Bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 7 - Chuyên đề: Tỷ lệ thức dãy tỷ số bằng nhau

Nội dung text: Bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 7 - Chuyên đề: Tỷ lệ thức dãy tỷ số bằng nhau

1. Chuyên đề TỶ LỆ THỨC DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : a c a/ Định nghĩa : TLT là đẳng thức của 2 tỷ số . b d b/ Tính chất TLT : 1/ Tích các trung tỷ bằng tích các ngoại tỷ . 2/ Trong một TLT ta có thể hoán đổi các trung tỷ , Hoán đổi các ngoại tỷ Hoặc hoán đổi cả trung tỷ và ngoại tỷ . a c a c a c a c c/ Tính chất dãy tỷ số bằng nhau : Từ b d b d b d b d a c e a c e a c e Tương tự : b d f b d f b d f a c a c ka kc Mở rộng: b d kb kd b d a c e a c a c m k . k 2 . . k 3 b d b d b d n d/ Trong các bài toán chia một số thành các phần tỷ lệ thuận, hoặc tỷ lệ nghịch với các số cho trước ta chú ý rằng: x y z * x,y,z tỷ lệ thuận với a,b,c x : y : z = a : b : c a b c 1 1 1 * x,y,z tỷ lệ nghịch với m,n,p x : y : z = xm : yn : zp m n p B. LUYÊN TẬP VÀ NÂNG CAO : BÀI 1 : Tìm x trong các TLT sau : 2 7 2 1 a/ 3 9 => x = 0,02 0,3 x x 1 6 b/ => x = 37 x 5 7 x 2 24 12 12 c/ => x = ; 6 25 5 5  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP/HỘI AN - 1 -
2. BÀI 2: Hãy lập tất cả TLT có từ 4 trong 5 số sau : 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 ? HD : Từ 4 trong 5 số trên có thể lập được 3 đẳng thức : 3 . 243 = 9 . 81 => 4 TLT : 9 . 243 = 27 . 81 => 4 TLT 3 . 81 = 9 . 27 => 4 TLT Vậy có tất cả 12 TLT. a b c b d c c d a d a b BÀI 3 : Tính giá trị các tỷ số . Biết d a b c HD : a b c b c d c d a d a b 3(a b c d) Ta có : => 3 d a b c a b c d x y z BÀI 4 : Tìm x,y,z . Biết và x.y.z = 576 3 4 6 HD : 3 3 3 x y z x y z x.y.z 576 Ta có : k 3 8 => k = 2 3 4 6 3 4 6 72 72 x y z => 2 x 6; y 8; z 12 3 4 6 x y BÀI 5 : Tim x ,y . Biết & x 2 .y 2 144 3 4 x y x 2 y 2 HD: Ta có : 3 4 32 44 Nhân mỗi tỷ số với x 2 ta được x4 x 2 y 2 144 9 x 4 81 x 3 & y 4 9 16 16 BÀI 6 : Tìm x,y z . Biết x y z a/ và 2x - y + 3z = 45 => x=9;y=45 ;z=24 3 15 8 x y y z b/ ; & x + y - z = - 35 4 9 5 8  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP/HỘI AN - 2 -
