Bài tập dạy thêm hè môn Toán Lớp 7 - Phần: Đại số

Nội dung text: Bài tập dạy thêm hè môn Toán Lớp 7 - Phần: Đại số

1. TAÄP HÔÏP Q CAÙC SOÁ HÖÕU TÆ Baøi taäp 1: So saùnh caùc soá höuõ tæ sau : 4 5 2 34 a/ x = – 0,25 và y = ; b/ x và y = c/ x và y = 8,6 5 7 3 4 Baøi taäp 2 : Trong các số hữu tỉ sau, số nào là số hữu tỉ dương, số nào là số hữu tỉ âm ? Hãy sắp 3 3 1 0 4 xếp các số hữu tỉ đó theo thứ tự tăng dần : ; ; ; 2; ; 5 5 2 7 3 Baøi taäp 3 : So sánh các số hữu tỉ sau bằng cách nhanh nhất : 1 1 215 104 127 1345 a/ và ; b/ và ; c/ và ; 4 100 216 103 128 1344 12 14 12 19 11 25 d/ và ; e/ và ; f/ và ; 19 17 37 54 33 76 73 87 63 631 12 121212 g/ và ; h/ và ; i/ và ; 83 97 67 671 37 373737 a a + 200 k/ và (Với a, b Z, b > 0) b b 200 Baøi taäp 4 : x x 4 x 1 a/ Tìm phân số có dạng (x Z) sao cho : 9 9 7 9 x x 6 x 1 b/ Tìm phân số có dạng (x Z) sao cho : 4 4 7 4 Baøi taäp 5 : Tìm các phân số : 11 7 5 3 a/ Có mẫu là 20, lớn hơn và nhỏ hơn . b/ Có tử là – 15 , lớn hơn và nhỏ hơn ; 23 23 6 4 a c a a c c Baøi taäp 6 : Cho biết : Nếu (b > 0, d > 0) thì b d b b d d Áp dụng : Hãy tìm ba số hữu tỉ xen giữa 1 và 1 3 4 a 5 Baøi taäp 7 : a/ Cho số hữu tỉ: x (a 0). Với giá trị nguyên nào của a thì x là số nguyên ? a a 3 b/ Cho số hữu tỉ: x (a 0). Với giá trị nguyên nào của a thì x là số nguyên ? 2a 2a 7 3b 8 Baøi taäp 8 : Cho hai số hữu tỉ : x và y với giá trị nào của a, b thì : 5 5 a/ x và y là số dương; b/ x và y là số âm; c/ x và y không là số dương và cũng không là số âm; a 2009 b 2010 a b Baøi taäp 9 : Chứng minh rằng: Nếu thì a 2009 b 2010 4018 4020
2. BÀI TẬP VỀ NHÀ Baøi taäp 1 : So sánh các số hữu tỉ sau bằng cách nhanh nhất : 1 75 2000 2003 19 17 33 34 a/ và ; b/ và ; c/ và ; d/ và ; 4003 106 2001 2002 31 35 37 35 13 34 456 123 a a + 2005 e/ và ; f/ và ; g/ và (Với a, b Z, b > 0) 77 205 461 128 b b 2005 a a 2009 h/ và (Với a, b Z, b > 0) b b 2009 x x 4 x 2 Baøi taäp 2 : Tìm phân số có dạng (x Z) sao cho : 3 3 7 3 Baøi taäp 3 : Tìm các phân số : 2 1 5 5 a/ Có mẫu là 30, lớn hơn và nhỏ hơn ; b/ Có tử là 4 , nhỏ hơn và lớn hơn . 5 6 12 11 a 3 Baøi taäp 4 : Cho số hữu tỉ x ; với giá trị nào của a thì 2 a/ x là số dương; b/ x là số âm; c/ x không là số dương và cũng không là số âm; x2 3 Baøi taäp 5 : Xác định số nguyên x để x2 1 1 1 1 1 7 5 Baøi taäp 6 : a/ Cho A = . Chứng minh rằng: A 1.2 3.4 5.6 99.100 12 6 1 1 1 1 3 b/ Chứng minh rằng: 22 32 42 19902 4 x y z c/ Cho các số nguyên dương x, y, z . Chứng minh rằng 1 2 x y y z z x x 10 x 14 x 5 x 148 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Baøi taäp 7 : Tìm x thỏa: a/ 0 ; b/ 30 43 95 8 10 12 12 13 14 2 4 6 x c/ (x 2)(x 4) (x 4)(x 8) (x 8)(x 14) (x 2)(x 14) Baøi taäp 8: a/ Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản: 1 2 3 2001 2002 ; ; ; . . . ; ; n 3 n 4 n 5 n 2003 n 2004 2009 b/ Với giá trị nguyên nào của x thì M = có giá trị lớn nhất 11 x
