Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NAM TRỰC MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) x2 x 2x x 2 x 1 1. Rút gọn biểu thức P với x > 0, x 1 x x 1 x x 1 2. Cho x + 3 = 2. Tính giá trị của biểu thức A = 7(x2 – 4x)100 + (x2 – 4x)50 + 2016 Bài 2: (4,0 điểm) 1. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 2x + 3 = y2 2. Giải phương trình x2 12 5 3x x2 5 Bài 3: (3,0 điểm) x y z 2 Giải hệ phương trình 2 2xy z 4 Bài 4: (2,0 điểm) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 2 x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = y z z x x y Bài 5: (7,0 điểm) 1. Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B, C (d không đi qua O). Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A nằm ngoài đường tròn tâm O). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. a. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn và AK. AI = AM2 b. Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME. c. Thầy cô có nhu cầu mua bộ đề HSG môn toán 6789 các huyện trên toàn quốc(100 đề full đáp án), giá 50k/1 khối gồm 100 đề. Liên hệ 0981631258 2. Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 1m, trong hình vuông đó đặt 55 đường tròn, mỗi 1 đường tròn có đường kính m. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng giao với ít nhất bảy 9 đường tròn. Hết
2. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM Bài 1: (4,0 đ) Câu Nội dung Điểm x2 x 2x x 2 x 1 1. P x x 1 x x 1 (2,0đ) 3 x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 P 1,0 x x 1 x x 1 x x 1 2 x 1 2 x 1 x x 1 1,0 2 2. x + 3 = 2=> x 2 3 (x 2) 3 2 2 (2,0đ) x 4x 1 0 x 4x 1 1,0 A = 7(-1)100 +(-1)50 +2016 A = 2024 1,0 Bài 2: (4,0đ) Câu Nội dung Điểm 1. Với x = 0 thì y = 2 hoặc y = -2 0,5 (2,0đ) Với x= 1 thì y2 = 5 (loại) 0,5 Với x 2 thì VT chia 4 dư 3, 0,5 Vì VT là số tự nhiên lẻ => y là số tự nhiên lẻ => VP chia 4 dư 1 => vô lí. 0,25 Vậy nghiệm tự nhiên của phương trình là (x,y) =(0;2) 0,25 5 2. Để phương trình có nghiệm thì : x2 12 x2 5 3x 5 0 x 0,25 3 (2,0đ) x2 4 x2 4 x2 12 4 3x 6 x2 5 3 3 x 2 0,5 x2 12 4 x2 5 3 x 2 x 1 x 2 3 0 x 2 0,5 x2 12 4 x2 5 3 x 2 x 2 5 Dễ dàng chứng minh được 3 0, x 0,5 x2 12 4 x2 5 3 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2} 0,25
3. Bài 3: (3,0đ) Câu Nội dung Điểm 3,0đ x y z 2 z 2 x y 1,0 2 2 2xy z 4 2xy z 4 z 2 x y z 2 x y (1) 2 2 2 1,0 2xy 2 x y 4 x 2 y 2 0 (2) Từ phương trình 2 tìm được x=2 và y=2 Thay vào phương trình 1 tìm được z = -2 1,0 Bài 4: (2,0đ) Câu Nội dung Điểm 2,0đ Vì x, y, z > 0 ta có: x2 y z Áp dụng BĐT Côsi đối với 2 số dương và ta được: y z 4 x2 y z x2 y z x 2 . 2. x (1) . Tương tự ta có: y z 4 y z 4 2 0,5 y2 x z y(2) x z 4 z2 x y z(3) x y 4 Cộng (1) + (2) + (3) ta được: 0,5 x2 y2 z2 x y z P y z z x x y 2 x y z P x y z 1 2 0,5 2 Dấu “=” xảy ra x y z 3 0,25 2 Vậy min P = 1 x y z 3 02,5
4. Bài 5: : (7,0đ) Câu Nội dung Điểm 1. M (5,5 đ) Q P H O D A B K I d C N E 1a I là trung điểm của BC ( dây BC không đi qua O ) 0,5 OI  BC O· IA 900 => I thuộc đường tròn đường kính AO (1) (2,0đ) Ta có A· MO 900 ( do AM là hai tiếp tuyến (O) ) => M thuộc đường tròn 0,5 đường kính AO (2) ·ANO 900 ( do AN là hai tiếp tuyến (O) ) => N thuộc đường tròn 0,5 đường kính AO (3) => 5 điểm A, M, N, O, I cùng thuộc đường tròn đường kính AO Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA 0,5 1,5đ AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác M· ON mà ∆OMN cân tại O nên OA  MN 0,5 ∆AMO vuông tại M đường cao MH nên ta có AH.AO = AM2 ∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì A· HK=A· IO=900 và O· AI chung ) Suy ra AK.AI = AH.AO 0,5 2 => AK.AI = AM 0,5 1b Ta có M thuộc đường tròn (O) => P· MQ=900 (2,0đ) Xét ∆MHE và ∆QDM có M· EH=D· MQ ( cùng phụ với D· MP ), E· MH=M· QD ( cùng phụ với M· PO )  ∆MHE đồng dạng ∆QDM ME MH 1,0 MQ DQ ∆PMH đồng dạng với ∆MQH MP MH MH MQ HQ 2DQ MP 1 ME 0,5 MQ 2 MQ 0,5 ME = 2 MP P là trung điểm ME.
5. (1,5 đ) Kẻ 9 đường thẳng song song cách đều chia hình vuông thành 10 hình chữ 0,5 nhật có chiều rộng là 0,1m. Vì đường kính của mỗi hình tròn lớn hơn 0,1m nên mỗi đường tròn bị ít nhất một trong 9 đường thẳng vừa kẻ cắt. Nếu mỗi đường thẳng chỉ cắt không quá 6 đường tròn thì số đường tròn 0,5 không quá 9.6=54 . Vì có 55 đường tròn nên ít nhất phải có một đường thẳng cắt 7 đường 0,5 tròn. Chú ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng và chặt chẽ cho điểm tương đương. - Giám khảo khi chấm thống nhất cho điểm đến 0,25 - Nếu học sinh vận dụng kiến thức trước chương trình vẫn cho điểm. - Điểm của học sinh tính đến 0,25 và không làm tròn.