Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 12

Nội dung text: Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 12

1. Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Một cái ao hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính 10m. Người ta muốn bắc một câu cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiếu l của cây cầu biết : - Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm O ; - Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là đường thẳng OA ; - Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40 m và 20 m; - Tâm I của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng AE và BC lần lượt 40 m và 30 m. A. l 17,7 m.B. l 25,7 m.C. l 27,7 m.D. l 15,7 m. Lời giải : Chọn A A Oy Gán trục tọa độ Oxy sao cho cho đơn vị là 10m. B Ox Khi đó mảnh vườn hình tròn có phương trình C : x 4 2 y 3 2 1 có tâm I 4;3 Bờ AB là một phần của Parabol P : y 4 x2 ứng với x 0;2 M P Vậy bài toán trở thành tìm MN nhỏ nhất với . N C
2. Đặt trường hợp khi đã xác định được điểm N thì MN MI IM , vậy MN nhỏ nhất khi MN MI IM N ; M ; I thẳng hàng. Bây giờ, ta sẽ xác định điểm N để IN nhỏ nhất 2 2 N P N x;4 x2 IN 4 x 2 1 x2 IN 2 4 x 2 1 x2 IN 2 x4 x2 8x 17 Xét f x x4 x2 8x 17 trên 0;2 f x 4x3 2x 8 f x 0 x 1,3917 là nghiệm duy nhất và 1,3917 0;2 Ta có f 1,3917 7,68 ; f 0 17 ; f 2 13. Vậy giá trị nhỏ nhất của f x trên 0;2 gần bằng 7,68 khi x 1,3917 Vậy min IN 7,68 2,77 IN 27,7 m MN IN IM 27,7 10 17,7 m. Câu 2: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  2018;2018 để hàm số y x2 1 mx 1 đồng biến trên ; . A. 2017 .B. 2019 .C. 2020 .D. 2018 . Lời giải Chọn D TXĐ : D ¡ . x y m . x2 1 x Hàm số đồng biến trên ¡ y 0 , x ¡ m , x ¡ 1 . x2 1 x Xét f x trên ¡ . x2 1 lim f x 1; lim f x 1. x x 1 f x 0 , x ¡ nên hàm số đồng biến trên ¡ . x2 1 x2 1 x f x 1 f x 1 x Ta có: m , x ¡ m 1. x2 1 Mặt khác m  2018;2018 m  2018; 1. Vậy có 2018 số nguyên m thoả điều kiện. Câu 3: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y f x liên tục trên các khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới. Hỏi số đường tiệm cận 1 đứng của đồ thị hàm số y 2 là bao nhiêu? e f x 2
3. A. 0 .B. 3 .C. 1. D. 2 Lời giải Chọn D 2 f x ln 2 Xét e f x 2 0 f 2 x ln 2 . f x ln 2 Dựa vào bbt ta thấy: Đường thẳng y ln 2 cắt đồ thị y f x tại 1 điểm. Đường thẳng y ln 2 cắt đồ thị y f x tại 1 điểm. f 2 x 1 Nên phương trình e 2 0 có 2 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y 2 có 2 e f x 2 đường tiệm cận đứng. Câu 4: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018) Cho hàm số y f x có đồ thị f x như hình vẽ x2 Hàm số y f 1 x x nghịch biến trên khoảng 2 3 A. 3; 1 . B. 2; 0 . C. 1; 3 . D. 1; . 2 Lời giải Chọn C
4. x2 Xét hàm số y f 1 x x có y f 1 x x 1. 2 1 x 3 x 4 y 0 f 1 x x 1 0 f 1 x 1 x 1 x 1 x 0 . 1 x 3 x 2 Ta có bảng biến thiên: x 2 0 4 y 0 0 0 y x2 Do đó Hàm số y f 1 x x nghịch biến trên khoảng 1;3 . 2 Câu 5: Tập tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình m 1 x 1 x 3 2 1 x2 5 0 có đúng hai nghiệm phân biệt là một nửa khoảng 5 a;b . Tính b a . 7 6 5 2 6 5 2 12 5 2 12 5 2 A. .B. . C. .D. . 35 7 35 7 Câu 6: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2017 2019 x2 trên tập xác định của nó. Tính M m . A. 2019 2017 .B. 2019 2019 2017 2017 . C. 4036 .D. 4036 2018 . Câu 7: Tập tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình m 1 x 1 x 3 2 1 x2 5 0 có đúng hai nghiệm phân biệt là một nửa khoảng 5 a;b . Tính b a . 7
