Bộ đề luyện thi môn Hình học Lớp 10 - Chương I: Vecto

Nội dung text: Bộ đề luyện thi môn Hình học Lớp 10 - Chương I: Vecto

1. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 CHƯƠNG I: VECTƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa vectơ:  Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.  Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu : AB .  Vectơ còn được kí hiệu là: a, b , x , y , . a B x  Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí A hiệu là 0 . Hình 1.1 2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.  Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ.  Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.  Hai vectơ được gọi là cùng hướng nếu chúng cùng phương và cùng chiều.  Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. A B F E C D Hình 1.2 H G Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 1.2) thì hai vectơ và CD cùng hướng còn EF và HG ngược hướng.  Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ.  Nhận xét: Ba điểm phân biệt ABC,, thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ và AC cùng phương. Chứng minh: Nếu thẳng hàng suy ra giá của AB, AC đều là đường thẳng đi qua ba điểm nên cùng phương. Ngược lại nếu cùng phương khi đó đường thẳng AB và AC song song hoặc trùng nhau. Nhưng hai đường thẳng này cùng đi qua điểm A nên hai đường thẳng và trùng nhau hay ba điểm thẳng hàng. 0973.637.952 Trang 1
2. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 3. Hai vectơ bằng nhau  Độ dài đoạn thẳng gọi là độ dài véc tơ , kí hiệu A B AB . C D Hình 1.3 Vậy AB AB.  Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD khi đó AB CD . B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. AB Dạng 1: Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ 1. Phương pháp giải.  Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa  Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tứ giác . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác. Lời giải: Hai điểm phân biệt, chẳng hạn AB, ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là AB, BA. Mà từ bốn đỉnh ABCD,,, của tứ giác ta có 6 cặp điểm phân biệt do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Gọi MNP,, lần lượt là trung điểm của BC,, CA AB. a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng phương với MN có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho. b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng hướng với có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho. c) Vẽ các vectơ bằng vectơ NP mà có điểm đầu AB, . Lời giải: (Hình 1.4) A' A a) Các vectơ khác vectơ không cùng AB phương với là P N NM,,,,,, AB BA AP PA BP PB . B' b) Các vectơ khác vectơ - không cùng B M C hướng với là AP,, PB NM . Hình 1.4 0973.637.952 Trang 2
3. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 c) Trên tia CB lấy điểm B' sao cho BB' NP Khi đó ta có BB' là vectơ có điểm đầu là B và bằng vectơ . Qua dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP . Trên đường thẳng đó lấy điểm A' sao cho AA' cùng hướng với và AA' NP . Khi đó ta có là vectơ có điểm đầu là và bằng vectơ . Ví dụ 3: Cho hình vuông tâm O cạnh a . Gọi M là trung điểm của , N là điểm đối ABCD xứng với C qua D . Hãy tính độ dài của vectơ sau MD , . Lời giải: AB Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông N D C MAD ta có 2 aa5 2 a 5 DM2 AM 2 AD 2 a 2 DM 24 2 O a 5 Suy ra MD MD . P A M B 2 Hình 1.5 Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt tại P . aa3 Khi đó tứ giác ADNP là hình vuông và PM PA AM a . AB, 22 Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông NPM ta có AB, BA 2 3aa 13 2 a 13 MN2 NP 2 PM 2 a 2 MN 24 2 a 13 Suy ra MN MN . MN 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 1: Cho ngũ giác ABCDE. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác. NP Lời giải: Hai điểm phân biệt, chẳng hạn ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là . Mà từ năm đỉnh ABCDE,,,, của ngũ giác ta có 10 cặp điểm phân biệt do đó có 20 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán. AB Bài 2: Cho hình bình hành có tâm là O. Tìm các vectơ từ 5 điểmA A, B, C, D, O a) Bằng vectơ ; OB b) Có độ dài bằng OB Lời giải: 0973.637.952 Trang 3
4. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 a) AB DC, OB DO b) BO,, DO OD Bài 3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. a) Khi nào thì hai vectơ và cùng hướng ? b) Khi nào thì hai vectơ và ngược hướng ? Lời giải: O a a) A nằm ngoài đoạn BC. ABCD b) A nằm trong đoạn BC. Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. AB a) Nếu AB BC thì có nhận xét gì về ba điểm A, B, C. b) Nếu AB DC thì có nhận xét gì về bốn điểm A, B, C, D. Lời giải: a) B là trung điểm của AC. b) A, B, C, D thẳng hàng hoặc ABCD là hình bình hành. Bài 5: Cho hình thoi có tâm . Hãy cho biết tính đúng sai của các câu sau đây? a) b) c) OA OC d) OB OA e) AB BC f) 2 OA BD Lời giải: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai e) Sai f) đúng Bài 6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm . Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho a) Bằng với . b) Ngược hướng với OC . AC Lời giải: a) FO,, OC ED b) CO,,, OF BA DE Bài 7: Cho hình vuông cạnh , tâm và M là trung điểm AB.Tính độ dài của các vectơ AB , OA OB . 0973.637.952 Trang 4
5. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 Lời giải: (hình 1.40) Ta có AB AB a ; E AC AC AB22 BC a 2 A B 12aa OA OA AC, OM OM 2 2 2 O Gọi E là điểm sao cho tứ giác OBEA là hình bình hành a khi đó nó cũng là hình vuông ABCD D C Hình 1.40 Ta có OA OB OE OA OB OE AB a Bài 8: Cho tam giác đều cạnh và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG . Tính độ dài của các vectơ AG , BI . AB DC Lời giải: (Hình 1.41)Ta có A Gọi M là trung điểm của BC Ta có I 2 2 2 2aa 3 G AG AG AM AB2 BM 2 a 2 3 3 3 4 3 B M C a22 a a 21 BI BI BM22 MI Hình 1.41 4 3 6 Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau. 1. Phương phápABC giải. Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ dài và cùng hướng hoặc dựa vào nhận xét nếu tứ giác là hình bình hành thì và AD BC 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tứ giác . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh MN QP . Lời giải: (hình 1.6) D Q Do M, N lần lượt là trung điểm của AB A và BC nên MN là đường trung bình của P M tam giác suy ra MN// AC và 1 B N C MN AC (1). 2 Hình 1.6 1 Tương tự QP là đường trung bình của tam giác ADC suy ra QP// AC và QP AC (2). 2 0973.637.952 Trang 5
6. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 Từ (1) và (2) suy ra MN// QP và MN QP do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành Vậy ta có B' Ví dụ 2: Cho tam giác có trọng tâm . Gọi là trung điểm của . Dựng điểm sao cho B' B AG . a) Chứng minh: BI IC . b) Gọi J là trung điểm của BB' . Chứng minh: BJ IG . M Lời giải: ABCD (hình 1.7) A a) Vì là trung điểm của nên B' G I BI CI và cùng hướng với IC do G BI J đó hai vectơ , bằng nhau hay B C . I Hình 1.7 BC b) Ta có suy ra B' B AG và BB'/ / AG. Do Pđó BJ, IG cùng hướng (1). 1 1 Vì là trọng tâm tam giác nên IG AG , là trung điểm suy ra BJ BB' 2 2 Vì vậy BJ IG (2) Từ (1) và (2) ta có . 3. Bài tập luyện tập. ABC Bài 1: Cho hình bình hành . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của DC, AB; là giao điểm của AM, DB và Q là giao điểm của CN, DB. Chứng minh DP PQ QB . Lời giải: (Hình 1.43) TaMN có tứ QP giác DMBN là hình bình hành vì 1 A N DM NB AB,// DM NB . B 2 Q Suy ra DM NB. P Xét tam giác CDQ có là trung điểm của D M C DC và MP// QC do đó là trung điểm của Hình 1.43 DQ . Tương tự xét tam giác ABP suy ra được là trung điểm của PB Vì vậy DP PQ QB từ đó suy ra 0973.637.952 Trang 6
7. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 Bài 2: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB2 CD . Từ C vẽ CI DA. Chứng minh: B a) DI CB . b) AI IB DC . Lời giải: D C O (Hình 1.44) ABCD a) Ta có C suy ra AICD là hình bình hành AB I A I B AD IC Ta có DC AI mà do đó Hình 1.44 1 AI AB0 là trung điểm 2 Ta có DC IB và DC// IB tứ giác BCDI là hình bình hành Suy ra b) là trung điểm của AB AI IB và tứ giác là hình bình hành IB DC suy ra C. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Hãy tính số các vector ( khác ) mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt đã cho trong các trường hợp sau: a) Hai điểm ; b) Ba điểm ; DP PQ QB c) Bốn điểm ; AC Bài 2. Cho hình vuông tâm . Liệt kê tất cả các vactor bằng nhau (khác ) nhận đỉnh hoặc tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối . Bài 3. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Các khẳng định sau đây đúng hay sai? a) và BC cùng hướng ; b) và cùng hướng ; c) và ngược hướng ; d) AB BC ; AB e) AC BC ; f) AB2 BC . A Bài 4. Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt , và trong các trường hợp sau: a) và cùng hướng và ngược hướng ; b) và cùng phương. 0973.637.952 Trang 7
8. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 Bài 5. Có ba điểm phân biệt thẳng hàng , , . Trong trường hợp nào hai vector và cùng hướng ? trong trường hợp nào hai vector đó ngược hướng ? Bài 6. Cho lục giác đều có tâm . B a) Tìm các vectơ khác và cùng phương với OA . b) Tìm các vectơ bằng . c) Vẽ các vectơ bằng có các điểm đầu là BFC, , hoặc các điểm cuối là FDC, , . O M N Bài 7. Cho tứ giác . Chứng minh rằngABCD tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC .C Bài 8. Cho tứ giác , chứng minh rằng nếu thìAB AD BC . Bài 9. Cho tứ giác . Gọi , , và lần lược là trung điểm của các cạnh , , CD và DA . Chứng minh NP MQ và PQ NM . Bài 10. Cho hình bình0 hành . Dựng AM BA , MN DA , NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ 0. BC D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM P ABCDEF Q AC AB A 0973.637.952 Trang 8
9. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 §2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tổng hai vectơ a) Định nghĩa:  Cho hai vectơ ab; . Từ điểm A tùy ý vẽ AB a rồi B từ B vẽ BC b khi đó vectơ đượcABCD gọi là tổng của hai vectơ . a b  C Kí hiệu AC a b (Hình 1.9) A ab Hình 1.9 b) Tính chất :  Giao hoán : a b b a  Kết hợp : ()()a b c a b c  Tính chất vectơ – không: a0 a , a 2. Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối của một vectơ.  Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng và cùng độ dài với vectơ  Kí hiệu a Như vậy a a0, a và AB BA b) Định nghĩa hiệu hai vectơ: Hiệu của hai vectơ và b là tổng của vectơ và vectơ đối của vectơ . Kí hiệu là a b a b AC 3. Các quy tắc:  Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB BC AC  Quy tắc hình bình hành : Nếu là hình bình hành thì AB AD AC  Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB OA AB  Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm AAA12, , , n thì AAAAAAAA1 2 2 3 n 1 n 1 n 0973.637.952 Trang 9
10. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Dạng 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ. 1. Phương pháp giải. Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ  Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó.  M N Dựa vào tính chất của hình, sử dụngABCD định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho hình bình hành . Hai điểm và lần lượt là trung điểm của và . Xác định tổng của hai vec tơ NC và MC ; AM và CD ; AD và ; và AN . Lời giải Vì MC AN nên: NC MC NC AN AN NC AC Vì CD BA nên: AM CDBC AM BA BA AM BM Vì NC AM nên AD NC AD AM AE AD với E là đỉnh của hình bình hành DAME. P Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên AM AN AC Ví dụ 2: Cho tam giác . Các điểm và lần lượt là trung điểm của AB, AC và . Xác định hiệu AM AN;;; MN NC MN PN BP CP . Lời giải A Ta có: AM ANABC NM MN, Vì NC MP nên: MN NC MN MP PN M N Vì PN NP nên: MN PN MN NP MP Vì CP PC nên: BP CP BP PC BC B P C Ví dụ 3: Cho tam giác vuông tại có ABC 300 và BC a 5 . Tính độ dài của các vectơ AB BC , AC BC , AB AC . Lời giải: (hình 1.10) B D Theo quy tắc ba điểm ta có AB BC AC AC Mà sin ABC A BC a 5 AC BC.sin ABC a 5.sin 300 2 A C 0973.637.952 Hình 1.10 Trang 10
11. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 a 5 Do đó AB BC AC AC 2 AC BC AC CB AB 5aa2 15 Ta có AC2 AB 2 BC 2 AB BC 2 AC 25 a 2 42 a 15 Vì vậy AC BC AB AB O 2 a M ABCD Gọi là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành. D Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB AC AD Vì tam giác vuông ở nên tứ giác là hình chữ nhật suy ra AD BC a 5 Vậy AB AC AD AD a 5 . Ví dụ 4: Cho hình vuông có tâm là và cạnh . là một điểm bất kỳ. a) Tính AB AD,, OA CB CD DA b) Chứng minh rằng u MA MB MC MD không phụ thuộc vị trí điểm . Tính độ dài vectơ u Lời giải: (hình 1.11) a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB AD AC Suy ra AB AD AC AC . C' Áp dụng định ABClí Pitago ta có AC2 AB 2 BC 222 a 2 AC a Vậy AB AD a 2 A B + Vì O là tâm của hình vuông nên OA CO suy ra OA CB CO CB BC Vậy OA CB BC a O + Do là hình vuông nên CD BA suy ra D C CD DA BA AD BD Hình 1.11 Mà BD BD AB22 AD a 2 suy ra A CD DA a 2 b) Theo quy tắc phép trừ ta có 0973.637.952 Trang 11
12. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 u MA MC MB MD CA DB B' Suy ra u không phụ thuộc vị trí điểm . B Qua kẻ đường thẳng song song với DB cắt tại C ' . Khi đó tứ giác ADBC' là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra DB AC' A' Do đó u CA AC'' CC Vì vậy u CC' BC BC 'O a a 2a a. M ABCD 3. Bài tập luyện tập. Bài 1: Cho tam giác đều cạnh . Tính độ dài của các vectơ AB AC, AB AC . Lời giải: (Hình 1.45)Theo quy tắc trừ ta có C A' AB AC CB AB AC BC a O Gọi là đỉnh của hình bình hành ABA' C và là BC A B tâm hình nình hành đó. Khi đó ta có AB AC AA' . Hình 1.45 aa2 3 Ta có AO AB2 OB 2 a 2 42 Suy ra AB AC AA' 2 AO a 3 Bài 2: Cho hình vuông có tâm là và cạnh . là một điểm bất kỳ. a) Tính AB OD, AB OC OD b) Tính độ dài ABCvectơ MA MB MC MD Lời giải: (Hình 1.46) B' A B a) Ta có OD BO AB OD AB BO AO AC a 2 AB OD AO 22 O Ta có OC AO suy ra D C AB OC OD AB AO OD OB OD 0 Hình 1.46 AB OC OD 0 b) Áp dụng quy tắc trừ ta có A MA MB MC MD MA MB MC MD BA DC BA DC Lấy là điểm đối xứng của qua Khi đó DC AB''' BA DC BA AB BB 0973.637.952 Trang 12
13. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 Suy ra MA MB MC MD BB' BB ' 2 a Bài 3: Cho hình thoi cạnh a và BCD 600 . Gọi O là tâm hình thoi. Tính AB AD, OB DC . Lời giải: Ta có AB AD AD2 a cos300 a 3, O a 3 ABCD OB DC CO acos600 2 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ. 1. Phương pháp giải.  Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ.  Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho năm điểm ABCDE,,,, . Chứng minh: a) AB CD EA CB ED . b) AC CD EC AE DB CB . Lời giải: a) Biến đổi vế trái ta có VT AC CB CD ED DA CB ED AC CD DA CB ED AD DA CB ED VP ĐPCM b) Đẳng thức tương đương với AC AE CD CB EC DB 0 EC BD EC DB 0 BD DB 0 (đúng) ĐPCM. Ví dụ 2: Cho hình bình hành tâm . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh: a) BA DA AC 0 0973.637.952 Trang 13
14. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 b) OA OB OC OD 0 c) MA MC MB MD Lời giải: (Hình 1.12) a) Ta có BA DA AC AB AD AC A B AB AD AC O N Theo quy tắc hình bình hành ta có ABCD O suy ra D C BA DA AC AC AC 0 Hình 1.12 b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: OA CO OA OC OA AO 0 Tương tự: OB OD00 OA OB OC OD . c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên AB DC BA DC BA AB 0 MA MC MB BA MD DC MB MD BA DC MB MD Cách 2: Đẳng thức tương đương với MA MB MD MC BA CD (đúng do là hình bình hành) Ví dụ 3: Cho tam giác . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,, CA AB . Chứng minh: a) BM CN AP 0 b) AP AN AC BM 0 ABC c) OA OB OC OM ON OP với là điểm bất kì. Lời giải: (Hình 1.13) a) Vì PN, MN là đường trung bình của tam giác nên PN//,// BM MN BP suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành BM PN A là trung điểm của AC CN NA AB AD AC Do đó theo quy tắc ba điểm ta có N P BM CN AP PN NA AP PA AP 0 C b) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo quy B M tắc hình bình hành ta có AP AN AM , kết hợp với Hình 1.13 quy tắc trừ 0973.637.952 Trang 14
15. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 AP AN AC BM AM AC BM CM BM Mà CM BM 0 do là trung điểm của . Vậy . c) Theo quy tắc ba điểm ta có OA OB OC OP PA OM MB ON NC OM ON OP PA MB NC O M ABCD OM ON OP BM CN AP Theo câu a) ta có BM CN AP 0 suy ra . 3. Bài tập luyện tập. Bài 1: Cho bốn điểm ABCD,,, . Chứng minh: a) DA CA DB CB b) AC DA BD AD CD BA BC Lời giải: a) Áp dụng quy tắc trừ ta có DA CA DB CB DA DB CA CB BA BA (đúng) b) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có AC DA BD AD CD BA DA AC BD BA AD CD APDC AN BD AC BD BMCD (đúng)0 Bài 2: ChoOA các OBđiểm OCABCDEF,,,,, OM ON. OPChứng minh: AD BE CF AE BF CD Lời giải: Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với AD AE BE BF CF CD 0 ED FE DF 0 EF FE 0 (đúng) Cách 2: VT AD BE CF AE ED BF FE CD DF AE BF CD ED FE DF AE BF CD VP Bài 3: Cho hình bình hành tâm . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh: a) AB OD OC AC b) BA BC OB OD 0973.637.952 Trang 15
16. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 c) BA BC OB MO MB Lời giải: a) Ta có OD BO do đó AB OD OC AB BO OC AO OC AC b) Theo quy tắc hình bình hành ta có A B BA BC OB BD OB OB BD OD c) Theo câu b) ta có BA BC OB OD ABCD Hình 1.47 O Theo quy tắc trừ ta có MO MB BO D C Mà suy ra BA BC OB MO MB Bài 4: Cho tam giác . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của . Chứng minh: a) NA PB MC 0 b) MC BP NC BC Lời giải: (Hình 1.48) a) Vì PB AP, MC PN nên NA PB MC NA AP PN NP PN 0 b) Vì MC BM và kết hớp với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành ta có BC,, CA AB MC BP NC BM BP NC BN NC BC Hình 1.48 Bài 5: Cho hai hình bình hành và AB''' C D có chung đỉnh A. Chứng minh: ABC B' B CC ' D ' D 0 Lời giải: Theo quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành ta có B'''''' B CC DABCDE D AB AB AC AC AD AD AB AD AC AB' AD ' AC 0 Bài 6: Cho ngũ giác đều tâm O. Chứng minh rằng OA OBA OC OE OF 0 Lời giải: N Đặt u OA OB OC OE OF P Vì ngũ giác đều nên vectơ OA OB OC OE cùng phương với OF nên u cùng C phương với . B M Tương tự cùng phương với OE suy ra u 0 . 0973.637.952 Trang 16
17. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 Bài 7: Cho hình bình hành . Dựng AM BA,,, MN DA NP DC PQ BC . Chứng minh rằng: AQ 0 . B Lời giải: Theo quy tắc ba điểm ta có AQ AM MN NP PQ BA DA DC BC Mặt khác BA BC BD, DA DC DB suy ra AQ BD DB 0 . Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vec tơ M ABCD Ví dụ 1: Cho hai điCểm phân biệt và . Tìm điểm thỏa mãn một trong các điều kiện sau a) MA MB BA. b) MA MB AB. c) MA MB 0 . d) MA AM . Lời giải a) MA MB BA BA BA . Vậy mọi điểm đều thỏa mãn b) MA MB AB BA AB A B Vậy không có điểm nàoBC thỏa mãn c) MA MB0 MA MB . Vậy là trung điểm của đoạn thẳng d) MA AM M A . Ví dụ 2: Cho tam giác . Tìm điểm thỏa mãn điều kiện MA MB MC 0 . Lời giải Ta có: BA MC0 AB MC . Vậy được xác định bởi hệ thức CM BA hay là đỉnh thứ tư trong hình bình hành ABCM ABC Ví dụ 3: Cho tam giác . Tìm tập hợp các điểm sao cho a) MA MB MC . b) MA MC . Lời giải a) Ta có: MA MB MC MA CB MA BC Vậy cách điểm một đoạn bằng không đổi nên tập hợp các điểm là đường tròn tâm , bán kính R BC . b) Ta có: MA MC MA MC AB AC Vậy cách đều hai điểm và nên tập hợp các điểm là Ađường trung trực của đoạn . Ví dụ 4: Cho hai điểm và . Tìm tập hợp các điểm thỏa mãn điều kiện MA MB MA MB . 0973.637.952 Trang 17
18. ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10 Lời giải Vẽ hình bình hành AMBN Gọi là giao điểm hai đường chéo, ta có:B MA MB MN MA MB MN2 MO MA MB BA MA MB AB 1 Điều kiện tương đương 2MOO AB hay MOM AB ABCD 2 C D Tập hợp các điểm có tính chất: MA MB MA MB là đường tròn đường kính . C. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Cho tam giác . Hãy xác định các vectơ a) AB BC ; b) CB BA ; c) AB CA ; d) BA CB ; e) BA CA ; f) CB CA ; g) AB CB ; h) BC AB. Bài 2. Cho bốn điểm bất kì MNPQ, , , . Chứng minh các đẳng thức sau: a) PQ NP MN MQ ; b) NP MN QP MQ ; E c) MN PQ MQ PN . Bài 3. Cho hình bình hành với tâm . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? a) AB AD BD ; b) AB BD BC ; c) OA OB OC OD ; d) BD AC AD BC ; e) OA OB ABABC ; f) CO OB BA ; g) AB AD AC ; h) CD CO BD BO. Bài 4. Cho ngũ giác . Chứng minh AB BC CD AE DE . Bài 5. Cho hình bình hành và một điểm tùy ý. Chứng minh rằng ABCDE MA MC MB MD . Bài 6. Chứng minh rằng đối với tứ giác bất kì ta luôn có a) AB BC CD DA 0 ; b) AB AD CB CD . Bài 7. Cho năm điểm , , , và . Hãy tính tổng AB BC CD DE . Bài 8. Cho bốn điểm , , và . Chứng minh AB CD AC BDAB . Bài 9. Cho tam giác . Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hànhA ABIJ, BCPQ , CARS. Chứng minh rằng RJ IQ PS 0 . Bài 10. Cho hình bình hành có tâm . Chứng minh rằng a) CO OB BA ; b) AB BC DB ; 0973.637.952 Trang 18