Bài tập môn Toán Lớp 7 - Phần Đại số: Tỉ lệ thức

Nội dung text: Bài tập môn Toán Lớp 7 - Phần Đại số: Tỉ lệ thức

1. Bài 1: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau, biết: 2 7 2 1 2 7 4 2 a/ 2 : x 1 : 0,2 b/ x : : 0,4 c/ 3 9 3 9 5 3 0,03 x 1 1 x 4 2 4 5 d/ 4 : 6 : 0,3 e/ 3 : 2x 0,25 : 2 f/ 3 4 5 3 3x 2 3 0,04 x 9 x g/ h/ i/ x 0,25 x 4 49 x 3 x 2 x 1 x 5 Bài 2: 4.1. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ bốn số sau: a/ 4,4 ; 9,9; 0,84; 1,89 b/ 0,03; 6,3; 0,27; 0,7 4.2. Lập các tỉ lệ thức có được từ bốn trong năm số sau: 3; 9; 27; 91; 243. Bài 3: Ba đơn vị góp vốn kinh doanh theo tỉ lệ 3; 5; 7. Hỏi mỗi đơn vị góp bao nhiêu tiền, biết tổng số vốn góp được là 300 triệu đồng. Bài 4: Tính diên tích của hình chữ nhật biết rằng tỉ số giữa 2 cạnh là 2 : 3 và chu vi của nó là 90cm? Bài 5: Tính 3 góc của một tam giác biết rằng các góc đó tỉ lệ lần lượt với 1; 2; 6 và tổng 3 góc đó bằng 1800 ? Bài 6: Cho tam giác có ba cạnh tỉ lệ với 5; 13; 12 và chu vi là 120cm. Tính dộ dài các cạnh của tam giác đó. Bài 7: Tính diện tích của một tam giác vuông, biết tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 2 : 5 và chúng hơn kém nhau 12cm Bài 8: Một lớp học có 35 học sinh, sau khảo sát chất lượng đầu năm số học sinh của lớp được xếp thành ba loại: Giỏi, khá, trung bình. Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3; số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi loại? Bài 9: Tìm x, y, z biết rằng: a/ x : y : z = 3 : 5 :(– 2) và 5x – y + 3z = 124
2. b/ 2x = 3y ; 5y = 7z và 3x – 7y + 5z = 30; c/ 10x = 6y = 5z và x + y – z = 24 x y x y z d/ và xy = 48; e/ và 3 4 2 3 5 xyz = –30 x y x y z f/ và x2 – y2 = 16 g/ và x2 5 3 2 3 5 + y2 – z2 = –12 h/ 3(x – 1) = 2(y – 2); 4(y – 2) = 3(z – 3) và 2x + 3y – z = 50. a c Bài 10: Cho tỉ lệ thức , chứng minh rằng: b d a b c d ac a2 c2 a/ b/ b d bd b2 d 2 bz cy cx az ay bx Bài 11: Biết rằng: . Hãy chứng minh rằng: x : y : z = a : b a b c : c 213 Bài 12: Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu 70 của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó. 1 1 Bài 13: Tìm x, y thuộc Z biết: 2x + = 7 y Bài 14: Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1:2:3 x y z x y z Bài 15: Cho x, y, z thoả mãn: với x, y, z khác 0. Tính: P = 2 5 7 x 2y z a b c Bài 16: Cho 3 tỉ số bằng nhau ; ; . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó. b c c a a b x y y z z t t x Bài 17: Cho biểu thức: P = z t t x x y y z x y z t Tìm giá trị của biểu thức P biết: y z t z t x t x y x y z
