Đề thi thử vào 10 chuyên THPT môn Toán 9 - Năm 2022 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử vào 10 chuyên THPT môn Toán 9 - Năm 2022 (Có đáp án)

1. (Đề thi có 1 trang) ĐỀ THI THỬ VÀO 10 CHUYÊN THPT NĂM 2022 Môn Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. x x 4 x 4 x 4 x 4 Câu I (4,0 điểm). Cho A với x 4 . x2 8x 16 1. Rút gọn A. 2. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu II (4,0 điểm). 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol (P): y = ax2 (a ¹ 0) và đường thẳng (d): y = - bx- c(b ¹ 0). Chứng minh rằng khi a,b,c thỏa mãn3a 4b 6c 0 thì (P) và (d) có điểm chung. 2. Tìm các cặp nghiệm nguyên (x;y) thỏa mãn (x + 2)2 (y - 2)+ xy2 + 26 = 0. Câu III (4,0 điểm). 1 1 1. Giải phương trình 3 2 - x2 + 2 - + x2 + x + - 7 = 0. x2 x ì 2 2 ï x + (2y - 1) = 3 2y(4y + 1) 2. Giải hệ phương trình íï . ï 2 îï 2x 7y - 1 = 20y + y Câu IV(4,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, AC AB. Gọi M là điểm thay đổi trên cạnh AB. Đường thẳng CM cắt đường tròn đường kính BM tại điểm thứ hai là N và cắt đường tròn tâm A bán kính AC tại điểm thứ hai là D. Đường thẳng AN cắt đường tròn đường kính BM lại điểm thứ hai là E. 1. Chứng minh rằng khi M thay đổi thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM nằm trên một đường thẳng cố định. AM BP 2 2k 2. Giả sử k. Gọi P là điểm trên cạnh BC sao cho , d là đường thẳng qua AB BC 3 k A và vuông góc với MP. Chứng minh rằng ba đường thẳng d, BN và ME đồng quy tại một điểm. Câu V (4,0 điểm). 1. Bác A muốn xây dựng một hố ga không nắp hình trụ với dung tích 3m3 . Chi phí ít nhất mà bác A phải bỏ ra xây dựng hố ga là bao nhiêu?Biết rằng tiền công và vật liệu cho 1m2 thành bê tông của hố ga (thành bê tông đáy và thành bê tông xung quang) là 685.000đồng. 2. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c abc . Chứng minh rằng a3 b3 b3 c3 c3 a3 a b c abc 3. 2. 4 27 . 2 2 2 ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 1 HẾT
2. ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT SỐ 3 Câu Nội dung I 1. Điều kiện để biểu thức A xác định là x 4 . 2 2 x x 4 2 x 4 2 x x 4 2 x 4 2 x x 4 2 x 4 2 A x 4 2 x 4 x 4 x x 4 2 2 x 4 4x 16 + Nếu 4 x 8 thì x 4 2 0 nên A 4 x 4 x 4 x 4 x x 4 2 x 4 2 2x x 4 2x + Nếu x 8 thì x 4 2 0 nên A x 4 x 4 x 4 16 16 2. Xét 4 x 8 thì A 4 , ta thấy A Z khi và chỉ khi Z x 4 là ước số nguyên x 4 x 4 dương của 16. Hay x 4 1;2;4;8;16 x 5;6;8;12;20 đối chiếu điều kiện suy ra x 5 hoặc x 6 . 2 2x x m2 4 2 m 4 8 + Xét x 8 ta có: A , đặt x 4 m khi đó ta có: A 2m x 4 m 2 m m suy ra m 2;4;8 x 8;20;68. Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x 5;6;8;20;68. II 1. Để (P) và (d) có điểm chung thì f x ax2 bx c 0 luôn có nghiệm với 3a 4b 6c 0. Cách 1: Vì a 0 nên 3a 6c 2 3a 6c 2 b2 4ac 4ac 0 f x 0 có nghiệm 16 16 1 1 1 Cách 2: Ta có: 2 f 1 4 f 2 a b c 4 a b c 3a 4b 6c 0 2 4 2 1 1 1 2 1 f 1 2 f f 1 . f f 0 f x 0 có nghiệm. 2 2 2 2 3 9 3 9a 12b 16c 3 3a 4b 6c 2c c2 Cách 3: Ta có f 0 c; f a b c Suy ra 4 16 4 16 16 8 3 f 0 . f 0 suy ra phương trình luôn có nghiệm. 4 2. Phương trình đã cho tương đương với (x + y + 6)(xy - 2x + 4)= 6 . Giải các trường hợp của phương trình trên, ta được 4 cặp (x;y) (1;- 1),(3;- 3),(- 10;3),(1;- 8). III 1. é 1 ù é1 ù ĐKXĐ: x Î D = ê- 2;- úÈ ê ; 2ú. ëê 2 ûú ëê 2 ûú Ta có: 1 1 3 2 - x2 + 2 - + x2 + x + - 7 = 0. x2 x 1 1 Û x + 2- x2 + + 2- = (2- x2 )- 2 2- x2 + 5. x x2
3. Ta có x + 2- x2 £ 2. x2 + 2- x2 = 2. x 2- x2 Dấu “=” xảy ra khi = Û x = 1. 1 1 1 1 Tương tự, + 2- £ 2. Dấu “=” xảy ra khi x = 1. x x2 1 1 Suy ra x + 2- x2 + + 2- £ 4 với mọi x Î D. x x2 2 (2- x2 )- 2 2- x2 + 5 = ( 2- x2 - 1) + 4 ³ 4 với mọi x Î D. Dấu “=” xảy ra khi x = ± 1. Vậy có nghiệm duy nhất là x = 1. 1 2. Điều kiện y ³ 7 Từ hệ, cộng hai phương trình, ta được: 2 3 2y(4y + 1)+ 2x 7y - 1 = 20y2 + y + x2 + (2y - 1) (1) 1 Vì y ³ nên x >0. 7 Áp dụng bất đẳng thức cauchy: (4y + 1) 1 3 2y(4y + 1)+ 2x 7y - 1 = 3 4y. .1+ 2x 7y - 1 £ x2 + 9y - (2) 2 2 Từ (1) và (2), ta có 1 x2 + 25y2 - 3y + 1£ x2 + 9y - 2 Û (4y - 1)2 £ 0 1 Û y = 4 3 Thay lại vào hệ, ta được x = . 2 Thử lại thấy thỏa mãn. æ 3 1ö ç ÷ Vậy hệ có nghiệm (x; y)= ç ; ÷. èç 2 4ø÷
4. IV C O P d M H I B A K N E T D C' 1. Ta có ·ADM A· CM M· BN A· EM Suy ra tứ giác AMED nội tiếp. Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A, khi đó ·AC' M A· CM ·ADM do đó tứ giác AC’MD nội tiếp. Vậy 5 điểm A, M, E, D, C’ cùng nằm trên một đường tròn (T). Tâm T của đường tròn này cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM. Vì C’ cố định nên AC’ cố định, từ đây suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM nằm trên đường thẳng cố định, đó là đường trung trực của AC’. Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm trên đường thẳng d là đường trung trực của AH. 2.Gọi O là trung điểm của BC. Ta sẽ chứng minh MP song song với OT. Gọi H là trung điểm AM, K là trung điểm AB và I là trung điểm HK, Khi đó tứ giác HTKO là hình bình hành. AM Sử dụng giả thiết k suy ra AB (1 k)AB (3 k)AB BM (1 k)AB, BI AB AI AB . 4 4 BM 4 4k Suy ra . BI 3 k BP 2 2k BP 4 4k BM BP Vì nên . Suy ra , do đó MP // OT. BC 3 k BO 3 k BI BO Suy ra d  OT . Ta có ME là trục đẳng phương của đường tròn đường kính BM và đường tròn (T). BN là trục đẳng phương của đường tròn đường kính BM và đường tròn đường kính BC, d là trục đẳng phương của (T) và đường tròn đường kính BC. Suy ra ba đường thẳng d, ME, BN đồng quy tại một điểm.
5. V V 3 1.Ta có: V R2h h . R2 R2 2 6 2 3 3 2 3 2 Mặt khác: Sxd 2 Rh R R R 3 9 m (áp dụng BĐT Cô-si). R R R Suy ra chi phí bác Nam bỏ ra nhỏ nhất khi diện tích xây dựng hố ga hình trụ nhỏ nhất và khi đó 3 2 Sxd 3 9 m . Vậy số tiền bác A phải bỏ ra ít nhất là: 685000.33 9 6.260.000 đồng. 1 a3 b3 a 1 2.BĐT * . 4   2  3. 2. 27 cyc ab 1 cyc a 1 abc cyc a b a c 2 a b c 2abc 1 Ta thấy VP * a b b c c a 8abc 4 Ta sẽ chứng minh 1 a3 b3 1 a3 b3 3. 2.4 27 4   3. 2. 27 cyc ab 1 4 cyc ab 1 4 Ta có BĐT : 9 a b b c c a 8 a b c ab bc ca thật vậy 9 1 a b b c c a a b b c c a a b b c c a 8 8 a b c ab bc ca Từ đó suy ra: 8 a b b c c a a b c ab bc ca 9 8 8 3 2 a b c 3abc a b c abc 1 9 9 Lại có: a3 b3 a b a2 ab b2 ab a b Tương tự b3 c3 bc b c ;c3 a3 ca c a (2) 3 1 1 4abc 64 2 ab 1 bc 1 ca 1 abc c abc b abc a abc (3) abc abc 3 27 Từ (1); (2) và (3), ta có: a3 b3 b3 c3 c3 a3 ab a b .bc b c .ca c a VT 33 33 ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca 1 2 2 2 8 3 2 a b c   abc 4 9 3.3 2 3. 2. 27 33 VP 64 2  abc 4 3 4 27 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 3