Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp Thành phố môn Toán 9 - Năm học 2020-2021 - Nguyễn Dương Hải (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp Thành phố môn Toán 9 - Năm học 2020-2021 - Nguyễn Dương Hải (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS TP BUÔN MA THUỘT CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không tính giao đề) Ngày thi: 15/01/2021 Bài 1. (3,0 điểm) x 3 x 2 x 2 1 Cho biểu thức P : 1 . x 2 3 x x 5 x 6 x 1 a) Rút gọn P . Tìm x nguyên để P 0 1 b) Tìm x để Q nhỏ nhất. P Bài 2. (5,0 điểm) a) Giải phương trình sau: 17 1 13x2 6 x 10 5 x 2 13 x 17 x 2 48 x 36 36 x 8 x 2 21 2 2 b) Phân tích thành nhân tử x y z 3 x3 y 3 z 3 . c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: y2 x x 1 x 7 x 8 . d) Cho a, b , c , d 1 thỏa mãn abcd 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức 1 1 1 1 P . 1 a 1 b 1 c 1 d Bài 3. (3,0 điểm) 2 2 Cho đường thẳng d1 : y x 2 và đường thẳng d2 : y 2 m m x m m a) Tìm điều kiện của m để d1 // d 2 b) Gọi A là điểm thuộc d1 có hoành x 2. Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua A và vuông góc với d1 c) Khi d1 // d 2 . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 , d 2 . d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d1 và diện tích tam giác OMN với M, N lần lượt là giao điểm của d1 với các trục tọa độ. Bài 4. (4,0 điểm) a) Cho tam giác nhọn ABC. M là điểm nằm trong tam giác. Xác định vị trí điểm M để MABC MBCA  MC  AB đạt giá trị nhỏ nhất. b) Cho tam giác ABC và hình bình hành AMPN sao cho các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, AC. Điểm P nằm trong tam giác ABC. Gọi Q là giao điểm của AP và BC. Xác định vị trí điểm P để AM AN  PQ đạt giá trị lớn nhất. AB AC  AQ Bài 5. (5,0 điểm) Cho hai đường đường tròn OR; có hai dây AB, AC vuông góc với nhau và AC R 3 . Gọi H là hình chiếu của A trên BC ; E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. a) Chứng tỏ AB2 AC 2 4 R 2 . Tính khoảng cách từ tâm O đến AB, AC. 3 1 R b) Trên đoạn AC lấy điểm J sao cho AJ . Vẽ dây QS vuông góc với AC tại J. Chứng tỏ 2 QS = AC. c) Chứng minh BE CH CF BH AH BC d) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC cắt AC tại K. Chứng minh rằng: BK vuông góc với AO. Hết GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 11
2. BÀI GIẢI SƠ LƯỢC Bài 1: (3,0 điểm) x 3 x 2 x 2 1 Cho biểu thức P : 1 . x 2 3 x x 5 x 6 x 1 a) Rút gọn P . Tìm x nguyên để P 0 1 b) Tìm x để Q nhỏ nhất. P a) (ĐK: x 0; x 4; x 9 ) x 3 x 2 x 2 1 x 3 x 2 x 2 x 1 1 P : 1 : x 2 3 x x 5 x 6 x 1 x 2 x 3x 2 x 3 x 1 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x x 9 x 4 x 2 x 1 :  x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x x 3 x 1 x 1  x 2 x 3 x x x 2 x 1 Vì x 0 nên 0 . Do đó P 0 x 2 0 0 x 4 x 1; 2; 3 (vì x Z ) x 1 b) Vì x 0 nên P 0 , do đó luôn xác định. P 1x x 2 x 2 x x 2 x 1 3 4 x 1 3 Khi đó Q x 1 4 2 3 4 P x 1 x 1 x 1 x 1 3 2 Dấu “=” xảy ra x 1 x 1 3 x 3 1 4 2 3 (TMĐK) x 1 Vậy MinQ 2 3 4 khi x 4 2 3 Bài 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình sau: 17 1 13x2 6 x 10 5 x 2 13 x 17 x 2 48 x 36 36 x 8 x 2 21 2 2 b) Phân tích thành nhân tử x y z 3 x3 y 3 z 3 . c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: y2 x x 1 x 7 x 8 . d) Cho a, b , c , d 1 thỏa mãn abcd 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức 1 1 1 1 P . 