SKKN Một số giải pháp về giải toán trung bình cộng để bồi dưỡng học sinh năng khiếu lớp 4

Nội dung text: SKKN Một số giải pháp về giải toán trung bình cộng để bồi dưỡng học sinh năng khiếu lớp 4

1. PHÒNG GD&ĐT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG TH....... Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ...., ngày 11 tháng .. năm 2023 MỘT SỐ GIẢI PHÁP VỀ GIẢI TOÁN TRUNG BÌNH CỘNG ĐỂ BỒI DƯỠNG HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 4 - Họ và tên: Nam, nữ: Nữ - Trình độ chuyên môn, nghiệp vụ: Đại học sư phạm Giáo dục tiểu học - Chức vụ: Giáo viên - Đơn vị công tác: I. Lý do chọn đề tài. Trong chương trình toán ở tiểu học, việc giải các bài toán chiếm một vị trí rất quan trọng. Được thể hiện qua các khái niệm toán học, các quy tắc toán học đều được giảng dạy thông qua giải toán. Việc giải toán giúp học sinh củng cố vận dụng các kiến thức, rèn luyện kĩ năng tính toán . Đồng thời qua việc giải toán cho học sinh mà giáo viên có thể dễ dàng phát hiện những mặt mạnh, mặt yếu của từng em về kiến thức, kĩ năng và tư duy để từ đó giúp học sinh phát huy được tính chủ động sáng tạo trong học tập. Hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải đúng và hay là rất khó. Đại đa số giáo viên chỉ hướng dẫn học sinh giải các bài toán trong sách giáo khoa, ít khi đề cập đến các bài toán khác trong các tài liệu tham khảo. Chính vì thế việc rèn kĩ năng giải toán điển hình còn có phần hạn chế. Để dạy tốt các dạng toán này điều trước tiên mỗi giáo viên phải thực sự yêu nghề mến trẻ, thực sự quan tâm đến học sinh từ đó phải đầu tư nghiên cứu đề ra những biện pháp cụ thể cho từng tiết dạy. Từ những điều này tôi thấy việc cần phải rèn kĩ năng giải toán điển hình cho học sinh là quan trọng. Song bản thân tôi không có tham vọng lớn mà chỉ cố gắng nghiên cứu tìm tòi nhằm đáp ứng được phần nào trong việc đổi mới và nâng cao chất lượng dạy học. Sẽ không có học sinh giỏi, không có nhân tài nếu không có sự giáo dục chân chính. Việc làm vô cùng quan trọng cho vấn đề đó là chăm lo bồi dưỡng học sinh năng khiếu ngay từ bậc Tiểu học là vô cung quan trọng. Nó đặt nền móng vững chắc cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi các bậc tiếp theo. Đối với môn Toán là môn học tự nhiên nhưng rất trìu tượng, đa dạng và lôgic, hoàn toàn gắn với thực tiễn cuộc sống hàng ngày. Bởi vậy nếu học sinh không có phương 1
2. pháp học đúng sẽ không nắm được kiến thức cơ bản về Toán học và đối với các môn học khác nhận thức gặp rất nhiều khó khăn. Môn Toán là môn học quan trọng trong tất cả các môn học khác. nó là chìa khoá để mở ra các môn học khác. Đồng thời nó có khả năng phát triển tư duy lôgic, phát triển trí tuệ cần thiết giúp con người vận dụng vào cuộc sống hàng ngày. Trong giờ Toán, bên cạnh việc tìm tòi và sáng tạo phương pháp giảng dạy phù hợp với yêu cầu bài học và đối tượng học sinh. Mỗi giáo viên cần phải giúp các em có phương pháp lĩnh hội tri thức Toán học. Học sinh có phương pháp học Toán phù hợp với từng dạng bài Toán thì việc học mới đạt kết quả cao. Từ đó khuyến khích tinh thần học tập của các em cao hơn. Là giáo viên tôi luôn nuôi dưỡng một hy vọng là làm sao đào tạo được nhiều học sinh giỏi - nhiều hiền tài cho đất nước. Vì thế trong quá trình công tác, tôi luôn đi sâu tìm tòi nghiên cứu để tìm ra những biện pháp tốt nhất cho việc dạy học nói chung - bồi dưỡng học sinh năng khiếu nói riêng. Qua việc nghiên cứu và áp dụng thực tế trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy một số cách làm giúp học sinh giải tốt hơn phần toán tìm số trung bình cộng. Tôi mạnh dạn đưa ra kinh nghiệm nhỏ đã góp phần hỗ trợ cho tôi có những thành công trong quá trình bồi dưỡng học sinh năng khiếu ở lớp tôi. II. Thực trạng và nguyên nhân Hiện nay việc dạy và học toán nâng cao ở bậc tiểu học đã