Các dạng Chuyên đề về phương trình bậc hai và ứng dụng của hệ thức vi-et

Nội dung text: Các dạng Chuyên đề về phương trình bậc hai và ứng dụng của hệ thức vi-et

1. Nguyễn Hà: 0902126875/0869004800 CÁC DẠNG CHUYÊN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ET I. Phương trình bậc hai không có tham số m 1.1. Phương trình bậc hai dạng khuyết 1.1.1. Phương trình bậc hai khuyết hạng tử bậc nhất Ví dụ: 2x2-4=0 Phương pháp giải: - Chuyển hạng tử tự do sang vế phải 2 - Chia cả hai về cho hệ số bậc hai đưa về dạng: x = a +, Nếu a>0, phương trình có nghiệm x= ±√ +, Nếu a=0, phương trình có dạn x2 =0 , suy ra x =0 +, Nếu a < 0, phương trình vô nghiệm Ví dụ: 2x2 – 4 = 0 ⇔ 2x2 = 4 (Chuyển hạng tử tự do sang vế phải) ⇔ x2 = 2 (chia cả hai vế cho 2) ⇔ x = ±√2 1.1.2. Phương trình bậc hai khuyết dạng tử tự do Ví dụ: x2+2x = 0 Phương pháp giải: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, sau đó giải phương trình tích. 1.2. Phương trình bậc hai đầy đủ có dạng: ax2 + bx + c =0 Phương pháp giải: - Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải - Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm đối với một số phương trình đặc biệt 1.3. Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai 1.3.1. Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ ) Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ t = x2 (t ≥ 0), do x2 ≥ 0, đưa về dạng: at2 + bt + c =0, sau đó giải phương trình bậc hai ẩn t, đối chiếu điều kiện của t, sau đó suy ra nghiệm x. 1.3.2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu Phương pháp giải: - Tìm điều kiện xác định của phương trình (Nếu là căn thì biểu thức dưới căn ≥0, nếu là mẫu thì biểu thức dưới mẫu ≠ 0 - Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu - Giải phương trình vừa nhận được - Đối chiếu với điều kiện của phương trình và xác định nghiệm. 1.3.3. Phương trình tích Phương pháp giải: Tích bằng 0 khi và chỉ khi các thừa số bằng 0 II. Phương trình bậc hai có chứa tham số m 1. Giải phương trình khi biết giá trị của tham số Thay giá trị của tham số vào và giải phương trình bậc hai vừa tìm được. 2. Tìm tham số m khi biết số nghiệm của phương trình B1: Xem xét phương trình là phương trình bậc nhất hay phương trình bậc 2
2. Nguyễn Hà: 0902126875/0869004800 B2: Nếu là phương trình bậc 2, tính ∆ sau đó: +, Nếu ∆ 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt 3. Áp dụng định lý Vi-et 3.1. Tìm tham số m khi biết nghiệm của phương trình Phương pháp giải: Tính delta và biện luận m theo delta 3.2. Tìm tham số m khi biết dấu của nghiệm - Hai nghiệm trái dấu: khi ac 0 - Hai nghiệm cùng âm khi: S > 0, P>0 (Với S là tổng 2 nghiệm, P là tích 2 nghiệm) - Hai nghiệm cùng dương khi: S 0 3.3. Tìm tham số m khi biết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm: - Hệ thức đối xứng 2 2 3 3 1 1 Các hệ thức đối xứng thường gặp như: x1 + x2 , x1 + x2 , + , . x1 x2 Phương pháp giải: Biến đổi các hệ thức đưa về dạng x1 + x2 và x1.x2, sau đó sử dụng định lý Viet để giải bài toán. - Hệ thức không đối xứng Phương pháp giải: Kết hợp hệ thức này với phương trình tổng x1 + x2 hoặc phương trình tích x1.x2, tìm ra x1, x2 rồi thay vào phương trình còn lại để tìm ra tham số m. 3.4. Tính giá trị của biểu thức nghiệm theo tham số m 3.5. Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m Phương pháp giải: Phương pháp cô lập m Sử dụng định lý Viet, để tìm ra x1 + x2 và x1.x2 theo m Chuyển m về Vế trái, còn lại chuyển sang vế phải, sau đó cô lập m bằng cách trừ vế theo vế. 3.6. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x + 2m – 5 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. 2 2 c) Với giá trị nào của m thì A = x1 + x1 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. Bài 2: Cho phương trình x2 – 2(m +1)x + m2 + 3m +2 = 0 (m là tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 + x1 = 12. Bài 3: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x + m – 3 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau. Bài 4: Cho phương trình x2 – mx – 1 = 0
