.Từ đồ thị ta thấy để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt khi 1 m 5. Vì m nguyên nên m 2;3;4.Vậy có 3 giá trị nguyên của m thoả mãn yêu cầu bài toán. 2 Câu 20.Chọn A.Ta có: 4x 2x 64 x2 2x 3 x2 2x 3 0 x ; 13; . Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: ; 13; . a 2 Câu 21.Chọn D.Từ giả thiết suy ra hình nón có bán kính đáy là r ; 2 độ dài đường sinh là l a . a 2 a2 2 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là S rl .a . xq 2 2 2x 1 Câu 22.Chọn C.Xét hàm số y liên tục trên đoạn  1;0. x 1 3 1 1 Có y 0 , x  1;0.Ta có y 1 , y 0 1. Do đó max y , min y 1. x 1 2 2  1;0 2  1;0 1 1 Vậy tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là . 1 . 2 2 Câu 23.Chọn C.+) Tập xác định của hàm số là D ¡ \ 1 . +) lim y x 1 là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 1 lim y 3 x +) đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y 3 . lim y x Vậy số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 2. Câu 24.Chọn C.Điều kiện xác định của phương trình là: x 2 .Ta có log3 x 2 log3 x 2 log3 5 2 2 x 3(tháa m·n) log3 x 2 x 2 log3 5 x 2 x 2 5 x 4 5 x 9 . x 3(lo¹i) Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm. Câu 25.Chọn B.Ta có SA  ABCD , suy ra hình chiếu của SC lên ABCD là AC . Suy ra góc giữa SC và ABCD là góc giữa SC và AC , chính là góc S· CA . Xét hình vuông ABCD cạnh a có đường chéo AC a 2 . SA a 2 Ta có: tan S· CA 1 S· CA 45 . AC a 2 Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 45. x 0 2 Câu 26.Chọn B.Cho f x x x 3 x 1 0 x 3 . x 1 Bảng biến thiên.Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
7. 1 x 1 1 1 1 Câu 27.Chọn B.Ta có f x dx 1 2 dx 2 dx dx 2 dx ln x tan x C . x cos x x cos x x cos x Câu 28.Chọn A.Trong tam giác vuông ABC : BC AC 2 AB2 2a . 1 Thể tích khối lăng trụ đã cho là: V AA .S AA .AB.BC 2 3a3 . ABC.A B C ABC 2 a.b 1 1 Câu 29.Chọn A.Côsin góc giữa hai vectơ a và b là: cos a,b . a . b 14. 2 2 7 11 Câu 30.Chọn B.Ta có: 2 f x 11 0 f x . 2 Số nghiệm của phương trình 2 f x 11 0 là số giao điểm của đồ thị hàm 11 số y f x và đường thẳng y . 2 11 Từ bảng biến thiên ta có đường thẳng y cắt đồ thị hàm số y f x 2 tại 2 điểm phân biệt.Vậy phương trình 2 f x 11 0 có hai nghiệm phân biệt. Câu 31.Chọn B.Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng S ABCD .Vì SH  ABCD nên góc giữa SC và mặt phẳng ABCD là góc S· CH 30 . ABCD là hình chữ nhật nên AC AB2 AD2 a 3 3a 3 3a 3 1 3a HC . SH HC.tan 30 . . 4 4 3 4 Từ H kẻ đường thẳng HI  AB , I AB 1 . K Ta có SH  ABCD SH  AB 2 .Từ 1 và 2 AB  SHI . A D I H 1 O Cách 1:Vì H là trung điểm của OA HA CA . 4 B C Do đó d C; SAB 4d H; SAB . Trong mặt phẳng SHI , kẻ HK  SI 3 .Vì AB  SHI AB  HK 4 . Từ 3 và 4 HK  SAB , suy ra khoảng cách từ H đến mặt phẳng SAB là HK . HI AH 1 a 2 Ta lại có: HI . BC AC 4 4 9a2 a2 . 