được chú ý song chưa có chiều sâu. Người giáo viên chỉ mới quan tâm đến việc cung cấp cho học sinh nhiều bài toán ở sách nâng cao mà chưa chú trọng đến việc cung cấp , hướng dẫn cho học sinh tìm ra cách giải chung cho mỗi dạng toán điển hình, giáo viên không khai thác các quy tắc, công thức trong sách giáo khoa để học sinh được nhìn công thức, quy tắc đó với nhiều góc độ khác nhau. Với cách làm này sẻ dẫn đến tình trạng cho dù đã được giải nhiều, nhưng khi gặp một bài toán tương tự học sinh vẫn lúng túng trong việc tìm cách giải, phân loại bài toán. Những thuật ngữ, tên gọi ..sử dụng ở sách giáo khoa theo đúng phổ thông và luôn có mối liên quan, phù hợp với nghĩa của nó, Với học sinh tiểu học các thuật ngữ, tên gọi còn cần phải dễ hiểu, dễ nhớ. Trong khi giảng dạy có những giáo viên không chú ý phân tích hướng dẫn để học sinh không nắm vững vấn đề này. Kiến thức cơ bản trong phần trung bình cộng không khó nhưng khi khai thác nâng cao để bồi dưỡng học sinh Tiểu học thì học sinh lại rất khó hiểu. Có nhiều giáo viên khi bồi dưỡng học sinh giỏi ra đề, sau đó giải bài mẫu. Học sinh chỉ làm theo cách giải của giáo viên. Các em không hiểu được "bản chất" của nó, vì sao lại giải như thế? Chính vì vậy các em không linh hoạt. Khi gặp bài toán khác đi chút là các em không giải được. Dạy học như vậy làm các em tiếp thu một cách thụ động nên chóng quên cách giải. Cái khó của giáo viên là khi bồi dưỡng học sinh năng khiếu không có chuẩn kiến thức, không có phân phối chương trình, không có nội dung dạy học sẵn như khi dạy 2
3. kiến thức cơ bản nên một số giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi không biết bắt đầu từ đâu, gặp đâu dạy đó. Với cách dạy đó hiệu quả đạt được rất thấp. Trong quá trình dạy học có thể nói người giáo viên còn chưa có sự chú ý đúng mức tới việc làm thế nào để đối tượng học sinh nắm vững được lượng kiến thức, đặc biệt là các bài toán điển hình. Nguyên nhân là do giáo viên chưa dành thời gian để nghiên cứu, tìm tòi những phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh trong lớp. Do vậy, chưa lôi cuốn được sự tập trung chú ý nghe giảng của học sinh. Bên cạnh đó nhận thức về vị trí, tầm quan trọng của các bài toán điển hình trong môn Toán cũng chưa đầy đủ. Từ đó dẫn đến tình trạng dạy học chưa trọng tâm, kiến thức còn dàn trải, hiệu quả dạy học chưa cao. III. Tính mới Trong quá trình giảng dạy cùng với việc cung cấp cho học sinh những kiến thức ở trong sách giáo khoa, tôi luôn suy nghĩ, tìm tòi và nhận thấy toán trung bình cộng có một số dạng bài nâng cao học sinh khó nắm bắt cách làm nếu không được cung cấp phương pháp, công thức của giáo viên. Môn toán nói chung, toán trung bình cộng nói riêng có nhiều dạng bài. Mỗi dạng bài tập ngoài cách giải tổng quát như sách giáo khoa có thể còn có những cách giải khoa học, cách nhẩm kết quả nhanh cũng có những bài nâng cao nếu chỉ đơn thuần dạy theo sách giáo khoa thì khó mà giải được Vì vậy để bồi dưỡng học sinh năng khiếu trước hết chúng ta phải củng cố kiến thức cơ bản thật vững chắc.Giúp học sinh nắm được " bản chất" của kiến thức đó, nắm được quy trình giải, có thể tóm tắt bằng lời hay tổng quát bằng công thức. Tránh tình trạng các em chỉ làm theo mẫu trong sách hay mẫu của giáo viên mà không hiểu sâu vấn đề. Khi học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản rồi giáo viên lần lượt khai thác sâu, nâng cao trong dạng toán làm cho học sinh nắm chắc lý thuyết nâng cao. Tổng quát hóa được bài toán, dạng toán cũng như phương pháp giải sẽ giúp học sinh nắm chắc được "bản chất" dạng toán cũng như quy trình giải. Sau khi nắm chắc được dạng toán giáo viên mới ra bài tập có nội dung phong phú hơn, tổng hợp hơn giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải toán. IV. Các giải pháp: Biện pháp 1: Củng cố kiến thức cơ bản Giúp học sinh nắm được" bản chất" của toán tìm số trung bình cộng. Cũng như các giáo viên khác, trong giờ học , tôi dựa vào sách giáo khoa, sách giáo viên, thực tế học sinh để giúp các em hiểu cách làm như sách giáo khoa. Ngoài ra để học sinh hiểu rõ " bản chất" của dạng toán tôi luôn hướng dẫn , phân tích tường minh cho học sinh hiểu.Khi dạy học sinh dạng toán trung bình cộng cũng vậy, tôi giảng cho các em hiểu : Tìm số trung bình cộng có nghĩa là tìm giá trị do các số cộng 3