3. Nguyễn Hà: 0902126875/0869004800 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. 22 x1 x 1 11 x 2 x 2 b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tính P xx12 Bài 5: Cho phương trình x2 + 2(m -2)x – m2 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = 0 b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1< x2). Tìm m sao cho xx12 6 . Bài 6: Cho phương trình x2 – (3m +1)x + 2m2 + m – 1 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = -1. 2 2 2 2 b) Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm m để B = x1 - x2 - 3 x1 x2 đạt min Bài 7: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x – m - 4 = 0 (m là tham số). Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và biểu thức M = x1(1 -x1) + x2(1 - x2) không phụ thuộc vào m. Bài 8: Cho phương trình bậc hai x2 + (2m + 1)x + m2 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = 1. b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2 Bài 9: Tìm m để phương trình x - 2x - m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 2 2 mãn x1 + x1 = 20 Bài 10: Cho phương trình x2 + 2mx - 2m - 6 = 0 a) Giải phương trình khi m = 1. 2 2 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm sao cho x1 + x2 nhỏ nhất Bài 11: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x – 2m4 +m2 = 0 (m là tham số). a) Giải phương trình khi m = 1. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Bài 12: Tìm m để phương trình x2 + 2(m + 1)x + 2m2 + 2m + 1 = 0 vô nghiệm Bài 13: Cho phương trình x2 - 2x + m + 3 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Tìm nghiệm còn lại 3 3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 + x1 = 8. Bài 14: Cho phương trình x2 - 4x + 4m + 3 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. 2 2 b) Tìm m để biểu thức x1 + x1 đạt giá trị là 9 Bài 15: Cho phương trình x2 - 4mx + 4m2 - m + 2 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa xx12 2 Bài 16: Cho phương trình x2 + 3x - m = 0. a) Giải phương trình khi m = 4 .
4. Nguyễn Hà: 0902126875/0869004800 b) Tìm m để một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia c) Tìm m để phương trình thỏa 2x1 + 3x2 = 13, nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 3 đơn vị. d) Hai nghiệm cùng dấu Bài 17: Cho phương trình x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0. a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. 33 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện xx12 0 . 2 Bài 18: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - 2(m - 1)x - 4 = 0. Tìm m để xx12 5. Bài 19: Cho phương trình x2 - (m + 2)x + m2 - 4 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. Bài 20: Cho phương trình x2 - 2x - 2m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 2 2 biệt thỏa (1 + x1 )(1+ x2 ) = 5 Bài 21: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m2 - 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa 2 2 x1 + x2 = x1x2 + 8 Bài 22: Cho phương trình x2 - 3x + m = 0. a) Giải phương trình khi m = 1 22 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa xx12 1 1 3 3 Bài 23: Cho phương trình x2 - 2(m + 1) +2m = 0 a) Giải phương trình khi m = 1. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x1, x2 là độ dài của hai cạnh của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 12 2 2 Bài 24: Tìm m để phương trình x - 2(2m + 1)x + 4m + 4m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa điều kiện x1 x 2 x 1 x 2 Bài 25: Cho phương trình x2 - 2x - 2m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện 2 2 2 2 x2 x 1 1 x 2 1 x 1 8 Bài 26: Tìm m để phương trình x2 - 2(2m + 1)x + m2 - 3 = 0 có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. Bài 27: Cho phương trình x2 - 5x + m = 0. a) Giải phương trình khi m = - 1 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 - 2 x1x2 + 3x2 = 1