3. 4 2 2 50 1 9 9 9 Bài tập 9: Tính nhanh: a/ A = 13 15 17 ; b. B = 8 4 4 100 19 19.29 29.39 1999.2009 13 15 17 CỘNG, TRỪ NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ Bài 1 : Thực hiện các phép tính bằng cách hợp lý nhất : 3 2 4 3 8 9 1 8 2 1 4 4 3 a/ B = 3 2 1 b/ 4 3 3 2 3 2 3 35 9 135 5 9 7 3 3 3 2 1 3 23 1 1 1 1 7 4 2 c/ D = d/ E = 5 11 7 97 35 4 44 2 5 9 127 18 35 7 2 8 1 2 4 1 2 3 2 3 e/ F = 12  :3  :3 f/ 16 : 28 : 7 9 2 7 8 2 7 5 7 5 3 2 3 3 1 3 7 2 1 7 1 5 3 9 1 1 g/ : : h/ : : i/   4 5 7 5 4 7 8 9 18 8 36 12 7 26 14 13 3 13 1 16 15 38 74 38 15 82 41 15 16 15 41 8 k/   l/   ; m/ 5 46 10 23 37 41 45 41 37 76 32 8 41 8 32 3 Bài 2: Tìm x biết : 5 1 1 1 1 7 1 4 3 1 a/ 3 x 7x ; b/ 3 x 5 x c/ x 5 x ; 2 3 4 2 10 4 2 5 2 3 1 1 2 1 3 1 d/ 4x x 2x 5 ; e/ x 2x 1 5 2 2 3 3 2 2 Bài 3: Phần nguyên của một số hữu tỉ x, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Ta có: [x] x [x] +1 * Ví dụ 1 : Tìm phần nguyên của 7 3 7 7 Ta có: 2 3 2; 3 3 * Ví dụ 2 : Tìm phần nguyên của [-1,5] Ta có: -2 < -1,5 < -1 [-1,5] = -2. 3 1 *Áp dụng : Tìm ; 2 ;[ 2,7] ; [2,3]; [– 5] 4 7 Bài 4: Phần lẻ của một số hữu tỉ x, kí hiệu {x} là hiệu x - [x] Ta có: {x} = x – [x], 0 {x} 1 5 Ví dụ: Tìm phần lẻ của  2 5 5 5 5 1 Ta có :  2 2 2 2 2 2
4. 3 7  *Áp dụng : Tìm ;  ; {0,5}; {– 3,15} 2 3  Bài 5: Tìm x biết: 2 9 1 8 1 2 1 a/ x 1; b/ x c/ x 6 x ; d/ 1 x và x 0; c/ A < 0 5x 1 x b/ Tìm hai số x và y sao cho x + y = x.y = y với y 0
5. BÀI TẬP VỀ NHÀ TUẦN 2 Bài 1 : Thực hiện các phép tính bằng cách hợp lý nhất : 3 4 3 5 2 1 3 5 1 2 5 7 4 7 a/ ; b/ ; c/ ; d/ ; 5 3 4 8 5 10 4 3 12 9 7 5 7 4 2 9 1 3 1 3 1 3 3 1 1 2 1 e/ 0,75 ; f/ .26 .44 ; g/ .1,25 .0,25 ; h/ 8 : 2 1 : 2 3 12 6 4 5 4 5 7 7 3 2 3 2 3 11 12 1 1 1 1 1 5 5 4 5 i/ .31 0,75.8 k/ 2 3 : 4 3 7 l/ 4 : 5 : 4 23 23 3 2 6 7 2 9 7 9 7 1 5 5 1 3 13 2 10 .230 46 4 27 6 25 4 25 9 125 27 15 38 74 38 15 82 m/ n/) 4 25 : : o/   3 10 1 2 16 16 64 8 37 41 45 41 37 76 1 : 12 14 7 3 3 7 3 1 1 5 3 4 1 3 1 5 4 10 5 p/ C = 1 q/ A = 7 6 5 8 5 3 8 7 7 3 4 3 4 3 4 3 Bài 2 : Tìm x biết : 3 1 3 2 5 3 21 1 2 a) : x b) x c) x 7 7 14 3 7 10 13 3 3 3 3 2 1 3 d) x 2 1 e) (5x 1) 2x 0 f) (2x 3) x 1 0 7 8 5 3 4 1 1 2 1 1 2 1 5 1 1 g) x x h) x x i) 2 3x 4x 2 5 3 4 5 3 10 6 4 5 Bài 3 : Đơn giản biểu thức sau khi bỏ dấu ngoặc: a/ (a + b) - (- c + a + b) b/ - (x + y) + (- z + x + y) c/ (m - n + p) + (- m + n + p) Bài 4 : Bỏ dấu ngoặc: a/ (- a) (b - c + d) (với a, b, c, d Z) b/ (a + b) (1 + x + y) (với a, b, x, y Z) c/ (a - b) (a + b) - (b - a)b (với a, b Z) Bài 5 : Chứng minh đẳng thức sau: a/ (a - b) + (c - d) - (a + c) = - (b + d). b/ (a - b) - (c - d) + (b + c) = a + d. Bài 6 : Chứng minh các đẳng thức sau: a/ a(b + c) - b (a - c) = (a + b)c ; (với a, b, c Z) b/ a(b - c) - a(b + d) = - a(c + d) ; (với a, b, c, d Z) c/ (a + b) (c + d) - (a + d) (b + c) = (a - c) (d - b); (với a, b, c, d Z) Bài 7 : Đặt thừa số chung : (với a, b, c, d, e Z) a/ ab + bd - ac - cd b/ ad - bd - be + ce + cd + ae
6. Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 2 4 a/ C 2 với x Q; b/ D 2 với x Q 1 1 x 2 x 5 2 3 5x 4 Bài 9: Cho biểu thức A = . Tìm các giá trị của x để : a/ A = 0; b/ A > 0; c/ A < 0. 3x 1 Bài 10: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau nhận giá trị dương: a/ x2 + x. b/ 5 3x 1 4x 3