4. lại rồi chia đều ra; là lấy những số lớn "bù" cho những số bé để được giá trị bằng nhau giá trị bằng nhau đó chính là số trung bình cộng. Với cách giúp học sinh hiểu được vấn đề như trên không những làm cho các em dễ hiểu, dễ nhớ và nhớ lâu mà tôi còn phân tích giúp các em thấy được số trung bình cộng không thể bằng hoặc bé hơn số bé nhất, bằng hoặc lớn hơn số lớn nhất. Ví dụ : Tìm số trung bình cộng của 15; 18; 6 và 28 Nếu số trung bình cộng tìm được bé hơn hoặc bằng 6; lớn hơn hoặc bằng 28 thì chắc chắn là sai. Biện pháp 2: Từ kiến thức cơ bản khai thác kiến thức nâng cao. a. Nhẩm nhanh kết quả số trung bình cộng bằng cách tìm phần bù. Như trên đã nêu : Tìm số trung bình cộng là lấy các số cộng lại rồi chia đều ra ( chia cho số số hạng) cho bằng nhau; là lấy giá trị những số lớn bù cho những số bé để bằng nhau giá trị bằng nhau đó là số trung bình cộng. Áp dụng điều này, tôi hướng dẫn học sinh: Lấy phần hơn( hiệu ) của các số so với số bé nhất cộng lại đem chia cho số số hạng rồi cộng với số bé nhất. Ví dụ : 1, Tìm số trung bình cộng của 134 và 138. Lấy : ( 138 - 134) : 2 + 134 = 136 2, Tìm số trung bình cộng của : 542; 500; 503 và 535 Lấy : ( 542 - 500) + ( 503 - 500) + ( 535 - 500) : 4 + 500 = 520. Từ cách làm và kết luận trên tôi hướng dẫn học sinh rút ra công thức tính: + Tìm số trung bình cộng của 2 số: Cho hai số A và B; A > B. Số trung bình cộng của A và B là: ( A - B ) : 2 + B + Tìm số trung bình cộng của nhiều số: Cho dãy số: A, B, C,...., X gồm n số, trong đó A là số bé nhất. Số trung bình cộng của dãy là: [( B - A )+( C - A )+ ..+( X - A)]: n + A Lưu ý: Để khỏi trình bày phần lí luận tôi hướng dẫn học sinh có thể vẫn ghi cách tính như công thức ở sách giáo khoa nhưng lại nhẩm tính nhanh kết quả theo cách này. Với cách làm này nên sử dụng khi số số hạng không nhiều lắm và nhất là khi dễ tính tổng các hiệu, thương của tổng các hiệu và số hạng. b. Một số dạng toán trung bình cộng. DẠNG 1: Tìm tổng khi biết trung bình cộng của chúng. Cho các số A, B, C, .X gồm n số. Tìm trung bình cộng của các số đó. Số TBC = ( A + B + C + ....+ X ): n ( Công thức 1) 4
5. Số TBC = Tổng các số : số số hạng. ? Khi biết số trung bình cộng và biết số số hạng thì ta có thể tìm được tổng các số không? ( tìm số bị chia). Tổng các số = số TBC x số số hạng Bài toán: Lớp 4A, 4B, 4C, 4D cùng tham gia trồng cây trong dịp đầu xuân. Trung bình mỗi lớp trồng được 32 cây. Biết số cây của các lớp 4A, 4B, 4C trồng được lần lượt là 36 cây, 34 cây, 30 cây. Hỏi lớp 4D trồng được bao nhiêu cây? Hướng dẫn giải. ? Muốn biết số cây của lớp 4D trồng được chúng ta phải biết cái gì? ( Tổng số cây trồng được của cả 4 lớp - Tổng số cây trồng được của 3 lớp 4A, 4B, 4C ) ? Tổng số cây trồng được của 3 lớp ta có thể biết, còn tổng số cây trồng được của 4 lớp ta làm thế nào? ( số cây trung bình mỗi lớp trồng được x số lớp ). Giải Tổng số cây của 4 lớp trồng được là: 32 x 4 = 128 ( cây) Tổng số cây của 3 lớp 4A, 4B, 4C trồng được là: 36 + 34 + 30 = 100 ( cây) Số cây của lớp 4D trồng được là: 128 - 100 = 28 ( cây ) Đáp số: 28 cây Ta có thể vận dụng tính tổng khi biết trung bình cộng vào việc giải bài toán "tổng - tỉ; " tổng - hiệu". Ví dụ: Tìm hai số biết số trung bình cộng của chúng là 26 và số lớn gấp 3 lần số bé. Hướng dẫn: ? Chúng ta đã biế tỉ số của hai số ( số lớn gấp 3 lần số bé). Dựa vào trung bình cộng của hai số là 26 chúng ta nên tìm gì? ( Tổng của hai số) Giải Tổng của hai số đó là: 26 x 2 = 52 Ta có sơ đồ: ? Số bé 52 Số lớn: ? Số bé là: 52 : ( 1 + 3 ) x 1 = 13 Số lớn là : 52 - 13 = 39 Đáp số: 13; 39 DẠNG 2: " Một trong hai số lớn hơn hoặc bé hơn số trung bình cộng của chúng". 5