2 1 1 1 9a 3a 22 Trong tam giác vuông SHI ta có: HK 2 16 8 HK . HK 2 SH 2 HI 2 9a2 a2 88 44 16 8 3a 22 Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB là: d C, SAB 4HK . 11 1 1 1 3a a3 2 a3 2 Cách 2: Ta có V V + V .SH.S . .a.a 2 V . S.ABC 2 S.ABCD S.ABCD 3 ABCD 3 4 4 SABC 8 1 + Vì AB  SHI AB  SI nên S SI.AB . SAB 2 2 2 1 1 3a a 2 a2 11 S SH 2 HI 2 .AB .a . SAB 2 2 4 4 8 3a3 2 1 3V 3a 22 + V d C, SAB .S d C, SAB SABC 8 . S.ABC SAB 2 3 SSAB a 11 11 8
8. 3a 22 Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB bằng . 11 2 2 Câu 32.Chọn C.Xét phương trình: 16x 2.4x 1 10 m 1 . 2 Đặt 4x t , t 1 phương trình đã cho trở thành: t 2 8t 10 m 2 . Phương trình 1 có đúng 2 nghiệm thực phân biệt phương trình 2 có đúng 1 nghiệm t 1 . + Xét hàm số f t t 2 8t 10 , t 1 . f t 2t 8 , suy ra f t 0 t 4 . + Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: m 6 Phương trình 2 có đúng 1 nghiệm t 1 . m 3 Mà theo giả thiết m nguyên và m  10;10 nên m 6;4;5;6;7;8;9;10 . Vậy có 8 giá trị nguyên của m  10;10 để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt. Câu 33.Chọn D .Mặt cầu có tâm I 2;4; 3 và tiếp xúc với mặt phẳng Oxz nên bán kính của mặt cầu là: R d I, Oxz yI 4 . 2 2 2 Vậy phương trình mặt cầu cần lập là: x 2 y 4 z 3 16 . 2 3 Câu 34.Chọn D .Ta có: 3Cn Cn 24 , điều kiện: n 3 ; n ¥ . n n 1 n n 1 n 2 3C 2 C3 24 3 24 n n 2 6 n 9 3 2 2 3 73 n 12n 11n 144 0 n 9 n 3n 16 0 n . 2 3 73 n 2 Đối chiếu điều kiện ta có n 9 thỏa mãn. 9 k 45 7k 9 k k 2 2 k 2 2 k 2 2 Khi đó khai triển x x có số hạng tổng quát thứ k 1 là: Tk 1 C9 x x . C9 2 x x x 45 7k (với k ¥ , k 9 ). Từ giả thiết ta có phương trình 12 7k 21 k 3. 2 2 9 12 2 2 3 3 Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển x x bằng C9 2 672 . x f x f x 1 Câu 35.Chọn C.Với x 0;3 ta có: x 1 f x x 2 f x x 1 x 2 3 3 f x 3 1 1 3 x 1 dx dx 2 f x ln 0 0 f x 0 x 1 x 2 x 2 0 2 4 1 ln 2 1 8 2 f 3 f 0 ln ln f 3 ln 5 2 2 2 5 1 8 1 1 2 1 2 f 3 ln ln 2 4ln 2 ln 5 f 3 4ln 2 ln 5 .Vậy f 3 4ln 2 ln 5 . 2 5 2 4 4
9. Câu 36Chọn C.+) TXĐ: D ¡ . +) y 3x2 2 m 2 x m 2 . Hàm số đồng biến trên ; y 0 , x ¡ và dấu " " xảy ra tại hữu hạn điểm. a 0 3 0 2 m 2 m 5 0 2 m 5 . 0 m 2 3 m 2 0 Với m ¢ m 2;3;4;5. Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 37.Chọn C.Cách 1:Gọi I là hình chiếu của H lên cạnh BC . Xét tam giác vuông ABC : AC BC 2 AB2 a 3 . Cµ chung Xét CIH và CAB có: nên CIH ~ CAB . · ·  CIH CAB 90 IH CH AC 3 3 a 3 Suy ra IH AB  . AB CB 2CB 4 4 4 Gọi K là trung điểm A C và M là hình chiếu của K lên B C . Khi đó tứ giác IMKH là hình bình hành nên KM IH . Lấy N đối xứng với C qua M thì KM là đường trung bình trong A N // IH BC  HI tam giác C A N . Ta có: BC  A HIN . A N 2IH BC  A H BCC B  ABC BC BC  A HIN · Mặt khác: BCC B , ABC H· I, IN . A HIN  BCC B IN A HIN  ABC HI Do hình thang vuông A HIN có A N HI nên góc giữa HI và IN là góc ·A NI ·A NI 60 . Gọi H là hình chiếu của I lên A N thì H là trung điểm A N và 3a A H IH NH  tan H· NI IH tan 60 . 