3. x y x y HD: Để quy về tỷ số của y ta nhận thấy BCNN(9;5)=45 nên và 4 9 20 45 y z y z x y z Do đó ta được : =>x =100;y=225;z= 360 5 8 45 72 20 45 72 c/ 5x = 6y ; 5y = 6z và x + 2y – 3 z = 42 x y y z HD: Từ 5x = 6y và 5y = 6 z => và 6 5 6 5 x y z Tương tự câu b : BCNN(5;6) =30 => => x = 72, y=60, z=50 36 30 25 d/ 3x = 5y = 10z và x – 2y =Z = 15 HD : Để lập được các tỷ số ta chia mỗi tỷ số cho BCNN(3,5,10)=30 rồi rút gọn: 3x 5y 10z x y z 3x = 5y = 10z = => x = 150,y = 90 z = 45 30 30 30 10 6 3 2x 3y 4z e/ và x + y + z = 98 3 4 5 HD: Tương tự câu d ta chia mỗi tỷ số cho BCNN(2,3,4)=12 rồi rút gọn : 2x 3y 4z x y z => x =35 ; y =32 ; z = 30 3.12 4.12 5.12 18 16 15 x y y z f/ ; & 2x 3y 4z 330 => x = 60 ; y = 30 và z = 75 10 5 2 3 x 1 y 2 2z 14 BÀI 7 a/ Tìm x,y,z. Biết và x + z = y 3 5 9 x 1 y 2 2z 14 2x 2 2y 4 HD: Ta có : 3 5 9 6 10 2x 2 2z 14 (2y 4) 20 = 4 => x = 11 ; y = 22 ; z = 11 6 9 10 5 3 4 5 b/ và x + y + z = 18 x 1 y 2 z 3 3 4 5 3 4 5 12 HD: Ta có 1 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 18 6 => x = 4 ;y = 6 ;z = 8  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP/HỘI AN - 3 -
4. BAÌ 8 : Tìm x,y . Biết : x 3 y 3 x 3 2y 3 a/ và x 6 .y 6 64 6 4 x 3 y 3 x 3 2y 3 2x 3 2y 3 2x 3 2y 3 x 3 2y 3 3x 3 HD: 6 4 12 12 4 16 33 x 3 y 3 x 3 2y 3 (x 3 y 3 ) (x 3 2y 3 ) 3y 3 6 4 6 4 2 3x 3 3y 3 x 3 x 6 Do đó : y 3 y 3 y 6 16 2 8 64 x 6 .y 6 64 Nhân mỗi tỷ số với y 6 ta được y12 1 y 1& x 2 64 64 Vậy ta có : ( 2 ; 1) và ( -2 ; -1 ) x 4 3y 1 3y x 5 b/ 6 8 x x 4 3y 1 3y x 5 3y x 5 HD: Ta có : x = 2 & y = 3 6 8 x 2 BÀI 9 : Ba lớp chia nhau dự định chia nhau một số kẹo theo tỷ lệ 5:6:7 . Nhưng Cô giáo lại cho chia theo tỷ lệ 4:5:6 nên có một lớp được nhận hơn dự định 4 túi kẹo Tính tổng số túi kẹo ? HD : Gọi x là là tổng số túi kẹo ( x thuộc N ) Số túi kẹo mỗi lớp dự định chia là a ; b ; c ta có : a b c a b c x 5x 6x 7x a ;b & c 5 6 7 5 6 7 18 18 18 18 - Số túi kẹo mỗi lớp chia theo cô giáo là m ; n ; p ta có: m n p m n p x 4x 5x 6x m ;b & c 4 5 6 4 5 6 15 15 15 15 6x 5x 5x 4x 7x 6x - Vì ; ; Lớp thứ ba nhận nhièu hơn lúc đầu và 15 15 18 15 18 15 6x 7x x phân số chỉ 4 túi kẹo là : 15 18 90 => Tổng số túi kẹo là : 4. 90 = 360 túi BÀI 10 : Tìm ba phân số có tổng bằng 1 37 . Biết các tử số của chúng tỷ lệ với 44  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP/HỘI AN - 4 -
5. 4 : 3 : 5 và các mẫu tỷ lệ với 1 : 2 : 4 . a c e HD : Gọi ba phân số cần tìm là ; ; ( b,d,f =/= 0 . Ta có : b d f a c e 37 a c e b d f 1 ; & b d f 44 4 3 5 1 2 4 Do đó : e a c e a c 81 a b c d e f a 2c 4e f b d f 3 : : : b d 44 4 1 3 2 5 4 4b 3d 5 f 4 3 5 3 5 27 11 4 2 4 2 4 4 a 3 12 c 3 3 9 e 5 3 15 Vậy: 4. ; . & . b 11 11 d 2 11 22 f 4 11 44 BÀI 11 : Tìm ba số . Biết BSCNN của