6. Cho hai số X và Y, biế X lớn hơn trung bình cộng của hai số là 6 đơn vị. Hãy so sánh X và Y Giáo viên có thể dùng sơ đồ hướng dẫn học sinh cho dễ hiểu. TBC 6 Y Tổng hai số đã cho: X ? Để hai số đó đều bằng trung bình cộng thì số X phải bù cho số Y bao nhiêu? ( số X phải bớt đi 6 đơn vị để thêm vào cho số Y) ? X - 6 = Y + 6 Vậy số X lớn hơn số Y bao nhiêu? X - Y = 6 x 2 = 12 ( đơn vị) ? Nếu một trong hai số lớn hơn trung bình cộng của chúng a đơn vị thì số đó lớn hơn số còn lại bao nhiêu đơn vị? + Trường hợp X bé hơn trung bình cộng của X và Y thì ngược lại Y lớn hơn trung bình cộng của X và Y nên cũng tương tự như trên. Ghi nhớ: Nếu 1 trong 2 số lớn hơn hoặc bé hơn trung bình cộng của chúng a đơn vị thì số đó lớn hơn hoặc bé hơn số còn lai a x 2 đơn vị. Bài toán: Cho hai số, biết số lớn là 2510 và số này hơn trung bình cộng của hai số là 250. Tìm số bé. Hướng dẫn ? Số lớn hơn trung bình cộng của hai số là 250, vậy số lớn hơn số bé là bao nhiêu? Giải Số lớn hơn trung bình cộng của hai số là 250.Vậy số lớn hơn số bé là: 250 x 2 = 500 Số bé là: 2510 - 500 = 2010 Đáp số: 2010 * Ta có thể vận dụng ghi nhớ này để giải toán dạng tìm hai số khi biết " tổng - hiệu" "hiệu- tỉ". Ví dụ: Cho hai số biết số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai và số thứ hai kém trung bình cộng của hai số là 52. Tìm hai số đó. Hướng dẫn : ? Số thứ hai kém trung bình cộng của 2 số là 52 thì hiệu của hai số ta có thể biết được không? Giải: Số thứ hai kém số trung bình cộng của 2 số là 52 , vậy số thứ hai bé hơn số thứ nhất là: 52 x 2 = 104 Ta có sơ đồ : ? Số thứ nhất : 104 6
7. Số thứ hai : ? Số thứ hai là : 104 : ( 5- 1 ) x 1 = 26 Số thứ nhất là : 26 x 5 = 130 Đáp số : Số thứ nhất : 130 Số thứ hai : 26 DẠNG 3: " Bằng trung bình cộng". Bài toán : Ba bạn Hồng, Lan, Huệ cùng gấp hoa. Hồng gấp được 15 bông hoa, Lan gấp được 11 bông hoa, còn Huệ gấp được số hoa đúng bằng trung bình cộng số hoa của cả 3 bạn. Hỏi trung bình mỗi bạn gấp được mấy bông hoa? Hướng dẫn: ( Dùng sơ đồ để hướng dẫn ) Tổng số hoa của Hồng và Lan TBC Tổng số hoa của cả 3 bạn: Số hoa của Huệ ? Số hoa của bạn Huệ đúng bằng trung bình cộng số hoa của cả 3 bạn . Vậy để bằng số trung bình cộng, số hoa của Hồng và Lan có phải bù cho bạn Huệ không? Số hoa của bạn Huệ có phải bù cho hai bạn kia không? ? Trung bình cộng số hoa của hai bạn Hồng và Lan có bằng trung bình cộng số hoa của 3 bạn không? ( Trung bình cộng số hoa của hai bạn Hồng và Lan = trung bình cộng số hoa của 3 bạn = số hoa của bạn Huệ) ? Muốn tìm trung bình cộng số hoa của cả 3 bạn ta làm thế nào? Giải : Số hoa của bạn Huệ đúng bằng trung bình cộng số hoa của cả 3 bạn nên để bằng số trung bình cộng, số hoa của Huệ không phải bù cho số hoa của Hồng và Lan, số hoa của Hồng và Lan cũng không phải bù cho bạn Huệ. Như vậy,trung bình cộng số hoa của cả 3 bạn đúng bằng trung bình cộng số hoa của hai bạn Hồng và Lan và bằng : ( 15 + 11 ) : 2 = 13 ( bông hoa) Đáp số : 13 bông hoa * Bài toán tổng quát : Cho các số A, B, C......... X, Y gồm n số . Trong đó A, B, C...X, Y là những số đã biết. Y đúng bằng trung bình cộng của n số đã cho. Tìm trung bình cộng của n số đó. + Giải bài toán tổng quát: Y đúng bằng trung bình cộng của n số đã cho nên để bằng số trung bình cộng số Y không phải bù cho các số đã biết và các số đã biết cũng không phải bù cho Y. Vậy trung bình cộng của các số đã cho đúng bằng trung bình cộng của các số đã biết. TBC n số đã cho = (A + B + C + + X) : (n – 1) (Công thức 2) 7