1 a 1 b 1 c 1 d 17 1 a) 13x2 6 x 10 5 x 2 13 x 17 x 2 48 x 36 36 x 8 x 2 21 2 2 2 2 2 2 5 3 2 2 5 Ta có: VTx 3 1 2 x 3 2 x x xx 4 6 3 xxx 1 2 2 2 2 5 3 3 3 3x 1 2 x x 6 x 6 x . Dấu “=” xảy ra khi x 2 2 2 2 1 32 3 3 VP 12 x 3 2 4 x2 12 x 9 6 x 2 x 3 6 x . Dấu “=” xảy ra khi x 2 2 2 2 3 Vậy nghiệm của phương trình là x 2 GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 22
3. b) xyz 3 xyz3 3 3 yzxyz 2 xyzxx 2 yzyyzz 2 2 2 2 2 2 2 2 2 yzx y z2 xyyzzx x xyzx x y yzz 2 2 yz 3 x 3 xyyzzx 3 yzx xyyzzx 3 xyyzzx c) y2 x x 1 x 7 x 8 4 y 2 2 x 2 162 x x 2 1614 x 2 2 4yxx2 2 2 16 7 49 2 xx 2 16 7 4 y 2 49 2 xxyxxy 2 16 7 2 2 2 16 7 2 49 Vì x, y nguyên dương, nên 2x2 16 x 7 2 y ; 2 x 2 16 x 7 2 y nguyên dương và 2x2 16 x 7 2 y 2 x 2 16 x 7 2 y . Do đó ta có trường hợp sau: 2x2 16 x 7 2 y 1 4y 48 y 12 y 12 2 2 2 2x 16 x 7 2 y 49 2x 16 x 72 y 1 2 x 16180 x x 1 x 9 0 x 1 do x 0 . Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là x; y 1;12 y 12 1 1 2 d) Với a, b 1. Ta chứng minh * 1 a 1 b 1 ab 1 1 1 1 ab a ab b * 0 0 1 a1 ab 1 b 1 ab 1 a 1 ab 1 b 1 ab ab a 1 b ab b 1 a a a b 1 b b a b 1 a 0 0 1 a 1 b 1 ab 1 a 1 b 1 ab a b a b a b a b a b ab a b a b 0 0 1 a 1 b 1 ab 1 a 1 b 1 ab 2 a b ab 1 0 ; luôn đúng với a, b 1 1 a 1 b 1 ab 2 2 2 2 4 Do đó P 2  2  4 4 2 1 ab 1 cd 1 abcd 1 4 1 2 a b c d Dấu “=” xảy ra a b c d 2 abcd 4 Bài 3: (4,0 điểm) 2 2 Cho đường thẳng d1 : y x 2 và đường thẳng d2 : y 2 m m x m m a) Tìm điều kiện của m để d1 // d 2 b) Gọi A là điểm thuộc d1 có hoành x 2. Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua A và vuông góc với d1 c) Khi d1 // d 2 . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 , d 2 . d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d1 và diện tích tam giác OMN với M, N lần lượt là giao điểm của d1 với các trục tọa độ. GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 33
4. m 1 2 2m m 1 m 1 2 m 1 0 1 1 a) d1 // d 2 2 m m m m 2 m 1 m 2 0 2 2 m 1; m 2 b) Tung độ điểm A là y 2 2 4 , nên A 2; 4 . Phương trình đường thẳng d3 có dạng y ax b . Vì d3 đi qua A và vuông góc d1 , nên có: 2a b 4 b 6 . Vậy phương trình đường thẳng d3 : y x 6 a 1 a 1 1 c) Phương trình đường thẳng d : y x 2 4 +) d1 : y x 2 cắt trục hoành tại 2; 0 và cắt trục tung tại 0; 2 1 1 1 +) d2 : y x cắt trục hoành tại ; 0 và cắt trục tung tại 0; 4 4 4 Gọi h1, h 2 lần lượt là khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d1 , d 2 , ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 2 h 2 ; 32 h h2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 h2 1 1 32 8 4 4 2 9 2 Vậy khoảng cách giữa d , d là : h h h 2 (đvđd) 1 2 1 2 8 8 d) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d1 là h1 2 (đvđd) 1 1 Ta có MN 2; 0 , 0; 2 . Vậy S OM  ON 2  2 2 (đvdt) OMN 2 2 Bài 4: (2,0 điểm) a) Cho tam giác nhọn ABC. M là điểm nằm trong tam giác. Xác định vị trí điểm M để MABC MBCA  MC  AB đạt giá trị nhỏ nhất. A Gọi I là giao điểm của AM và BC ; Kẻ BH  AI, CK  AI (H, K AI) BH BI, CK CI 1 1 1 1 Ta có S MA  BH MA  BI ; S MA  CK MA  CI H AMB 2 2 AMC 2 2 1 1 1 1 M SAMB S AMC MABI  MACI  MABICI MABC  B 2 2 2 2 I C MA  BC 2 SAMB S AMC K Chứng minh tương tự MBCA 2 SAMB S BMC ; MCAB  2 S AMC S BMC Do đó MABCMBCAMCAB   2 SAMB S AMC S AMB S BMC S AMC S BMC 4 S ABC AM BC Đẳng thức xảy ra BM  AC M là trực tâm ABC CM AB b) Cho tam giác ABC và hình bình hành AMPN sao cho các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, AC. Điểm P nằm trong tam giác ABC. Gọi Q là giao điểm của AP và BC. Xác định vị trí điểm P để AM AN  PQ đạt giá trị lớn nhất. AB AC  AQ GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 44
5. Gọi E là giao điểm của MP và BC; F là giao điểm của NP và BC A AM CE AN BF N ABC: ME // AC a ; ABC: NF // AB b AB BC AC BC M PQ FQ PQ EQ ABQ: PF // AB c ; ACQ: PE // AC d P AQ BQ AQ CQ PQ FQ EQ FQ EQ FE Từ c , d e AQ BQ CQ BQ CQ BC B C F Q 3 E AMANPQ  CEBFFE   CEBFFE  1 CE BF FE Từ a ,, b e 3 3  AB AC  AQ BC  BC  BC BC BC 3 1BC 3 1  BC3 27 27 BC BQ CQ 2 Đẳng thức xảy ra CE BF FE P là trọng tâm ABC PQ 1 AQ 3 Bài 5: (6,0 điểm) Cho hai đường đường tròn OR; có hai dây AB, AC vuông góc với nhau và AC R 3 . Gọi H là hình chiếu của A trên BC ; E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. a) Chứng tỏ AB2 AC 2 4 R 2 . Tính khoảng cách từ tâm O đến AB, AC. 3 1 R b) Trên đoạn AC lấy điểm J sao cho AJ . Vẽ dây QS vuông góc với AC tại J. Chứng 2 tỏ QS = AC. c) Chứng minh BE CH CF BH AH BC d) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC cắt AC tại K. Chứng minh rằng: BK vuông góc với AO. Q A J F K M N E P O B H D C S a) Chứng tỏ AB2 AC 2 4 R 2 . Tính khoảng cách từ tâm O đến AB, AC. ABC, BAC 900 AB  AC , nội tiếp đường tròn (O) BC là đường kính của O, nên BC 2 R GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 55
6. 2 Do đó AB2 AC 2 BC 2 2 R 4 R 2 AC R 3 Kẻ OM  AB, ON  AC (M AB, N AC); Vì ON AC AN CN 2 2 2 2 0 2 2 2 RRR3 OAN, ONA 90 ON  AC ON OA AN R 2 4 2 Tứ giác AMON có AMN MAN ANO 900 gt , nên tứ giác AMON là hình chữ nhật R 3 OM AN 2 3 1 R b) Trên đoạn AC lấy điểm J sao cho AJ . Vẽ dây QS vuông góc với AC tại J. Chứng tỏ QS = 2 AC. RRR3 3 1 R Ta có JN AN AJ JN ON 2 2 2 2 Gọi P là giao điểm của OM và QS. Vì QS  AC, AB  AC (gt) nên QS // AB mà OM  AB OM  QS hay OP  QS. Xét tứ giác ONJP, ta có ONJ NJP JPO 900 , JN ON cmt Vậy tứ giác ONJP là hình vuông OP = ON, lại có OP  QS, ON  AC (gt) QS = AC (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây) c) Chứng minh BE CH CF BH AH BC Ta có ABC, BAC 900 , AH  BC gt AB 2 BH  BC , AC 2 CH  BC BEH và AHC : BEH AHC 900 gt , BHE ACH HE // AC BE BH Vậy BEH AHC BE  AC AH. BH AH AC CF CH Tương tự CFH AHB CF  AB AH. CH AH AB BE CH BC CF BH  BC BE AC2 CF AB 2 Do đó BE CH CF BH BC BC BE AC CF  AB AH  BH AHCH  AH  BC AH BC BC BC BC d) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC cắt AC tại K. Chứng minh rằng: BK vuông góc với AO. R Vì OM AB AB 2 AM 2 ON 2  R . 2 OAB: OA OB AB R , vậy OAB đều, mà AH OB O đối xứng B qua H DO  ABK và OBK : BAK BOK 900 gt , BK (cạnh chung), AB OB cmt Vậy ABK OBK (cạnh huyền – c.g.v) KA = KO Lại có BA = BO (cmt), nên BK là trung trực của AO BK  AO (đpcm) GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 66