Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện môn Toán 9 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện môn Toán 9 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT HỒNG NGỰ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (ĐỀ THAM KHẢO) CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 08/11/2020 (Đề gồm có 01 trang) Bài 1: (2 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) (4 15)(5 3)  8 215 b) 5 3 29 12 5 Bài 2: (2 điểm) xx 22 Cho biểu thức P . x x xx 21x 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên, tính các giá trị nguyên của P. Bài 3: (4 điểm) a) Giải phương trình: (x22 3 x 2)( x 7 x 12) 24 (x y 1)3 x 2021 b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 3 (x y 1) y 2020 Bài 4: (4 điểm) a) Cho ba số x ; y ; z bất kì. Chứng minh rằng: x2 y2 z 2 xy xz yz b) Cho 2020 xx22 2014 3. Tính 2020 xx22 2014 . Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với OM. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Chứng minh rằng: a) ME = MF. b) AM là tia phân giác của góc BAE. c) MH2 = AE.BF. Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác đều ABC có G là trọng tâm. Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng của G qua AB và AC. a) Tứ giác EAFG là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh bốn điểm E, B, C, F cùng thuộc đường tròn tâm G bán kính GB. c) Tính diện tích tứ giác EBCF, biết AB = a. HẾT
2. PHÒNG GD & ĐT HỒNG NGỰ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN (Gồm có 04 trang) Nội dung Điểm Bài 1 2 điểm 0,25 a) (4 15)(5 3)  8 215 (4 15)(5 3)  (5 3)2 (4 15)( 5 3)2 (4 15)(8 215) 0,25 2(4 15)(4 15) 0,25 2(16 15) 2.1 2 0,25 0,25 b) 5 3 29125 5 3 (325) 2 0,25 5 3 3 2 5 5 6 2 5 0,25 5 ( 5 1)2 5 ( 5 1) 11 0,25 Bài 2 2 điểm a) 1 điểm xx 22 P . x x . ĐK: x 0 và x 1 0,25 xx 21x 1 xx 22 0,25 .1xx 2 (x 1) ( x 1)( x 1) x 2 x 2 ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) xx 0,25 xx 11 xx 11 (x x 2) x x 2) 2 x 0,25 . x x 1 x 1 x 1 b) 1 điểm 2x 2 x 2 2 2( x 1) 2 2 P 2 Z ( x 1) là Ư(2) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0,5 (x 1) 1; 2 0,25 xx 1 1 2(nhận); xx 1 1 0 (loại) xx 1 2 3(nhận); xx 1 2 1(loại) Khi xP 24 ; Khi xP 33 0,25 Bài 3 4 điểm a) 2 điểm (x22 3 x 2)( x 7 x 12) 24 ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 24 0,25 (x 1)( x 4) . ( x 2)( x 3) 24 ( x22 5 x 4)( x 5 x 6) 24(*) 0,25 Đặt t x2 55 x , khi đó phương trình (*) trở thành: 0,25 (t 1)( t 1) 24 t2 1 24
3. 0,25 2 t 5 t 25 t 5 0,5 22 x 0 Với t 5 thì x 5 x 5 5 x 5 x 0 x 5 Với t 5 thì x22 5 x 5 5 x 5 x 5 0 (PT VN) 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trình: S 0; 5 0,25 b) 2 điểm 3 (x y 1) x 2020 (1) 3 (x y 1) y 2019 (2) 1,0 Lấy (1) trừ cho (2) theo vế, ta được: xy 1 Thay vào hệ phương trình: 0,5 (1 1)3 x 2021 8 x 2021 x 2021 8 3 (1 1) y 2020 8 yy 2020 2020 8 x 2013 0,5 y 2012 Bài 4 4 điểm a) 2 điểm Với mọi x ; y ; z ta luôn có: 2 0,5 x y 0 x2 y2 2xy x z 2 0 x2 z 2 2xz 0,5 y z 2 0 y2 z 2 2yz 0,5 Do đó: 2(x2 y2 z 2 ) 2(xy xz yz) 0,25 x2 y 2 z 2 xy xz yz 0,25 b) 2 điểm Đặt A 2020 x2 A 2 2020 x 2 0,25 B 2014 x2 B 2 2014 x 2 0,25 Khi đó: A2 B 2 (2020 x 2 ) (2014 x 2 ) 6 0,5 (ABAB )( ) 6 0,25 3.(AB ) 6 (Vì AB 3 ) 0,25 Suy ra: AB 2 . 0,25 22 0,25 Vậy 2020 xx 2014 2 d Nội dung Điểm Bài 5 4 điểm F M E A H O B
4. a) 1 điểm ABFE là hình thang. 0,25 OA = OB, OM//AE//BF. 0,5 Kết luận: ME = MF 0,25 b) 1,25 điểm Tam giác OAM cân tại O (do OA = OM = bán kính) nên : 0,5 MAˆO AMˆO AE//OM nên EAˆM AMˆO (so le trong) 0,25 Suy ra EAˆM MAˆO 0,25 Do đó AM là tia phân giác của góc OAE hay của góc BAE 0,25 c) 1,75 điểm AME = AMH (cạnh huyền - góc nhọn) 0,5 Suy ra AE = AH BFM = BHM (cạnh huyền - cạnh góc vuông) 0,5 Suy ra BF = BH Tam giác ABM có đường trung tuyến MO ứng với cạnh AB bằng nửa 0,25 cạnh AB nên ABM là tam giác vuông tại M Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM, ta có: 0,25 MH2 = HA.HB Suy ra MH2 = AE.BF 0,25 Bài 6 4 điểm A E F I K G C B H a) 1,5 điểm Vì tam giác ABC đều nên các đường trung tuyến bằng nhau 0,5 AH = BK = CI => AG = BG = CG Mặt khác tứ giác AGBE là hình thoi (có 2 đường chéo vuông góc tại 0,5 trung điểm mỗi đường). Do đó AE = AG = GB = BE Tương tự ta có AE = AF = FG = GE. 0,5 Vậy tứ giác EAFG là hình thoi. b) 1,5 điểm CI 2CI 0,5 Ta có IE = IG = => GE = GC = (1) 3 3 Tương tự GB = GF (2) 0,5 Mà BG = CG (3) 0,25 Từ (1), (2), (3) => GE = GC = GF = GB 0,25 Vậy E, B, C, F cùng thuộc đường tròn (G; GB) 0,25 c) 1 điểm
5. Theo chứng minh trên (câu b) tứ giác EBCF là hình chữ nhật. 0,25 2a Ta có BC = AB = a ; BE = AG = 3 0,25 2 2a 2a Do đó: S = .a = (đvdt) 0,5 3 3 Ghi chú: Học sinh giải cách khác đúng, hợp lôgic thì vẫn cho điểm tối đa theo hướng dẫn trên. Bài 5, 6 không chấm điểm phần bài làm nếu hình vẽ chưa chính xác. Hết