5. 6 5 2 6 5 2 12 5 2 12 5 2 A. .B. . C. .D. . 35 7 35 7 Lời giải Chọn D Đặt t 1 x 1 x với 1 x 1.Khi đó: t 2 2 2 1 x2 2 1 x2 t 2 2. 1 1 t 0 1 x 1 x x 0 . 2 1 x 2 1 x x 1 0 1 t + 0 - 2 t 2 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 2 t 2 . t 2 7 Ta có phương trình: m t 3 t 2 7 0 m . t 3 t 2 7 t 2 6t 7 Xét hàm số: f t ,t 2;2 f t . t 3 t 3 2 f t 0 t 3 2 2;2 . Ta có bảng biến thiên: t 2 2 f t 0 5 3 2 f t 7 3 5 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thì 2 t 2 . 3 5 3 2 3 5 3 2 Khi đó f t hay m 5 7 5 7 3 5 3 2 5 12 5 2 a , b b a . 5 7 7 7 Câu 8: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2017 2019 x2 trên tập xác định của nó. Tính M m . A. 2019 2017 .B. 2019 2019 2017 2017 . C. 4036 .D. 4036 2018 . Lời giải Chọn D TXĐ: D 2019; 2019
6. x2 Ta có y 2017 2019 x2 2019 x2 x2 2017 2019 x2 2019 2x2 y 0 2017 2019 x2 0 0 2019 x2 2019 x2 Trên D , đặt t 2019 x2 , t 0 . Ta được: t 1 2 2 x 2018 2t 2017t 2019 0 2019 2019 x 1 t x 2018 2 Khi đó f 2018 2018 2018 ; f 2018 2018 2018 f 2019 2017 2019 ; f 2019 2017 2019 Suy ra m min y 2018 2018 , M max y 2018 2018 D D Vậy M m 4036 2018. Câu 9: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 y x4 14x2 48x m 30 trên đoạn 0;2 không vượt quá 30 . Tổng tất cả các giá trị của 4 S là A. 108.B. 136. C. 120. D. 210 . Câu 10: Cho hàm số y x3 4x2 1 có đồ thị là C và điểm M m;1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị C . Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 40 16 20 A. 5 .B. .C. .D. . 9 9 3 Câu 11: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 y x4 14x2 48x m 30 trên đoạn 0;2 không vượt quá 30 . Tổng tất cả các giá trị của 4 S là A. 108.B. 136. C. 120. D. 210 . Lời giải Chọn B 1 Xét hàm số g x x4 14x2 48x m 30 4 g x x3 28x 48 x 6 L g x 0 x 4 L x 2 TM max f x max g 0 ; g 2 max m 30 ; m 14  30 0;2 0;2  0;2 m 30 30 0 m 16 m 14 30 16 Suy ra S  x 136 . x 1
7. Câu 12: Cho hàm số y x3 4x2 1 có đồ thị là C và điểm M m;1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị C . Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 40 16 20 A. 5 .B. .C. . D. . 9 9 3 Lời giải Chọn B Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C đi qua M m;1 và có hệ số góc k là: y k x m 1. Để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị C điều kiện là hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm x phân biệt 3 2 x 4x 1 k x m 1 3 2 x 4x 1 k x m 1 1 I 3 2 3x2 8x k 2 x 4x 1 k Thay 2 vào 1 ta được x3 4x2 1 3x2 8x x m 1 2 x 2x 3m 4 x 8m 0 x 0 2 2x 3m 4 x 8m 0 3 Như vậy, hệ I có đúng hai nghiêm khi và chỉ khi phương trình 3 có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm khác 0 ; hoặc phương trình 3 có nghiệm duy nhất khác 0 . Phương trình 3 có nghiệm x 0 khi và chỉ khi m 0 . Khi đó, phương trình 3 trở thành 2 x 0 2x 4x 0 ; x 2 Do đó m 0 thỏa mãn. Phương trình 3 có nghiệm duy nhất khác 0 điều kiện là 3m 4 2 4.2.8m 0 3m 4 0 4 3m 4 2 4.2.8m 0 m 4 3m 4 4 . 0 m 4 9 4  Như vậy S 0; ;4 . 9  4 40 Tổng giá trị tất cả các phần tử của S là 0 4 . 9 9 Câu 13: Hàm số y f x có đạo hàm trên R \ 2;2 , có bảng biến thiên như sau: x 2 0 2 y 0