4 3a a2 3 3 3a3 Từ đó ta có V A H  S  ABC.A B C ABC 4 2 8 Cách 2:Gọi K, M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A B và A C . Dễ thấy BCC B // HKMN và ABC // A B C ·BCC B , ABC ·HKMN , A B C . Trong mặt phẳng A B C kẻ A J  B C ( J B C ) , A J  MN I . MN  AI Ta có MN  A IH MN  HI . MN  A H HKMN  A B C MN · MN  HI, MN  A I HKMN , A B C H· I, A I ·A IH do A IH vuông tại A . HI  HKMN , A I  A B C 2 1 1 A B .A C 1 a. 2a a2 a 3 Tam giác A B C có A I A J . . . 2 2 B C 2 2a 4 a 3 3a Tam giác A IH có A H A I.tan 60 . 3 . 4 4 3a a2. 3 3 3a3 3 3a3 Thể tích khối lăng trụ V A H.S . .Vậy thể tích khối lăng trụ . ABC 4 2 8 8 Câu 38.Chọn A.Vì mặt cầu có tâm thuộc trục Oy nên gọi tâm mặt cầu là I 0;a;0 với a ¡ .   Ta tính được IA 1;2 a;3 , IB (1; 2 a;5) .
10. Ta có : IA IB IA2 IB2 12 (2 a)2 32 12 ( 2 a)2 52 a2 4a 14 a2 4a 30 a 2 . Do đó I 0; 2;0 . Lúc đó bán kính mặt cầu là : R IA 12 42 32 26 . Ta có mặt cầu đã cho có tâm I 0; 2;0 và có bán kính R 26 nên phương trình mặt cầu là: x2 (y 2)2 z2 ( 26)2 x2 y2 z2 4y 22 0 . Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x2 y2 z2 4y 22 0 . Câu 39.Chọn D 2x 1 2 1 1 1 1 1 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x + f x 2 e e 2 e e e f x e . f x e . C . x x x x x x x 1 + Do f 1 e2 nên e2.1. C e2 C 0 . 1 1 ln3 ln3 1 ln3 9 e2 9 e2 + Vậy f x e2x . nên xf x dx e2x dx e2x . x 1 1 2 1 2 2 2 Câu 40.Chọn D.Ta có g x 2x 1 . f x2 x . 1 x 1 2 x 2 x 1 2x 1 0 + g x 0 x2 x 2 x 2 . f x2 x 0 2 x 1 x x 0 x 0 2 2 1 x 0 + Từ đồ thị hàm số y f x suy ra f x x 0 2 x x 0 . 1 x 2 + Ta có bảng xét dấu hàm số y g x : Từ bảng xét dấu g x suy ra hàm số y g x có 3 điểm cực tiểu. Chú ý: (Cách trắc nghiệm) + Nhận xét g x là hàm số đa thức bậc 5 có 5 nghiệm phân biệt vì vậy để xét dấu g x ta chỉ cần xét dấu của g x trên một khoảng bất kì, từ đó suy ra dấu của g x cho các khoảng còn lại. + Chẳng hạn xét dấu của g x trên khoảng 2; : Ta có g 3 5. f 6 0 (Vì f 6 0 ) suy ra g x 0,x 2 . Từ đó ta có bảng xét dấu của g x : Từ bảng xét dấu g x suy ra hàm số y g x có 3 điểm cực tiểu. y 1 y 1 t t y 1 Câu 41.Chọn D.Đặt log2 x 2 t x 2 2 x 2 2 . Phương trình đã cho trở thành: 2 y t 2 2t 2 y 1 y 2.2 y y 2.2t t . Xét hàm số f x 2.2x x có f x 2.2x ln 2 1 0,x ¡ suy ra hàm số y f x đồng biến trên ¡ . Khi đó phương trình 2.2 y y 2.2t t f y f t y t . y 1 y 1 y y 1 Suy ra phương trình log2 x 2 y x 2 2 x 2 .
