Một số bài toán về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau - Trần Đăng Thiện

Nội dung text: Một số bài toán về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau - Trần Đăng Thiện

1. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU. I./ ĐẶT VẤN ĐỀ Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i nhËn thÊy c¸c bµi to¸n dïng kiÕn thøc vÒ tØ lÖ thøc, d·y tØ sè b»ng nhau ®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n lµ mét trong nh÷ng néi dung kiÕn thøc träng t©m cña ch­¬ng tr×nh to¸n líp 7, trong ®ã viÖc ph©n lo¹i bµi tËp vµ ph­¬ng ph¸p suy luËn t×m tßi lêi gi¶i ®èi víi tõng d¹ng lµ mét viÖc lµm cÇn thiÕt ®Ó båi d­ìng vµ n©ng cao cho häc sinh ®Æc biÖt lµ ®èi víi ®èi t­îng häc sinh kh¸ trë lªn. V× vËy tõ thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i xin ®­a ra mét sè bµi to¸n ®Ó cïng trao ®æi víi ®ång nghiÖp hy väng gãp mét phÇn nhá vµo kinh nghiÖm chung trong viÖc n©ng cao chÊt l­îng d¹y häc. C¸c bµi to¸n vÒ tØ lÖ thøc lµ mét m¶ng to¸n rÊt réng nªn t«i kh«ng cã ý ®Þnh ®Ò cËp tíi tÊt c¶ c¸c d¹ng ë c¸c khèi líp mµ chØ h¹n chÕ møc ®é to¸n 7 ®Ó sö dông trong gi¶ng d¹y vµ båi d­ìng häc sinh kh¸, giái líp 7. RÊt mong ®­îc sù gãp ý cña ®ång nghiÖp. II./ NỘI DUNG 1. Lý thuyết Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỷ số a c * Tính chất của tỷ lệ thức: b d a c Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức suy ra a.d = b.c b d Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỷ lệ thức: a c a b d c d b , , , b d c d b a c a a c a b d c d b Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức: , , b d c d b a c a * Tính chất của dãy tỷ lệ thức bằng nhau: a c a a c a c Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức sau: , (b ≠ ± d) b d b b d b d a c i Tính chất 2: suy ra các tỷ lệ thức sau: b d j a c c i a c i , (b, d, j ≠ 0) b b d j b d j a b c Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, 7 tức là ta có: 3 5 7 III./ CÁC DẠNG BÀI TẬP Tôi xin chia 5 dạng cụ thể sau: 1. Toán chứng minh đẳng thức 2. Toán tìm x, y, z, 3. Toán đố 4. Toán về lập tỷ lệ thức 1
2. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị 5. Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức A. Loại toán chứng minh đẳng thức a c a b c d Bài 1. Chứng minh rằng : Nếu 1 thì với a, b, c, d ≠ 0 b d a b c d Giáo viên hỏi: Muốn chứng minh trước hết xác định bài toán cho ta điều gì? Bắt chứng minh điều gì? a c a c a b c d Giải: Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: 1 1 b d b d b d a b b (1) c d d a c a b c d a b b (2) b d b d c d d a b a b a b c d Từ (1) và (2) => (ĐPCM) c d c d a b c d a c Bài 2: Nếu thì: b d 5a 3b 5c 3d a, 5a 3b 5c 3d 7a2 3ab 7c2 3cd b, 11a2 8b2 11c2 8d 2 Giải: - Nhận xét điều phải chứng minh? - Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d? - Bài 1 gợi ý gì cho giải bài 2? a c a b 5a 3b 5a 5c 5a 3b 5c 3d a. Từ (đpcm) b d c d 5c 3d 3b 3d 5a 3b 5c 3d a c a b a2 b2 ab 7a2 8b2 3ab 11a2 b. b d c d c2 d 2 cd 7c2 8d 2 3cd 11c2 7a2 3ab 11a2 8b2 (đpcm) 7c2 3cd 11c2 8d 2 a b c a Bài 3: CMR: Nếu a2 bc thì điều đảo lại có đúng hay không? a b c a a b a b a b a b c a Giải: + Ta có: a2 bc c a c a c a a b c a + Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy: 2
3. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị a b c a a b c a a b c a a b c a Ta có: ac a2 bc ab ac a2 bc ab 2bc a2 a2 bc a c ac a2 c2 Bài 4: Cho CMR b d bd b2 d 2 a c ac a2 c2 a2 c2 ac a2 c2 Giải: (đpcm) b d bd b2 d 2 b2 d 2 bd b2 d 2 4 a c a b a4 b4 Bài 5: CMR: Nếu thì 4 4 b d c d c d Giải: 4 a c a b a b a4 a b Ta có: 4 1 b d c d c d c c d a b a4 b4 a4 b4 Từ 2 c d c4 d 4 c4 d 4 4 a b a4 b4 Từ (1) và (2) 4 4 (đpcm) c d c d a c Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 thì b d Giải: Ta có: a c 2b a c d 2bd 3 c b d a c d Từ (3) và (2) cb cd ad cd a c (đpcm) b d Bài 7: Cho a, b, c, d là 4 số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện: b2 ac;c2 bd và b3 c3 d 3 0 a3 b3 c3 a CM: b3 c3 d 3 d 3
4. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị a b Giải: + Ta có b2 ac 1 b c b c + Ta có c2 bd 2 c d a b c a3 b3 c3 a3 b3 c3 + Từ (1) và (2) ta có 3 b c d b3 c3 d 3 b3 c3 d 3 a b c a3 a b c a Mặt khác: 4 b c d b3 b c d d a3 b3 c3 a Từ (3) và (4) b3 c3 d 3 d Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1) Trong đó a ; b ; c là các số khác nhau và khác 0 thì: y z z x x y a b c b c a c a b Giải: Vì a; b; c ≠0 nên chia các các số của (1) cho abc ta có: a y+z b z x c x y y+z z x x y 2 abc abc abc bc ac ab ? Nhìn vào (*) ta thấy mẫu thức cần có ab – ac ? Ta sẽ biến đổi như thế nào? y+z x y z x y z x y z x y z Từ (2) bc ab ac bc ab ac bc y-z z-x x-y (đpcm) a b c b c a c a b bz-cy cx-az ay-bx Bài 9: Cho 1 a b c x y z CMR: a b c Giải: Nhân thêm cả tử và mẫu của (1) với a hoặc b; c Từ (1) ta có: bz-cy abz-acy bcx-baz cay-cbx abz-acy+bcx-baz+cay-cbx 0 a a2 b2 c2 a2 b2 c2 x y bz-cy = 0 bz = cy = 2 c b 4
5. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị x y ay-bx = 0 ay = bx 3 a b x y z Từ (2) và (3) (đpcm) a b c a b' b c' Bài 10. Biết 1và 1 a' b b' c CMR: abc + a’b’c’ = 0 a b' Giải: Từ 1 ab a 'b' 1 1 a' b Nhân cả hai vế của (1) với c ta có: abc + a’b’c = a’bc (3) b c' Ta có: 1 bc b'c ' b'c(2) b' c Nhân cả hai vế của (2) với a’ ta có: a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4) Cộng cả hai vế của (3) và (4) ta có: abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc +a’b’c => abc + a’b’c = 0 (đpcm) B. Toán tìm x, y, z x y z Bài 11. Tìm x, y, z biết: và 2x 3y 2 186 15 20 28 Giải: Giả thiết cho 2x 3y 2 186 Làm như thế nào để sử dụng hiệu quả giả thiết trên? x y z 2x 3y z 2x 3y z 186 Từ 3 15 20 28 30 60 28 30 60 28 62  x = 3.15 = 45  y= 3.20 = 60  z = 3.28 = 84 x y y z Bài 12. Tìm x, y, z cho: và và 2x 3y z 372 3 4 5 7 Giải: Nhận xét bài này và bài trên có gì giống nhau? Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào? Đưa tử số có cùng số chia x y x y Ta có: (chia cả hai vế cho 5) 3 4 15 20 5
6. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị y z y z (chia cả hai vế cho 4) 5 7 20 28 x y z 15 20 28 Tương tự học sinh tự giải tiếp: x = 90; y = 120; z = 168 x y y z Bài 13. Tìm x, y, z biết và và x + y + z = 98 2 3 5 7 Giải: Hãy nêu phương pháp giải (tìm GCNN (3;5)=?) Học sinh nên tự giải (tương tự bài nào em gặp) ĐS: x = 20; y = 30; z = 42 Bài 14. Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y –z = 95 (*) x y Cách 1: Từ 2x = 3y 3 2 y z 3y = 5z 5 3 Đưa về cách giải giống ba bài trên: cách này dài dòng Cách 2: + Nếu có tỷ lệ của x, y, z tương ứng ta sẽ giải được (*) + Làm thế nào để (1) cho ta (*) + chia cả hai vế của (1) cho BCNN (2;3;5) = 30 2x 3y 5z x y z x y z 95 2x = 3y = 5z 5 30 30 30 15 10 6 15 10 6 19 => x = 75, y = 50, z = 30 Bài 15. Tìm x, y, z biết: 1 2 3 x y z 1 và x – y = 15 2 3 4 Giải: Hãy nêu cách giải (tương tự bài 11) BCNN(1 ;2 ;3) = 6 Chia các vế của (1) cho 6 ta có x y z x y 15 5 12 9 8 12 9 3 => x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 Bài 16. Tìm x, y, z biết: x 1 y 2 z 3 a. 1 và 2x + 3y –z = 50 2 3 4 2x 2y 4z b. 2 và x + y +z = 49 3 4 5 6
7. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị Giải: a. Với giả thiết phần a ta co cách giải tương tự bài nào? (bài 11) 2 x 1 3 y 2 z 3 2x 2 3y 6 z 3 Từ (1) ta có: 4 9 4 4 9 4 2x 3y z 2 6 3 50 5 5 9 9 x 1 5 x 11 2 y 2 5 x 17 3 z 3 5 x 23 4 b. ? Nêu cách giải phần b? (tương tự bài 15) Chia các vế cho BCNN (2;3;4) = 12 2x 3y 4z 2x 3y 4z 3 4 5 3.12 4.12 5.12 x y z x y z 49 1 18 10 15 18 16 15 49 => x = 18; y = 16; z = 15 Bài 17. Tìm x; y; z biết rằng: x y a. và xy = 54 (2) 2 3 x y b. và x2 y2 4 (x, y > 0) 5 3 Giải: ? Làm như thế nào để xuất hiện xy mà sử dụng giả thiết. x y x x y x x2 xy 54 1 . . 9 a. 2 3 2 2 3 2 4 6 6 x2 4.9 2.3 2 6 2 6 2 x 6 54 Thay vào (2) ta có: x 6 y 9 6 54 x 6 y 9 6 x y x2 y2 x2 y2 4 1 b. 5 3 25 9 25 9 16 4 25 5 x2 x 4 2 7
8. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị 9 3 y2 x 4 2 Bài 18. Tìm các số a1, a2, a9 biết: a 1 a 2 a 9 1 2 9 và a a a 90 9 8 1 1 2 9 a 1 a a a 1 2 9 90 45 Giải : 1 1 2 9 1 9 9 8 1 45 Từ đó dễ dàng suy ra a1; a2; Bài 19. Tìm x; y; z biết: y z 1 x z 2 x y 3 1 a. 1 x y z x y z Giải: Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có từ (1) y z 1 y z 1 x z 2 x y 3 2 x y z x x y z x y z 1 2 x y z 0,5 x y z y z 1 2 y z 1 2x x y z 1 2x x x 1 1,5 3x x 2 x z 2 Nếu a + y + z ≠ 0 : 2 x y z 2 3y y 5 2,5 3y y 6 x y 3 2 x y z 3 3z z 5 5 3z z 2 6 b. Tương tự các em tự giải phần b Tìm x, y, z biết: x y z x y z y z 1 x z 1 x y 2 Nếu x + y + z ≠ 0 => x + y + z = 0,5 1 1 1 ĐS : x ; y ; z 2 2 2 Nếu x + y + z = 0 => x = y = z = 0 8
9. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị 1 2y 1 4y 1 6y Bài 20. Tìm x biết rằng: 18 24 6x Giải: 1 4y 1 2y 1 6y 2 8y 1 4y 2 8y 24 18 6x 18 6x 24 18 6x 1 4y 24 1 4y 24 1 24 18 6x 2 1 4y 18 6x 2 18 6x 24.2 6 3 x 6.4.2 3 x 8 x 5 Bài 21. Tìm x, y,z biết rằng: x y z và xyz = 810 2 3 5 Giải: x y z x x x x y z xyz     2 3 5 2 2 2 2 3 5 30 3 x 810 x3 27 27 2 10 8 x3 8.27 23.33 2.3 3 x 6 x y 3.6 y 9 mà 2 3 2 z 15 Bài 22. Tìm các số x1, x2, xn-1, xn biết rằng: x1 x2 xn 1 xn  và x1 x2  xn c a1 a2 an 1 an ( a1 0, ,an 0;a1 a2 an 0) Giải: x x x x x x x c 1 2  n 1 n 1 2 n a a a a a a a a a a 1 2 n 1 n 1 2 n 1 2 n c.ai xi a1 a2 an trong đó: i = 1, 2, , n Bài 23. Tìm các số x; y; z ЄQ biết rằng: x y : 5 z : y z : 9 y 3:1: 2 :5 Giải: Ta có: 9
10. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị x y 5 z y z 9 y k(1) 3 1 2 5 x y 5 z y z 9 y x y 4 3 1 2 5 1 x y 4 k k 4 x y x y 3k 4 k 3k 4 2k k 2 5 z k z 5 k 5 2 3 9 y 5k y 5k 9 10 9 1 x y 3k x 3k y 6 1 5 Từ (1) x 5 y 1 z 3 Bài 24. Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỷ số giữa số thứ 1 và số thứ 2 là 2 ; 3 giữa số thứ 1 và số thứ 3 là 4 . Tìm 3 số đó? 9 Giải: Ta có: x3 y3 z3 1009 x 2 x y x y y 3 2 3 4 6 x 1 x z x y z z 9 4 9 4 6 9 x 4k, y 6k, z 9k x3 y3 z3 4k 3 6k 3 9k 3 64k 3 216k 3 729k 3 1009k 3 1009 k 3 1 k 1 x 1.4 4 y 1.6 6 z 1.9 9 Bài 25. Tìm x, y biết : 2x 1 3y 2 2x 3y 1 5 7 6x C./ LẬP TỈ LỆ THỨC a 5 b 6 a Bài 26. Cho (a 5,b 6) tìm ? a 5 b 6 b 10
11. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị a a b c Bài 27. Cho 4 và e - 3d + 2f 0 a e d f Tìm a 3b 2c d 3e 2 f D./ TOÁN ĐỐ (ngoài những dạng đơn giản trong sgk giáo viên soạn bổ sung thêm) Bài 28. Có 3 đội A; B; C có tất cả 130 người đi trồng cây. Biết rằng số cây mỗi người đội A; B; C trồng được theo thứ tự là 2; 3; 4 cây. Biết số cây mỗi đội trồng được như nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu người đi trồng cây? Giải: + Gọi số người đi trồng cây của đội A; B; C lần lượt là: x; y; z (người), đk: x; y; z ЄN* + Theo bài ra ta có: x.2 = y.3 = 4.z (1) và x + y+ z =130 BCNN (2;3;4) = 12 x.2 y.3 4.z x y z x y z 130 10 12 12 12 6 4 3 6 4 3 13 x 60; y 10; z 30 Trả lời: Đội A; B; C có số người đi trồng cây theo thứ tự là 60; 40; 30 ĐS: 60; 40; 30 Bài 29. Trường có 3 lớp 7, biết 2 có số học sinh lớp 7A bằng 3 số học sinh 7B và bằng 4 số 3 4 5 học sinh 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2 lớp kia là 57 bạn. Tính số học sinh mỗi lớp? Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C lần lượt là x; y; z (em), x; y; z ≠0 Theo bài ra ta có: 2 3 4 x y z 1 và x + y + z = 57 3 4 5 Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12 x y z x y z 57 18 16 15 18 16 15 19 => x = 54; y = 18; z =45 Trả lời: số học sinh các lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là: 54; 18; 45 ĐS: 54; 18; 45 11
12. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị Bài 30. Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số số thứ nhất với số thứ 2 là 5 , của số thứ nhất với số thứ ba là 10 . 9 7 Giải: Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y; z Theo bài ra ta có: BCNN (x;y;z) = 3150 x 5 x 10 x y x z ; ; y 9 z 7 5 9 10 7 x y z k 10 18 7 x 10k 2.5.k y 18.k 32.2.k z 7.k BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7  k = 5  x=50; y = 90; z = 35 Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35. E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho 2 số hữu tỷ a và c với b> 0; d >0. b d a c CM: ad bc b d Giải: a c  db cd + Có b d  ad bc bd db b 0;d 0 ad bc  ad bc a c + Có:  b 0;d 0 bd db b d a c a a c c Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ b d b b d d (Bài 5/33 GK Đ7) Giải: a c  + b d  ad bc(1) thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có: b 0;d 0 12
13. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị ad ab bc ab a a c a b d c b d 2 b b d + Thêm vào hai vế của (1) dc ta có: 1 ad dc bc dc d a c c b d a c c 3 b d d + Từ (2) và (3) ta có: a c a a c c Từ (đpcm) b d b b d d Tính chất 3: a; b; c là các số dương nên a a a c a, Nếu 1thì b b b c a a a c b, Nếu 1thì b b b c Bài 31. Cho a; b; c; d > 0. a b c d CMR: 1 2 a b c b c d c d a d a b Giải: a + Từ 1 theo tính chất (3) ta có: a b c a d a 1 (do d>0) a b c d a b c a a Mặt khác: 2 a b c a b c d a a a d + Từ (1) và (2) ta có: 3 a b c d a b c a b c d Tương tự ta có: b b b a 4 a b c d b c d a b c d c c c b 5 a b c d c d a c d a b d d d c 6 d+a+b+c d a b a b c d Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được: 13
14. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị a b c d 1 2 (đpcm) a b c b c d c d a d a b a c a ab cd c Bài 32. Cho và b;d 0 CMR: b d b b2 d 2 d Giải: a c a.b c.d ab cd Ta có và b;d 0 nên b d b.b d.d b2 d 2 ab ab cd cd a ab cd c Theo tính chất (2) ta có: (đpcm) b2 b2 d 2 d 2 b b2 d 2 d I.Môc tiªu: -Häc sinh n¾m ch¾c tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau biÕt vËn dông lµm bµi tËp. -RÌn cho häc sinh kü n¨ng tr×nh bµy c¸c bµi to¸n vÒ tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau. -RÌn cho häc sinh cã t duy s¸ng t¹o trong gi¶i to¸n. -Gi¸o dôc cho häc sinh tÝnh cÈn thËn, vµ biÕt vËn dông c¸c kiÕn thøc to¸n häc vµo g¶i c¸c bµi to¸n trong thùc tÕ. II.Träng t©m: Hai tiÕt ®Çu: hai d¹ng to¸n ®Çu. III.ChuÈn bÞ: - Gi¸o viªn: chän läc ph©n laäi bµi tËp, so¹n bµi b»ng v¨n b¶n vµ GA§T, m¸y chiÕu, m¸y tÝnh. -Häc sinh: häc thuéc tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc vµ tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau. IV.Hoạt ®éng d¹yhäc: A.Lý thuyÕt: * C¸c tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc: a c ad bc + NÕu b d + NÕu a,b,c,d 0 th× : a c a b d c d b ad bc b d c d b a c a * VÒ tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau: 14
15. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị a c a c e + Tõ d·y tØ sè b d hoÆc b d f Theo tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: a c a c a c * b d b d b d a c e a c e a c e * b d f b d f b d f 15
16. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị B.C¸c d¹ng to¸n: D¹ng 1: T×m c¸c sè khi biết tổng (hoặc tích) và tỷ số của chúng. VD1: T×m x,y,z biÕt: x y z x y z a) 2 3 4 vµ x y z 18 ; b) 2 3 4 vµ x y z 15 Gi¶i: a) Cách 1: ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®îc: x 2.2 4 x y z x y z 18 2 y 2.3 6 2 3 4 2 3 4 9 z 2.4 8 Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút x,y,z theo k. x 2k x y z k y 3k (1) 2 3 4 z 4k x y z 2k 3k 4k 9k 9k 18 k 2 Theo (1) ta có: x = 4; y = 6; z = 8 Cách 3: Rút x, y theo z. 1 x z x y z 2 2 3 4 3 y z 4 1 3 9 x y z z z z z 18 2 4 4 z 8; x 4; y 6 x 3.2 6 x y z x y z 15 3 y 3.3 9 2 3 4 2 3 4 5 b) z 3.4 12 VD2: T×m x, y,z biÕt: x y z x y z a) 3 4 5 vµ x 2y 4z 93 ; b) 3 4 5 vµ 2x y 3z 34 16
17. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị Gi¶i: ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®îc: x 3.3 9 x y z 2y 4z x 2y 4z 93 3 y 3.4 12 3 4 5 8 20 3 8 20 31 a) z 3.5 15 x 2.3 6 x y z 2x 3z 2x y 3z 34 2 y 2.4 8 3 4 5 6 15 6 4 15 17 b) z 2.5 10 2x 3y 4z = = VD3: T×m x, y,z biÕt: 3 4 5 vµ x+2y+4z=220 ; Gi¶i: 2x 3y 4z x y z a) Tõ 3 4 5 18 16 15 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®îc: x 2.18 36 x y z x 2y 4z 220 2 y 2.16 32 18 16 15 18 32 60 110 z 2.15 30 VD 4: T×m x, y biÕt: a) 5x 7y vµ x 2y 51; b) a.x b.y(a 0,b 0,b a) vµ x y b a Gi¶i: x y 5x 7y a) Tõ 7 5 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®îc: x y x 2y 51 x 21 3 7 5 7 10 17 y 15 x y a.x b.y b) Tõ b a ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®îc: x y x y b a x b 1 b a b a b a y a 17
18. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị µ µ µ µ VD5: Tính các góc của tam giác ABC biết 2A=B; 3B=C Gi¶i: Cµ Aµ Bµ Cµ Aµ Bµ Cµ 1800 2Aµ =Bµ; 3Bµ =Cµ 2Aµ =Bµ 200 3 1 2 6 9 9 µ 0 µ 0 µ 0 Tõ: A 20 ;B 40 ;C 120 Tæng qu¸t : x y z = = T×m x,y,z biÕt a b c vµ mx+ny+pz=d Víi a,b, c,d lµ c¸c sè cho tríc vµ m,n,p≠ 0 Ph¬ng ph¸p gi¶i lµ: ta chØ cÇn ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ®Ó ®Ó t¹o ra tû sè lµ h»ng sè . Cô thÓ: x y z mx ny pz mx ny pz d = = = = = Tõ a b c ma nb pc ma nb pc ma nb pc VD6: T×m x,y,z biÕt: x y x y z a) 2 3 vµ xy 24 ; b) 2 3 4 vµ xyz 24 Gi¶i: a) Cách 1: 2 2 x y x y x y xy 24 . 4 2 3 2 3 2 3 6 6 x 2 x 4 2 Với x = 4 y = 6 Với x = - 4 y = - 6 x y k x 2k; y 3k Cách 2: §Æt 2 3 18
19. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị Thay x 2k; y 3k vµo xy 24 ta ®îc: 2k.3k 6k 2 24 k 2 4 k 2 -Víi k 2 x 4; y 6 -Víi k 2 x 4; y 6 x y z k x 2k; y 3k; z 4k b) §Æt 2 3 4 Thay x 2k; y 3k; z 4k vµo xyz 24 ta ®îc: x 2 3 3 2k.3k.4k 24k 24 k 1 k 1 y 3 z 4 VD7: T×m x, y,z biÕt: x y z 2 2 2 a) 3 4 5 vµ x 2 y 4 z 141 x y z 2 2 2 b) 3 4 5 vµ 2x y 3z 77 Gi¶i: x y z (1) 3 4 5 x2 y2 z2 a) Tõ 9 16 25 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®îc: x2 y2 z2 2y2 4z2 x2 2y2 4z2 141 1 x2 9 x 3 9 16 25 32 100 9 32 100 141 x 3 x 3 y 4 y 4 kÕt hîp víi (1) z 5 hoÆc z 5 x y z x 2 y 2 z 2 (1) b) Tõ 3 4 5 9 16 25 19
20. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®îc: x2 y2 z2 2x2 3z2 2x2 y2 3z2 77 1 x2 9 x 3 9 16 25 18 75 18 16 75 77 x 3 x 3 y 4 y 4 kÕt hîp víi (1) z 5 hoÆc z 5 Tæng qu¸t : x y z k k k T×m x,y,z biÕt a b c vµ mx ny pz d Víi a,b,c,d,m,n, p,d,k lµ c¸c sè kh¸c 0 k N * Ph¬ng ph¸p gi¶i nh sau: x y z mx k ny k pz k k k k Tõ a b c ma nb pc mx k ny k pz k k k k ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau cho d·y tØ sè ma nb pc ta ®îc: mx k ny k pz k mx k ny k pz k d k k k k k k k k k ma nb pc ma nb pc ma nb pc D¹ng 2: Chøng minh ®¼ng thøc từ mét hÖ thøc cho tríc. a c (a,b,c,d 0;a b;c d) VD1: Cho tØ lÖ thøc: b d Chøng minh r»ng: a b c d a b c d a) a b c d b) b d Gi¶i: a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. a c a b Tõ b d c d . ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®îc: a b a b a b c d c d c d 20
21. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị a b a b a b c d do : c d c d a b c d Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu: a b kb b k 1 a c a kb a b kb b k 1 k b d c kd c d kd d k 1 Đặt c d kd d k 1 a b c d Vậy: a b c d Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức. b a+b a+b c+d = = b)do: d c+d b d Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu: Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức. a c a c a b c d 1 1 Cách 4: b d b d b d a c = VD2: Cho tØ lÖ thøc: b d Chøng minh r»ng: 2a+3b 2c+3d 3a 2 +5ab 3c2 +5cd = b) 2 2 = 2 2 a) 2a-3b 2c-3d 7a -10b 7c -10d Gi¶i: a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. a c a b do: b d c d . ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®îc: a b 2a 3b 2a+3b 2a-3b = = = = = c d 2c 3d 2c+3d 2c-3d 2a+3b 2a-3b 2a+3b 2c+3d = = từ : 2c+3d 2c-3d 2a-3b 2c-3d Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu: 21
22. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị 2a+3b 2kb+3b 2k+3 = = a c a=kb 2a-3b 2kb-3b 2k-3 = =k b d c=kd 2c+3d 2kd+3d 3k+3 = = Đặt 2c-3d 2kd-3d 2k-3 2a+3b 2c+3d = Vậy: 2a-3b 2c-3d Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức. b) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. a c a b do: b d c d . ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®îc: 2 2 a b a b a b a 2 b2 ab = = . 2 = 2 c d c d c d c d cd 3a 2 7a 2 10b2 5ab 3a 2 +5ab 7a 2 -10b2 = = = 3c2 7c2 10d2 5cd 3c2 +5cd 7c2 -10d2 3a 2 +5ab 3c2 +5cd = 7a 2 -10b2 7c2 -10d2 3a 2 +5ab 7a 2 -10b2 3a 2 +5ab 3c2 +5cd = = từ 3c2 +5cd 7c2 -10d2 7a 2 -10b2 7c2 -10d2 Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu: Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức. Tæng qu¸t : 2 2 2 2 a c ma+nb mc+nd ma +nb +kab mc +nd +kac = a) = b) 2 2 = 2 2 Nếu: b d thì: m'a+n'b m'c+n'd m'a +n'b +k'ab m'c +n'd +kcd Nhận xét: Hầu hết các bài tập trong hai dạng toán trên đều có thể giải bằng nhiều cách tuy nhiên ở mỗi bài ta nên chọn c ách giải hợp lý nhất. a b c d a c VD 3: Cho tØ lÖ thøc: a b c d . Chøng minh r»ng: b d . Gi¶i: 22
23. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị a b c d a b 2b c d 2d 2b 2d 1 1 a b c d a b c d a b c d c d a b c 1 a 1 a c 2d 2b 2d 2 2b 2 b d D¹ng 3: Tính giá trị của một biểu thức. a b c a 2 +b2 +c2 = = M= 2 Ví dụ: Cho : b c a hãy tính giá trị của biểu thức (a+b+c) Gi¶i: a b c a+b+c = = = =1 a = b = c b c a a+b+c a 2 +b2 +c2 a 2 +a 2 +a 2 3a 2 3a 2 1 M= = = = = (a+b+c)2 (a+a+a)2 (3a)2 9a 2 3 23
24. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị C.Bµi tËp vËn dông Bµi 1: T×m hai sè x vµ y biÕt: x 7 x y a) y 3 vµ 5x – 2y = 87; b) 19 21 vµ 2x – y = 34; Bµi 2: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng: 2a = 3b; 5b = 7c vµ 3a + 5c – 7b = 30. Bµi 3: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng: x y z x y y z a) 10 6 24 vµ 5x + y – 2z = 28; b) 3 4 ; 5 7 vµ 2x + 3y – z = 186; 2x 3y 4z c) 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32;d) 3 4 5 vµ x + y + z = 49; x 1 y 2 z 3 e) 2 3 4 vµ 2x + 3y – z = 50; Bµi 4: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng: x y z x3 y3 z3 a) 2 3 5 vµ xyz = 810; b) 8 64 216 vµ x2 + y2 + z2 = 14. Bµi 5: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng: y z 1 x z 2 x y 3 1 a) x y z x y z ; 1 2y 1 4y 1 6y 2x 1 3y 2 2x 3y 1 b) 18 24 6x ; c) 5 7 6x Bài 6: Ba người cùng góp vốn kinh doanh được tổng số tiền là 180 triệu đồng. Biết rằng 3 lần số vốn của người thứ nhất bằng 2 lần số vốn của người thứ hai và 4 lần số vốn của người thứ hai bằng 3 lần vốn của người thứ 3. Tính số vốn mà từng người đã góp. a c Bµi 7: Cho tØ lÖ thøc: b d ; Chøng minh r»ng: 5a 3b 5c 3d 7a 2 3ab 7c 2 3cd a) 5a 3b 5c 3d ; b) 11a 2 8b 2 11c 2 8d 2 . 2a 13b 2c 13d a c Bµi 8: Cho tØ lÖ thøc: 3a 7 b 3c 7 d . Chøng minh r»ng: b d . b z cy cx az ay b x x y z Bµi 9: Cho d·y tØ sè : a b c . Chøng minh r»ng: a b c . 2 2 Bµi 10: Cho 4 sè a1; a2; a3; a4 tho¶ m·n: a2 = a1.a3 vµ a3 = a2.a4. a3 a3 a3 a 1 2 3 1 a3 a3 a3 a Chøng minh r»ng: 2 3 4 4 . a 2 b 2 a b a c Bµi 11*: Cho tØ lÖ thøc : c 2 d 2 c d . Chøng minh r»ng: b d . 24
25. Trần Đăng Thiện Trường THCS Văn Trị a b c , , Bµi 12: Cho ba tØ sè b»ng nhau: b c c a a b . T×m gi¸ trÞ cña mçi tØ sè ®ã ? Bµi 13: Cho a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ kh¸c 0 sao cho: a+b-c a-b+c -a+b+c = = c b a (a+b)(b+c)(c+a) M T×m gi¸ b»ng sè cña biÓu thøc: abc x+y y+z z+t t+x P= + + + Bµi 14: Cho biÓu thøc: z+t t+x x+y z+y .T×m gi¸ tri cña biÓu thøc P biªt r»ng: x y z t y+z+t z+t+x t+x+y x+y+z a a a a 1 = 2 = = 2007 = 2008 a a a a Bài 15: Cho 2008 số thoả mãn a1+a2+ +a2008 0 và 2 3 2008 1 a 2 +a 2 + a 2 +a 2 N= 1 2 2007 2008 (a +a + +a +a )2 Hãy tính giá trị của biểu thức: 1 2 2007 2008 ax2 + bx + c a b c P = = = a x2 + b x2 + c a b c Bài 16: Cho 1 1 1 Chứng minh rằng nếu 1 1 1 Thì giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của x. 25