7. Bài 1 : Thực hiện các phép tính bằng cách hợp lý : 3 9 8 8 8 8 0,75 0,6 1 7 24 9 10 11 100 C 2 a/ A b/ B c/ 1 11 33 1 1 1 1 2 2,75 2,2 1 7 24 45 50 55 500 2 1 2 3 4 2 4 0,8: 1,25 1,08 : 5 15 7 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d/ D = 1,2.0,5 : e/ G = ; 1 5 1 2 5 90 72 56 42 30 20 12 6 2 0,64 6 3 2 25 9 4 17 Bài 2: Cho hai biểu thức sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 1 1    1 1 và B = 1 1 1    1 1 2 3 4 19 20 4 9 16 81 100 1 11 a/ So sánh A với ; b/ So sánh B với ; 21 21 Bài 3 : Viết các tổng sau thành tích: a/ 6 – 3a – 2b + ab; b/ (2a – 3) (1 + a) – (1 – a)(3 + 2a) 5 5 1 31 1 Bài 4 : Tìm các số nguyên x thỏa mãn: 4 : 2 7 x 3 :3,2 4,51 : 21 9 18 5 45 2 2 3 4 3 2 Bài 5 : Tìm x biết: a/ : x ; b/ x x 0 ; c/ 3x 2 2x 0 3 2 5 2 3 3 1 d/ x 1 x 0 e/ x 2 x 0 2 2 TÌM x TRONG BIỂU THỨC CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐÔI Dạng 1 : Nếu |A(x)| = k (k > 0). Ta lần lượt xét A(x) = k và A(x) = – k Bài 6: Tìm x biết: a/ x 7 b/ x 9 c/ x 4 vaø x > 0 d/ x 10 vaø x < 0 e/ x 5 g/ x 8 h/ x 11 1 1 3 7 11 3 1 7 i/ 2x 0 k/ x 6 l/ 2x 1 m/ : 4x 3 3 4 8 4 2 5 2 3 1 5 1 5 1 3 1 1 n/ 2 x o/ 7  x 5  x p/ x 3,5 4,5 x 0 2 4 4 2 3 4 2 3 4 *Lưu ý : Từ bài 6a đến bài 6h điều kiện là x Z Dạng 2 : Nếu |A(x)| = B(x). Ta phải tìm x thỏa mãn cả hai điều kiện: 1/ B(x) 0 2/ A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x)( giải 2 trường hợp với điều kiện B(x) 0)
8. Bµi 7: T×m x biÕt: a) 5x x 12 b) 7 x 5x 1 c/ | 9 7 x | 5x 3 Dạng 3 : Nếu |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| – |B(x)| = 0 . Ta phải tìm x thỏa mãn một trong hai điều kiện : A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x) 5 7 5 3 Bµi 8: T×m x biÕt:a) 2 3x 4x 3 b) 7x 1 5x 6 0 c) x x 0 4 2 8 5 Dạng 4 : • |A(x)| 0) A x k • | A x | k A x k Bµi 9: T×m x biÕt: a/ x 3 b/ x 3 c/ 3 x 7 d/ 10x 7 37 e/ | 3 8 x | 19 g/ |15x 1 | 31 h/ | 2 x 5 | 4 25 Dạng 5: |A(x)| + |B(x)| =0 Bµi 10: T×m x biÕt: a) |x + 3| + |x2 + x| = 0 b) |x2 - 3x| + |(x +1)(x - 3)| = 0 Dạng 6: Dạng mở rộng : Tìm x biết: a) ||x - 5| + 9| =10; b) ||x + 5| – 4 | =3 Bµi 11: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 2 3 a) B x b) C 5 1 4x 1 c) E 4 2x 2x 5 d) F 2 3x 3x 1 5 7 * Lưu ý : Các câu d, e, f áp dụng kiến thức : |A(x) + B(x)| |A(x)| + |B(x)| Bµi 12: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc: 12 a) A 5 2 x 1 b) C 2 c) F 3x 2 3x 1 3 x 5 4 * Lưu ý : Các câu d, e, f áp dụng kiến thức : |A(x) - B(x)| |A(x)| - |B(x)| Bµi 13: T×m x, y tho¶ m·n: 9 a) 3x 4 3y 5 0 b) x y y 0 c) 5x 1 6y 8 0 25
9. d) x 2y 4y 3 0 e) x y 2 2y 1 0 2000 2 2 2004 1 1 g) x 1 y 3 0 h) 3 x 2y 4 y 0 i) x 3y 1 2y 0 2 2 BÀI TẬP VỀ NHÀ - TUẦN 4 Bài 1 : Thực hiện các phép tính bằng cách hợp lý : 8 8 8 8 1 1 6 8 : 0,05 9 10 11 100 C 2 2 a/ B b/ 1 c/ E = 1 1 1 1 1 1 3 1 7 5,65 .6 1 45 50 55 500 2 20 5 1 1 2 6 7 5 13.4  28 27 1 9 1 2 13 18 d/ 2  1  e/ F = 5 11 14 5 12 5 5 5 5 59.2  14 84 204 374 1 1 1 1 1 f/ H = 1 1 1    1 1 2 3 4 2008 2009 3 1 4 3 Bài 2: Tìm các số nguyên x thỏa mãn: 2 1  2,2 x 0,4 0,2 11 12 5 4 1 1 3 Bài 3 : Tìm x biết: a/ 5x 1 2x 0 b/ x 1 x 0 c/ x 1 x 0 3 2 2 TÌM x TRONG BIỂU THỨC CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐÔI Dạng 1 : Nếu |A(x)| = k (k > 0). Ta lần lượt xét A(x) = k và A(x) = – k Bài 4: Tìm x biết: a/ x 12 b/ x 10 c/ x 9 vaø x > 0 d/ x 17 vaø x < 0 e/ x 20 g/ x 18 h/ x 45 2 1 1 5 1 i/ 2x 0 k/ x 37 l/ 2x 3 3 3 4 4