8. y 0 1 Gọi k , l lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1 y . Tính k l . f x 2018 A. k l 2 . B. k l 3 . C. k l 4 . D. k l 5 . Câu 14: Hàm số y f x có đạo hàm trên R \ 2;2 , có bảng biến thiên như sau: x 2 0 2 y 0 y 0 1 Gọi k , l lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1 y . Tính k l . f x 2018 A. k l 2 . B. k l 3 . C. k l 4 . D. k l 5 . Lời giải Chọn D 1 Vì phương trình f x 2018 có ba nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y có f x 2018 ba đường tiệm cận đứng. Mặt khác, ta có: 1 1 1 lim y lim nên đường thẳng y là đường tiệm cận ngang của x x f x 2018 2019 2019 1 đồ thị hàm số y . f x 2018 1 Và lim y lim 0 nên đường thẳng y 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị x x f x 2018 1 hàm số y . f x 2018 Vậy k l 5 . Câu 15: Cho x , y là các số thực thỏa mãn x 3 2 y 1 2 5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3y2 4xy 7x 4y 1 P là x 2y 1 114 A. 3 .B. . C. . 2 3 D. . 3 11
9. Câu 16: Cho x , y là các số thực thỏa mãn x 3 2 y 1 2 5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3y2 4xy 7x 4y 1 P là x 2y 1 114 A. 3 .B. 2 3 .C. .D. 3 . 11 Hướng dẫn giải Chọn A Theo giả thiết, ta có x 3 2 y 1 2 5 x2 y2 6x 2y 5. Đặt t x 2y 1, ta có t 6 x 3 2 y 1 12 22 x 3 2 y 1 2 t 6 5 hay t 1;11. Mặt khác, t 2 x 2y 1 2 t 2 x2 y2 3y2 4xy 2x 4y 1 t 2 6x 2y 5 3y2 4xy 2x 4y 1 t 2 3y2 4xy 7x 4y 1 x 2y 1 4 Suy ra 3y2 4xy 7x 4y 1 t 2 t 4 . t 2 t 4 4 4 Khi đó, P t 1 2 t. 1 3 , với mọi t 1;11. t t t 17 6 Vậy min P 3 khi t 2. Suy ra x 1, y 0 hoặc x , y . 5 5 Câu 17: Cho hàm số f x x4 4x3 4x2 a . Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 0;2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc  4;4 sao cho M 2m ? A. 7 .B. .C. D. . 5 6 4
10. Câu 18: Cho hàm số f x x4 4x3 4x2 a . Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 0;2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc  4;4 sao cho M 2m ? A. 7 .B. 5 .C. 6 D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A Xét hàm số g x x3 4x3 4x2 a trên 0;2 . x 0 3 2 g x 4x 12x 8x ; g x 0 x 1 ; g 0 a , g 1 a 1, g 2 a . x 2 Suy ra: a g x a 1. TH1: 0 a 4 a 1 a 0 M max f x a 1; m min f x a . 0;2 0;2 0 a 4 Suy ra: 1 a 4 . Do đó: có 4 giá trị của a thỏa mãn. a 1 2a TH2: 4 a 1 a a 1 1 a 1 a M max f x a a ; m min f x a 1 a 1. 0;2 0;2 4 a 1 Suy ra: 4 a 2 . Do đó: có 3 giá trị của a thỏa mãn. a 2a 2 Vậy có tất cả 7 giá trị thỏa mãn. . HẾT Câu 19: Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trên ¡ . Biết f 0 3 , f 2 2018 và bẳng xét dấu của f x như sau: Hàm số y f x 2017 2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. ; 2017 .B. 2017; .C. 0;2 .D. 2017;0 . Câu 20: Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trên ¡ . Biết f 0 3 , f 2 2018 và bẳng xét dấu của f x như sau: Hàm số y f x 2017 2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. ; 2017 .B. 2017; .C. 0;2 .D. 2017;0 . Lời giải Chọn A Ta có bảng biến thiên