8. * Công thức 2 có gì giống, có gì khác công thức 1? DẠNG 4: “Lớn hơn trung bình cộng”. Bài toán: Bốn bạn trồng hoa ở vườn hoa của lớp. Bạn Lí trồng được 12 cây, bạn Huệ trồng được 15 cây, bạn Hà trồng được 14 cây. Còn An trồng được số cây nhiều hơn số trung bình cộng của 4 bạn là 4 cây. Đố bạn biết An trồng được bao nhiêu cây? Hướng dẫn: Tổng số cây của Lí, Huệ và Hà TBC Tổng số cây của cả 4 bạn: 4 Số cây của An ? Để số cây của cả 4 bạn đều bằng nhau thì số cây của An phải như thế nào? (Bớt của An đi 4 cây và đem 4 cây đó bù vào cho 3 bạn kia). ? Lúc đó trung bình cộng số cây của 3 bạn Lí, Huệ, Hà sẽ thế nào? (Khi Lí, Huệ, Hà được An bù thêm cho 4 cây thì trung bình cộng số cây của 3 bạn đúng bằng trung bình cộng số cây của cả 4 bạn). Giải: Vì số cây của An nhiều hơn trung bình cộng số cây của 4 bạn là 4 cây nên nếu đem 4 cây đó bù cho 3 bạn kia thì lúc đó trung bình cộng số cây của 3 bạn đúng bằng trung bình cộng số cây của 4 bạn. Trung bình mỗi bạn trồng được số cây là: (12 + 14 + 15 + 4) : 3 = 15 (cây) Số cây bạn An trồng được là: 15 + 4 = 19 (cây) Đáp số: 19 cây + Bài toán tổng quát: Cho các số A, B, C, , X, Y gồm có n số. Trong đó A, B, C, , X là những số đã biết. Y lớn hơn trung bình cộng của n số đã cho là a. Tìm trung bình cộng của n số đó. Hướng dẫn: (Dùng sơ đồ để hướng dẫn) TBC của n số đó a Y Tổng của n số đó: .. n phần bằng số TBC ? Vì Y lớn hơn trung bình cộng của n số là a đơn vị nên để bằng trung bình cộng của n số đó ta phải làm như thế nào? (Số Y bù cho các số đã biết là a đơn vị). ? Vậy tìm số trung bình cộng của n số đó như thế nào? + Giải bài toán tổng quát: Vì Y lớn hơn trung bình cộng của các số đã cho là a đơn vị nên khi Y bù cho các số đã biết a đơn vị thì trung bình cộng các số đã biết bằng trung bình cộng của n số đã cho. TBC của n số đã cho = (A + B + C + + X + a) : (n - 1) (Công thức 3) 8
9. * Công thức 3 có gì giống, khác công thức 2? DẠNG 5: “Bé hơn trung bình cộng”. Bài toán: Bình có 22 quyển vở, Minh có 24 quyển vở, An có số vở ít hơn trung bình cộng số vở của 3 bạn là 8 quyển. Hỏi trung bình mỗi bạn có bao nhiêu quyển vở? Hướng dẫn: (Dùng sơ đồ để hướng dẫn) TBC 8 Số vở của An Số vở của cả 3 bạn: Số vở của Bình và Minh ? Để đưa về dạng “Bằng trung bình cộng” thì ta phải làm thế nào? (Lấy số vở của Bình và Minh bù cho số vở của An là 8 quyển. Lúc đó trung bình cộng số vở của Bình và Minh đúng bằng trung bình cộng số vở của cả 3 bạn). Giải: Vì số vở của An kém trung bình cộng số vở của cả 3 bạn là 8 quyển nên nếu Bình và Minh bù cho An 8 quyển thì lúc đó trung bình cộng số vở của 2 bạn Bình và Minh đúng bằng trung bình cộng số vở của cả 3 bạn. Trung bình mỗi bạn có số vở là: (22 + 24 - 8) : 2 = 19 (quyển vở) Đáp số: 19 quyển vở. + Bài toán tổng quát: Cho các số: A, B, C, , X, Y gồm n số trong đó A, B, C, , X là những số đã biết. Số Y bé hơn trung bình cộng của các số đã cho là a. Tìm trung bình cộng của n số trên. Hướng dẫn: (Dùng sơ đồ để hướng dẫn) TBC của n số đó a Y Tổng của n số đó: .. n phần bằng số TBC ? Vì Y bé hơn trung bình cộng của n số là a đơn vị nên để bằng trung bình cộng của n số đó ta phải làm như thế nào? (Các số đã biết bù cho số Y là a đơn vị). ? Vậy tìm số trung bình cộng của n số đó như thế nào? + Giải bài toán tổng quát: 9
