Bài tập nâng cao hệ thức lượng trong tam giác vuông - Nguyễn Đình Huynh

Nội dung text: Bài tập nâng cao hệ thức lượng trong tam giác vuông - Nguyễn Đình Huynh

1. TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó. Bài giải sơ lược: A X B Kẻ AH  CD ; BK  CD. Đặt AH = AB = x HK = x AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn) X Suy ra : DH = CK = 10 x . 2 D H K C Vậy HC = HK + CK = x + 10 x = x 10 10cm 2 2 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH 10 x 10 x Ta có : AH2 = DH . CH hay x2 . 5x2 = 100 2 2 Giải phương trình trên ta được x = 2 5 và x = – 2 5 (loại) Vậy : AH = 2 5 Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC. Giải: Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x A Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 15,62 x2 Từ KBC HAC BC KB 2x 12 hay 15,6 AC AH 15,62 x2 15,6 K Đưa về phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2 12 // // C Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5 B H Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) 2x Bài Tập 3 : Cho ABC : µA 900 . Qua trung điểm I của AC, dựng ID  BC. BD2 CD2 AB2 Chứng minh : B Giải: Hạ AH  BC . Ta có : HD = DC ( t/c đường trung bình) Ta có : BD2 – CD2 = ( BC - CD)2 – CD2 H = BC2 + CD2 – 2BC.CD – CD2 D = BC2 – BC.(2CD) = BC2 – BC.HC = BC2 – AC2 = AB2 2 2 2 C ( Chú ý : AB = BC – AC ) A I Bài Tập 4 : Cho ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với 3 EB AB 3 AB, AC. Chứng minh rằng: a) b) BC . BE . CF = AH FC AC Giải: a) Trong AHB có HB2 = BE . BA (1) ; A AHC có HC2 = CF . CA (2 ) F HB2 BE AB Từ (1) và (2) có : 2 . . (1) E HC FC AC C B H Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 1 Tổ : Toán - Tin
2. TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Trong ABC có :AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC suy ra 2 4 HB AB2 HB AB 2 (2) HC AC HC AC 3 EB AB Từ (1) và (2). Ta có : . FC AC BE BH b) ABC EBH . BA BC AB2 AB3 Thay BH BE (3) BC BC 2 AC 3 Tương tự ta cũng có CF ( 4) . BC 2 AB3.AC 3 Từ (3) và (4) Ta có : BE .CF = . BC 4 3 3 3 AB AC AB  AC 3 Mà AB. AC = BC . AH nên BC . BE . CF = 2  2  BC = AH BC BC BC Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Qua A, vẽ cát tuyến A B Bất kì cắt cạnh BC, tia CD lần lượt tại E và F. 1 1 1 Chứng minh : . AE 2 AF 2 AD2 E Giải: Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho BE = HD. Ta có : ABE ADH ( c – g –c ) )AE AH . H D C F · 0 Áp dụng hệ thức lựơng cho AHF : HAF 90 ; AD  HF . A 1 1 1 1 1 1 Ta có : 2 2 2 nên 2 2 2 AH AF AD AE AF AD B 0 Bài 6: Cho hình thoi ABCD có µA 120 , tia Ax tạo với D M P Tia AB góc B· Ax 15o , cắt BC, CD lần lượt tại M, N. H 1 1 4 C Chứng minh: AM 2 AN 2 3AB2 Giải: Từ A, dựng đường thẳng vuông góc với AN Cắt CD tại P, hạ AH  CD . Ta có : ABM ADP ( g – c – g) )AM AP N Áp dụng hệ thức lượng cho NAP : N· AP 900 , AH  NP 1 1 1 1 1 1 Ta có : nên (1) AP2 AN 2 AH 2 AM 2 AN 2 AH 2 3 Mà AH2 = sinD.AD = sin600.AD = AB (2) 2 1 1 1 1 1 4 Thay (2) và (1). Ta có : 2 2 2 2 2 2 AM AN 3 AM AN 3AB AB 2 Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 2 Tổ : Toán - Tin
3. TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG BÀI TẬP PHẦN HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ( 2011-2012) Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB 9, AC 6,4 , AN 3,6; ·AND 900 , D· AN 340 . Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ). a) CN b) ·ABN c) C· AN d) AD. Bài 2 : Trong hình vẽ sau biết Q· PT 180 , P· TQ 1500 , QT 8, TR 5 . Q Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR. Hướng dẫn : Từ T và R hạ các đường vuông góc với PQ. 8 P 18 150 R T 5 Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E. a) Tính AD. b) Tính các góc BAD, BAC. c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD. d) Chứng minh tam giác ADE cân tại D. Hướng dẫn câu c: Hạ CI  AD . Chứng minh : AB = CI. Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; Bˆ = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ? Bài 5: Cho ABC có Aµ 600 . Kẻ BH  AC và CK  AB. a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều Hướng dẫn : AH Câu a : Từ KH = BC.CosA KH BC  ABC AHK AB Câu b: Vận dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và chú ý Aµ 600 Bài 6: Cho ABC ( Aµ= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF  BC. Nối AF và BE. a) Chứng minh AF = BE.cosC. b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE. c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính sin A·OB. Hướng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải bài 5. Câu b: Sử dụng tính chất 2 diện tích miền đa giác hình học 8. · Câu c : Rất khó: Hạ AH, FK vuông góc với BE.Tính SABFE = SABE + SBFE . Suy ra sin AOB Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( Bµ= 900 ). Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH  BM, CK  BM. MC BH.tg2 B·AC a) Chứng minh : CK = BH.tgB·AC . b) Chứng minh : = . MA BK Hướng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải bài 5. Câu b: Tiếp tục vận dụng câu a lần 2. Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH  AD và CK  AB. Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 3 Tổ : Toán - Tin
4. TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG a) Chứng minh CKH BCA. b) Chứng minh HK = AC.sin B·AD . c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết B·AD = 600 , AB = 4 cm và AD = 5 cm. Bài 9: Cho ABC , trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. Chứng minh: tgB.tgC = 2. A E H B D C ĐÁP ÁN Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB 9, AC 6,4 , AN 3,6; ·AND 900 , D· AN 340 . Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ). a) CN b) ·ABN c) C· AN d) AD. Bài giải 2 2 2 2 a) CN AC AN 6,4 3,6 5,2915. A 3,6 b) sin ·ABN 0,4 ·ABN 23034'41''. 9 34 AN 3,6 c) cosC· AN 0,5625 C· AN 55046'16''. 9 AC 6,4 3,6 6,4 d) AN AD.cos A AD.cos340 AN 3,6 AD 4,3426. cos340 0,8290 B C N D Q Bài 2 : Trong hình vẽ sau biết Q· PT 180 , P· TQ 1500 , QT 8, TR 5 . Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR. 8 P 18 150 R T 5 Bài giải a) Xét PTQ, kẻ đường cao TK , ta có P· QT 1800 1500 180 120 . TK TQ.sinQ 8.sin120 ; TK PT.sin P PT.sin180 PT.sin180 8.sin120 ; 8.sin120 PT 5,3825 cm . sin180 Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 4 Tổ : Toán - Tin
5. TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG b) Ta có PR PT TR 5,3825 5 10,3825 cm ; Kẻ đường cao RH, ta có RH PR.sin P 10,3825.sin180 3,2084 . Xét PTQ, ta có Pµ 180 ,Qµ 120 : PK PT.cos P 5,3825.cos180 5,1191; QK QT.cosQ 8.cos120 7,6085 PQ PK KQ 5,1191 7,6085 12,7276 . 1 1 2 Diện tích tam giác PQR : SPQR PQ.RH .12,7276.3,2084 20,4176 cm . 2 2 Q H K 8 P  150 5 18 R T Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E. a) Tính AD. b) Tính các góc BAD, BAC. E c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD. d) Chứng minh tam giác ADE cân tại D. B Giải :a) Áp dụng định lí Pitago. Ta có : 3cm C AD AB2 BD2 62 82 10cm b) Áp dụng tỉ số lượng giác. Ta có : BD 8 0 D sin BAD B· AD 53 7' A I AD 10 BC 3 tgBAC 0,5 B· AC 26034' (*) AB 6 c) Hạ CI  AD . Ta có : ICD BAD ( g-g) CI CD CD  AB 56 CI 3cm AB AD AD 10 nên ABC AIC (CH-CGV) AI AB 6cm CI 1 Suy ra : tgCAI ( ) AI 2 Từ (*) và ( ). Ta có : B· AC I·AC hay AC là tia phân giác của B· AD . d) Mặt khác : B· AC Eµ ( cặp góc soletrong) nên Eµ I·AC hay ADE cân tại D. Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; Bˆ = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm B a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ? P 60 Hướng Dẫn Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 5 Tổ : Toán - Tin A C
6. TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG a) Kẻ AH  BC ; AHB  tại H AH = AB . SinB 1 = 60.Sin300 = 60. = 30 2 B AHC ( Hˆ = 1v) 0 P AH = AC. Cos40 60 AH 30 AC = = = 39,164 Cos400 0,7660 APC có ( Pˆ = 1v) A AP = AC.Cos 200 C = 39,164 . 0,9397 = 36,802 PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198 H b) APC ( Pˆ = 1v) CP = AC. Sin200 = 39,164 . 0,342 = 13, 394 Bài 5: Cho ABC có Aµ 600 . Kẻ BH  AC và CK  AB. a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều Giải : a) AHB AKC ( g-g) K AH AB và µA chung AK AC B Suy ra : AHK ABC AH HK AH Mặt khác : HK  BC AB BC AB M Hay HK = cosA.BC A 60 C 1 H I b) HK cos600  BC BC . 2 1 Mặt khác : HM = KM = BC ( Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) 2 nên HK = HM = KM hay MKH là tam giác đều. Bài 6: Cho ABC ( Aµ= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF  BC. Nối AF và BE. a) Chứng minh AF = BE.cosC. b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE. c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính sin A·OB. Giải: a) CEF CBA ( g-g) B CF AC CE BC nên CFA CEB ( c -g- c) AF AC AF nên cosC BE BC BE F Vậy AF = BE.cosC O Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 6 Tổ : Toán - Tin A E C
7. TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG b) Vì ABC ( Aµ= 900 ). nên AB = SinC. BC = 0,6.10 = 6cm. AC 8cm nên AE = EC = 4cm. Mặt khác : EF = SinC. EC = 0,6. 4 = 2,4cm. FC 3,2cm ( Định lí Pitago) B SABFE = SABC - SCFE 1 1 =  AB  AC EF FC 68 2,43,2 = 20,16 (cm2) 2 2 c) Hạ AH  BE; FK  BE. H F Ta có : SABFE = SABE + SBFE O 1 =  AO  SinAOB  BE OFsinAOB BE K 2 1 1 A E C sinAOB BE AO OF sin AOB  BE AF (1) 2 2 mà + BE = 52 ( Định lí Pitago) (2) + ABC FEC ( g - g) AC BC và Cµ chung nên ACF BCE ( c-g-c) FC EC AF AC AC 8 nên AF  BE  52 (3) BE BC BC 10 Từ (1), (2) và (3). Ta có : 2S 220,16 63 SinAOB = ABFE BE AF 52 0,8 52 65 C Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( Bµ= 900 ). Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH  BM, CK  BM. H a) Chứng minh : CK = BH.tgB·AC . M MC BH.tg2 B·AC b) Chứng minh : = . MA BK K Giải: a) Ta có : AHB BKC ( g - g) B A Vì Kµ Hµ 900 ; B· CK ·ABH ( cùng phụ với C· BK ) CK BC BC CK BH  BH tgBAC BH AB AB b) Từ câu a), ta có : CK = BH.tgB·AC MC CK MC BH.tgB· AC mà Suy ra : (1) MA AH MA AH Mặt khác : AHB BKC ( g - g) BK BC 1 BC tgBAC = = ( 2) AH AB AH AB  BK BK MC BH.tg2 B·AC Thay (2) vào (1). Ta có : = MA BK Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 7 Tổ : Toán - Tin
8. TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH  AD và CK  AB. a) Chứng minh CKH BCA. b) Chứng minh HK = AC.sin B·AD . c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết B·AD = 600 , AB = 4 cm và AD = 5 cm. GIẢI: a) BKC DHC ( g - g) K Vì Kµ Hµ 900 ; Dµ Bµ ( cùng bằng µA ) KC BC KC BC hay (*) HC DC HC AB Mặt khác : Xét tứ giác AKCH B C Ta có : µA H· CK 1800 ; µA ·ABC 1800 Suy ra : ·ABC H· CK ( ) Từ (*) và ( ). Ta có : CKH BCA( c-g-c). HK CK CK b) HK AC  AC sin KBC AC BC BC mà B· AD K· BC ( cặp góc đồng vị) A D H nên HK AC sin BAD BC AH BK CK c) SAKCH = SABCH + SBKC = CH 2 2 BC AD CosA AB CosA BC  SinA BC =  SinA AB + 2 2 5 5 4Cos600 Cos600 5 Sin600 5 = 4 Sin600 2 2 25sin 600 cos600 =2. ( 10+4cos600).sin600 + 26.2 2 Bài 9: Cho hai hình chữ nhật có 2 kích thước 3 và 5; 4 và 6 được đặt sao cho các cạnh hình chữ nhật song song với nhau. Tính diện tích tứ giác? M N A B K O H L D C 1 Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 8 Q P Tổ : Toán - Tin
9. TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG M N A B C D Q P 1 Giải: Ta có : SANCQ = SANQ + SCNQ =  AH  NQ CK  NQ 2 mà AH = CosOAH  AO ; CK CosOCK CO ; + O· AH O· CK ( cặp góc soletrong) 1 1 SANCQ CosOAH  NQ  AO OC = CosOAH  AC  NQ 2 2 Ta chứng minh số đo O· AH không đổi. Thật vậy : O· AH 900 ·AOH 900 O· CD O· LC ( Tính chất góc ngoài đỉnh O) mà O· LC 900 M· QN Suy ra : O· AH 900 O· CD 900 M· QN M· QN O· CD ( Cố định ) 1 1 Vậy S = CosOAH  AC  NQ = Cos M· QN O· CD  AC  NQ ANCQ 2 2 MN 3 Và tgMQN = M· QN 30057' ; O· CD 33041' NQ 5 1 Vậy :S = Cos2044' 34  52 20,9998 21 (cm2) ANCQ 2 Bài 10: Cho ABC , trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. Chứng minh: tgB.tgC = 2. A AD BD Giải : tgB ; tgC cot gDBH BD HD E AD BD AD nên tgB.tgC =  H BD HD HD mà AD = 2HD 2 HD nên tgB.tgC = 2 HD B D C Bài tập 11: Cho ABC : Bµ 600 ;Cµ 800 . Tính số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM. Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 9 Tổ : Toán - Tin
10. TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Giải: MH Ta có : tg = AH Mặt khác : BH - HC = ( BM + MH) - ( MC - MH ) A = 2MH. BH HC MH 2 AH AH mà BH ; HC tgB tgC 1 1 AH  tgB tgC nên MH = 2 B M H C 1 1 AH  tgB tgC 1 1 1 Vậy tg  2 AH 2 tgB tgC 11020' Bài 10: Cho ABC , phân giác AD, đường cao CH và trung tuyến BM gặp nhau tại một điểm. Chứng minh : CosA = bCosB. A H O C D B Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 10 Tổ : Toán - Tin
11. TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Bài 6: a) Cho tam giác DEF có ED = 7 cm, Dµ 400 , F 580 . Kẻ đường cao EI của tam giác đó. Hãy tính: a) Đường cao EI. b) Cạnh EF. µ 0 b) Giải tam giác vuông ABC, biết rằng A 90 , AB = 5, BC = 7. E Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng . Ta có : + EI = sinD. DE = sin 400.7 4,5 (cm) EI 4,5 + EF = 5,3 (cm) 7cm SinF Sin580 b) AC BC 2 AB2 72 52 4,9(cm) D 40 58 AB 5 CosB Bµ 44025' I F BC 7 + Cµ 900 Bµ 45035' Bài 1: Cho ABC : µA 900 ; AB 5cm; BC 13cm . Vẽ phân giác AD, đường cao AH. a) Tính độ dài đoạn thẳng BD; DC. b) Từ H, kẻ HK AC. Chứng minh : ABC KAH . c) Tính độ dài đoạn thẳng AK và KC ? Giải : B a) Áp dụng định lí Pitago, ta có : 2 2 2 H AC BC AB 12cm D + Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : BD CD BD CD BC 13 AB AC AB AC AB AC 17 A 13 14 13 3 Suy ra : BD 5 3 cm . CD = 12 9 cm K C 17 17 17 17 b) ABC KAH ( g-g) AB  AC 60 9 c) Ta có : AH .BC = AB .AC AH 3 cm BC 13 17 Từ ABC KAH AB BC AB  AH 131 38 AK 1 cm ; KC 10 cm AK AH BC 169 169 Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 11 Tổ : Toán - Tin
12. TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : BH EH 1 AB EA 4 Vậy CosB = 0,25 Bµ 75031'21'' µB 37045' 2 15 AH 5.4 + SinB nên AB = 5,164 4 SinB 15 + Áp dụng công thức tính chiều dài đường phân giác trong. Ta có : B 2AB  BC Cos 0 25,164 x Cos37 45' BD 2 hay 6 AB BC 5,164 x 65,164 BC x 14,3115 25,164cos37045' 6 AC = AB2 BC 2 2AB  BC CosB 13,9475 Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 12 Tổ : Toán - Tin