11. y f x 2017 2018x y f x 2017 2018. x 2017 2 x 2015 y 0 f x 2017 2018 . x 2017 a 0 x a 2017 2017 Ta có bảng biến thiên Hàm số y f x 2017 2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 a 2017 ; 2017 . Câu 21: Cho hàm số y x2 m 2018 x2 1 2021 với m là tham số thực. Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt. Tính S . A. 960 .B. 986 .C. 984 .D. 990 . Câu 22: Cho hàm số y x2 m 2018 x2 1 2021 với m là tham số thực. Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt. Tính S . A. 960 .B. 986 .C. 984 .D. 990 . Lời giải Chọn C Đặt 2018 x2 t;0 t 2018 Khi đó y = x2 + m( 2018- x2 + 1)- 2021 = - t 2 + m(t + 1)- 3 = - t 2 + mt + m- 3(*); Theo đề bài, để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*)cần có 1 nghiệm dương thỏa mãn 0 t 2018 TH1: * có 1 nghiệm kép. m2 4m 12 0 (loại) TH2: * có 2 nghiệm trái dấu. m 3 0 m 3 1 * có 1 nghiệm dương trên khoảng 0 t 2018 nên ta xét GTLN của m với 0 t 2018 t 2 3 y 0 t 2 mt m 3 0 m t 0; 2018 t 1 x2 3 x2 2x 3 x 3 Xét hàm y , x 0; 2018 , ta có y 0 2 x 1 x 1 x 1 Lập BBT ta có
12. 2021 44 3 m 44,009 S i 984 2018 1 i 4 Câu 23: Chọn ngẫu nhiên hai số thực a,b 0;1. Tính xác suất để phương trình 2x3 3ax2 b 0 có tối đa hai nghiệm. 1 1 2 3 A. P .B. P . C. P . D. P . 4 2 3 4 Câu 24: Chọn ngẫu nhiên hai số thực a,b 0;1. Tính xác suất để phương trình 2x3 3ax2 b 0 có tối đa hai nghiệm. 1 1 2 3 A. P .B. P . C. P .D. P . 4 2 3 4 Lời giải Chọn D 3 2 x 0 +) Xét y 2x 3ax b , y 0 6x x a 0 . x a Yêu cầu bài toán y 0 y a 0 b b a3 0. Mà b 0;1 nên b b a3 0 b a3 . Ta thấy việc chọn ngẫu nhiên hai số a , b 0;1 chính là việc chọn ngẫu nhiên một điểm M a;b khi xét trên hệ trục tọa độ Oab . +) Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán. Ta có  là tập hợp các điểm M a;b sao cho a , b 0;1 và chính là các điểm thuộc hình vuông OACB trên hình vẽ, do đó  SOACB 1. +)  A là tập hợp các điểm thuộc hình phẳng H giới hạn bởi các đồ thị b 1, b a3 , a 0 (phần gạch chéo trên đồ thị). Xét phương trình hoành độ giao điểm a3 1 a 1 1 1 1 4 3 3 a 1 3  A 1 a da 1 a da a 1 . 4 4 4 0 0 0
13. 3 3 Vậy xác suất cần tìm là P 4 . 1 4 Câu 25: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 3 x 1 m 1 có 6 nghiệm là một khoảng có dạng a;b . Tính tổng S a2 b2 . A. 1.B. 5 .C. 25 . D. 10. Câu 26: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 3 x 1 m 1 có 6 nghiệm là một khoảng có dạng a;b . Tính tổng S a2 b2 . A. 1.B. 5 .C. 25 .D. 10. Lời giải Câu này sửa đề lại: Từ 8 nghiệm thành 6 nghiệm. Chọn B x3 3x 1 khi x 0 Xét hàm số f x x3 3 x 1 3 x 3x 1 khi x 0 Ta có bảng biến thiên Do đó ta có đồ thị của hàm số f x x3 3 x 1. Suy ra đồ thị hàm số C : y f x x3 3 x 1