11. y 1 Theo bài ra 2 x 2021 2 2 2021 1 y 1 log2 2021 2 y log2 2021 1 . Do y ¢ nên y 2;3;4; ;11 có 10 giá trị nguyên của y . Mà x 2 y 1 nên với mỗi số nguyên y 2;3;4; ;11 xác định duy nhất một giá trị nguyên của x . Vậy có 10 cặp số nguyên x; y thỏa mãn bài toán. Câu 42.Chọn D.Xét g x 3 f 2 x x2 4 x trên khoảng 3;5 . x g x 3 f 2 x 1. Ta có 3 x 5 3 2 x 1 . x2 4 Suy ra f 2 x 0, x 3;5 3 f 2 x 0, x 3;5 1 . x x 1, x 3;5 1 0, x 3;5 2 . x2 4 x2 4 Từ 1 và 2 suy ra g x 0 x 3;5 . Bảng biến thiên của hàm số g x trên khoảng 3;5 Từ bảng biến thiên suy ra, để phương trình 3 f 2 x x2 4 x m có nghiệm thuộc khoảng 3;5 thì 29 5 m 12 13 . Vì m nguyên dương nên m 1;2;3 ;15 . Vậy có 15 giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu 43.Chọn C .Bất phương trình f x ln x x2 m f x ln x x2 m . Đặt g x f x ln x x2 . 1 1 Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x 1; g x m , x 1; . e e 1 1 1 2x2 Xét hàm số g x trên 1; .Ta có g x f x 2x f x . e x x 1 Với x 1; ta có e f x 0 1 1 2x2 g x 0,x 1; . 0 e x 1 Hàm số g x đồng biến trên 1; . e 1 Bảng biến thiên của hàm số g x trên 1; e Từ bảng biến thiên ta có 2 1 1 1 1 1 1 g x m,x 1; m g m f ln m 3 2 . e e e e e e 1 Vậy m 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. e2 Câu 44.Chọn C.Cách 1:Do f x liên tục trên khoảng 0; nên tồn tại F x f x dx , x 0 . f x 2x 1 f x Với x 0 , ta có: f x2 1 .ln x 1 2x. f x2 1 2x 1 .ln x 1 . 4x x 2x 2 x f x 2 2 Xét vế trái: g x 2x. f x 1 g x dx F x 1 F x C1 . 2 x
12. Xét vế phải: h x 2x 1 .ln x 1 1 h x dx 2x 1 ln x 1 dx ln x 1 d x2 x x2 x ln x 1 x2 x dx x 1 2 2 2 x x x ln x 1 xdx x x ln x 1 C2 . 2 x2 Suy ra F x2 1 F x x2 x ln x 1 C 1 . 2 Thay x 4 vào 1 ta có: F 17 F 2 20ln 5 8 C . 1 Thay x 1 vào 1 ta có: F 2 F 1 2ln 2 C . 2 17 15 15 Nên f x dx F 17 F 1 20ln 5 2ln 2 , suy ra a 20 , b 2 , c . 1 2 2 Vậy: a b 2c 20 2 15 7 . Ta chọn C. Cách 2:Do f x liên tục trên khoảng 0; nên tồn tại F x f x dx , x 0 . f x 2x 1 f x Với x 0 , ta có: f x2 1 .ln x 1 2x. f x2 1 2x 1 .ln x 1 . 4x x 2x 2 x 4 4 4 Lấy tích phân hai vế cận từ 1 đến 4 ta được: f x2 1 d x2 1 f x d x 2x 1 .ln x 1 dx 1 1 1 17 2 4 4 x2 x f t dt f t dt x2 x ln x 1 dx 1 2 1 1 x 1 17 4 17 15 f t dt 20ln 5 2ln 2 xdx f x dx 20ln 5 2ln 2 . 