10. Vì Y bé hơn trung bình cộng của các số đã cho là a đơn vị nên nếu các số đã biết bù cho Y là a đơn vị thì lúc đó trung bình cộng các số đã biết đúng bằng trung bình cộng của n số đã cho. TBC của n số đó = (A + B + C + + X - a ) : (n - 1). (Công thức 4) * Công thức 4 có gì giống, khác công thức 2 và công thức 3? DẠNG 6: Trung bình cộng của dãy số cách đều. ? Thế nào là dãy số cách đều? ? Tổng các cặp số cách đều hai đầu dãy số như thế nào? (Số đầu + số cuối = số thứ 2 + số cuối thứ 2 = ..) ? Nếu hai số cách đều hai đầu dãy đem phần hơn bù cho nhau sẽ thế nào? (Được các số bằng nhau và bằng số trung bình cộng của dãy). ? Vây có thể tìm số trung bình cộng như thế nào? (Lấy tổng của số đầu và số cuối chia 2). Hoặc chúng ta vận dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều: ? Hãy nêu công thức tính tổng của dãy số cách đều? (Số đầu + số cuối) x số số = (Số đầu + số cuối) x số số 2 2 ? Muốn tìm trung bình cộng của dãy số cách đều ta làm thế nào? (Số đầu + số cuối) x số số : số số = (Số đầu + số cuối) x số số x 1 2 2 số số = Số đầu + số cuối 2 TBC của dãy số cách đều = (Số đầu + số cuối) : 2 ? Biết trung bình cộng của dãy số cách đều, muốn tìm tổng số đầu và số cuối ta làm thế nào? * Tổng của số đầu và số cuối bằng số trung bình cộng nhân 2: Số đầu + số cuối = số TBC x 2 ? Ngoài công thức tính tổng trên ta có thể tính tổng bằng cách nào? (Lấy trung bình cộng của dãy số nhân với số số) Tổng của dãy số cách đều = số TBC x số số Ví dụ: Tìm tổng của: 1, 2, 3, , 1000 Hướng dẫn: ? Nếu đem hai số cách đều hai đầu dãy bù cho nhau thì sẽ thế nào? Giải: Nếu đem hai số cách đều hai đầu dãy bù cho nhau thì ta được các số bằng nhau và bằng số trung bình cộng. Số trung bình cộng của dãy đó là: (1 + 1000) : 2 = 500,5 Từ 1 đến 1000 có 1000 số. Vậy tổng của dãy số đó là: 500,5 x 1000 = 500500 Đáp số: 500500 10
11. + Trường hợp khi học sinh mới chỉ học số tự nhiên: Ở chương trình lớp 4 đã dạy toán tìm số trung bình cộng. Khi đó học sinh chưa học số thập phân (kể cả phân số cũng học sau toán tìm số trung bình cộng). Vì vậy tôi hướng dẫn học sinh có thể làm theo cách sau: * Nếu tổng của số đầu và số cuối là số lẻ (chia cho 2 dư 1) thì tách số đầu hoặc số cuối ra rồi tìm số trung bình cộng, tìm tổng của những số còn lại sau đó mới cộng số đã tách vào. Ví dụ: Tính tổng của: 3 + 4 + 5 + + 89 + 90 Tôi hướng dẫn học sinh có thể làm theo cách sau: Giải: Ta có: 3 + 4 + 5 + + 89 + 90 = 3 + ( 4 + 5 + + 89 + 90) Trung bình cộng của các số từ 4 đến 90 là: (4 + 90) : 2 = 47 Từ 4 đến 90 có số số là: 90 – 4 + 1 = 87 (số) Tổng của các số từ 4 đến 90 là: 47 x 87 = 4089 Tổng của dãy số cần tìm là: 4089 + 3 = 4092 Đáp số: 4092 * Chú ý: Khi tách số đầu hoặc số cuối của dãy nên chú ý xem tách số nào để khi cộng vào được tổng của dãy tính dễ hơn - nếu có thể nhẩm được càng tốt. * Các dãy số cách đều có thể phân hai trường hợp. +Trường hợp 1: Số số hạng là lẻ. ? Nếu một dãy số lẻ các số thì có gì đặc biệt hơn? Bài toán 1: Cho dãy số cách đều A, B, C, D, E, G ,H (gồm 7 số - lẻ số số ; số D là số ở chính giữa ). Trung bình cộng của dãy số đó bằng số nào? Theo đặc điểm của dãy số cách đều ta có số A và số H; số B và số G ; số C và số E bù cho nhau sẽ được các số bằng nhau và bằng số trung bình cộng. Vậy số D (là số ở chính giữa) có cần số nào bù cho nó, hay nó bù cho số nào hay không? ? Vậy số trung bình cộng của 7 số đó là số ở vị trí nào của dãy? (Số ở chính giữa chính là trung bình cộng của 7 số). Giải: Đây là dãy số cách đều có số số là lẻ nên trung bình cộng 7 số đó bằng số chính giữa của dãy. Vậy trung bình cộng của 7 số đó là D. Đáp số: D Ghi nhớ: Trong một dãy số cách đều có số số là lẻ thì số ở chính giữa bằng số trung bình cộng của dãy. Bài toán 2: Tìm 7 số, biết tổng của chúng là 420, theo quy luật số liền sau kém số liền trước 10 đơn vị. 11