14. Số nghiệm của phương trình x3 3 x 1 m 1 là số giao điểm của đồ thị C và đường thẳng d : y m 1. Để phương trình x3 3 x 1 m 1 có 6 nghiệm thì d cắt C tại 6 điểm a 1 2 2 0 m 1 1 1 m 2 . Vậy suy ra S a b 5 . b 2 tan x 2 Câu 27: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trên khoảng tan x m ;0 . 4 m 1 A. . B.1 .C.m . D2. m 2 m 2 . 0 m 2 Câu 28: Cho hàm số y f x có đồ thị f x như hình vẽ Xét hàm số g x 2 f x 2x3 4x 3m 6 5 với m là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để g x 0 , x 5; 5 là 2 2 2 2 A. m f 5 .B. .C. .D. .m f 5 m f 0 m f 5 3 3 3 3
15. tan x 2 Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trên khoảng tan x m ;0 . 4 m 1 A. 1 m 2 .B. m 2 .C. m 2 .D. . 0 m 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 Đặt t tan x , vì x ;0 t 1;0 . Khi đó ta có tx 2 0x 0; . 4 cos x 4 tan x 2 t 2 Do đó tính đồng biến của hàm số y giống như hàm số f t . tan x m t m t 2 Xét hàm số f t t 1;0 . Tập xác định: D ¡ \ m t m 2 m Ta có f ' t . t m 2 Để hàm số y đồng biến trên khoảng ;0 khi và chỉ khi: f ' t 0 t 1;0 4 m 2 2 m 2 m 0 2 0 t 1;0 m 1 m ; 10;2 t m m 1;0 m 0 1 1 2 tan x m tan x 2 2 CASIO: Đạo hàm của hàm số ta được y ' cos x cos x tan x m 2 Ta nhập vào máy tính thằng y ' \CALC\Calc x ( Chọn giá trị này thuộc ;0 ) 8 4 \ \ m ? 1 giá trị bất kỳ trong 4 đáp án. Câu 30: Cho hàm số y f x có đồ thị f x như hình vẽ Xét hàm số g x 2 f x 2x3 4x 3m 6 5 với m là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để g x 0 , x 5; 5 là
16. 2 2 2 2 A. m f 5 .B. m f 5 .C. m f 0 .D. m f 5 . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có g x 2 f x 6x2 4 ; g x 0 f x 3x2 2 x 0  x 5 Ta thấy g x 0 , x 5; 5 nên hàm số g x đồng biến trên 5; 5 . 2 Do đó, để g x 0 , x 5; 5 thì max g x 0 g 5 0 m f 5 . 5; 5 3 Câu 31: Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Biết phương trình f x 0 có bốn nghiệm phân biệt a , 0 , b , c với a 0 b c . Mệnh đề nào dưới đây đúng A. f a f c f b . B. f a f b f c . C. f c f a f b . D. f b f a f c . Câu 32: Cho hàm số f x x3 6x2 9x . Đặt f k x f f k 1 x với k là số nguyên lớn hơn 1. Hỏi phương trình f 5 x 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt ? A. 122.B. 120.C. 365.D. 363 . Câu 33: Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Biết phương trình f x 0 có bốn nghiệm phân biệt a , 0 , b , c với a 0 b c .
17. Mệnh đề nào dưới đây đúng A. f a f c f b . B. f a f b f c . C. f c f a f b . D. f b f a f c . Lời giải Chọn A Ta có bảng biến thiên Suy ra f c f b (1) Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x , đường thẳng x a , x 0 . S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x , đường thẳng x 0 , x b . S3 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x , đường thẳng x b , x c . 0 c b Vì S S S f x dx f x dx f x dx 1 3 2 a b 0 0 c b f x dx f x dx f x dx a b 0 f 0 f a f c f b f b f 0 f a f c (2) Từ (1) và (2) f a f c f b . Câu 34: Cho hàm số f x x3 6x2 9x . Đặt f k x f f k 1 x với k là số nguyên lớn hơn 1. Hỏi phương trình f 5 x 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt ? A. 122 .B. 120 .C. 365.D. 363 . Lời giải Chọn A Nhận xét: + Đồ thị hàm số f x x3 6x2 9x như sau: x 1 f 1 4 f 0 0 2 f x 3x 12x 9 0 . Lại có . x 3 f 3 0 f 4 4 - Đồ thị hàm số f x x3 6x2 9x luôn đi qua gốc tọa độ. - Đồ thị hàm số f x x3 6x2 9x luôn tiếp xúc với trục Ox tại điểm 3;0 .