chúng bằng 120 ; Số thứ nhất và số thứ hai tỷ lệ 3 ; 4 . Số thứ nhất với số thứ ba tỷ lệ 5 ; 8 . HD : Ba số cần tìm là a,b,c thì ta có : a b a c a b c & k a 15k;b 20k & c 24k 3 4 5 8 15 20 24 BCNN (a,b,c) = BCNN ( 15k;20k;24k ) =120 k =120 =>k= 1 Vậy a = 15 ; b= 20 ; c = 24 BÀI 12 : Tìm a số tự nhiên .Biết rắng số thứ nhất bằng 14 số thứ hai và số thứ 15 hai bằng 9 số thứ ba .Tổng 2 lần số thứ nhất và 3 lần số tjhứ hai nhiều hơn 4 10 lần số thứ ba là 19 . Hướng dẫn : Gọi x;y;z là ba số tự nhiên phải tìmTheo đề bài ta có : 4 9 x = y & y và 2x + 3y – 4 z = 19. 5 10z a b c b c a BÀI 13: Cho dãy tỷ số bằng nhau Tính giá trị biểu thức : 3 4 11 a c b  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP/HỘI AN - 5 -
6. b c a b c a a c b a c b b c a 12 Ta có : va 4 11 3 12 3 11 4 10 a c b 10 BÀI :14: Ba tấm vải có chiều dai tổng cộng 145 m . Nếu cắt tâm thứ nhất đi 1 2 ;cắt tấm thứ hai đi 1 và cắt tấm thứ ba đi 1 chiều dài mỗi tấm thì chiều dài của 3 4 ba tấm còn lại bằng nhau .Hỏi chiều dài mỗi tấm trước khi cắt ? HD: Gọi chiều mỗi tấm trước khi cắt là x;y;z ( >0 , mét )). Thì sau khi cắt tâm thứ nhất còn 1/2x,tấm thứ hai còn 2/3y và tấm thứ ba còn 3/4z. Vì chiều dài mỗi tấm con x 2y 3z x y z lại bằng nhau nên ta có : và x + y + z = 145 2 3 4 12 9 8 Áp dụng DTSBN => x= 60 m ; y = 45 m và z = 40 m BÀI 15: Tìm ba phân số biết tổng 3 3 và biết tử tỷ lệ với 2 ; 3 ; 5 và mẫu tỷ lệ với 7 5 ; 4 ; 6 ? Hướng dẫn: Gọi x;y;z là 3 phân số cần tìm theo đề bài ta có : 2 3 5 x y z 7 x:y:z = : : 24 : 45 : 50 & x y z 3 5 4 6 24 45 50 60 11 22 33 55 Áp dụng DTSBN => x .24 ; y & z 420 35 28 42 AB 3 BÀI 16: Cho tam giác vuông Â=90 độ . Biết và BC = 15 cm . Tính AC 4 AB ; AC ? AB 3 AB AC AB 2 AC 2 152 Hướng dẫn : 9 AB 9cm & AC 12cm AC 4 3 4 32 42 25 BÀI 17: Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng 3 ;các tử số tỉ lệ 196 với 3 ; 5 và các mẫu số tương ứng tỷ lệ với 4 và 7.  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP/HỘI AN - 6 -
7. Hướng dẫn: gọi x;y là phân số cần tìm . 3 5 x y 3 9 15 Ta có x : y = : 21: 20 và x- y = x & y 4 7 21 20 196 28 49 12x 15y 20z 12x 15y 20z BÀI 18: Tim x;y;z Biết : & x y z 48 7 9 11 12x 15y 20z 12x 15y 20z 0 Hướng dẫn : Ta có = 0 7 9 11 27 => 12x - 15y = 0 12x = 15 y x : 5 = y :4 (1) 20z - 12x = 0 12x = 20z x : 5 = z : 3 (2) x y z x y z 48 TỪ(1) và(2) => x 20; y 16 & z 12 5 4 3 5 4 3 12 BÀI 19: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300 m vuông . Hai cạnh tỷ lệ với 4 ; 3 . Tính chiều dài chiều rộng khu vườn ? Hướng dẫn : Gọi x ; y là chièu dai và chiều rộng khu vườn Ta có x .y = 300 và x : 4 = y : 3 => x=4k ; y = 3k x . y = 4k . 