1 1 1 2 Vậy: a b 2c 20 2 15 7 . Câu 45.Chọn D.Gọi là trung điểm của , là trung điểm của cạnh K SC H AB S suy ra MKHA là hình bình hành. AM // HK AM // SHK d AM , SC d AM , SHC d A, SHC d B, SHC . M Hạ BI  CH mà SH  BI BI  SHC nên d AM , SC BI . K A Xét tam giác BHC vuông tại B có BI là đường cao: D a .a H I BH.BC 2 a 5 BI . B C BH 2 BC 2 a2 5 a2 4 a 5 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC bằng . 5 1 1 1 1 Câu 46.Chọn D.Ta có: 4 x2 f x dx x2d f x x2 f x 2xf x dx 0 0 0 0 1 1 1 4 f 1 2 xf x dx 4 2 2 xf x dx xf x dx 1. 0 0 0 4 1 3 x 1 Xét f 2 x dx .Đặt t 2 x dt dx .Với x 1 t 1 và x 4 t 0 . 1 2 x 2 x 4 1 3 x 0 Khi đó 4 f 2 x dx 1 3 2 t f t dt 1 2 x 1 1 1 1 1 1 1 4 7 3t f t dt 4 7 f t dt 3 tf t dt 4 7 f t dt 3 1 f t dt . 0 0 0 0 0 7 1 1 Vậy f x dx . 0 7
13. Câu 47.Chọn B.Gọi M là trung điểm của AB , theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S , SM  AB , OM  AB và góc giữa SO và mặt phẳng SAB 1 là O· SM 30 . *Ta có S SA2 l SA 2S 2a 2 ; SAB 2 SAB 1 AB SA 2 4a ; SM AB 2a . 2 1 *Trong tam giác SOM ta có OM SM.sin O· SM 2a. a . 2 2 2 2 2 AB 2 2 *Trong tam giác OMB ta có r OB OM MB OM a 4a a 5 . 2 2 * Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq rl .OB.SA .a 5.2a 2 2 10 a . Câu 48.Chọn A.Cách 1: Ta có g x ex . f ex 2 . Hàm số y g x f (ex 2) 2020 nghịch biến khi g x 0 f ex 2 0 . Dựa vào đồ thị hàm số y f (x) , ta thấy: f ex 2 0 ex 2 3 ex 5 x ln 5 . Do đó hàm số y g x nghịch biến trên khoảng ;ln 5 , 3 3 Lại do 1;  ;ln 5 , nên hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 1; . 2 2 Cách 2 : Ta có g x ex . f ex 2 . Bảng xét dấu: Xét g x 0 ex . f ex 2 0 ex 2 0 x ln 2 f ex 2 0 x e 2 3 x ln 5 3 3 Do 1;  ;ln 5 nên hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 1; . 2 2 Câu 49.Chọn A.Cách 1: + Gọi H là trung điểm SB , vì SAB vuông cân tại A AH  SB 1 . BC  AB + Lại có BC  SAB BC  SB 2 . BC  SA Từ 1 , 2 AH  SBC AH  SC 3 . + Gọi K là hình chiếu của A lên SD , chứng minh tương tự ta có AK  SDC AK  SC 4 . + Từ 3 , 4 ·SBC , SDC ·AH, AK . + Gọi M , N lần lượt là trung điểm SC, AD , dễ dàng chứng minh được AHMN là hình bình hành, suy ra MN //AH + Kẻ NP // AK P SD , vì NP // AK NP  SCD NP  MP . + Ta có ·AH, AK M· N, NP M· NP (vì MNP vuông tại P ). SA.AD ax ax + Đặt AD x , dễ thấy AK NP . SD a2 x2 2 a2 x2 ax 1 NP a2 x2 + Xét MNP vuông tại P , ta có cos M· NP x a 2 . 3 MN a 2 1 1 a3 2 Vậy V SA.S .a.a2 2 . S.ABCD 3 ABCD 3 3