10. 3 1 5 5 3 5 4 4 5 m/ 4,5 x n/  x  x 1 o/ x 1,5 3,5 x 0 4 2 3 6 2 3 5 3 3 *Lưu ý : Từ bài 4a đến bài 4h điều kiện là x Z Dạng 2 : Nếu |A(x)| = B(x). Ta phải tìm x thỏa mãn cả hai điều kiện: 1/ B(x) 0 2/ A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x)( giải 2 trường hợp với điều kiện B(x) 0) 1 Bµi 5: T×m x biÕt: a) x 3 2x b) x 1 3x 2 c) | x –1| 2x – 5 2 Dạng 3 : Nếu |A(x)| = |B(x)| . Ta phải tìm x thỏa mãn một trong hai điều kiện : A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x) Bµi 6: T×m x biÕt: a) 5x 4 x 2 b) 2x 3 3x 2 0 c) 3 1 x 4x 1 2 2 Dạng 4 : • |A(x)| 0) A x k • | A x | k A x k Bµi 7: T×m x biÕt: a/ x 2 b/ x 3 c/ 4 x 7 d/ 10x 7 37 e/ | 3 8 x | 19 g/ |15x 1 | 31 h/ | 2 x 5 | 4 25 Bµi 8: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 3 1 a) A 4,9 x 2,8 b) B x c) E 4 2x 2x 5 d) F 2 3x 3x 1 4 5 * Lưu ý : Các câu d, e, f áp dụng kiến thức : |A(x) + B(x)| |A(x)| + |B(x)| Bµi 9: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc: 1 a) A 5 2 x 1 b) B c/ D x 2 x 3 d) E 2x 4 2x 5 x 2 3 * Lưu ý : Các câu d, e, f áp dụng kiến thức : |A(x) - B(x)| |A(x)| - |B(x)|
11. BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA Bài 1: Tính: 0 2 4 2 1 1 3 1 -5 1 ; 2 ; 0,5 ; 1 ;2 ; 4 3 3 4 Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ: 2 3 1 2; 3 1 2 5 3 a) 25.5 . .5 b) 4.32 : 2 . ; c) 5 .3 . ; 625 16 5 2 1 1 2 1 1 d) . .49 e) 32 . .812. f) 4 6 .2 5 6 2 .2 4 7 7 243 32 Bài 3: Tính: 5 4 2 3 3 2 3 4 1 1 3 10 6 3 3 2 a) ; b) ; c) . ; d) : : . 9 3 2 5 3 5 4 4 3 3 2 3 15 5 6 3.6 3 3 9 e) 273 : 32; f) ; g) : ; 13 5 25 0 2 0 5 1 3 1 2 1 h) 5 :3; i) 2 3. 2 : .8. 11 3 2 2 Bài 4: Tính giá trị của biểu thức sau: 5 3 2 3 6 5 9 205.510 0,9 6 3.6 3 4 .9 6 .120 a) ; b) ; c) ; d) 4 12 11 . 1005 0,3 6 13 8 .3 6 Bài 5: So sánh: 10 50 20 10 30 50 8 12 1 1 a) 10 và 9 ; b) (-5) và (-3) ; c) 64 và 16 ; d) và . 16 2 Bài 6: Tìm x, biết rằng: 3 5 7 2 1 1 4 4 1 1 3 a) x : b) .x ; c) x ; d) 3x 1 27. 3 3 5 5 2 16 5 7 3 3 4 3 3 1 1 1 1 1 16 e) .x f) .x g) x h) x 7 7 5 625 3 125 3 81 Bài 7: Tìm số nguyên n, biết rằng: n n 4 25 81 2 9 3 a) 27n :3n 9; b) 5; c) 243; d) 4 e) 5n 3 n 32 25 5 n n n 1 1 512 8 3 81 1 n n f) ; g) . h) . i) 27 3 3 81 343 7 4 256 9 1 Bài 8: Tìm số nguyên n biết : a) 3-2 . 9n = 3n b) a(n + 5)(n – 8) = 1 c) .36.3n 1 94 9 1 d) 2n 2.32.42 4.2n e) 9n + 1 – 5 . 32n = 324 f) 3.52n + 1 – 3. 25n = 300 2
12. g) 3 2 . 34 . 3n 37 h) 27n. 9n = 927: 81 i) 2 1 . 2n 4 . 2n 9 . 25 n n n + 2 n – 1 1 1 n n 2 7 4 k) 32 . 16 2048 l) 7 +2.7 = 345 m) 6 6 6 6 2 3 Bài 9 : Tính 46 . 95 69 . 120 5 . 415 . 99 4 . 320 . 89 a) b) 84 . 312 611 5 . 29 . 619 7 . 229 . 276 Bài 10: Tính: 1 0 2 1 1 1 1 1 0 3 1 3 1 a) 2 3 : 2 3 2 .2 .2 ; b) : 2. 3 5 2 Bài 11: Biết rằng 12 + 22 + 32 + + 102 = 385. Hãy tính nhanh tổng sau : A = 1002 + 2002 + 3002 + + 10002 Bài 12: Tìm các số nguyên dương n biết. a) 32 2n 128 b) 216 2n 4 c) 9.27 3n 243 d) 2.32 2n 8 3 Bài 13 : So sánh a) 260 và 340 b) 5300 và 3500 c) 984 và 9815 d) 545 và 2515 e) 648 và 1612 f)85 và 3.47 g)333444 và 444333 h)199010 19909 và 199110 i)1010 và 48.505 k)3484 và 4363 l)920 và 2713 m) 715 và 1720 n) 6315 và 3418 o) 839 và 2612 p) 230 330 430 và 3.2410 100 500 1 1 9 13 q) vµ r) ( 32) vµ ( 18) 16 2 Bài 14 : Tìm x Q biết: a) 2x 3 2 16 b) 3x 2 5 243 c) 