3k = 12k 2 =k 2 =25=>k = 5 (k=-5 loại) Vậy x = 20 mét và y = 15 mét BÀI 20 : Cho P = x 2y 3z . Tính P? Biết x;y;z tỷ lệ với 5;4;3 . x 2y 3z x y z Hướng dẫn: Ta có : K x 5k, y 4k & z 3k 5 4 3 5k 8k 9k 4k 2 2 Vậy : P 5k 8k 9k 6k 3 3 BÀI 21: Cho dãy tỷ số bằng nhau : 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a Tính giá trị của biểu thức M . Biết M = c d d a a b b c Hướng dẫn : Mõi tỷ số đã cho đèu bớt đi 1 ta được :  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP/HỘI AN - 7 -
8. 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d = a b c d Nếu : a+b+c+d 0 => a=b=c=d lúc đó M= 1+1+1+1 = 4 Nếu : a+b+c+d = 0 => a+b = -(c+d) ; b+c = -(d+a) C+d = -(a+b) ; d+a = -(b+c) Lúc đó : (-1)+(-1)+(-1)+(-1) = - 4 Bài 22: a/ Chứng minh rằng nếu có : 2( x + y ) = 5 (y =z ) = 3 (z + x ) x y y z Thì : 4 5 a 2 b 2 a b/ Cho b 2 ac Chứng minh : b 2 c 2 c x y y z z x Hướng dẫn : a/ Ta có : 2(x+y) = 5(y+z) = 3(z+x ) 15 6 10 x z y z x z y z x y Vậy : (1) 10 6 10 6 4 x y z x x y z x y z (2) 15 10 15 10 5 x y y z Từ(1) và (2) => 4 5 a b a 2 b 2 a b a b/ Ta có : b 2 ac . b c b 2 c 2 b c c a 2 b 2 a Do đó : b 2 c 2 c x y x y xy BÀI 23: Tìm các số x , y , z biết : 3 13 200 x y x y xy HD: Ta có : (1) 3 13 200 x y x y x y x y 2x x Và : (2) 3 13 3 13 16 8  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP/HỘI AN - 8 -
9. xy x 8xy 200x 8xy 200 0 200 8 Từ (1) và (2) => x 0 8x(y 25) O y 25 Xét hai trường hợp: 0 y 0 y • Nếu x=0 thì 0 y 0 3 13 x 25 x | 25 • Nếu y=25 thì 13x 325 3x 75 x 40 3 13 Vậy: x = 0 ; y =0 và x =40 ; y= 25 BÀI 16: Các số a , b , c , d thoả mãn điều kiện a b c d & a b c d 0 . Chứng tỏ : a=b=c =d ? 3b 3c 3d 3a a b c d a b c d 1 HD: Áp dụng dãy TSBN : 3b 3c 3d 3a 3(a b c d) 3 a 1 a b(1) 3b 3 b 1 b c(2) Ta suy ra: 3c 3 c 1 c d(3) 3d 3 d 1 d a(4) 3a 3 Từ (1);(2);(3) và(4) ta được a = b = c = d. a b c Bài 17: Tìm x . Biét rằng: x b c c a a b HD: * Khi a + b + c khác 0 ta có: a b c a b c 1 x = (b c) (a c) (a b) 2(a b c) 2 * Khi a + b + c = 0 thì a = -(b+c) ; b = -(a+c ) và c = - (a +b ) a b c Nên : x = -1 b c c a a b  GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP/HỘI AN - 9 -
10.   GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP/HỘI AN - 10 -