3. 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Bài 18: Cho dãy: a b c d a b b c c d d a Tìm giá trị của biểu thức: M = c d d a a b b c x 2y 3z Bài 19: Cho A = . Tính A biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3. x 2y 3z Ax By C Bài 20: Cho các số A, B, C tỉ lệ với a, b, c. Tính giá trị biểu thức : Q = ax by c a b c b c d c d a d a b Bài 21: Cho 4 tỉ số bằng nhau: ; ; ; d a b c Tìm giá trị của mỗi tỉ số trên. 3 Bài 22: Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng ; các tử số tỉ lệ với 3 ; 5 196 và các mẫu số tương ứng tỉ lệ với 4 và 7. x y z x y z Bài 17: Cho x, y, z thoả mãn: với x, y, z khác 0. Tính: P = 2 5 7 x 2y z x y z * Đặt = k (k khác 0) thì x = 2k , y = 5k , z = 7k 2 5 7 2k 5k 7k 4k 4 Khi đó: P = 2k 10k 7k 5k 5 4 Vậy: P = 5 x y z x y z x y z * Hoặc cách khác: Ta có: suy ra x – y + z = 2x 2 5 7 2 5 7 4
4. x 2y z x 2y z x 2y z 5x Lại có: suy ra x + 2y – z = 2 10 7 2 10 7 5 2 2x 4x 4 Do đó: P = 5x 5x 5 2 4 Vậy: P = 5 a b c Bài 18: Cho 3 tỉ số bằng nhau ; ; . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó. b c c a a b Với bài này các em dễ dàng tìm ra đáp án: a b c a b c 1 = = = = b c c a a b (b c) (c a) (a b) 2 1 Và kết luận: Giá trị của mỗi tỉ số đã cho là . 2 Nhưng chỉ có thế thì lời giải bài toán chưa được hoàn thiện. Mà phải trình bày được như sau: a b c a b c a b c Có: = = = (*) b c c a a b (b c) (c a) (a b) 2(a b c) a b c a b c 1 +) Nếu a + b +c ≠ 0 thì = = = = b c c a a b (b c) (c a) (a b) 2 +) Nếu a + b +c = 0 thì b + c = –a ; c + a = –b ; a + b = –c. a a b b c c Khi đó: = 1 ; 1 ; 1 b c a c a b a b c a b c c Hoặc: = = = 1 b c c a a b c a b c 1 Vậy: +) Nếu a + b +c ≠ 0 thì = = = b c c a a b 2
5. a b c +) Nếu a + b +c = 0 thì = = = 1 b c c a a b x y y z z t t x Bài 19: Cho biểu thức: P = z t t x x y y z x y z t Tìm giá trị của biểu thức P biết: (*) y z t z t x t x y x y z Chỉ cần nhìn đầu bài thôi đã thấy sợ rồi. Làm thế nào để tính được giá trị của biểu thức P? Có thể thấy dãy tỉ số bằng nhau (*) khá quen thuộc, nhưng P thì không. Liệu có thể sử dụng các cách đã làm không? Sử lí (*) như thế nào đây? x y z t Lời giải:Có: 1 1 1 1 y z t z t x t x y x y z x y z t x y z t x y z t x y z t Hay: y z t z t x t x y x y z +) Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z x = y = z = t khi đó: P = 1 + 1 + 1 +1 = 4 +) Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = – (z + t) ; y + z = – (z + t) Khi đó: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – 4 Vậy: +) P = 4 khi x + y + z + t ≠ 0 +) P = – 4 khi x + y + z + t = 0 3.3. Tiểu kết:Dạng bài tập này gây tương đối nhiều khó khăn cho học sinh bởi sự suy luận logic và tính phức tạp của nó. Nhưng với vai trò gợi mở của giáo viên thì học sinh có được cảm giác của người khám phá ra điều thú vị, cảm xúc của người chiến thắng. Điều đó chính là động lực kích thích các em, gây hứng khởi cho các em tiếp tục chinh phục những bài tiếp theo. 3 Bài 24: Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng ;các tử số tỷ lệ 196 với 3 ; 5 và các mẫu số tương ứng tỷ lệ với 4 và 7. Hướng dẫn: gọi x;y là phân số cần tìm . Ta có x : y = 3 5 x y 3 9 15 : 21: 20 và x- y = x & y 4 7 21 20 196 28 49