14. 1 6 Cách 2:Theo giả thiết cos sin 3 3 Đặt AD BC x 0 , dựng AK  SD tại K , BH  SC tại H CD  AD Ta có: CD  SAD CD  AK 1 CD  SA Mặt khác AK  SD 2 . Từ 1 và 2 AK  SCD AK d .Do A, SCD SA.AD ax AB // SCD d d AK . A, SCD B, SCD SA2 AD2 a2 x2 BS.BC a 2x SB SA2 AB2 a 2 BH BS 2 BC 2 2a2 x2 ax d 2 2 B, SCD a x 6 2 2 2 2 Khi đó: sin 2 3. a x 3 2a x x a 2 BH a 2x 3 2a2 x2 1 1 a3 2 Vậy V SA.S .a.a2 2 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 3 Câu 50.Chọn B.Cách 1.Lấy 3 đỉnh từ 30 đỉnh, số cách lấy là C30 . 3 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n  C30 . Gọi A là biến cố “ 3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác tù”. Gọi C là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều H có các đỉnh A1 , A2 , A30 . Tam giác tạo thành là tam giác tù khi có 3 đỉnh cùng thuộc nửa đường tròn. Tam giác tù có đỉnh là A1 thì hai đỉnh còn lại nằm cùng một phía so với A1 A16 . 2 Vậy tổng cộng có 2.C14 cách chọn tam giác tù có đỉnh là A1 . Tương tự với các đỉnh còn lại A2 ; A3; ; A30 nhưng số tam giác bị đếm hai lần. 30.2.C 2 Đa giác đều có 30 đỉnh và mỗi tam giác tù có hai góc nhọn nên số tam giác tù là 14 30.C 2 . 2 14 2 Suy ra số phần tử của biến cố là: n A 30.C14 . 2 n A 30.C14 39 39 Xác suất cần tìm là: P A 3 .Vậy P A . n  C30 58 58 * Cách 2.Ta kí hiệu đa giác đều H là A1 A2 A30 .Ứng với mỗi đỉnh Ai 1 i 30;i ¥ sẽ có 14 tam giác vuông tại Ai do đó sẽ có 13 12 11 1 tam giác tù tại Ai .Số cách chọn ba đỉnh tạo thành tam giác tù là: 13 13 1 30. 13 12 11 1 30. cách.Mặt khác có C3 cách chọn 3 đỉnh trong 30 đỉnh nên xác suất cần 2 30 13 13 1 30. 2 39 tìm là 30. 13 12 11 1 3 . C30 58 PHẦN II: BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.C 7.B 8.A 9.C 10.C 11.B 12.A 13.A 14.A 15.A 16.B 17.D 18.D 19.B 20.A 21.D 22.C 23.C 24.C 25.B 26.B 27.B 28.A 29.A 30.B 31.B 32.C 33.D 34.D 35.C 36.C 37.C 38.A 39.D 40.D 41.D 42.D 43.C 44.C 45.D 46.D 47.B 48.A 49.A 50.B HẾT