7x 2 1 3 2 1 1 3 d) 4x 3 2 e) 3 2x 3 f) 2x 1 8 81 27 x x 2 x 4 3 g) 5x 2 625 h) x 1 x 1 i) 27 81 x 2 2 x 1 1 1 200 200 k) 0,5 l) m) 2x 5 3y 4 0 64 9 27 Bµi 15: T×m x, y tho¶ m·n: a) 3x 4 3y 5 0 b) 3 2x 4y 5 0 2 2 c) 5x 1 6y 8 0 d) x 2y 4y 3 0 e) x 1 y 3 0 2000 2004 1 1 3 1 f) 3 x 2y 4 y 0 g) x 3y 1 2y 0 h) x 1 y x y z 0 2 2 2 2 2 1 2 15 3 14 i) 1 x y x z 0 k) x x y z y 0 l) x y z 0 3 4 3 32 2 31 Baøi 16: Chöùng minh raèng : a/ 76 + 75 - 74 chia heát cho 11; b/ 109 + 108 + 107 chia heát cho 222 c/ 817 - 279 - 913 chia heát cho 45; d/ 2454 . 5424. 210 chia heát cho 7263 e/ 3n + 2 - 2n + 2 + 3n - 2n chia heát cho 10; g/ 3n + 3 + 3n + 1 + 2n + 3 + 2n + 2 chia heát cho 6
13. BÀI TẬP VỀ NHÀ TUẦN 6 - 7 Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau 2 3 3 3 0 1 3 5 3 3 1 2 1 a) 4. 25. : : b) 2 3. 1 2 : 8 4 4 4 2 2 2 0 3 1 1 2 14 c) 2 :  3 9 7 5 2 8 25 Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa 2 1 3 1 a) 9.3 . .27 b) 4.32 : 2 . 81 16 1 22.4.32 c) 34.35 : d) 27 2 2 .25 Bài 3: Tính hợp lý a) 0,25 3 .32 b) 0,125 3 .804 82.45 8111.317 c) d) 220 2710.915 Bài 4: Tìm x biết 5 7 3 3 3 1 1 a) .x b) .x 5 5 3 81 3 4 1 1 1 16 c) x d) x 2 27 2 81 Bài 5: Chứng minh rằng a) 2010100 + 201099 chia hết cho 2011 b) 31994 + 31993 – 31992 chia hết cho 11 c) 413 + 325 – 88 chia hết cho 5 Bài 6: Tìm số tự nhiên n biết 2n 1 a) 4 b) 27n. 9n = 927: 81 c) .34.3n 1 94 32 9 1 d) .2n 4.2n 9.25 e) 32. 3-5. 3n = 311 f) 2-1. 2n + 4. 2n = 9. 25 2 Bài 7: Biết rằng 12 + 22 + 32 + + 102 = 385. Hãy tính nhanh tổng sau A = 1002 + 2002 + 3002 + + 10002 Bài 8: Viết dưới dạng lũy thừa 1 1 a) 32 . .812. b) 46.2562.24 243 32 Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau 46.95 69.120 42.252 32.125 a) A = B = 84.312 611 23.52
14. Bài 10: So sánh các lũy thừa sau 2 a) 175 và 1710 b) 260 và 420 c) 230 và 320 d) 334 và 520 e) 2300 và 3200 f) 329 và 1813 g) 354 và 281 h) 321 và 231 i) 5300 vaø 3500 k) 2333 vaø 3222 l) 222333 vaø 333222 m) 230 + 330 + 430 vaø 3.2410 Baøi 11: Thu gọn biểu thức sau: A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 550 Bài 12: Cho A = 20 + 21 + 22 + + 22010 + 22011 và B = 22012. Chứng tỏ A và B là hai số tự nhiên liên tiếp. Baøi 13: Thöïc hieän pheùp tính baèng caùch hôïp lyù 1 5 1 5 1 9 2 a/ 15 : 25 : b/ .13 0,25.6 4 7 4 7 4 11 11 2 2 0 2 3 4 2005 3 1 1 2 1 c/ 8. 12. ( 1) d/ 2 3.   4 2 : :8 2 2 2 2 2 2 0 3 4 1 3 3 7 1 1 2 e/ 2 .(0,6) . 4 1,75 : . 1 2 .( 0,2) 3 5 5 2 3 0 3 1 3 2 19 f/ 2  : 4 8 7 + 2(4,025 - 2,885) 2 2 23 Baøi 14: Tính : a/ (a - b) (a + b) b/ 1002 - 992 + 982 - 972 + + 22 - 12 c/ (202 + 182 + 162 + + 42 + 22 ) - (192 + 172 + 152 + + 32 + 12) * Coâng thöùc 1. 12 + 22 + 32 + + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 2. 22 + 42 + 62 + + (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 3. 12 + 32 + 52 + 72 + + (2n + 1)2 = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 4. 13 + 23 + 33 + + n3 + (n + 1)3 = (n + 1).n.(2n + 1)/2 Baøi 15: Tìm x biết ; 1 1 a/ 4x 3 2 b/ 3 2x 3 c/ 7x+2 +2.7x – 1 = 345 81 27 1 1 x x 2 7 4 2004 2006 2 1 1 d/ 6 6 6 6 e/ 3x 2 3x 2 f/ .4 x 5 7 2 3 3 4 2 2 3 1 2 15 9 2 1 3 1 1 3 1 g/ . x . x 0 h/ . 1 x 2 1 . x i/ 1 2x x 2 0 5 4 2 3 4 14 3 2 5 2 3 4 2 Bài 16: Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương. a) 3n 2 2n 2 3n 2n 10 b) 3n 2 2n 3 3n 1 2n 2 6 c) 57 56 55 21 d) 439 446 441 28 e) 52003 52002 52001 31 f) 1019 1018 1017 555