6. Bài 7 – 8 : TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU. LÝ THUYẾT : a c 1.1. Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số b d Trong đó: a, b, c, d là các số hạng. a, d là ngoại tỉ. b, c là trung tỉ. 1.2. Tính chất của tỉ lệ thức: a c * Nếu thì a . d b . c b d * Nếu a . d b . c và a, b, c, d 0 thì ta có: a c a b d c d b ; ; ; b d c d b a c a 2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. 2.1. Tính chất: a c a a c a c *Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức sau: , (b ≠ ± b d b b d b d d) a b c *Tính chất 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra: x y z a b c a b c a b c a b c x y z x y z x y z x y z (Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) *Tính chất mở rộng: a a.m * Với m 0. b b.m a c a c * Với n 0. b d b.n d.n n n a c a c * Với n N. b d b d 2.2. Chú ý: a b c Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số x, y, z; Ta x y z còn viết a : b : c = x : y : z. BÀI TẬP : Bài toán 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ số giữa các số nguyên:
7. 1 2 3 a) 3,7 : 4,5; b) 2 : 4 ; c) : 0,7; 3 3 8 1 1 d) 5 : 2 7 3 Bài toán 2: Chỉ rõ ngoại tỉ và trung tỉ của các tỉ lệ không?: 1 2 6 14 a) (– 3) : 21 = (–4,2) : 29,4 b) 2 3 3 2 35 80 4 3 Bài toán 3: Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không? 1 1 a) 5,1 : 15,3 và 7 : 21; b) 4 : 7 và 2,7:4,5; 2 2 c) ( 13,5) : 22,75 và ( 4):7 d) 4,86 : ( 11,34) và ( 9,3):21,6 Bài toán 4: Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau đây không? Nếu lập được hãy viết tất cả các tỉ lệ thức đó: a) 1,75; 20; 34; 29,75; b) 1,3; 3,2; 2,1; 5,4. Bài toán 5: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ các đẳng thức sau: a) 5.( 27) = ( 9).15; b) 0,45.3,16 = 3,555.0,4; c) 1 1 ( 6).29 = ( 27). 6 4 2 x 3 9 x Bài toán 6: Tìm x, biết: a) ; b) 27 x x 4 49 1 1 Bài toán 7: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau, biết: a) 3x : 2,7 : 2 ; b) 3 4 3: 0,4x 1: 0,01; 1 x 3 c) 1,35 : 0,2 = 1,25 : 0,1x; d) 3 : 2,4 0,35x;0,35 e) 3 18 3,6 f) 2,5 : 7,5 = x : 3,5
8. 4 2 g) 3 : (2x) 0,25: 2 h) 0,3: x x : 2,7 i) 5 3 1 3 2 : 0,01 0,75: x 2 4 72 x x 18 11x 2 11 k) l) m) 3 5 7x 5 8 6x 5 5x 3 7 5 x y x y Bài toán 8: Tìm hai số x và y biết : a/ và x y 20 b/ = và x 2 3 3 5 + y = 32 x y x y c/ 5x = 7y và y – x = 18. d/ và xy 192; e/ và 3 4 5 4 x2 y2 1. x y z Bài toán 9: Tìm x, y, z biết: a/ và x y z 90; 2 3 5 x y y z b/  và x y z 6 c/ 2x 3y 5z và 3 4 3 5 x y z 33. Bài toán 10: Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được 180 cây. Tinh số cây trồng của mỗi lớp, biết rằng số cây trồng của các lớp đó theo thứ tự tỉ lệ với 3, 4, 5. Bài toán 11:Tìm chu vi của một hình chữ nhật, biết rằng hai cạnh của nó tỉ lệ với 2, 5 và chiều dài hơn chiều rộng 12m. Bài toán 12:Số học sinh của các khối 6, 7, 8, 9 của một trường Trung học cơ sở tỉ lệ với các số 9, 8, 7, 6. Biết rằng số học sinh của khối 8 và khối 9 ít hơn số học sinh của khối 6 và khối 7 là 120 học sinh. Tính số học sinh của mỗi khối .
9. Từ giả thiết: Từ (1) và (2) suy ra: Ta có: