Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán 7 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán 7 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

1. UBND THỊ XÃ CHÍ LINH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 - 2017 MễN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Đề thi gồm 01 trang) Cõu 1 (2,0 điểm) Tỡm x biết: 2 1 1 3 1 a) x 0 b) x 2017 3 16 4 2 Cõu 2 (2,0 điểm) a b c a b b c c a a) Cho . Tớnh : P . b c c a a b c a b b) Hóy chia số 26 thành ba phần tỉ lệ nghịch với cỏc số 2; 3; 4. Cõu 3 (2,0 điểm) a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 Xỏc định hệ số a, b biết đa thức f(x) nhận x = -1 và x = 2 làm nghiệm. b) Cho đa thức A x2 10xy 2017y2 2y và B 5x2 8xy 2017y2 3y 2018 . Tỡm đa thức C = A - B. Tớnh giỏ trị của đa thức C tỡm được ở trờn khi 2x + y = 1. Cõu 4 (3,0 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh AM  BC và MA = MC. b) Lấy điểm D trờn đoạn thẳng AB (D khỏc A và B), đường thẳng vuụng gúc với MD tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME. c) Chứng minh: MD + ME AD + AE. Cõu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c, d là cỏc số nguyờn dương thỏa món a b c d 25 . c d Tỡm giỏ trị lớn nhất của M . b a –––––––– Hết –––––––– Họ tờn thớ sinh: Số bỏo danh: . Chữ kớ giỏm thị 1: Chữ kớ giỏm thị 2:
2. UBND THỊ XÃ CHÍ LINH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HSG PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 - 2017 MễN: TOÁN - LỚP 7 (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm 03 trang) Cõu í Nội dung Điểm 1 1 1 x x 0,5 2 1 1 3 4 12 a x 3 16 1 1 7 x x 0,5 3 4 12 3 1 3 1 4035 1 x 2017 x 2017 0,25 4 2 4 2 2 3 4035 8067 b x x 0,25 4 2 4 3 4035 8073 x x 0,5 4 2 4 a b c a b c Ta cú: 0,25 b c c a a b 2(a b c) + Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b 0,25 Khi đú P ( 1) ( 1) ( 1) 3 a + Nếu a b c 0 thỡ ta cú b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c a b b c c a 2c 2a 2b 0,25 Khi đú P 6 c a b c a b Vậy : P = - 3 hoặc P = 6. 0,25 2 Giả sử số 26 được chia thành ba phần x, y, z. x y z 0,25 Theo bài ra ta cú : 2x = 3y = 4z 6 4 3 x y z x y z b Áp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau 0,25 6 4 3 6 4 3 26 0,25 2 13 x = 12, y = 8, z = 6. 0,25 Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = -1 làm nghiệm. 0,25 3 a f(-1) = 0 a.(-1)2 +b.(-1) -2 =0 a - b -2 = 0 a = b + 2. Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = 2 làm nghiệm. 0,25
3. f(2)=0 a.(2)2 +b.(2) -2 =0 4a + 2b -2 = 0 0,25 4(b +2) + 2b - 2 = 0 4b +8 + 2b - 2 = 0 6b +6 = 0 b = -1 a = 1. Vậy a = 1; b = -1 0,25 C = A – B x2 10xy 2017y2 2y 5x2 8xy 2017y2 3y 2018 0,25 x2 10xy 2017y2 2y 5x2 8xy 2017y2 3y 2018 b 4x2 2xy y 2018 0,25 C 4x2 2xy y 2018 2x(2x y) y 2018 Thay 2x + y = 1 vào ta được C 2x y 2018 (2x y) 2018 0,25 Thay 2x + y = 1 vào ta được C 1 2018 2017 0,25 A H E D 0,25 2 3 1 4 B M 5 C F Xột ABM và ACM cú: AM chung; AB = AC ( ABC vuụng cõn); MB = MC (gt) 0,25 ABM = ACM (c.c.c) Ã MB Ã MC . Mà Ã MB Ã MC 1800 Ã MB Ã MC 900 a 0,25 4 AM  BC - AMC cú Ã MC 900; Ã CM 450 ( ABC vuụng cõn tại A) 0,5 AMC vuụng cõn tại M MA = MC (1) ả ả 0 ả ả 0 Ta cú: M2 M3 90 (MD  ME) và M3 M4 90 (AM  BC) 0,25 ả ả M2 M4 (2) Bã AC - Do ABM = ACM Mã AB Mã AC 450 0,25 b 2 Xột AMD và CME cú: ả ả ã ã 0 AM = CM (theo (1)); M2 M4 (theo (2)); MAD ACM 45 0,5 AMD = CME (g.c.g) MD = ME
4. Trờn tia đối của tia MD lấy F sao cho MF = MD. Từ F kẻ FH  AB tại H. 0,25 - Chứng minh MDB = MFC (c.g.c) từ đú suy ra FC // AB và FC  AC. 0,25 - Chứng minh HAC = CFH từ đú suy ra HF = AC c Do AMD = CME AD = CE AD + AE = AC. Do MD = ME nờn MD + ME = 2MD = DF 0,25 Mặt khỏc DF HF DF AC hay MD + ME AD + AE - Dấu “=” khi MD  AB. Vỡ a + b = c + d = 25 nờn 1 a,b,c,d 24 c d Nếu cả hai phõn số và đều lớn hơn 1 thỡ c + d > a + b. Trỏi giả thiết. b a 0,25 Vậy cú một phõn số khụng vượt quỏ 1. c Khụng mất tớnh tổng quỏt giả sử 1 b d c d 0,25 + Nếu d 23 thỡ 23 (vỡ a 1) M 1 23 24 (1) a b a 1 24 5 + Nếu d 24 thỡ c = 1 M b a 24 - Nếu a > 1 thỡ M 1 13 (2) 0,25 2 1 24 577 - Nếu a = 1 thỡ b = 24 M (3) 24 1 24 577 Từ (1), (2) và (3) suy ra Max(M ) 24 0,25 Dấu “=” xảy ra khi a = c = 1; b = d = 24 hoặc a = c = 24; b = d = 1. Chỳ ý : Nếu HS làm cỏch khỏc, đỳng vẫn cho điểm tối đa.