15. Chuyên đề: Lũy thừa của một số hữu tỉ A. KIẾN THỨC: Công thức cơ bản về luỹ thừa: (với n, m N; x, y R; x ,y 0) 1) xn = x.x x (n thừa số x); 2) xn . xm = xn + m ; 3) xn : xm = xn - m (n >m ) 4) (xn)m = xn . m; 5) (x . y)n = xn . yn ; 6) (x : y)n = xn : yn 1 1 7, Qui ước: xo =1 ; x1 = x; x 1 ; x n x xn B.Bài tập: Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức Số 1: Viết kết quả dưới dạng một luỹ thừa: a, 420. 810 ; d, (0,125)3 . 512 ; b, 413 . 526 ; e, 920 : (0,375)40; c, 2715 : 910 3 2 12 12 Số 2: Tính giá trị của biểu thức: A = 72 .54 ;B = 3 .13 3 .3 ; 1084 311.24 10 10 10 10 4 6.95 69.120 63 3.6 2 33 C = 2 .13 2 .65 ; D = 8 4 ; E= ; F= 28.104 84 411 8 4.312 611 13 Số 3: Tính: a) (2-1 +3-1) :(2-1 -3-1)+(2-1.20):23 1 0 2 1 6 1 2.5 22 9.5 21 5 3.715 19.714 b) : 2 ; c) : ; 3 7 2 2510 716 3.715 3 1 2 1 2 0 1 1 2 1 1 d) 0,1  . . 23 : 25 ; e) (xy)-2 y : x ; f) 7 49 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2.4.6 2004 2 2 2 Số 4:Tính nhanh: a) 20031 ; b) 2004 225 1 225 2 225 56 Dạng 2: Tìm cơ số hoặc số mũ của một luỹ thừa 2x 1 1 1 Số 1: Tìm x N biết: a, 2x.4 = 128 ; b, 2 8 c, (2x – 3)3 = 343 ; d, (2x – 3)2 = 9; e, (x – 3)6 = (x – 3)7 ; g, x100 = x 3 2 1 1 1 4 h) x ; i) x ; k) (x-1)x+2= (x-1)x+6 2 27 2 25 Số 2: Tìm x biết: a) 72+x+2.7x-1 = 345 ; b) 2x+2x+3=288; c) 81-2x.27x = 95 d) x 1 1 1 1 25 1 7 2x 1 ; e) ; f) 343 3 2 36 5 x 125 49 Số 3:Tìm m, n Z, biết : a) 2-1.2n+4.2n=9.25; b) 2m -2n=1984 n 5 m n 1 4 3 1 1 512 8 c) 27 n 3n ; d)2-1.2n+4.2n=9.25; e) ; f) ; g) 9 9 2 3 81 343 7 Số 4: Cho A= 3 + 32 + 33 + + 32008 Tìm x biết 2A + 3 = 3x Số 5: Tìm x, y biết: a, ( x- 3)2 + (y+2)2 = 0 ; b, 2x + 2x+3 = 136
16. c, (x-12 + y)200 + ( x- 4 – y)200= 0; d) (2x-5)2000+(3y+4)2002 0 Số 6*: Tìm x, y biết: a, 2x+1. 3y = 12x; b, 10x : 5y = 20y ; c, 8. 23x. 7y= 562x. 5x-1 Dạng 3: So sánh luỹ thừa Dạng 3.1: Đưa về hai luỹ thừa cùng cơ số 17 12 1 1 Số 1: So sánh: a, 450 và 830 ; b, và 9 27 25 13 1 1 Số 2:So sánh: a, (-27)27 và (-243)13; b, và ; c)(-333)444 và 444333 8 128 Số 3: Tìm các số nguyên dương n, biết : a) 32 4;c)9.27 3n 243 Dạng 3.2: Đưa về 2 luỹ thừa cùng số mũ 10 40 16 3 Số1: So sánh: a, 3230 và 975; b, và ; c)715 và 1720 25 7 Dạng 3.3: Dùng luỹ thừa trung gian để so sánh Số 1: So sánh: a, 637 và 1612; b*, 1714 và 3111; c) 267 và 521 Dạng 3.4: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân Số 1*: So sánh: a) 1031 và 2100; b) 230+330+430 và 3.2410 Dạng 4: So sánh các biểu thức có chứa luỹ thừa Số 1: So sánh 2 biểu thức A và B trong từng trường hợp: 15 16 2008 2007 a, A = 10 1 và B = 10 1 ; b, C = 2 3 và D = 2 3 1016 1 1017 1 22007 1 22006 1 3 7 7 3 Số 2: So sánh M = và N = 83 84 83 84 Dạng 5: Chứng minh Số 1: Chứng minh rằng : a) 76+75-74 11 ; b) 278-32126 ; c) 812-233-23055 Số 2:Chứng minh rằng với mọi số nguyên n >0 thì : a)3n+2-2n+2+3n-2n10 ; b) 3n+3+3n+1+2n+3 + 2n+2 6 Số 3:Cho x+y = a+b và x2+y2 = a2+b2 .Chứng minh rằng xn+yn = an+bn 9 Số 4:Chứng minh rằng số x = ( 0,81)1994 nếu viết ra dạng số thập phân sẽ có ít nhất 3000 chữ số 0 đầu tiên sau 11 dấu phẩy. Số 5:Chứng minh rằng : a) A+B+C+8 là một số chính phươngvới A=11 1; B =11 1; C= 66 6 2n n 1 n b) Số 11 122 2 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp n n Dạng 6: Tính nhanh biểu thức lũy thừa có quy luật Số 1: Tính nhanh: a)A= 1+3+32+33+34+ +3100; b)B= 1+42+44+46+ +.4100 2 2 2 2 2 2 2 Số 2:cho biết 1 +2 +3 + .