12. Hướng dẫn: ? Đây là dạng toán gì? (Tìm dãy số cách đều có số số là lẻ, biết tổng và số số của dãy). ? Dãy số cách đều có số số là lẻ, số chính giữa của dãy chính là gì? (Số trung bình cộng của dãy số đó). Giải: Đây là dãy số cách đều có số số là lẻ nên trung bình cộng của dãy số đó đúng bằng số ở chính giữa của dãy. Vậy số ở giữa là: 420 : 7 = 60 Từ số liền sau kém số liền trước 10 đơn vị ta viết được dãy số đó là: 90; 80; 70; 60; 50; 40; 30 Đáp số: 90; 80; 70; 60; 50;40;30 Bài 3 : Tìm 5 số lẻ liên tiếp có tổng là 105 Giải : Vì dãy có 5 số lẻ liên tiếp nên số chính giữa chính là trung bình cộng của 5 số Số chính giữa ( số thứ 3) là: 105 : 5 = 21 Số thứ hai là: 21 - 2 = 19 Số thứ nhất là: 19 – 2 = 17 Số thứ tư là: 21 + 2 = 23 Số thứ năm là: 23 + 2 = 25 Đáp số: 17, 19, 21, 23, 25 + Trường hợp 2: Số số hạng là chẵn. Trường hợp này tôi hướng dẫn học sinh giải theo hai cách. Cách 1: - Tìm tổng và hiệu của số lớn nhất và số bé nhất (số đầu và số cuối) của dãy. - Dựa vào tổng và hiệu đó để lần lượt tìm từng số. Cách 2: - Tìm tổng 2 số ở giữa dãy (hai số này cách đều hai đầu dãy nên bằng tổng của số đầu và số cuối). - Dựa vào tổng và hiệu (khoảng cách hai số cạnh nhau) để tìm lần lượt từng số. 12
13. Bài toán: Cho dãy số gồm 10 số, theo quy luật số liền sau hơn số liền trước 6 đơn vị, tổng của dãy số đó là 670. Hãy viết dãy số đó. Hướng dẫn: ? Đây là dạng toán gì? (Viết dãy số cách đều có số số là chẵn, đã biết tổng và số số của dãy). ? Muốn viết được dãy số ta phải làm gì? ( Tìm một số của dãy có thể là số đứng đầu, số đứng cuối, đứng giữa dãy, ). ? Đây là dãy gồm 10 số, mỗi khoảng cách giữa hai số cạnh nhau là 6 đơn vị. Ta có thể biết được hiệu giữa số cuối và số đầu (hoặc hiệu của 2 số ở giữa dãy) không? ? Khi đã biết được hiệu giữa số cuối và số đầu ( hoặc hiệu của hai số ở giữa dãy) nếu ta biết được gì thì có thể tìm được 1 số của dãy ( có thể là số đầu, số cuối, một trong hai số đứng giữa dãy, )? ( biết tổng của số đầu và số cuối (hoặc tổng của 2 số ở giữa dãy) hay trung bình cộng của dãy, hay tổng của dãy số). Cách 1: Giải: Trung bình cộng của dãy số đó là: 670 : 10 = 67 Đây là dãy số cách đều nên trung bình cộng của dãy số bằng: (số đầu + số cuối) : 2 Vậy tổng của số đầu và số cuối của dãy số là: 67 x 2 = 134 Dãy số có 10 số nên từ số đầu đến số cuối có 9 khoảng cách nhau 6 đơn vị, vậy số cuối hơn số đầu là: 6 x 9 = 54 Số đầu của dãy là: (134 – 54 ) : 2 = 40 Từ số liền sau hơn số liền trước đơn vị và số đầu của dãy là 40, ta có dãy số đó là: 40; 46; 52; 58; 64; 70; 76; 82; 88; 94 Đáp số: 40; 46; 52; 58; 64; 70; 76; 82; 88; 94 Cách 2: Giải: Trung bình cộng của dãy số là: 670 : 10 = 67 Dãy số có 10 số nên hai số ở giữa là số thứ 5 và số thứ 6. Số thứ 5 và số thứ 6 là hai số liền nhau trong dãy cách đều nên hiệu giữa chúng bằng khoảng cách và bằng 6. Hai số đó cách đều hai đầu dãy nên số thứ 6 bù cho số thứ 5 để bằng nhau sẽ bằng trung bình cộng của dãy. Vậy tổng số thứ 5 và thứ 6 là: 67 x 2 = 134 Số thứ 6 của dãy đó là: ( 134 + 6 ) : 2 = 70 Từ số thứ 6 là 70 lần lượt trừ đi 6 để được 5 số đứng trước, cộng thêm 6 để được các số đứng sau ta có dãy số là: 40; 46; 52; 58; 64; 70; 76; 82; 88; 94 13
14. Đáp số: 40; 46; 52; 58; 64; 70; 76; 82; 88; 94 Bài 2 : Tìm 6 số chẵn liên tiếp có tổng là 90 Giải : Trung bình cộng của 6 số là: 90 : 6 = 15 Vì dãy có 6 số chẵn cách đều nên trung bình cộng chính bằng nửa tổng số đầu và số cuối . Tổng số đầu và số cuối là: 15 x 2 = 30 Hiệu của số cuối và số đầu là: 5 x 2 = 10 Số đầu là: (30 – 10) : 2 = 10 Số cuối là: 30 – 10 = 20 Số chẵn thứ hai là: 10 + 2 = 12 Số chẵn thứ ba là: 12 + 2 = 14 Số chẵn thứ tư là: 14 + 2 = 16 Số chẵn thứ năm là: 16 + 2 = 18 Đáp số: 10, 12, 14, 16, 18, 20 * Lưu ý: Khi làm toán phải phát hiện đúng là dãy cách đều thì mới tìm trung bình cộng theo kiểu dãy số cách đều: * Khi các em nắm chắc kiến thức cơ bản, kiến thức nâng cao rồi giáo viên có thể khai thác để ra các bài toán, các dạng bài phong phú hơn, tổng hợp hơn để học sinh vận dụng lí thuyết đã học để giải. Ví dụ: Một số bài toán 14