18. y 4 x O 1 3 + Xét hàm số g x f x 3 có g x f x nên g x đồng biến trên 0; và g 0 3 nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số f x x3 6x2 9x xuống dưới 3 đơn vị ta được đồ thị hàm số y g x . Suy ra phương trình g x 0 có 3 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . y h(x) = x3 6∙x2 + 9∙x 3 O x -3 + Tổng quát: xét hàm số h x f x a , với 0 a 4 . Lập luận tương tự như trên: - h 0 a 0 và h 1 0 ; h 4 4 . - Tịnh tiến đồ thị hàm số f x x3 6x2 9x xuống dưới a đơn vị ta được đồ thị hàm số y h x . Suy ra phương trình h x 0 luôn có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Khi đó, 3 2 x 0 + Ta có f x x 6x 9x 0 . x 3 f x 0 + f 2 x f f x 0 . Theo trên, phương trình f x 3 có có ba nghiệm f x 3 dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Nên phương trình f 2 x 0 có 3 2 nghiệm phân biệt. f 2 x 0 + f 3 x 0 . 2 f x 3
19. f 2 x 0 có 3 2 nghiệm. f 2 x f f x 3 có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Mỗi phương trình f x a , với a 0;4 lại có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Do đó phương trình f 2 x 3 có tất cả 9 nghiệm phân biệt. Suy ra phương trình f 3 x 0 có 32 3 2 nghiệm phân biệt. f 3 x 0 + f 4 x 0 . 3 f x 3 f 3 x 0 có 9 3 2 nghiệm. f 3 x f f 2 x 3 có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Mỗi phương trình f 2 x b , với b 0;4 lại có 9 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Do đó phương trình f 3 x 3 có tất cả 9.3 nghiệm phân biệt. f 4 x 0 + f 5 x 0 . 4 f x 3 f 4 x 0 có 33 9 3 2 nghiệm. f 4 x f f 3 x 3 có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Mỗi phương trình f 3 x c , với c 0;4 lại có 27 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Do đó phương trình f 4 x 3 có tất cả 27.3 nghiệm phân biệt. Vậy f 5 x có 34 33 32 3 2 122 nghiệm. Câu 35: Cho hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x m3 m , với m là tham số. Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và I 2; 2 . Tổng tất cả các số m để ba điểm I , A , B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 là 2 4 14 20 A. .B. .C. .D. . 17 17 17 17 Câu 36: Cho hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x m3 m , với m là tham số. Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và I 2; 2 . Tổng tất cả các số m để ba điểm I , A , B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 là 2 4 14 20 A. .B. .C. .D. . 17 17 17 17 Lời giải Chọn D 2 2 2 x m 1 Ta có y 3x 6mx 3m 3 3 x m 1 ; 2 . x m 1 Do đó, hàm số luôn có hai cực trị với mọi m . Giả sử A m 1; 4m 2 ; B m 1; 4m 2 . Ta có AB 2 5 , m R .
20. AB Mặt khác, vì IAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R 5 nên từ 2R suy ra sin ·AIB AB sin ·AIB 1 ·AIB 90o hay AIB vuông tại I . 2R 1 AB2 Gọi M là trung điểm AB , ta có M m; 4m và IM AB IM 2 5 2 4 m 1 2 2 m 2 4m 2 5 17m2 20m 3 0 3 . m 17 3 20 Tổng tất cả các số m bằng 1 . 17 17 Câu 37: HẾT Cho hàm số f x x3 6x2 9x . Đặt f k x f f k 1 x với k là số nguyên lớn hơn 1. Hỏi phương trình f 6 x 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt? A. 365 .B. 1092.C. 1094.D. 363 . Câu 38: Cho hàm số f x x3 6x2 9x . Đặt f k x f f k 1 x với k là số nguyên lớn hơn 1. Hỏi phương trình f 6 x 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt ? A. 365 .B. 1092.C. 1094.D. 363 . Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có f x 3x2 12x 9 . Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có: f x 0 k 2 f x 3 f x 0 k 1 2 f x 0 f x 3 f k x 0 f k 2 x 3 f k 1 x 3 3 k 1 f x 3 f x 3  k 1 f x 3 Bài toán sẽ được giải quyết nếu tìm được số nghiệm của phương trình f k x 3 . + Phương trình f x 3 có ba nghiệm thuộc 0;4 .
21. f x x1 0; 1  0; 4 2 + Phương trình f x f f x 3 f x x2 1; 3  0; 4 . f x x3 3; 4  0; 4 Từ bảng biến thiên ta có với mỗi giá trị x1, x2 , x3 0;4 phương trình f x xi ,i 1,3 có ba nghiệm thuộc 0; 4 . Như vậy phương trình f 2 x 3 có 9 nghiệm thuộc 0; 4 . + Bằng quy nạp ta chứng minh được phương trình f k x 3 có 3k nghiệm thuộc 0; 4 . 3k 1 1 Từ đó, số nghiệm của phương trình f k x 0 là 2 3 32 3k 1 2 3 . 2 36 1 1 Vậy số nghiệm của phương trình f 6 x 0 là 2 3 365 . 2 Bài toán tổng quát: Cho hàm số f x x3 6x2 9x . Đặt f k x f f k 1 x với k là số tự nhiên lớn hơn 1. Hỏi phương trình f n x 0 có bao nhiêu nghiệm? Lời giải: (Cách 2) Ta có f x 3x2 12x 9 . Bảng biến thiên: x 0 1 3 4 f x 0 0 0 4 0 4 f x k k Gọi ak ;bk lần lượt là số nghiệm của phương trình f x 0; f x 3 ak ak 1 bk 1 a a 3k 1 Từ bảng biến thiên ta có k k k 1 bk 3 3n 3 3n 1 Do đó a a 3n 1 3n 2 3 2 (Vì a 2 ) n 1 2 2 1 3n 1 Vậy phương trình f n x 0 có nghiệm. 2 Cách 3: Nhận xét: + Đồ thị hàm số f x x3 6x2 9x như sau: x 1 f 1 4 f 0 0 2 f x 3x 12x 9 0 . Lại có . x 3 f 3 0 f 4 4 - Đồ thị hàm số f x x3 6x2 9x luôn đi qua gốc tọa độ. - Đồ thị hàm số f x x3 6x2 9x luôn tiếp xúc với trục Ox tại điểm 3;0 .
22. y 4 x O 1 3 + Xét hàm số g x f x 3 có g x f x nên g x đồng biến trên 0; và g 0 3 nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số f x x3 6x2 9x xuống dưới 3 đơn vị ta được đồ thị hàm số y g x . Suy ra phương trình g x 0 có 3 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . y h(x) = x3 6∙x2 + 9∙x 3 O x -3 + Tổng quát: xét hàm số h x f x a , với 0 a 4 . Lập luận tương tự như trên: - h 0 a 0 và h 1 0 ; h 4 4 . - Tịnh tiến đồ thị hàm số f x x3 6x2 9x xuống dưới a đơn vị ta được đồ thị hàm số y h x . Suy ra phương trình h x 0 luôn có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Khi đó, 3 2 x 0 + Ta có f x x 6x 9x 0 . x 3 f x 0 + f 2 x f f x 0 . Theo trên, phương trình f x 3 có có ba nghiệm f x 3 dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Nên phương trình f 2 x 0 có 3 2 nghiệm phân biệt.
23. f 2 x 0 + f 3 x 0 . 2 f x 3 f 2 x 0 có 3 2 nghiệm. f 2 x f f x 3 có ba nghiệm dương f x phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Mỗi phương trình f x a , với a 0;4 lại có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Do đó phương trình f 2 x 3 có tất cả 9 nghiệm phân biệt. Suy ra phương trình f 3 x 0 có 32 3 2 nghiệm phân biệt. f 3 x 0 + f 4 x 0 . 3 f x 3 f 3 x 0 có 9 3 2 nghiệm. f 3 x f f 2 x 3 có ba nghiệm dương f 2 x phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Mỗi phương trình f 2 x b , với b 0;4 lại có 9 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Do đó phương trình f 3 x 3 có tất cả 9.3 nghiệm phân biệt. f 4 x 0 + f 5 x 0 . 4 f x 3 f 4 x 0 có 33 9 3 2 nghiệm. f 4 x f f 3 x 3 có ba nghiệm dương f 3 x phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Mỗi phương trình f 3 x c , với c 0;4 lại có 27 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Do đó phương trình f 4 x 3 có tất cả 27.3 nghiệm phân biệt. Vậy f 5 x 0 có 34 33 32 3 2 122 nghiệm. f 5 x 0 + f 6 x 0 . 5 f x 3 f 5 x 0 có 34 33 32 3 2 122 nghiệm. f 5 x f f 4 x 3 có ba nghiệm dương f 4 x phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Mỗi phương trình f 4 x c , với c 0;4 lại có 81 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng 0;4 . Do đó phương trình f 5 x 3 có tất cả 81.3 nghiệm phân biệt. Vậy f 6 x có 35 34 33 32 3 2 365 nghiệm. x Câu 39: Cho đồ thị C : y x2 x 1 . Gọi M 0;m là điểm nằm trên trục tung mà từ đó kẻ được 2 ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị C . Biết tập hợp các giá trị của m là nửa khoảng a;b . Giá trị của a b bằng
24. 1 1 A. 1.B. .C. .D. 1. 2 2 Câu 40: Cho hàm số f x ax3 bx2 cx d , a,b,c,d ¡ thỏa mãn a 0 , d 2018 , a b c d 2018 0 . Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x 2018 . A. 2.B. 1.C. 3.D. 5. x Câu 41: Cho đồ thị C : y x2 x 1 . Gọi M 0;m là điểm nằm trên trục tung mà từ đó kẻ được 2 ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị C . Biết tập hợp các giá trị của m là nửa khoảng a;b . Giá trị của a b bằng 1 1 A. 1.B. .C. .D. 1. 2 2 Lời giải Chọn C 1 2x 1 - Ta có: y 2 2 x2 x 1 - Gọi là đường thẳng đi qua M 0;m và có hệ số góc là k : y kx m - Đường thẳng là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: x x2 x 1 kx m 2 1 2x 1 k 2 2 x2 x 1 x x 2x2 x x 2 x2 x 1 m m 1 . 2 2 2 x2 x 1 2 x2 x 1 Hệ phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi 1 có nghiệm. x 2 - Xét hàm số: f x trên ¡ , 2 x2 x 1 3x có f x f x 0 x 0 . 4 x2 x 1 x2 x 1 BBT: x 0 y 0 y 1 1 1 2 2 1 1 Dựa vào BBT ta thấy: phương trình 1 có nghiệm m 1 hay m ;1 2 2 1 a 1 2 . Vậy a b . 2 b 1
25. Câu 42: Cho hàm số f x ax3 bx2 cx d , a,b,c,d ¡ thỏa mãn a 0 , d 2018 , a b c d 2018 0 . Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x 2018 . A. 2.B. 1.C. 3.D. 5. Lời giải Chọn D - Xét hàm số g x f x 2018 ax3 bx2 cx d 2018 . g 0 d 2018 Ta có: . g 1 a b c d 2018 g 0 0 Theo giả thiết, ta được . g 1 0 lim g x x - Lại do: a 0 nên  1: g  0 và  0 : g 0 . lim g x x g .g 0 0 Do đó: g 0 .g 1 0 g x 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ; . g 1 .g  0 Hay hàm số y g x có đồ thị dạng y f(x)=(1/3)*(x+1)*(2x-1)*(x-2) x -2 -1 O 1 2 Khi đó đồ thị hàm số y g x có dạng f(x)=abs((1/3)*(x+1)*(2x-1)*(x-2)) y x -2 -1 O 1 2 Vậy hàm số y f x 2018 có 5 điểm cực trị.
26. 1 4 2 Câu 43: Cho phương trình x x 1 m x 16 x x 1, với m là tham số thực. Tìm số x 1 các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt. A. 11.B. 9 .C. 20 .D. 4 . 1 4 2 Câu 44: Cho phương trình x x 1 m x 16 x x 1, với m là tham số thực. Tìm số x 1 các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt. A. 11.B. 9 .C. 20 .D. 4 . Lời giải Chọn D Điều kiện x 1. 1 4 2 Ta có x x 1 m x 16 x x 1 x 1 1 m x 16 4 x2 x x x 1 x 1 1 4 x2 x x 1 4 x 1 x m 16 1 m 16 1 1 . x x 1 x x 4 x x 1 x 1 Đặt t 4 , khi x 1 ta có 0 t 1. x 1 2 1 Xét hàm số f t 16t 1 trên khoảng 0;1 ta có f t 16 ; f t 0 t . t 2 t3 2 Bảng biến thiên 1 t 0 1 2 f t 0 11 f t 16 Từ đó ta thấy, phương trình 1 có hai nghiệm thực phân biệt khi 16 m 11. Do đó có 4 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.