+10 =385. tính tổng S1= 2 +4 + .+20 2 2 2 2 S2 =100 +200 +300 + .+1000 Số :Chứng tỏ rằng A= 20+21+22+ +22004 và B= 22005 là hai số nguyên liên tiếp Dạng 7:Tìm chữ số tận cùng Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
17. 193 193 a)425 ; b) 929 ; c) 34 4 195 ; d) 721 ; e)13 85 II. BÀI TẬP: 1. Dạng 1: Tìm số chưa biết Bài 1: Tìm x biết rằng: a/ x3 = -27 b/ (2x – 1)3 = 8 c/ (x – 2)2 = 16 d/ (2x – 3)2 = 9 Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp. a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8 x3 = (-3)3 (2x – 1)3 = (-2)3  x = -3 => 2x – 1 = - 2 Vậy x = - 3 2x = -2 + 1 2x = - 1 => x = 1 2 Vậy x = 1 2 c, (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 => 2x -3 =3 hoặc 2x -3 = -3 2x = 6 2x = 0 x = 3 x = 0 Vậy x = 3 hoặc x = 0 . d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 => x – 2 = -4 hoặc x – 2 = 4 x = -2 x = 6 Vậy x = -2 hoặc x = 6 Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết : x2 = x5 Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn khoăn , lúng túng : hai lũy thừa đã cùng cơ số- chưa biết , số mũ- đã biết- lại khác nhau .Vậy phải làm
18. cách nào đây ? Nhiều học sinh sẽ ‘’ tìm mò ằ được x = o hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không thuyết phục lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mãn đề bài thì sao ? Giáo viên có thể gợi ý : x 2 0 x 0 x 0 x2 = x5 => x5 – x2 = 0 => x2.(x3 - 1) = 0 => => => 3 3 x 1 0 x 1 x 1 Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau : Bài 3 . Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*) Hướng dẫn : Đặt 3y – 1 = x . Khi đó (*) trở thành : x10 = x20 x 0 x10 0 x 0 Giải tương tự bài 2 ở trên ta được : => => x 1 10 10 x 1 0 x 1 x 1 Rất có thể học sinh dừng lại ở đây , vì đã tìm được x .Nhưng đề bài yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y . +) Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y = 1 3 +) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y = 2 3 +) Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0 Vậy y = 1 ; 2 ; 0 3 3 Bài 3 : Tìm x biết : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 Bài nàyngược với bài trên , hai lũy thừa đã có số mũ -đã biết- giống nhau nhưng cơ số – chưa biết – lại khác nhau . Lúc này ta cần sử dụng tính chất : bình phương của hai lũy thờa bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau . Ta cố : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – 5 = 1 – 3x hoặc x – 5 = 3x – 1 => 4x = 6 2x = -4 => x = 6 = 3 x = -2 4 2 Bài 4 : Tìm x và y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 0 (*) Với bài toán này , cơ số và số mũ của hai lũy thừa không giống nhau , lại phải tìm hai số x và y bên cạnh đó là dấu ‘ ’’ , thật là khó ! Lúc này chỉ cần gợi ý nhỏ của giáo viên là các em có thể giải quyết được vấn đề : hãy so sánh (3x - 5)100 và (2y +1)200 với 0 .