15. Bài 1: Bà An nuôi cả gà, vịt và ngan. Trong đó có 420 con gà và vịt, số ngan nuôi ít hơn trung bình cộng của cả 3 loại con đó là 20, số con gà nhiều hơn trung bình cộng số con gà và vịt là 35. Tìm số con mỗi loại. Hướng dẫn: ? Bài toán thuộc dạng toán nào? (dạng “một trong hai số lớn hơn trung bình cộng của chúng”, dạng “bé hơn trung bình cộng”). ? Biết tổng số con gà và vịt, biết số con gà hơn trung bình cộng của hai loại con đó thì có tìm được số con gà, số con vịt không? ? Biết tổng con gà và vịt,biết số ngan ít hơn trung bình cộng của ba loại là 20 chung ta có thể tìm được số ngan không? Giải: Số gà nhiều hơn trung bình cộng số gà và vịt là 35 nên số gà nhiều hơn số vịt là: 35 x 2 = 70 (con) Số con gà là: ( 420 + 70) : 2 = 245 ( con) Số con vịt là: 245 - 70 = 175 ( con) Số ngan ít hơn số trung bình cộng của 3 loại con đó là 20 nên hai loại kia phải bù cho ngan là 20 con để bằng số trung bình cộng. Trung bình mỗi loại có số con là: ( 420 - 20) : 2 = 200 (con) Số con ngan là: 200 - 20 = 180 (con) Đáp số: 245 con gà 175 con vịt 180 con ngan IV. KẾT QUẢ Qua việc vận dụng một số giải pháp đã nêu trên vào quá trình dạy học, tôi nhận thấy kết quả có nhiều khởi sắc: Dựa vào đặc điểm các số của những bài ( như đã nói ở trên) các em nhẩm nhanh được giá trị trung bình cộng. Các em không những nắm vững kiến thức cơ bản, kiến thức nâng cao mà các em còn nhớ lâu, khắc sâu được cách làm và làm linh hoạt khi làm bài phối hợp, kết hợp nhiều dạng toán. Với cách bồi dưỡng này tôi đã áp dụng bồi dưỡng học sinh năng khiếu ở lớp tôi và có kết quả tốt. Cụ thể đối chứng (cũng qua việc kiểm tra khảo sát 15 học sinh có năng khiếu môn toán) trước và sau khi áp dụng những biện pháp trên tôi thấy: Trước khi áp dụng giải pháp trên Sau khi áp dụng các giải pháp trên - Số học sinh hiểu rõ bản chất của dạng - Số học sinh hiều chính xác bản chất của toán: 55 % dạng toán: 100% 15
16. - Số học sinh nhớ cách làm và làm được - Số học sinh nhớ rõ dạng bài đã làm và theo bài mẫu: 40% làm bài tốt: 80% - Số học sinh biến đổi công thức thành - Số học sinh biến đổi công thức một cách thạo: 50% linh hoạt để làm bài: 85% - Số học sinh biêt vận dụng khi gặp bài - Số học sinh biết vận dụng phối hợp các kết hợp nhiều dạng toán: 35% dạng toán để làm bài: 70% V. BÀI HỌC. Khi dạy toán chúng ta không những để ý đến dạng bài mà còn để ý đến giá trị của các số để có cách tính toán phù hợp, khoa học. Để bồi dưỡng học sinh năng khiếu môn Toán tiểu học nói chung và bồi dưỡng phần trung bình cộng nói riêng, trước hết chúng ta phải bồi dưỡng kiến thức cơ bản theo chương trình thật vững chắc rồi từ kiến thức cơ bản đó khai thác dần để có kiến thức nâng cao. Khi dạy kiến thức nâng cao, chúng ta phải cố gắng phát huy được tính tích cực,chủ động, sáng tạo của học sinh. Sao cho các em hiểu được “bản chất” của kiến thức nâng cao đó để nó trở thành kiến thức của các em. Như vậy các em sẽ nhớ lâu. Khi bồi dưỡng học sinh năng khiếu chúng ta nên đi từ cái cụ thể, dễ hiểu đến khái quát cao hơn theo từng dạng toán. Và nếu có thể, giáo viên rút ra nhưng kết luận, ghi nhớ, những công thức tổng quát để các em dễ học, dễ nhớ. Kết hợp với việc dạy học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản và nâng cao, giáo viên ra các bài tập từ dễ đến khó, càng về sau bài tập có thể nghiên cứu để mang ra tính tổng hợp nhiều mạch kiến thức, nhiều dạng bài trong cùng một bài toán để các em rèn luyện được trí nhớ, trí thông minh, linh hoạt trong từng bài toán. Trên đây là sáng kiến nhỏ của tôi để giúp học sinh năng khiếu có kĩ năng giải những bài toán khó về dạng toán Trung bình cộng. Và thực tiễn cũng đã cho thấy kết quả thu được khá cao. Tuy nhiên, để học sinh có bề dày về kinh nghiệm giải toán khó đòi học sinh phải có sự tích luỹ và có kiến thức chắc chắn về những dạng toán cơ bản khác nữa. Với kinh nghiệm nhỏ này chắc chắn nó sẽ có chỗ chưa trọn vẹn, kính mong hội đồng khoa học, các đồng nghiệp góp ý để kinh nghiệm của tôi có khả năng ứng dụng một cách tốt nhất. Tôi mong nhận được sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp. 16