19. Ta thấy : (3x - 5)100 0  x Q (2y +1)200 0  x Q => Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0 , không thể nhỏ hơn 0 Vậy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0 3x – 5 = 2y + 1 =0 => x = 5 và y = 1 3 2 Bài 5 :Tìm các số nguyên x và y sao cho : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 x = -2 => y = 3 +) Trường hợp 2 : (x + 2)2 = 0 và (y – 3)2 = 1 y 4 => x = -2 => y 2 +) Trường hợp 3 : (x + 2)2 = 1 và (y – 3)2 = 0 x 2 1 => => y = 3 x 2 1 x 1 => x 3 +) Trường hợp 4 : (x + 2)2 = 1 và (y – 3)2 = 1 x 1 y 4 => => x 3 y 2 Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đề bài là : x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1
20. y 3 4 2 3 3 4 2 4 2 Thật là một bài toán phức tạp ! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp ,bỏ sót những cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài . Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tương tự sau : 1 . Tìm x biết : a, (2x – 1)4 = 81 b, (x -2)2 = 1 c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125 2 . Tìm y biết : a, y200 = y b, y2008 = y2010 c, (2y - 1)50 = 2y – 1 d, ( y -5 )2000 = ( y -5 )2008 3 3 3 . Tìm a , b ,c biết : a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 0 b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 0 c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 0 d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 0 3.1.2 Tìm số mũ , thành phần trong số mũ của lũy thừa. Phương pháp : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số Bài 1 : Tìm n N biết : a, 2008n = 1 c, 32-n. 16n = 1024 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a, a, 2008n = 1=> 2008n = 20080 => n = 0 Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn : tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ . Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên : b, 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n.(1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26
21. 5n = 25 = 52 => n = 2 Theo hướng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d, c, 32-n. 16n = 1024 (25)-n. (24)n = 1024 2-5n. 24n = 210 2-n = 210 => n = -10 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 3n-1 + 5 . 3n-1 = 162 =>6 . 3n-1 = 162 3n-1 = 27 = 33 => n – 1 = 3 n = 4 Bài 2 : Tìm hai số tự nhiên m , n biết : 2m + 2n = 2m+n Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này , không biết phải làm như thế nào để tìm được hai số mũ m và n . Giáo viên gợi ý : 2m + 2n = 2m+n 2m+n – 2m – 2n = 0 => 2m.2n -2m -2n + 1 = 1 2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1 (2m - 1)( 2n - 1) = 1 (*) Vì 2m 1 , 2n 1  m,n N 2m 1 1 2m 2 m 1 Nên từ (*) => => => n n 2 1 1 2 2 n 1 Vậy : m = n = 1 Bài 3 : Tìm các số tự nhiên n sao cho :
22. a, 3 n 2;3;4;5 b, 8.16 2n 4 23.24 2n 22 27 2n 22 => n 2;3;4;5;6;7 Bài 4 : Tìm số tự nhiên n biết rằng : 415 . 915 n = 31 Bây giờ, học sinh không những biết làm các bài toán tương tự mà còn có thể tự ra các bài toán dạng tương tự. 1. Tìm các số nguyên n sao cho a. 9 . 27n = 35 b. (23 : 4) . 2n = 4 c. 3-2. 34. 3n = 37 d. 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho : a. 125.5 5n 5.25 b. (n54)2 = n c. 243 3n 9.27 d. 2n+3 2n =144 3. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng a. 2x+1 . 3y = 12x b. 10x : 5y = 20y 4. Tìm số tự nhiên n biết rằng
23. a. 411 . 2511 2n. 5n 2012.512 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b. . 2n 35 35 35 25 25 Hướng dẫn: 3. a. 2x+1 . 3y = 12x 2x+1 . 3y = 22x.3x 3 y 22x => 3x 2 x 1 3y-x = 2x+1 => y-x = x-1 = 0 Hay x = y = 1 b. 10x : 5y = 20y 10x = 20y . 5y 10x = 100y 10x = 1002y => x = 2y 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 4 b. . 2n 35 35 35 25 25 4.45 6.65 . 2n 3.35 2.25 46 66 . 2n 36 26 => 46 = 2n => 212 = 2n => n = 12 3.1.3. Một số trường hợp khác Bài 1: Tìm x biết: (x-1) x+2 = (x-1)x+4 (1) Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài toán rất phức tạp, vì số cần tìm có mặt cả trong số mũ và cơ số. Vì thế, học sinh rất khó xác định cách giải . Nhưng chúng ta có thể đưa về bài toán quen thuộc bằng một phép biến đổi sau : Đặt x-1 = y ta có: x + 2 = y + 3